{"id":33843,"date":"2019-08-13T14:39:02","date_gmt":"2019-08-13T13:39:02","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33843"},"modified":"2022-07-20T11:04:58","modified_gmt":"2022-07-20T10:04:58","slug":"cours-en-ligne-corriges-raisonnement-ensembliste-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-raisonnement-ensembliste-ecs1\/","title":{"rendered":"Raisonnement et vocabulaire ensembliste en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Raisonnement et vocabulaire ensembliste en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Raisonnement et vocabulaire ensembliste<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> On proc\u00e8de par double inclusion.<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"y \in f^{- 1} \left( A \cap B \right).\"<\/p>\n

Dire que \"y \in f^{- 1} \left( A \cap B \right),\" cela signifie que \"f \left( y \right) \in A \cap B.\" En particulier, \"f \left( y \right) \in A\" et \"y \in f^{-1} \left( A \right).\" De la m\u00eame fa\\c{c}on, \"y \in f^{-1} \left( B \right)\" donc on a justifi\u00e9 que \"y \in f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right).\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"f^{-1} \left( A \cap B \right) \subset f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right).\"<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"z \in f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right).\" Comme \"z \in f^{-1} \left( A \right),\" cela signifie que \"f \left( z \right) \in A.\" De la m\u00eame fa\\c{c}on, \"f \left( z \right) \in B.\" Donc \"f \left( z \right) \in A \cap B\" soit \"z \in f^{- 1} \left( A \cap B \right).\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right) \subset f^{-1} \left( A \cap B \right).\"<\/p>\n

2)<\/strong> On proc\u00e8de par double inclusion.<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"y \in f \left( A \cap B \right).\" Ainsi, il existe \"x \in A \cap B\" tel que \"y = f \left( x \right).\" Comme \"x \in A,\" \"y = f \left( x \right) \in f \left( A \right).\" De la m\u00eame fa\\c{c}on, \"y \in f \left( B \right)\" puis \"y \in f \left( A \right) \cap f \left( B \right).\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que l’inclusion \"f \left( A \cap B \right) \subset f \left( A \right) \cap f \left( B \right)\" est toujours vraie, m\u00eame si l’on ne suppose pas \"f\" injective.<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"z \in f \left( A \right) \cap f \left( B \right).\" Il existe donc \"x_1 \in A\" (respectivement \"x_2 \in B\") tel que \"y = f \left( x_1 \right)\" (respectivement \"y = f \left( x_2 \right)\"). Ainsi \"y= f \left( x_1 \right) = f \left( x_2 \right).\"<\/p>\n

Par injectivit\u00e9 de \"f,\" on a \"x_1 = x_2 \in A \cap B.\" D’o\u00f9 \"y \in f \left( A \cap B \right).\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 l’inclusion \"f \left( A \cap B \right) \subset f \left( A \right) \cap f \left( B \right)\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Comme \"f \left( E \right) \subset E,\" \"f \left( E \right)\" est un ensemble fini et<\/p>\n

\"\mathrm{card} \left( f \left( E \right) \right) \le \mathrm{card} \left( E \right)\" soit \"m \le n.\"<\/p>\n

2)<\/strong> Soit, pour \"n\in \mathbb{N}^*,\" la proposition \"\mathcal P_n\" : \u00a0\u00bb si \"F\" est un ensemble fini de cardinal \"n\" et \"g\" une application injective de \"F\" dans \"G,\" \"\mathrm{card} \left( F \right) = \mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right)\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n=1,\" \"F = \left\{ a \right\}\" et \"g \left( F \right) = \left\{ g \left( a \right) \right\},\" donc \"\mathrm{card} \left( F \right) = \mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right)= 1\" et \"\mathcal P_1\" est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"\mathcal P_n\" est vraie pour un entier \"n \in \mathbb{N}^*\" donn\u00e9.<\/p>\n

Soit \"F\" un ensemble de cardinal \"n + 1\" et \"a \in F.\"<\/p>\n

On note \"F' = F \backslash \left\{ a \right\},\" alors \"\mathrm{card} \left( F' \right) = n.\"<\/p>\n

Comme \"F = F' \cup \left\{ a \right\},\" \"g \left( F \right) = g \left( F' \right) \cup \left\{ g \left( a \right) \right\}.\"<\/p>\n

Si l’on avait \"g \left( a \right) \in g \left( F ' \right),\" il existerait \"x \in F'\" tel que \"g \left( a \right) = g \left( x \right)\" ; comme \"g\" est injective, on aurait \"x = a,\" donc \"a \in F',\" ce qui est impossible.<\/p>\n

Les ensembles \"g \left( F' \right)\" et \"\left\{ g \left( a \right) \right\}\" sont finis et disjoints, donc<\/p>\n

\"\mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right)\" \"= \mathrm{card} \left( g \left( F' \right) \right) + \mathrm{card} \left( \left\{ g \left( a \right) \right\} \right)\" \"= \mathrm{card} \left( g \left( F' \right) \right) + 1.\"
\nEn utilisant l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence et le fait que la restriction de \"g\" \u00e0 \"F'\" est injective, il vient que \"\mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right) = n + 1.\"<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est vraie au rang \"n + 1,\" ce qui termine la r\u00e9currence.<\/p>\n

3)<\/strong> En appliquant le r\u00e9sultat de la question pr\u00e9c\u00e9dente \u00e0 \"E\" ensemble fini et \u00e0 l’injection \"f,\" on en d\u00e9duit<\/p>\n

\"\mathrm{card} \left( f \left( E \right) \right) = \mathrm{card} \left( E \right)\" soit \"m=n.\"<\/p>\n

4)<\/strong> Comme \"f \left( E \right)\" est une partie de \"E\" de m\u00eame cardinal que \"E,\" \"f \left( E \right) = E.\"<\/p>\n

On a \u00e9tabli que \"f\" est surjective.<\/p>\n

On a d\u00e9montr\u00e9 dans cet exercice que toute application injective d’un ensemble fini dans lui-m\u00eame est une bijection.<\/p>\n

Exercice 3 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

Supposons \"f\" surjective et montrons que \"f\" est injective.<\/p>\n

Soient \"x_1, x_2 \in E\" tels que \"f \left( x _1 \right) = f \left( x _2 \right),\" montrons que \"x_1 =x_2.\"<\/p>\n

\"f\" \u00e9tant surjective, il existe \"u_1 \in E\" (respectivement \"u_2 \in E\") tel que \"x_1 = f \left( u_1 \right)\" (respectivement \"x_2 = f \left( u_2 \right)\").<\/p>\n

La relation \"f \circ f \circ f = f\" \u00e9valu\u00e9e en \"u_1\" donne \"f \circ f \circ f \left( u_1 \right) = f \left( u_1 \right)\" soit \"f \circ f \left( x_1 \right) = x_1.\" La m\u00eame relation \u00e9valu\u00e9e en \"u_2\" donne \"f \circ f \left( x_2 \right) = x_2.\" Comme \"f \left( x_1 \right) = f\left( x_2 \right),\" on a \"f \circ f \left( x_1 \right) = f \circ f \left( x_2 \right)\" soit \"x_1 = x_2.\"<\/p>\n

R\u00e9ciproquement, supposons \"f\" injective et montrons que \"f\" est surjective. Soit \"y \in E,\" cherchons \"x \in E\" tel que \"y = f \left( x \right).\" La relation \"f \circ f \circ f = f\" \u00e9valu\u00e9e en \"y\" donne \"f \circ f \circ f \left( y \right) = f \left( y \right)\" soit \"f \left( f \left( f \left( y \right) \right) \right) = f \left( y \right).\" Par injectivit\u00e9 de \"f,\" on r\u00e9cup\u00e8re \"f \left( f \left( y \right) \right) = y.\" Ainsi \"f\" est surjective.<\/p>\n

\n

Exercice 4 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> C’est vrai !<\/p>\n

Si l’on pose \"A\" : \u00ab\u00a0No\u00ebl est un \"26\" d\u00e9cembre\u00a0\u00bb et \"B\" : \u00ab\u00a0\"1 + 1 = 3\", \u00a0\u00bb il est clair que \"A\" est fausse ainsi l’assertion \"A \Rightarrow B\" est vraie.<\/p>\n

2)<\/strong> C’est faux !<\/p>\n

Soit \"f\" la fonction<\/a> d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" par<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( x \right) = \begin{cases} x & \text{si} \; x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0 , 1 \right\} \\ 1 & \text{si} \; x= 0 \\ 0 & \text{si} \; x= 1 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"f\" est bijective (v\u00e9rifie-le !) et \"f\" n’est strictement pas monotone car \"f \left( 2 \right) \ge f \left( 0 \right)\" (donc \"f\" n’est pas strictement d\u00e9croissante) et \"f \left( 0 \right) \ge f \left( 1 \right)\" (\"f\" n’est pas strictement croissante).<\/p>\n

3)<\/strong> C’est faux !<\/p>\n

\"f\" n’est pas injective car \"f \left( 1 , 1 \right) = f \left( 1 , 2 \right)\" et pourtant \"\left( 1 , 1 \right) \neq \left( 1 , 2 \right).\"<\/p>\n

4)<\/strong> C’est vrai !<\/p>\n

Pour s’en convaincre, il suffit de prendre la n\u00e9gation de chaque quantificateur. On rappelle que la n\u00e9gation de \"A \Rightarrow B\" est \"A\" et non \"\left( B \right).\"<\/p>\n

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Exercice 5 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Soient \"x\" et \"y\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"E\" tels que \"f \left( x\right) = f \left( y \right).\" Montrons que \"x = y.\"<\/p>\n

En composant par \"g,\" il vient que \"g \left( f \left( x \right) \right) = g \left( f \left( y \right) \right)\" soit \"g \circ f \left( x \right) = g \circ f \left( y \right).\"<\/p>\n

Par injectivit\u00e9 de \"g \circ f,\" on a \"x = y .\"<\/p>\n

2)<\/strong> Soit \"y \in G,\" trouvons \"x \in F\" tel que \"y = g \left( x \right).\"<\/p>\n

Par surjectivit\u00e9 de \"g \circ f,\" il existe \"u \in E\" tel que \"y = g \circ f \left( u \right)\" soit \"y = g \left( f \left( u \right) \right).\" En posant \"x = f \left( u \right) \in F,\" on a bien \"y = g \left( x \right).\"<\/p>\n

3)<\/strong> On utilise les deux questions pr\u00e9c\u00e9dentes.<\/p>\n

L’injectivit\u00e9 de \"f \circ g \circ f = \left( f \circ g \right) \circ f\" assure l’injectivit\u00e9 de \"f.\"<\/p>\n

La surjectivit\u00e9 de \"f \circ g \circ f = f \circ \left( g \circ f \right)\" assure que \"f\" est surjective.<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"f\" est bijective et donc \"f^{-1}\" existe.<\/p>\n

La compos\u00e9e de bijections \u00e9tant une bijection, on r\u00e9cup\u00e8re que<\/p>\n

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  <\/span>   <\/span>\"\[g = f^{-1} \circ f \circ g \circ f \circ f^{-1}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

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est bijective.<\/div>\n<\/div>\n
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