{"id":33802,"date":"2019-08-13T14:38:33","date_gmt":"2019-08-13T13:38:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33802"},"modified":"2023-09-16T22:15:52","modified_gmt":"2023-09-16T21:15:52","slug":"cours-en-ligne-raisonnement-ensembliste-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-raisonnement-ensembliste-ecs1\/","title":{"rendered":"Raisonnement et vocabulaire ensembliste en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Raisonnement et vocabulaire ensembliste<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Raisonnement et vocabulaire ensembliste<\/h2>\r\n

1.\u00a0Quantificateurs, ensemble, logique et raisonnement<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 1 : Utilisation des quantificateurs:
<\/b><\/p>\r\n

Il y a deux quantificateurs principaux : \"\forall\" qui signifie \u00ab\u00a0pour tout\u00a0\u00bb et \"\exists\" qui signifie \u00ab\u00a0il existe\u00a0\u00bb. A premi\u00e8re vue, cela para\u00eet simple mais il est indispensable de bien les ma\u00eetriser ! Compl\u00e9ter votre ma\u00eetrise avec des cours particuliers de maths en ligne<\/a> pour les ECG1.<\/p>\r\n

Il faut faire attention \u00e0 l’ordre des quantificateurs et toujours les placer avant la proposition \u00e0 laquelle ils se rapportent.\u00a0<\/p>\r\n

Exemple<\/b> :\u00a0Dire si la phrase math\u00e9matique suivante est vraie ou fausse et justifier :\u00a0<\/p>\r\n

\"\exists x \in \mathbb{R}, \; \forall y \in \mathbb{R} , \; y \le x.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

Cette phrase est fausse ! L’ordre des quantificateurs est tr\u00e8s important. Il faut reformuler la question de la mani\u00e8re suivante : \u00ab\u00a0peut-on trouver \"x \in \mathbb {R}\", tel que tout pour \"y \in \mathbb {R}\", on ait \"y \le x\" ?\u00a0\u00bb.\u00a0<\/p>\r\n

Un tel \"x\" ne peut pas \u00eatre trouv\u00e9 ! En effet, si un tel \"x\" existait, il suffirait de prendre \"y = x + 1\" pour avoir \"y > x.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 2 : Donner la n\u00e9gation d’une assertion\u00a0:\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Le point de base est de conna\u00eetre la n\u00e9gation des quantificateurs.\u00a0
On rappelle que la n\u00e9gation d’un \u00ab\u00a0il existe\u00a0\u00bb est \u00ab\u00a0quel que soit\u00a0\u00bb et que la n\u00e9gation d’un \u00ab\u00a0quel que soit\u00a0\u00bb est \u00ab\u00a0il existe\u00a0\u00bb.<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Soit l’assertion suivante :
\"\exists M \in \mathbb{R} , \, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \le M.\"<\/p>\r\n

Quelle est sa n\u00e9gation ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On applique les r\u00e8gles \u00e9nonc\u00e9es ci-dessus. On a :<\/p>\r\n

\"\forall M \in \mathbb{R}, \, \exists n \in \mathbb{N}, \, u_n > M,\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 3 : Implication, condition n\u00e9cessaire, condition suffisante, CNS :\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Soient \"P\" et \"Q\" deux assertions.<\/p>\r\n

On appelle l’implication \"P \Rightarrow Q\" l’assertion \"\text{non} \left( P \right) \, \text{ou } \, Q.\" Le seul cas o\u00f9 l’implication \"P \Rightarrow Q\" est fausse est le cas o\u00f9 \"P\" est vraie et \"Q\" est fausse.<\/p>\r\n

Dans le cas o\u00f9 \"P \Rightarrow Q\" est vraie, on dit que \"P\" est une condition suffisante \u00e0 \"Q\" ou bien que \"Q\" est une condition n\u00e9cessaire \u00e0 \"P.\"<\/p>\r\n

On notera que la n\u00e9gation de \"P \Rightarrow Q\" est l’assertion \"P \, \text{et} \, \text{non} \left( Q \right).\"<\/p>\r\n

On dit que l’assertion \"P \Leftrightarrow Q\" est vraie lorsque \"P \Rightarrow Q\" et \"Q \Rightarrow P\" le sont, c’est-\u00e0-dire lorsque \"P\" et \"Q\" sont vraies (respectivement fausses) simultan\u00e9ment.<\/p>\r\n

En pratique :<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour montrer \"P \Rightarrow Q,\" on montre que si \"P\" est vraie, alors \"Q\" est vraie aussi.
\"\bullet\" Pour montrer \"P \Rightarrow Q,\" il est \u00e9quivalent de montrer que \"\text{non} \left( Q \right) \Rightarrow \text{non} \left( P \right)\" (raisonnement par contrapos\u00e9e).
\"\bullet\" Pour montrer \"P \Leftrightarrow Q,\" on montre \"P \Rightarrow Q\" et \"Q \Rightarrow P.\" On fera bien attention \u00e0 bien s\u00e9parer les deux \u00e9tapes.
\"\bullet\" Pour montrer l’\u00e9quivalence entre \"3\" assertions \"P, Q\" et \"R,\" il suffit de montrer que \"P \Rightarrow Q, Q \Rightarrow R\" et \"R \Rightarrow P.\"
\"\bullet\" Pour faire un raisonnement par l’absurde pour d\u00e9montrer que l’assertion \"P\" est vraie, on suppose l’assertion \"\text{non} \left( P \right)\" vraie et en poursuivant le raisonnement, on arrive \u00e0 \"\text{non} \left( P \right)\" est fausse. On dit que l’on a obtenu une contradiction, donc on conclut que \"P\" est vraie.<\/p>\r\n

Voici une liste (non exhaustive) o\u00f9 l’on pourra faire des raisonnements par \u00e9quivalence :
\"\bullet\" lorsque l’on r\u00e9sout une \u00e9quation ou un syst\u00e8me d’\u00e9quations,
\"\bullet\" lorsque l’on cherche l’ensemble de d\u00e9finition d’une fonction<\/a>.<\/p>\r\n

Exemple :<\/b> Dire si l’assertion suivante est vraie ou fausse. Donner sa n\u00e9gation.
\"\exists M \in \mathbb{R}, \; \forall x \in \mathbb{R}, \; x \le M.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

Cette assertion est fausse. En effet, si l’on prend \"x = M + 1,\" on a \"x >M.\" L’ordre des quantificateurs est important : ici \"\exists M\" est plac\u00e9 avant \"\forall x\"… La n\u00e9gation de cette assertion est :\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall M \in \mathbb{R}, \; \exists x \in \mathbb{R}, \; x > M.\]\"<\/p><\/p>\r\n

 <\/p>\r\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\r\n

2. Applications<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 4 : Ne pas se tromper lorsque l’on compose deux applications :\u00a0
<\/b><\/p>\r\n

La composition est une nouvelle op\u00e9ration sur les applications. Soient trois ensembles non vides \"E, F\" et \"G\" et soient deux applications \"f: F \to G\" et \"g : E \to F.\" On d\u00e9finit l’application \"f \circ g: E \to G\" par :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x \in E, \; f \circ g \left( x \right) = f \left( g \left( x \right) \right) .\]\"<\/p><\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Soient \"f : \mathbb {R} \to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"f \left(x \right) = e^{x + 1}\" et \"g : \mathbb R_+^* \to \mathbb R\" d\u00e9finie par \"g \left( x \right) = \ln \left( x \right).\"<\/p>\r\n

D\u00e9terminer l’ensemble de d\u00e9finition de \"f \circ g\" et la calculer si cela est possible.<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

\"\mathbb R\" et pour tout \"x \in \mathbb R,\" \"\left( f \circ g \right) \left( x \right) = x - 1.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 5 : Bijectivit\u00e9 :\u00a0<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour montrer qu’une application est bijective, on montre qu’elle est injective et surjective. Les m\u00e9thodes ci-dessus s’appliquent donc.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que \"f\" est une bijection de \"E\" sur \"F,\" on peut aussi d\u00e9montrer que, pour tout \"y \in F,\" il existe un unique \"x \in E\" tel que \"y = f \left( x \right).\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Dans le cas d’une fonction d\u00e9finie sur un intervalle \"I\" de \"\mathbb R,\" il suffit d’appliquer le th\u00e9or\u00e8me de la bijection : on prouve que \"f\" est strictement monotone, continue sur l’intervalle \"I.\" Alors \"f\" est une bijection de \"I\" sur \"f \left( I \right).\"<\/p>\r\n

A ce titre, rappelons que :<\/p>\r\n

\"\star\" si \"I = \left[ a , b \right]\" et si \"f\" est croissante sur \"I,\" \"f \left( I \right) = \left[ f \left( a \right) , f \left( b \right) \right]\"\u00a0 et si \"f\" est d\u00e9croissante sur \"I,\" \"f \left( I \right) = \left[ f \left( b \right) , f \left( a \right) \right].\"<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>: Soit \"f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2\" d\u00e9finie par \"f \left( x, y \right) = \left( x + y , x - y \right).\"<\/p>\r\n

\"f\" est-elle bijective ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On montre que \"f\" est injective puis surjective.\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\" Injectivit\u00e9:\u00a0
On se donne deux couples de r\u00e9els \"\left( x , y \right)\" et \"\left( x' , y' \right)\" tels que \"f \left( x , y \right) = f \left( x' , y' \right).\" On montre que \"x=x'\" et \"y=y'.\"\u00a0
Comme \"f \left( x , y \right) = f \left( x' , y' \right),\" on r\u00e9cup\u00e8re le syst\u00e8me d’\u00e9quations suivant :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + y =x' + y' \\ x-y = x' - y' \end{cases}.\]\"<\/p>
La somme de ces deux lignes donne \"2 x= 2 x'\" puis \"x=x'.\" Ensuite, on d\u00e9duit \"y=y'.\" \"f\" est bien injective.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Surjectivit\u00e9:<\/p>\r\n

On se donne \"\left( a , b \right) \in \mathbb {R}^2,\" on cherche \"\left( x , y \right) \in \mathbb {R}^2\" tel que \"\left( a, b \right) = f \left( x , y \right).\" On a donc le syst\u00e8me suivant :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + y =a \\ x-y = b \end{cases}.\]\"<\/p>\u00a0<\/p>\r\n

\r\n
En sommant ces deux lignes, on a \"2 x=a + b\" puis \"x = \frac{a + b}{2}.\" Ensuite \"y = \frac{a - b}{2}.\" Etant donn\u00e9 que l’on a raisonn\u00e9 par condition n\u00e9cessaire (on n’a pas fait de raisonnement par \u00e9quivalence), il faut v\u00e9rifier que \"f \left( x, y \right) = \left( a , b \right).\"\u00a0
La v\u00e9rification est facile, \"f\" est bien surjective.\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
On a montr\u00e9 que \"f\" est injective et surjective, elle est donc bijective.<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n
\r\n
\r\n

3. R\u00e9currence<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 6 : R\u00e9currence simple :\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Une r\u00e9currence s’articule autour de quatre \u00e9tapes principales :
\"\bullet\" On \u00e9nonce\u00a0proprement<\/b>\u00a0la proposition que l’on veut montrer.
\"\bullet\" On initialise en montrant que \"\mathcal P_{n_0}\" est vraie, en g\u00e9n\u00e9ral on montre que la proposition est vraie lorsque \"n\" est \u00e9gal \u00e0 \"0\" ou \"1.\"
\"\bullet\" En supposant la propri\u00e9t\u00e9 vraie au rang \"n,\" il faut montrer que la propri\u00e9t\u00e9 est vraie au rang \"n + 1.\" C’est l’h\u00e9r\u00e9dit\u00e9.
\"\bullet\" La conclusion.<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>: Montrer que pour tout \"n \in \mathbb N,\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n \left( n+ 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

R\u00e9ponse <\/b>: On pr\u00e9sente la r\u00e9currence comme suit :
\"\bullet\" On introduit la proposition pour \"n \in \mathbb N,\" \"\mathcal P_n : "\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n \left( n+ 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6} ".\"
\"\bullet\" \"\mathcal P_0\" est manifestement vraie, car \"0=0.\"
\"\bullet\" On suppose que \"\mathcal P_n\" est vraie pour un certain entier \"n\" fix\\’e. Montrons que \"\mathcal P_{n +1}\" est vraie, c’est-\u00e0-dire, montrons que\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=0}^{n + 1} k^2 = \frac{ \left( n + 1 \right) \left( n+ 2 \right) \left( 2 n + 3 \right)}{6}.\]\"<\/p>
On a donc\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\sum_{k=0}^{n + 1} k^2 &=& \sum_{k=0}^{n} k^2 + \left( n + 1 \right) ^2 \\&=& \frac{n \left( n+ 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6} +\left( n + 1 \right) ^2 (HR)\\&=& \frac{n \left( n+ 1 \right) \left( 2 n + 1 \right) + 6 \left( n + 1 \right)^2}{6} \\&=& \frac{\left( n + 1 \right) \left( n \left( 2 n + 1 \right) + 6 \left( n + 1 \right) \right)}{6} \\&=& \frac{\left( n + 1 \right) \left( 2n^2 + 7n + 6 \right)}{6} \\&=& \frac{\left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) \left( 2 n + 3 \right)}{6}.\end{eqnarray*}\"<\/p>
\"\bullet\" Par le principe de raisonnement par r\u00e9currence, la proposition \"\mathcal P_n\" est vraie pour tout entier naturel \"n.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 7 : R\u00e9currence forte :\u00a0
<\/b><\/p>\r\n

La r\u00e9currence forte sert lorsque l’on a besoin de \"\mathcal P_{n_0}, \mathcal P_{n_0 +1}, \cdots , \mathcal P_n\" pour montrer \"\mathcal P_{n + 1}.\"
\"\bullet\" On \u00e9nonce la proposition que l’on veut montrer.
\"\bullet\" On initialise en montrant que \"\mathcal P_{n_0}\" est vraie. En g\u00e9n\u00e9ral, on montre que \"\mathcal P_0\" est vraie.
\"\bullet\" En supposant \"\mathcal P_{n_0}, \mathcal P_{n_0 + 1} , \cdots , \mathcal P_n\" vraies, on montre que \"\mathcal P_{n+ 1}\" est vraie.
\"\bullet\" La conclusion.<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\r\n

Soit la suite<\/a> \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb N^*}\" d\u00e9finie par \"u_1=2\" et pour tout \"n \in \mathbb N^*,\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_{n + 1} = \frac{2}{n} \sum_{k=1}^n u_k .\]\"<\/p><\/p>\r\n

Montrer que pour tout \"n \in \mathbb N,\" \"u_n = 2n.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0 On proc\u00e8de par r\u00e9currence forte.
\"\bullet\" Pour tout \"n \in \mathbb {N}^*,\" on pose \"\mathcal P_n\" : \u00ab\u00a0\"u_n = 2n\"\u00ab\u00a0.
\"\bullet\" \"u_1 = 2 = 2 \times 1\" donc \"\mathcal P_1\" est vraie.
\"\bullet\" On suppose \"\mathcal P_1, \mathcal P_2, \cdots , \mathcal P_n\" vraies et montrons que \"\mathcal P_{n + 1}\" est vraie. On a

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}u_{n + 1} &=& \frac{2}{n} \sum_{k=1}^n u_k \\&=& \frac{2}{n} \sum_{k=1}^n 2 k \qquad \text{(HR)} \\&=& \frac{4}{n} \times \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} \\&=& 2 \left( n + 1 \right).\end{eqnarray*}\"<\/p>
\"\bullet\" Par le principe de raisonnement par r\u00e9currence, la proposition \"\mathcal P_n\" est vraie pour tout entier naturel \"n.\"<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\r\n

4. Calcul de sommes et produits<\/h3>\r\n<\/div>\r\n

M\u00e9thode 8 : Les sommes classiques :\u00a0
<\/b><\/p>\r\n

Nous les rappelons ci-dessous (les lettres \"a\" et \"b\" d\u00e9signent des r\u00e9els et \"x \in \mathbb R\") :
1) \"\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n - k} = \left( a + b \right)^n,\" c’est la formule du bin\u00f4me de Newton,
2) \"\sum_{k=0}^n k = \frac{n \left( n + 1 \right)}{2}\"
3) \"\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n \left( n+ 1 \right) \left( 2 n +1 \right)}{6}\",
4) \"\sum_{k=0}^n x^k= \begin{cases} \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} & \text{si } x \neq 1 \\ n + 1 & \text{si } x= 1 \end{cases},\" formule de la somme des termes d’une suite g\u00e9om\u00e9trique. Cette formule est encore valable pour \"x \in \mathbb C.\"
5) \"\sum_{k=1}^n k x^{k - 1} = \begin{cases} \frac{1- \left( n + 1 \right) x^n + n x^{n + 1}}{\left( 1 - x \right)^2} & \text{si} \; x \neq 1 \\ \frac{n \left(n + 1 \right)}{2} & \text{si} \; x = 1 \end{cases}\", formule obtenue en d\u00e9rivant celle de la somme des termes d’une suite g\u00e9om\u00e9trique (\u00e0 ne pas retenir par coeur !) Cette formule est encore valable pour \"x \in \mathbb C.\"<\/p>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
Exemple<\/strong> :<\/span><\/span>\r\n

 <\/p>\r\n

Soit \"n \in \mathbb N^*,\"<\/p>\r\n

Que vaut \"\sum_{k=1}^n \binom{n}{k - 1} 2^k\" ?<\/p>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

Cela ressemble \u00e0 un bin\u00f4me de Newton ! La pr\u00e9sence du \"k- 1\" dans le coefficient binomial nous invite \u00e0 faire le changement d’indice \"i= k- 1.\" Ainsi<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[S_2 = \sum_{i=0}^{n - 1} \binom{n }{i} 2^{i + 1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour appliquer la formule du bin\u00f4me, il faut que la somme se termine \u00e0 \"n\" et que le \"2\" soit seulement \u00e0 la puissance \"i,\" d’o\u00f9 en faisant ces petits changements :<\/p>\r\n

\"S_2 = 2 \sum_{i=0}^{n - 1} \binom{n }{i} 2^{i }\"
= \"2 \left( \sum_{i=0}^{n } \binom{n }{i} 2^{i } - \binom{n }{n} 2^{n } \right)\"<\/p>\r\n

= \"2 \left( \left( 2 + 1 \right)^n - 2^n \right)\"<\/p>\r\n

\r\n
= \"2 \left( 3^n - 2^n \right).\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
M\u00e9thode 9 : Les sommes t\u00e9lescopiques :\u00a0<\/b><\/div>\r\n<\/div>\r\n

Cette m\u00e9thode permet de simplifier facilement les sommes qui peuvent se mettre sous la forme \"\sum_{k=p}^n \left( a_{k + 1} - a_k \right).\" En effet, on a\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=p}^n \left( a_{k + 1} - a_k \right) = a_{n + 1} - a_p.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>: Soit \"n \in \mathbb N^*,\"<\/p>\r\n

Que vaut \"\sum_{k=1}^n \left( \sqrt{k +1} -\sqrt{k} \right)\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"\sqrt{n + 1} - 1\"<\/p>\r\n

\u00a0<\/p>\r\n

M\u00e9thode 10 : Les sommes doubles :
<\/b><\/p>\r\n

Pour calculer des sommes doubles \"\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^p a_{ij},\" l’id\u00e9e est de calculer en fixant \"i\" la quantit\u00e9 \"\sum_{j=1}^n a_{ij},\" puis de sommer les r\u00e9sultats ainsi obtenus.<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:\u00a0<\/p>\r\n

Soit \"n \in \mathbb N^*,\"<\/p>\r\n

Que vaut \"\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \min \left( i , j \right)\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"\dfrac{n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6}\"<\/p>\r\n

\r\n

\u00a0<\/p>\r\n

Pour garder un bon niveau de math\u00e9matiques en ECG1, il est essentiel d’effectuer des r\u00e9visions r\u00e9guli\u00e8res, aidez-vous alors des cours en ligne suivants :\u00a0<\/p>\r\n