{"id":33690,"date":"2019-08-12T15:31:28","date_gmt":"2019-08-12T14:31:28","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33690"},"modified":"2022-06-11T18:14:35","modified_gmt":"2022-06-11T17:14:35","slug":"annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2018"},"content":{"rendered":"
\r\n
\r\n
\r\n
\r\n\r\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n<\/div>\r\n

\r\n
\r\n
\r\n

Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2018<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\r\n\r\n

Probl\u00e8me I. Suite d’int\u00e9grales et \u00e9quivalent<\/h2>\r\n

Partie I : \u00c9tude d’une suite d’int\u00e9grales<\/h3>\r\n1\/<\/strong> On a\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\nDonc \"W_{0}=\pi /2\" et \"W_{1}=1\"\r\n\r\n2\/<\/strong> Soit \"k\in \mathbb{N}\". Puisque l’on ne doit plus avoir qu’une seule int\u00e9grale, on les regroupe (lin\u00e9arit\u00e9) :\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\net pour pouvoir trouver la primitive la puissance, on la regroupe avec sa d\u00e9riv\u00e9e\r\n\r\n\"v\left( u\right) =\cos \left( u\right) :v^{\prime }\left( u\right) =-\sin\r\n\r\n\"w^{\prime }\left( u\right) =\cos \left( u\right) \sin \left( u\right)\r\n\r\net \"v\" et \"w\" sont de classe \"C^{1}\" sur \"\left[ 0,\pi /2\right]\" donc\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\net on a donc bien \"W_{k}-W_{k+2}=\frac{1}{k+1}W_{k+2}\"\r\n

Partie II : Une autre expression de \"I\left(<\/h3>\r\n3\/<\/strong> On doit montrer que \"\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{t^{k}}{\sqrt{\u00a0 par le changement de variable \"t=\sin \left( u\right)\"\r\n\r\n\"f:t\mapsto \frac{t^{k}}{\sqrt{1-t^{2}}}\" est continue sur \"\left] 0,1\r\n\r\n\"\varphi :u\mapsto\" \"\sin \left( u\right)\" est une bijection croissante et de classe \"C^{1}\" de \"\left] 0,\pi /2\right[\" sur \"\left] 0,1\right[\"\r\n\r\nDonc, les deux int\u00e9grales sont de m\u00eame nature \"\int_{0}^{1}f\left( t\right)\r\n\r\nComme \"\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin (u))^{k}du\" converge, alors \"\int_{0}^{1}\frac{t^{k}}{\sqrt{1-t^{2}}}dt\" converge et \"\displaystyle.\r\n\r\n4\/<\/strong> \"I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{xt}+\mathrm{e}^{-xt} int\u00e9grale impropre en \"1\" car \"t\mapsto \frac{ continue \"\left[ 0,1\right[\"\r\n\r\na\/<\/strong> Quand \"t\rightarrow 1:e^{xt}+e^{-xt}\rightarrow e^{x}+e^{-x}\" donc \"\frac{e^{xt}+e^{-xt}}{\sqrt{1-t^{2}}}\sim \left( e^{x}+e^{-x}\right)\r\n\r\navec \"e^{x}+e^{-x}\" constante par rapport \u00e0 \"t.\"\r\n\r\nOr, \"\int_{0}^{1}\frac{t^{0}}{\sqrt{1-t^{2}}}\" converge donc, par \u00e9quivalence de fonctions positives, \"\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e} converge \u00e9galement.\r\n\r\nDonc \"I\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\"\r\n\r\nPour tout \"x\in \mathbb{R},\" \"-x\in \mathbb{R}\" et \"I\left( -x\right)\r\n\r\nDonc \"I\" est paire.\r\n\r\nb\/<\/strong> On a \"I(0)=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{0t}+\mathrm{e}^{-0t}}{.\r\n\r\n5\/<\/strong> Soit \"x\in \mathbb{R}_{+}\".\r\n\r\na\/<\/strong> Soient \"t\in \lbrack 0;1]\" et \"n\in \mathbb{N}\".\r\n\r\n\"f:u\longmapsto \mathrm{e}^{u}+\mathrm{e}^{-u}\" est de classe \"C^{n+1}\" sur \"\mathbb{R}^{+}\" et \"f^{\left( k\right) }\left( u\right) =\mathrm{e}\r\n\r\nPour \"u\in \left[ 0,xt\right] :f^{\left( 2n+1\right) }\left( u\right) = donc \"0\leq f^{\left( 2n+1\right) }\left( et \"\left\vert f^{\left( car \"t\in\r\n\r\nDonc (Taylor-Lagrange \u00e0 l’ordre \"2n\" appliqu\u00e9e \u00e0 la fonction entre \"0\" et \"xt)\"\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\nde m\u00eame quand \"k\" est impair, \"f^{\left( k\right) }\left( 0\right) et pour \"k\" pair \"f^{\left( k\right) }\left( 0\right) =2donc\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\nr\u00e9index\u00e9 par \"k=2h\" on obtient \"\left\vert \mathrm{e}^{xt}+\mathrm{e}}\".\"\r\n\r\nb\/<\/strong> On reconstruit alors l’in\u00e9galit\u00e9 sur \"I\left( x\right) :\" pour tout \"t\in \left[ 0,1\right[ :\"\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\navec les bornes croissantes\r\n\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\nfinalement\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\net, pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\" : \"\left\vert I(x)-\displaystyle.\r\n\r\nc\/<\/strong> Quand \"n\" tend vers \"+\infty ,\" \"\frac {x^{2n+1}\pi} { (\"x\" est constante)\r\n\r\nDonc \"\left\vert \cdots \right\vert \rightarrow 0\" et \"\sum_{k=0}^{n}\frac{\r\n\r\net \"\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2k}}{(2k)!}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^{2}}\r\n\r\nFinalement, \"\displaystyle\sum_{k\geq 0}\frac{x^{2k}}{2^{2k}(k!)^{2}}\" converge et \"\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty }\frac{x^{2k}}{2^{2k}(k!)^{2}}.\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n \r\n

Partie III : \u00c9quivalent de \"I\left( x\right)\" lorsque \"x\" tend vers \"+\infty\"<\/h3>\r\n6\/<\/strong> On sait que \"\frac{\pi }{2}=W_{0}\"\r\n\r\nOn doit donc comparer deux int\u00e9grales et pour cela comparer leurs contenus :\r\n\r\nPour tout \"t\in \left[ 0,1\right] :\mathrm{e}^{-xt}\leq e^{0}\" donc, pour \"t\in \left[ 0,1\right[ :0\leq \frac{\mathrm{e}^{-xt}}{\sqrt{1-t^{2}}}\leq et (bornes croissantes).\r\n\r\nOr, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}_{+}\" : \"0\leq \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}.\r\n\r\n7\/ a\/<\/strong> Pour tout \"v\in \left[ 0,\frac{1}{2}\right] :\frac{1}{1-v}-1=\frac{v\r\n\r\net\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\"1-v-v^{2}\" peut se traiter comme polyn\u00f4me du second degr\u00e9.\r\n\r\nPlus simplement ici : \"0\leq v\leq \frac{1}{2}\" donc \"0\leq v^{2}\leq et \"0\leq v+v^{2}\leq \frac{3}{4}\" donc \"1-v-v^{2}\geq \frac{ et\"\frac{v\left( 1-v-v^{2}\right) }{1-v}\geq 0\"\r\n\r\nFinalement, pour tout \"v\" de \"\left[ 0,\frac{1}{2}\right]\" : \"1\leq.\r\n\r\n7\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in \mathbb{R}_{+}\".\r\n\r\n\"\frac{\mathrm{e}^{xt}}{\sqrt{1-t^{2}}}\sim _{t\rightarrow 1}\frac{\mathrm{ et \"\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{1-t^{2}}} converge.\r\n\r\nDonc par \u00e9quivalence de fonctions positives, \"\int_{0}^{1}\frac{ converge.\r\n\r\nChangement de variable \"u=1-t=\varphi \left( t\right)\" (forme que l’on pourrait changer en \"t=1-u,\" mais ce sens nous est impos\u00e9 par l’\u00e9nonc\u00e9).\r\n\r\nOn doit donc pr\u00e9parer le terrain avant d’intervenir. On pr\u00e9pare le terrain :\r\n\r\n\"1-t^{2}=\left( 1-t\right) \left( 1+t\right) =\left( 1-t\right) \left( et \"t=-\left( 1-t\right) +1\"\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\"f:u\mapsto -\frac{\mathrm{e}^{x\left[ -u+1\right] }}{\sqrt{u\left( est continue sur \"\left] 0,1\right[\"\r\n\r\n\"\varphi :t\mapsto 1-t\" est une bijection d\u00e9croissante et de classe \"C^{1}\" de \"\left] 0,1\right[\" dans \"\left] 0,1\right[\" et \"\varphi ^{\prime\r\n\r\ndonc les int\u00e9grales sont de m\u00eame nature (convergentes) et\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\ndonc \"\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{xt}}{\sqrt{1-t^{2}} \".\"\r\n\r\n7\/ c\/<\/strong> Pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}_{+}\"\r\n\r\nOn a pour tout \"v\" de \"\left[ 0,\frac{1}{2}\right]\" : \"1\leq \frac{1}{1-v}\leq\r\n\r\nOr, pour \"u\in \left[ 0,1\right] :\frac{u}{2}\in \left[ 0,\frac{1}{2} donc \"1\leq \frac{1}{1-u/2}\leq \left( 1+\frac{u}{2}\right) ^{2}\" et \"1\leq \frac{1}{\sqrt{1-u/2}}\leq 1+\frac{u}{2}\"\r\n\r\nmultipli\u00e9 par \"\frac{\mathrm{e}^{-xu}}{\sqrt{u}}\geq 0\" :\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\navec les bornes croissantes\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\nen d\u00e9veloppant la troisi\u00e8me int\u00e9grale\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\n8\/ a\/<\/strong> Une densit\u00e9 de la loi normale d’esp\u00e9rance nulle et de variance \"\frac{1}{2}\" est \"\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\pi }}e^{-\left( t\sqrt{2} \"\frac{1}{\sqrt{\pi }}e^{-t^{2}}\"\r\n\r\nAvec \"X\hookrightarrow \mathcal{N}\left( 0,1/2\right)\" on a \"\mathrm{P}\r\n\r\nDonc \"\int_{0}^{+\infty }\mathrm{e}^{-t^{2}}dt\" converge et vaut \"\int_{0}^{+\infty }\mathrm{e}^{-t^{2}}dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\"\r\n\r\nSa variance est \"\frac{1}{2}=E\left( X^{2}\right) -E\left( X^{2}\right) donc \"\int_{-\infty }^{+\infty }t^{2}e^{-t^{2}}dt=\frac{(converge)\r\n\r\nEt, par parit\u00e9 \"\int_{0}^{+\infty }t^{2}e^{-t^{2}}dt=\frac{\sqrt{\pi }.\r\n\r\n8\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }\". \u00c0 l’aide du changement de variable \"t=\varphi \left( u\right) =\sqrt{xu}\",\r\n\r\n\"\varphi\" est une bijection croissante et \"C^{1}\" de \"\left] 0,1\right[\" dans \"\left] 0,\sqrt{x}\right[\" et \"\varphi ^{\prime }\left( u\right) =\r\n\r\nOn a :\r\n\r\n\"\frac{\mathrm{e}^{-xu}}{\sqrt{u}}=\frac{2}{\sqrt{x}}\mathrm{e}^{-\sqrt{xu} avec \"f:t\mapsto \frac{2}{\sqrt{x}} continue sur \"\left] 0,1\right[\"\r\n\r\nDonc\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\net \"\int_{0}^{\sqrt{x}}\mathrm{e}^{-t^{2}}\rightarrow \frac{\sqrt{\pi }}{2}\" quand \"x\rightarrow +\infty\" donc \"\int_{0}^{\sqrt{x}}\mathrm{e} et par produit\r\n\r\n\"\int_{0}^{1}\r\n\r\nDe m\u00eame :\r\n\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\net \"\int_{0}^{\sqrt{x}}t^{2}\mathrm{e}^{-t^{2}}\sim \frac{\sqrt{\pi }}{4}\" donc\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\net on a donc bien \"\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-xu}}{\sqrt{u}}du et \"\qquad \int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-xu}\sqrt{u}du\underset{x\rightarrow\r\n\r\n9\/<\/strong> On a\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\nLa seconde int\u00e9grale est born\u00e9e puisque \"0\leq \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}\r\n\r\nLa premi\u00e8re a \u00e9t\u00e9 encadr\u00e9e avec\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\navec \"a\left( x\right) \sim \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{\pi\r\n\r\net \"b\left( x\right) \sim \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{\pi } donc \"a\left( x\right) +b\left( on a donc\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\net par encadrement, \"\frac{b\left( x\right) }{\mathrm{e}^{x}\sqrt{\pi }/ quand \"x\rightarrow +\infty\", donc \"I(x)\underset{x\rightarrow +\infty }{\sim }\frac{\mathrm{e}^{x}\r\n

Partie IV : Une application en probabilit\u00e9s<\/h3>\r\n10\/ a\/<\/strong> Pour estimer \"\mathrm{P}\left( X=Y\right) ,\" on prend comme estimateur la moyenne statistique des r\u00e9alisations de cet \u00e9v\u00e9nement :\r\n\r\nOn r\u00e9alise \"n\" fois une double simulation de Poisson dont on teste l’\u00e9galit\u00e9.\r\n\r\nUn compteur \"cpt\" totalise les occurences.\r\n\r\nfunction r = estime(lambda);\r\n\r\nn=1000;cpt=0\r\n\r\nfor i=1:n\r\n\r\nif ( grand(1,1,’poi’,lambda)==grand(1,1,’poi’,lambda) ) then cpt=cpt+1\r\n\r\nr=cpt\/n\r\n\r\nendfunction\r\n\r\nOn peut \u00e9galement g\u00e9n\u00e9rer une liste de r\u00e9alisations de X et de Y puis cr\u00e9er la liste des X==Y et enfin d\u00e9nombrer les \"\% T\" (true, vrai)\r\n\r\nLa valeur \"\% T\" est vue par Scilab comme \"1\". sum([\"\%T\",\"\%T\",\"\%F\"])=2\r\n\r\nfunction \"\:\" r = estime(lambda);\r\n\r\nn=1000;cpt=0\r\n\r\nX=grand(1,n,’poi’,lambda) \\#\r\n\r\nX=grand(1,n,’poi’,lambda)\r\n\r\nr=sum(X==Y)\/n\r\n\r\nendfunction\r\n\r\n11\/<\/strong> Gr\u00e2ce \u00e0 la fonction pr\u00e9c\u00e9dente, on trace, en fonction de \"\lambda\", une estimation de \"\sqrt{\pi \lambda }\mathrm{P}([X=Y])\" pour \"\lambda \in et on obtient le graphe suivant :\r\n\r\n\"em\r\n\r\n\"2\sqrt{\pi \lambda }\mathrm{P}([X=Y])\" semble donc tendre vers \"0.5\"\r\n\r\nDonc \"2\sqrt{\pi \lambda }\mathrm{P}([X=Y])=\frac{\mathrm{P}([X=Y])}{ tend vers \"1\" et \"\mathrm{P}([X=Y])\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda }}\" quand \"\lambda\" tend vers \"+\infty\" \".\"\r\n\r\nPour r\u00e9aliser ce graphique, on peut proc\u00e9der ainsi :\r\n\r\nlambda=linspace(0,20,100)\r\n\r\nY=zeros(1,100)\r\n\r\nfor i=1:100\r\n\r\nY(i)=estime(lambda(i))*sqrt(\\pi*lambda(i))\r\n\r\nend\r\n\r\nplot2d(lambda,Y)\r\n\r\n12\/ a\/<\/strong> On a \"\left( X=Y\right)\" \"=\bigcup\limits_{k=0}^{+\infty }\left( r\u00e9union d’incompatibles donc\r\n\"\mathrm{P}\left( X=Y\right) =\sum\limits_{k=0}^{+\infty }\mathrm{P}\left( et comme \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes,\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\navec \"e^{-\lambda }\" constante par rapport \u00e0 \"k,\" donc \"\mathrm{P}([X=Y])=\mathrm{e}^{-2\lambda }\displaystyle.\r\n\r\n12\/ a\/<\/strong> On se souvient que \"\sum_{k=0}^{+\infty }\frac{x^{2k}}{2^{2k}(k!)^{2}} pour \"x\geq 0\" .\r\n\r\nOn ajuste avec \"\frac{x}{2}=\lambda\" donc \"x=2\lambda :\" \"\mathrm{P}.\r\n\r\nb\/<\/strong> Et comme \"I(x)\underset{x\rightarrow +\infty }{\sim }\frac{\mathrm{e} en substituant \"x=2\lambda \rightarrow +\infty\" on a\r\n\r\n\"\mathrm{P}([X=Y])\sim \frac{e^{-2\lambda }}{\pi }\frac{e^{2\lambda } lorsque \"\lambda\" tend vers \"+\infty\".\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n \r\n

Probl\u00e8me 2 : Alg\u00e8bre lin\u00e9aire et suite de variables al\u00e9atoires<\/h2>\r\n

Partie I :<\/h3>\r\n1\/ a\/<\/strong> Pour tout \"P\in E,\" \"\varphi \left( P\right) =\frac{1}{n} donc \"\varphi \left( P\right)\" est bien d\u00e9finie.\r\n\r\nSoient \"P,Q\in E\" et \"\alpha \in \mathbb{R}\", alors :\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\nDonc \"\varphi\" est une application lin\u00e9aire.\r\n\r\nb\/<\/strong> \"\varphi \left( X^{n}\right) =\frac{1}{n}X(1-X)nX^{n-1}+X\cdot\r\n\r\nc\/<\/strong> Et si \"\deg Q\leq n-1\" alors \"\deg \left( \frac{1}{n}X(1-X)Q^{\prime\r\n\r\nDonc si \"P\in E,\" il existe \"\alpha \in \mathbb{R}\" et \"Q\in \mathbb{R}_{n-1} tel que \"P=\alpha X^{n}+Q\"\r\n\r\net \"\varphi \left( P\right) =\alpha \varphi \left( X^{n}\right) +\varphi donc \"\deg \left( \varphi \left( P\right) \right) \leq n\" et \"\varphi \left( P\right) \in E\"\r\n\r\nDonc \"\varphi\" est un endomorphisme de \"E\".\r\n\r\n2\/<\/strong> Pour \"1\leq k<n:\"\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\net \"\varphi \left( 1\right) =X\" donc \"A=\r\n\r\nC’est une matrice \u00e9chelonn\u00e9e donc le rang est \u00e9gal au nombre de pivots :\r\n\r\n\"\func{rg}\left( A\right) =n-1\"\r\n\r\n3\/ a\/<\/strong> Comme \"\func{rg}\left( A\right) =n-1,\" \"\dim \left( \func{Ker}\varphi (th\u00e9or\u00e8me du rang)\r\n\r\nDonc \"\ker \left( \varphi \right) \neq \left\{ 0\right\}\" et \"\varphi\" n’est pas injejctif\r\n\r\nb\/<\/strong> Soit \"P\" un polyn\u00f4me non nul de \"\ker (\varphi )\".\r\n\r\nOn a alors\"\varphi \left( P\right) =\frac{1}{n}X(1-X)P^{\prime }+XP=X\left[ (polyn\u00f4me nul)\r\n\r\nDonc \"\frac{1}{n}(1-X)P^{\prime }+P=0\"\r\n\r\nEn particulier, en \"1:\varphi \left( P\right) \left( 1\right) =\frac{1}{n}\r\n\r\nDonc \"\boxed { \text{1 est racine de P}}\"\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"\alpha \neq 1\" est racine de \"P\" alors \"0=\frac{1}{n} donc \"P^{\prime }\left(\r\n\r\nDonc \"\alpha\" est racine d’ordre 2 de \"P,\" donc de \"P^{\prime }.\"\r\n\r\nEt pour tout entier \"k\" (r\u00e9currence) \"\alpha\" sera racine d’ordre \"k\"\r\n\r\nDonc \"P\" est le polyn\u00f4me nul. Ce qui est faux.\r\n\r\nDonc \"\boxed { \text{1 est la seule racine de P}}\"\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"\deg \left( P\right) =m<n\" alors il existe \"Q\" de degr\u00e9\"<m\" et \"\alpha tel que \"P=\alpha X^{m}+Q\" et \"\varphi \left( P\right)\r\n\r\nEt comme \"\deg \left( \varphi \left( X^{m}\right) \right) =m+1>\deg \left( alors \"\deg \left( \varphi \left( P\right) et \"\varphi \left( P\right) \neq 0\"\r\n\r\nDonc \"\deg \left( P\right) =n\"\r\n\r\n\"\varphi \left( \left( X-1\right) ^{n}\right) =\frac{1}{n}X(1-X)n\left(\r\n\r\nDonc \"\left( X-1\right) ^{n}\" est une famille libre (un vecteur non nul) de \"1\" vecteur de \"\ker \left( f\right)\" et \"\dim \ker donc \"\left( \left( X-1\right) ^{n}\right)\" est une base du noyau.\r\n\r\nDonc, \"\ker \left( \varphi \right) =\left\{ \alpha \left( X-1\right) ^{n}\ et les polyn\u00f4mes du noyau sont des polyn\u00f4mes de degr\u00e9 \"n\" qui ont \"1\" pour seule racine.\r\n\r\nc\/<\/strong> Le noyau \u00e9tant de dimension \"1,\" il suffit de trouver un vecteur non nul du noyau pour avoir une base.\r\n\r\nCe polyn\u00f4me n’a que \"0\" comme racine. Sa d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples est donc de la forme \"\alpha \left( X-1\right) ^{k}\"\r\n\r\nEt comme il est de degr\u00e9 \"n\" , c’est \"\alpha \left( X-1\right) ^{n}.\"\r\n\r\n4\/<\/strong> \"A\" est triangulaire. Ses valeurs propres sont sur la diagonale.\r\n\r\nDonc \"\varphi\" a \"n+1\" valeurs propres distinctes. Et \"\varphi\" est diagonalisable.\r\n\r\n5\/<\/strong> On pose, pour tout \"k\" de \"\left[ \left[ 0,n\right] \right]\" : \"P_{k}=X^{k}(1-X)^{n-k}\".\r\n\r\na\/<\/strong> On se doute que \"P_{k}\" va \u00eatre vecteur propre. On cherche donc \u00e0 faire r\u00e9appara\u00eetre une forme factoris\u00e9e\r\n\r\nPour tout \"k\" de \"\left[ \left[ 1,n-1\right] \right]\", \"P_{k}^{\prime (nulle pour \"n=k\")\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\nCe qui est vrai encore pour \"k=0\" et \"k=n\"\r\n\r\nb\/<\/strong> Donc \"P_{k}\neq 0\" est un vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\frac{k}{n}\".\r\n\r\nLes valeurs propres \u00e9tant distinctes, la famille \"\left( P_{0},P_{1},\ldots est libre.\r\n\r\nC’est une famille libre de \"n+1\" vecteurs de \"\mathbb{R} et \"\dim \mathbb{R}_{n}\left[ X\right] =n+1\"\r\n\r\nDonc \"\left( P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}\right)\" est une base de \"E\" et la matrice de \"\varphi\" dans cette base est\r\n\r\n\"\begin{pmatrix}\r\n\r\nc\/<\/strong> On a ici \"n+1\" valeurs propres distinctes.\r\n\r\nIl n’y en a donc pas d’autres.\r\n\r\nLes sous espaces propres de \"\varphi\" sont donc \"\limfunc{Vect}\left( pour \"k\in \left[ \left[ 0,n\right] \right]\"\r\n

Partie II : \u00c9tude d’une suite de variables al\u00e9atoires<\/h2>\r\n6\/<\/strong> a\/<\/strong> \"Z_{2}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}\"\r\n\r\n\"\left( Z_{2}=0\right)\" signifie qu’au second tirage, on n’obtient pas de nouveau num\u00e9ro, c’est \u00e0 dire que l’on retire le m\u00eame num\u00e9ro qu’au premier.\r\n\r\nDonc \"\mathrm{P}\left( Z_{2}=0\right) =\frac{1}{n}\" car les \"n\" boules sont \u00e9quiprobables.\r\n\r\nd’o\u00f9 \"\mathrm{P}\left( Z_{2}=1\right) =\frac{n-1}{n}\".\r\n\r\nb\/<\/strong> Soit \"k\in \mathbb{N}^{\ast }\". Pour tout \"j\" de \"\left[ \left[ 1,k, si \"\left( Y_{k}=j\right) ,\" on a d\u00e9j\u00e0 obtenus \"j\" num\u00e9ros. Et il y en a donc \"n-j\" que l’on a pas obtenus.\r\n\r\nLa probabilit\u00e9 d’obtenir un de ceux ci est donc \"\mathrm{P}\r\n\r\nComme, en \"k\" tirages on peut obtenir entre \"1\" et \"k\" num\u00e9ros distincts, \"\left( Y_{k}=j\right) _{j\in \left[ \left[ 1,k\right] \right] }\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements de probabilit\u00e9s non nulle et\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\ndonc \"\mathrm{P}(Z_{k+1}=1)=1-\frac{1}{n}\mathrm{E}(Y_{k})\".\r\n\r\nc\/<\/strong> Soit \"k\in \mathbb{N}^{\ast }\". \"Z_{k}\" compte le nombre de num\u00e9ro rajout\u00e9 lors du \"n\textsuperscript{\`eme}\" tirage (\"0\" ou \"1\")\r\n\r\nDonc, \"\sum_{j=1}^{k}Z_{j}\" est le nombre total de num\u00e9ros ajout\u00e9 en \"k\" tirage. Et en partant de \"0\", \"Y_{k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}Z_{j}\"\r\n\r\nDonc \"E\left( Y_{k}\right) =\sum_{j=1}^{k}E\left( Z_{j}\right)\" et comme \"Z_{j}\" suit une loi de Bernouilli, \"E\left( Z_{j}\right) =\mathrm{P}\left( d’o\u00f9 :\r\n\r\n\"\mathrm{P}([Z_{k+1}=1])=1-\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}\mathrm{P}}\r\n\r\nd\/<\/strong> D’o\u00f9 une r\u00e9currence avec pr\u00e9d\u00e9cesseurs puisque l’on utilise tous les termes pr\u00e9c\u00e9dents :\r\n\r\n\"\mathrm{P}\left( Z_{1}=1\right) =1=\left( 1-\frac{1}{n}\right) ^{0}\"\r\n\r\nSoit \"k\in \mathbb{N}\" tel que, pour tout \"j\in \left[ \left[ 1,n\right]alors\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\nDonc, pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}^{\ast }\" : \"\mathrm{P}.\r\n\r\ne\/<\/strong> Comme \"\mathrm{P}(Z_{k+1}=1)=1-\frac{1}{n}\mathrm{E}(Y_{k})\" on a donc \"E\left( Y_{k}\right) =n\left[ 1-\mathrm{P}(Z_{k+1}=1)\right]\"\r\n\r\net \"E\left( Y_{k}\right) =n\left[ 1-\left( 1-\frac{1}{n}\right) ^{k}\r\n\r\n7\/<\/strong> On note, pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\", \"G_{k}\" le polyn\u00f4me de \"\mathbb{R}_{n}[X]\" d\u00e9fini par :\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\n(appel\u00e9e fonction g\u00e9n\u00e9ratrice de \"Y_{k}\")\r\n\r\na\/<\/strong> On a \"G_{k}=\sum_{i=0}^{n}\mathrm{P}([Y_{k}=i])X^{i}G_{k}= car \"Y\left( \Omega \right) =\left[ pour \"k\geq 1\"\r\n\r\n\"G_{0}=\mathrm{P}\left( Y_{0}=0\right) X^{0}=1\"\r\n\r\n\"G_{1}=\mathrm{P}\left( Y_{1}=0\right) X^{0}+\mathrm{P}\left( Y_{1}=1\right) car \"Y_{1}=1\"\r\n\r\n\"G_{2}=\mathrm{P}\left( Y_{2}=0\right) X^{0}+\mathrm{P}\left( Y_{2}=1\right)\r\n\r\n\"Y_{2}=1\" signifie que l’on a eu le m\u00eame num\u00e9ro aux deux tirages donc que l’on n’a pas de nouveau num\u00e9ro au second.\r\n\r\n\"\left( Y_{2}=1\right) =\left( Y_{1}=1\right) \cap \left( Z_{2}=0\right)\"\r\net \"\mathrm{P}\left( Y_{2}=1\right) =\mathrm{P}\left( Y_{1}=1\right) \mathrm{\r\n\r\n\"\left( Y_{2}=2\right) =\left( Y_{1}=1\right) \cap \left( Z_{2}=1\right)\"\r\net \"\mathrm{P}\left( Y_{2}=2\right) =\mathrm{P}\left( Y_{1}=1\right) \mathrm{\r\n\r\ndonc \"G_{0}=1:G_{1}=X:G_{2}=\frac{1}{n}X+\left( 1-\frac{1}{n}\right).\r\n\r\nb\/<\/strong> Pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\" et tout \"i\" de \"\left[ \left[ 0,n\right] :\r\n\r\n\"\left( Y_{k+1}=i\right)\" si l’on a obtenus \"i\" num\u00e9ros distincts au \"(k+1)\textsuperscript{\`eme}\" tirage.\r\n\r\nCela arrive ou bien quand on en a eu un de plus au \"(k+1)\textsuperscript{\`eme}\" et un de moins avant (\"i-1)\", ou bien quand on n’en a pas eu un de plus et qu’on avait d\u00e9j\u00e0 eu \"i\" num\u00e9ros avant.\r\n\r\nDonc \"\left( Y_{k+1}=i\right) =\left( Y_{k}=i-1\right) \cap \left(\r\n\r\nC’est une r\u00e9union d’\u00e9v\u00e8nements incompatibles donc \"\mathrm{P}\left( Y_{k+1}=i\right) =\mathrm{P}\left( Y_{k}=i-1\right)\r\n\r\navec \"\mathrm{P}\left( Y_{k}=i-1\right) =1-\frac{i-1}{n}\" et \"\mathrm{P}\r\n\r\ndonc \"\mathrm{P}\left( Y_{k+1}=i\right) =\left( 1-\frac{i-1}{n}\r\n\r\nc\/<\/strong> On a :\r\n\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\non fait alors appara\u00eetre la d\u00e9riv\u00e9e \"G_{k}^{\prime }=\sum_{j=1}^{n}j\mathrm{P}\r\n\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\net on a bien \"G_{k+1}=\frac{1}{n}X(1-X)G_{k}^{\prime }+XG_{k}\"\r\n\r\nd\/<\/strong> On a montr\u00e9 que \"G_{k+1}=\varphi \left( G_{k}\right)\" pour tout entier \"k,\" relation \u00ab\u00a0g\u00e9om\u00e9trique\u00a0\u00bb\r\n\r\n\"\bullet\" Pour \"k=0:G_{0}=\varphi ^{0}\left( G_{0}\right)\"\r\n\r\n\"\bullet\" Soit \"k\in \mathbb{N}\" tel que \"G_{k}=\varphi ^{k}\left( G_{0}\right)\"\r\n\r\nalors \"G_{k+1}=\varphi \left( G_{k}\right) =\varphi \left( \varphi\r\n\r\nDonc, pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\" : \"G_{k}=\varphi ^{k}(G_{0})\"\r\n\r\n8\/ a\/<\/strong> Pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\", \"G_{k}\left( 1\right) =\sum_{j=0}^{n} donc \"G_{k}\left( 1\right) =1\" et \"G_{k}^{\prime }(X)=\sum_{j=1}^{n}j\mathrm{P}\left( Y_{k}=j\right) donc \"G_{k}^{\prime }\left( 1\right) =\sum_{j=1}^{n}i\mathrm{P} et \"G_{k}^{\prime }\left( 1\right) =E\left(\r\n\r\nb\/<\/strong> Pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\" en reprenant la relation \"G_{k+1}=\frac{, on red\u00e9rive pour faire appara\u00eetre \"E\left( Y_{k+1}\right) :\"\r\n\r\nOn a :\r\n\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\ndonc \"\mathrm{E}\left( Y_{k+1}\right) =\left( 1-\frac{1}{n}\right)\r\n\r\nc\/<\/strong> Avec \"u_{k}=\mathrm{E}\left( Y_{k}\right)\" on a ici une suite arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique.\r\n\r\nSoit \"c\in \mathbb{R}:c=\left( 1-\frac{1}{n}\right) c+1\Longleftrightarrow\r\n\r\nSoit \"v_{k}=u_{k}-n\"\r\n\r\nOn a alors \"v_{k+1}=\left( 1-\frac{1}{n}\right) v_{k}\" g\u00e9om\u00e9trique et \"v_{k}=\left( 1-\frac{1}{n}\right) ^{k}v_{0}\" avec \"v_{0}=u_{0}-n=E\left(.\r\n\r\nOn a donc \"v_{k}=-n\left( 1-\frac{1}{n}\right) ^{k}\" et \"u_{k}=v_{k}+n\" donc \"E\left( Y_{k}\right) =-n\left( 1-\frac{1}{n}\right) ^{k}+n\" ce qui est coh\u00e9rent.\r\n\r\n9\/<\/strong> On rappelle que les polyn\u00f4mes \"P_{0},\ldots ,P_{n}\" sont d\u00e9finis \u00e0 la question 5. par :\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\na\/<\/strong> On a \"\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}P_{j}=\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j, ce qui donne les coordonn\u00e9es de \"1\" dans la base \"\left(\r\n\r\nb\/<\/strong> Pour tout \"j\" de \"\left[ \left[ 0,n\right] \right]\", en r\u00e9indexant \"i-j=k\"\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\n\r\nOn a donc \"P_{j}=\sum_{i=j}^{n}\binom{n-j}{i-j}(-1)^{i-j}X^{i}\"\r\n\r\nc\/<\/strong> Et, pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\" :\r\n\r\nLa matrice de \"\varphi\" dans la base \"\left( P_{0},\cdots est diagonale, ce qui permet de calculer ses puissances.(ou bien, les \"P_{k}\" sont des vecteurs propres de \"\varphi\")\r\n\r\nOn d\u00e9compose donc \"G_{0}=1\" sur cette base.\r\n\r\nQuestion a) : \"1=\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}P_{j}\" donc\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\nOr, \"P_{j}\" est associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\frac{j}{n}\" donc \"\varphi et\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\navec \"0\leq j\leq n\" et \"j\leq i\leq n\Longleftrightarrow 0\leq j\leq i\leq et \"0\leq j\leq i\leq n\" donc\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\nd\/<\/strong> Pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\" et pour tout \"i\" de \"\left[ \left[ 0,n :\r\n\r\n\"\varphi ^{k}\left( G_{0}\right) =G_{k}=\sum_{i=0}^{n}\mathrm{P}\left(\r\n\r\nDonc \"\mathrm{P}\left( Y_{k}=i\right)\" est la coordonn\u00e9e sur \"X^{i},\" dans la base canonique de \"G_{k}\"\r\n\r\nDonc\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\r\n\r\net il reste \u00e0 transformer en factorielle les coefficients du bin\u00f4me (valable car \"0\leq j\leq n\" et \"0\leq i-j\leq n-i\" )\r\n\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\r\navec \"\binom{n}{i}\" constant par rapport \u00e0 \"j\" donc\r\n\r\n\"\mathrm{P}([Y_{k}=i])=\binom{n}{i}\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section><\/div>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2018 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Probl\u00e8me I. Suite d’int\u00e9grales et \u00e9quivalent Partie I : \u00c9tude d’une suite d’int\u00e9grales 1\/ On a     Donc et 2\/ Soit . Puisque l’on ne doit plus avoir qu’une seule int\u00e9grale, on les regroupe (lin\u00e9arit\u00e9) :   […]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"ocean_post_layout":"full-screen","ocean_both_sidebars_style":"","ocean_both_sidebars_content_width":0,"ocean_both_sidebars_sidebars_width":0,"ocean_sidebar":"ressource","ocean_second_sidebar":"0","ocean_disable_margins":"enable","ocean_add_body_class":"","ocean_shortcode_before_top_bar":"","ocean_shortcode_after_top_bar":"","ocean_shortcode_before_header":"","ocean_shortcode_after_header":"","ocean_has_shortcode":"","ocean_shortcode_after_title":"","ocean_shortcode_before_footer_widgets":"","ocean_shortcode_after_footer_widgets":"","ocean_shortcode_before_footer_bottom":"","ocean_shortcode_after_footer_bottom":"","ocean_display_top_bar":"default","ocean_display_header":"default","ocean_header_style":"","ocean_center_header_left_menu":"0","ocean_custom_header_template":"0","ocean_custom_logo":0,"ocean_custom_retina_logo":0,"ocean_custom_logo_max_width":0,"ocean_custom_logo_tablet_max_width":0,"ocean_custom_logo_mobile_max_width":0,"ocean_custom_logo_max_height":0,"ocean_custom_logo_tablet_max_height":0,"ocean_custom_logo_mobile_max_height":0,"ocean_header_custom_menu":"0","ocean_menu_typo_font_family":"0","ocean_menu_typo_font_subset":"","ocean_menu_typo_font_size":0,"ocean_menu_typo_font_size_tablet":0,"ocean_menu_typo_font_size_mobile":0,"ocean_menu_typo_font_size_unit":"px","ocean_menu_typo_font_weight":"","ocean_menu_typo_font_weight_tablet":"","ocean_menu_typo_font_weight_mobile":"","ocean_menu_typo_transform":"","ocean_menu_typo_transform_tablet":"","ocean_menu_typo_transform_mobile":"","ocean_menu_typo_line_height":0,"ocean_menu_typo_line_height_tablet":0,"ocean_menu_typo_line_height_mobile":0,"ocean_menu_typo_line_height_unit":"","ocean_menu_typo_spacing":0,"ocean_menu_typo_spacing_tablet":0,"ocean_menu_typo_spacing_mobile":0,"ocean_menu_typo_spacing_unit":"","ocean_menu_link_color":"","ocean_menu_link_color_hover":"","ocean_menu_link_color_active":"","ocean_menu_link_background":"","ocean_menu_link_hover_background":"","ocean_menu_link_active_background":"","ocean_menu_social_links_bg":"","ocean_menu_social_hover_links_bg":"","ocean_menu_social_links_color":"","ocean_menu_social_hover_links_color":"","ocean_disable_title":"on","ocean_disable_heading":"on","ocean_post_title":"","ocean_post_subheading":"","ocean_post_title_style":"","ocean_post_title_background_color":"","ocean_post_title_background":0,"ocean_post_title_bg_image_position":"","ocean_post_title_bg_image_attachment":"","ocean_post_title_bg_image_repeat":"","ocean_post_title_bg_image_size":"","ocean_post_title_height":0,"ocean_post_title_bg_overlay":0.5,"ocean_post_title_bg_overlay_color":"","ocean_disable_breadcrumbs":"on","ocean_breadcrumbs_color":"","ocean_breadcrumbs_separator_color":"","ocean_breadcrumbs_links_color":"","ocean_breadcrumbs_links_hover_color":"","ocean_display_footer_widgets":"default","ocean_display_footer_bottom":"default","ocean_custom_footer_template":"0","footnotes":""},"class_list":["post-33690","page","type-page","status-publish","entry"],"yoast_head":"\nCorrig\u00e9 du sujet d'annale de maths EM Lyon ECS 2018<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths EM Lyon 2018 voie ECS : polyn\u00f4mes, endomorphismes, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, probabilit\u00e9s...\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths EM Lyon ECS 2018\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths EM Lyon 2018 voie ECS : polyn\u00f4mes, endomorphismes, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, probabilit\u00e9s...\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Groupe R\u00e9ussite\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-06-11T17:14:35+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/emlyon-maths-2018-1-300x156.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@GroupeReussite\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"19 minutes\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\\\/\",\"name\":\"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths EM Lyon ECS 2018\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2019\\\/08\\\/emlyon-maths-2018-1-300x156.png\",\"datePublished\":\"2019-08-12T14:31:28+00:00\",\"dateModified\":\"2022-06-11T17:14:35+00:00\",\"description\":\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths EM Lyon 2018 voie ECS : polyn\u00f4mes, endomorphismes, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, probabilit\u00e9s...\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2019\\\/08\\\/emlyon-maths-2018-1.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2019\\\/08\\\/emlyon-maths-2018-1.png\",\"width\":1277,\"height\":665,\"caption\":\"em lyon maths 2018\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Accueil\",\"item\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2018\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\",\"description\":\"Stage et Cours particuliers maths, fran\u00e7ais, anglais, informatique, physique chimie\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fr-FR\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#organization\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2026\\\/05\\\/logo-groupe-reussite-carre.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2026\\\/05\\\/logo-groupe-reussite-carre.png\",\"width\":170,\"height\":180,\"caption\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\"},\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/www.facebook.com\\\/GroupeReussiteOfficiel\\\/\",\"https:\\\/\\\/x.com\\\/GroupeReussite\",\"https:\\\/\\\/www.youtube.com\\\/c\\\/GroupeReussite\",\"https:\\\/\\\/www.instagram.com\\\/groupe_reussite_officiel\\\/\",\"https:\\\/\\\/fr.linkedin.com\\\/company\\\/groupe-reussite\",\"https:\\\/\\\/www.tiktok.com\\\/@groupereussite\",\"https:\\\/\\\/fr.pinterest.com\\\/GroupeReussite\\\/\",\"https:\\\/\\\/www.reddit.com\\\/user\\\/Groupe-Reussite\\\/\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths EM Lyon ECS 2018","description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths EM Lyon 2018 voie ECS : polyn\u00f4mes, endomorphismes, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, probabilit\u00e9s...","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/","og_locale":"fr_FR","og_type":"article","og_title":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths EM Lyon ECS 2018","og_description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths EM Lyon 2018 voie ECS : polyn\u00f4mes, endomorphismes, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, probabilit\u00e9s...","og_url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/","og_site_name":"Groupe R\u00e9ussite","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/","article_modified_time":"2022-06-11T17:14:35+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/emlyon-maths-2018-1-300x156.png","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_site":"@GroupeReussite","twitter_misc":{"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e":"19 minutes"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/","name":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths EM Lyon ECS 2018","isPartOf":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/emlyon-maths-2018-1-300x156.png","datePublished":"2019-08-12T14:31:28+00:00","dateModified":"2022-06-11T17:14:35+00:00","description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths EM Lyon 2018 voie ECS : polyn\u00f4mes, endomorphismes, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, probabilit\u00e9s...","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fr-FR","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fr-FR","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/#primaryimage","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/emlyon-maths-2018-1.png","contentUrl":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/emlyon-maths-2018-1.png","width":1277,"height":665,"caption":"em lyon maths 2018"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2018\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Accueil","item":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2018"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/","name":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances","description":"Stage et Cours particuliers maths, fran\u00e7ais, anglais, informatique, physique chimie","publisher":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fr-FR"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization","name":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fr-FR","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png","contentUrl":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png","width":170,"height":180,"caption":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances"},"image":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/","https:\/\/x.com\/GroupeReussite","https:\/\/www.youtube.com\/c\/GroupeReussite","https:\/\/www.instagram.com\/groupe_reussite_officiel\/","https:\/\/fr.linkedin.com\/company\/groupe-reussite","https:\/\/www.tiktok.com\/@groupereussite","https:\/\/fr.pinterest.com\/GroupeReussite\/","https:\/\/www.reddit.com\/user\/Groupe-Reussite\/"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/33690","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=33690"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/33690\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=33690"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}