{"id":33864,"date":"2019-08-13T14:36:09","date_gmt":"2019-08-13T13:36:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33864"},"modified":"2023-09-16T22:07:21","modified_gmt":"2023-09-16T21:07:21","slug":"cours-en-ligne-nombres-complexes-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-nombres-complexes-ecs1\/","title":{"rendered":"Nombres complexes en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Nombres complexes en ECG1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – sommes trigonom\u00e9triques, lin\u00e9arisation<\/h2>\r\n

M\u00e9thode 1 : Passer de la forme alg\u00e9brique \u00e0 la forme exponentielle et r\u00e9ciproquement.
<\/b><\/p>\r\n

Pour passer de la forme alg\u00e9brique \"a + i b\" (suppos\u00e9 non nul avec \"a, b \in \mathbb R\") \u00e0 la forme exponentielle (\"\rho e^{i \theta}\"), il faut commencer par factoriser par le module du nombre complexe et essayer de reconna\u00eetre un argument. On commencera donc par calculer \"\rho = \sqrt{a^2 + b^2}\" et on trouvera un r\u00e9el \"\theta\" tel que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\cos \left( \theta \right) = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \; \text{et} \; \sin \left( \theta \right) = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.\]\"<\/p>
Le passage de la forme exponentielle \u00e0 la forme alg\u00e9brique est plus simple, il suffit de calculer l’exponentielle.<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Soit \"\theta \in \left] 0 , \pi \right[.\"\u00a0<\/p>\r\n

Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : \"1 + e^{i \theta}\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

En factorisant par \"e^{i \theta / 2},\" on a\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[1 + e^{i \theta} = e^{i \theta / 2} \left(e^{ - i \theta / 2} + e^{i \theta / 2} \right)= 2 \cos \left( \dfrac{\theta}{2} \right) e^{i \theta / 2}.\]\"<\/p>
Ici, on pourrait penser que l’on a fini, il faut quand m\u00eame v\u00e9rifier que \"2 \cos \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\" est bien le module de \"1 + e^{i \theta},\" c’est-\u00e0-dire il faut v\u00e9rifier que ce nombre est strictement positif.<\/p>\r\n

Comme \"\theta \in \left] 0 , \pi \right[,\" on a bien \"\cos \left( \dfrac{\theta}{2} \right) > 0.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 2 : Utiliser l’\u00e9criture exponentielle d’un nombre complexe.<\/b><\/p>\r\n

On utilisera cette m\u00e9thode pour calculer les puissances d’un nombre complexe.<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Calculer \"\left( 1 + i \right)^{2017}.\"\u00a0<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On pourrait utiliser la formule du bin\u00f4me de Newton mais apr\u00e8s on serait bloqu\u00e9…\u00a0<\/p>\r\n

On \u00e9crit \"1 + i\" sous forme exponentielle, ainsi \"1 + i= \sqrt{2} e^{i \pi / 4},\" puis \"\left( 1 + i \right)^{2017}= \sqrt{2}^{2017} e^{ 2017i \pi / 4}\". Comme \"2017 = 4 \times 504 + 1,\" on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( 1 + i \right)^{2017} = \sqrt{2}^{2017} e^{i \pi / 4}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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M\u00e9thode 3 : Calculer des sommes trigonom\u00e9triques.<\/b><\/p>\r\n

Si l’on doit calculer des sommes faisant appara\u00eetre des \"\sin\" et\/ou des \"\cos,\" il faut penser \u00e0 utiliser les formules d’Euler :
\"\cos \left( x \right) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\" et \"\sin \left( x \right) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.\"
Ou bien de mani\u00e8re \u00e9quivalente, on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\cos \left( x \right) = \Re \left( e^{ix} \right) \text{et} \sin \left( x \right) = \Im \left( e^{ix} \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Exemple :<\/b> Soient \"x \in \mathbb{R} \backslash 2 \pi \mathbb{Z}\" et \"n \in \mathbb{N}\",<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

Pour cela, \u00e9crivons
\"S_n \left( x \right)\"<\/p>\r\n

= \"\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos \left( k x \right)\"\u00a0<\/p>\r\n

= \"\displaystyle\sum_{k=0}^n \Re \left( e^{i k x} \right)\"\u00a0<\/p>\r\n

= \"\Re \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n e^{ikx} \right).\"<\/p>\r\n

Cette derni\u00e8re somme est la somme des termes d’une suite g\u00e9om\u00e9trique<\/a> de raison \"e^{ix} \neq 1\", ainsi
\"S_n \left( x \right)\"\u00a0<\/p>\r\n

= \"\Re \left( \dfrac{ 1- e^{i \left( n + 1 \right) x} }{1 - e^{ix} } \right)\"<\/p>\r\n

=\"\Re \left( e^{i n x / 2} \dfrac{e^{- i \left( n +1 \right) x / 2} - e^{i \left( n + 1 \right) x / 2} }{e^{- i x /2} - e^{i x /2}} \right).\"<\/p>\r\n

En appliquant les formules d’Euler, on a finalement :<\/p>\r\n

\"S_n \left( x \right)\"\u00a0<\/p>\r\n

= \"\dfrac{\sin \left( \dfrac{n + 1}{2} x \right) }{\sin \left( \dfrac{x}{2} \right) } \Re \left( e^{i n x / 2} \right)\"<\/p>\r\n

= \"\cos \left( \dfrac{n}{2} x \right) \dfrac{\sin \left( \dfrac{n + 1}{2} x \right) }{\sin \left( \dfrac{x}{2} \right) }.\"<\/p>\r\n

N’h\u00e9sitez pas \u00e0 suivre des cours de maths particuliers<\/a> pour vous perfectionner en maths en ECG1.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 : Lin\u00e9ariser des \"\cos\" et \"\sin\".<\/b><\/p>\r\n

On utilise les formules d’Euler rappel\u00e9es ci-dessus pour pouvoir obtenir une expression lin\u00e9aris\u00e9e (c’est-\u00e0-dire qu’il n’y a plus de puissances mais seulement des termes de la forme \"\cos \left( k x \right)\" et\/ou \"\sin \left( kx \right)\") de \"\cos^n \left( x \right)\" et\/ou \"\sin^n \left( x \right)\".\u00a0<\/p>\r\n

Il faudra se souvenir de cette m\u00e9thode, notamment pour le calcul de primitives d’expressions polynomiales<\/a> en \"\sin \left( x \right)\" et\/ou \"\cos \left( x \right).\"<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Que vaut \"\cos^3 \left( x \right)\" apr\u00e8s lin\u00e9arisation ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On utilise la formule d’Euler puis le bin\u00f4me de Newton et on \u00e9crit<\/p>\r\n

\"\cos^3 \left( x \right)\"<\/p>\r\n

=\"\left( \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \right)^3\"\u00a0
=\"\dfrac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix} }{8}\"
=\"\dfrac14 \cos \left( 3x \right) + \dfrac34 \cos \left( 2 x \right).\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 5 : Utiliser les racines \"n\"-i\u00e8mes de l’unit\u00e9.
<\/b><\/p>\r\n

Dans \"\mathbb{C},\" l’\u00e9quation \"z^n = 1\" admet exactement \"n\" solutions : les racines \"n\"-i\u00e8mes de l’unit\u00e9\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\{ e^{2 i k \pi / n} , k \in [\![ 0 , n- 1 ]\!] \right\} = \left\{ e^{2 i k \pi / n} , k \in [\![ 1 , n ]\!] \right\}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Int\u00e9ressons-nous \u00e0 la r\u00e9solution dans \"\mathbb{C}\" de l’\u00e9quation \"z^n = a\" avec \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"a \in \mathbb{C}^*.\"
Si l’on \u00e9crit \"a = r e^{i \theta}\" (forme exponentielle), alors il suffit de trouver une solution particuli\u00e8re de l’\u00e9quation \"z^n = a.\" Par exemple, \"z_0 = r^{\frac1n} e^{i \frac{\theta}{n}}\" convient.<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Quel est l’ensemble<\/a> des solutions de l’\u00e9quation :<\/p>\r\n

\"z^7 = 1 + i \sqrt{3}.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

\"\left\{^{1 / 7} e^{i \dfrac{\pi}{2 21}} \times e^{2i k \pi / 7 }, \, k \in [\![ 0 , 6 ]\!] \right\}\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 6 : Calculer les racines carr\u00e9es d’un nombre complexe en l’absence d’une forme exponentielle simple.<\/b><\/p>\r\n

Rappelons que la notation \"\sqrt{z}\" n’a pas de sens ! D’ailleurs, un nombre complexe non nul admet deux racines carr\u00e9es (c’est-\u00e0-dire qu’il existe deux nombres \"z_1 \neq z_2\" tels que \"z_1^2 = z_2^2 =z\" ).<\/p>\r\n

On r\u00e9sout l’\u00e9quation \"\left( a +i b \right)^2 = x + i y\" en \u00e9galant les parties r\u00e9elles et imaginaires et en \u00e9crivant l’\u00e9galit\u00e9 des modules: \"\left| \left( a + i b \right) \right|^2 = \left| x + i y \right|\" soit \"a^2 + b^2 = \sqrt{x^2 + y^2}.\"<\/div>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\r\n

Quelles sont les racines carr\u00e9es de \"3 + 2i\" ?<\/p>\r\n

(i) \"\{ \sqrt{\frac{3 + \sqrt{13} }{2}} - i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}\" \", - \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}} \}\"<\/p>\r\n

(ii) \"\{\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}\" \", - \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} - i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}} \}\"<\/p>\r\n

(iii) \"\{\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}\" \", - \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}} \}\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

Soit \"z=a + ib\" tel que \"z^2\"= \"\left( a + ib \right)^2\" =\"3 + 2\"<\/p>\r\n

Cela nous donne \"a^2 - b^2 + 2abi\" = \"3 + 2i.\"<\/p>\r\n

En calculant le module, on obtient \"\left| z \right|^2 = \left| 3 + 2 i \right|\" soit \"a^2 + b^2 = \sqrt{13}.\" Nous avons ainsi les relations suivantes :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a^2 - b^2 & = 3 \\ a^2 + b^2 & =\sqrt{13} \\ 2ab & = 2 \\ \end{cases}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

En sommant les deux premi\u00e8res lignes, on a \"a^2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"a= \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}},\" alors la troisi\u00e8me \u00e9quation donne \"b=\sqrt{\dfrac{2}{ 3 + \sqrt{13}}}.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"a=- \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}},\" alors la troisi\u00e8me \u00e9quation donne \"b=- \sqrt{\dfrac{2}{ 3 + \sqrt{13}}}.\"<\/p>\r\n

Les deux racines carr\u00e9es de \"3 + 2i\" sont, apr\u00e8s avoir utilis\u00e9 l’expression conjugu\u00e9e, \"z_1 = \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}\" et \"-\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} - i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}.\"\u00a0<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les math\u00e9matiques sont une mati\u00e8re difficile, pour r\u00e9ussir en ECG1 il est fondamental de bien conna\u00eetre l’ensemble de ces cours de maths. Servez-vous des nombreux autres cours en ligne pour garder un bon niveau :<\/p>\r\n