{"id":33867,"date":"2019-08-13T17:35:55","date_gmt":"2019-08-13T16:35:55","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33867"},"modified":"2025-03-21T18:02:07","modified_gmt":"2025-03-21T17:02:07","slug":"annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2017","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2017\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2017"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/h3>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2017 (ECG Approfondies)<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\r\n

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Probl\u00e8me I. Matrice, Polynome, Int\u00e9grale<\/h2>\r\n

Partie I : \u00c9tude d’un exemple<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> La matrice \"A\" est triangulaire avec un 0 sur la diagonale donc elle n’est pas inversible. Elle a une colonne nulle et les deux autres ne sont pas proportionnelles donc son rang est 2.<\/p>\r\n

2\/<\/strong> La matrice \"A\" est triangulaire donc ses valeurs propres sont les coefficients sur sa diagonale donc le spectre de la matrice \"A\" est \"\{0,2,6\}\". Comme elle est dans \"\hbox{M}_{3}(\mathbb{R})\" avec 3 valeurs propres, elle est diagonalisable dans \"\hbox{M}_{3}(\mathbb{R})\" et ses sous-espaces propres sont de dimension 1.<\/p>\r\n

3\/<\/strong> Il est imm\u00e9diat que \"A\left(\begin{array}{ccc} 1\\0\\0\end{array}\right)=0\left(\begin{array}{ccc} 1\\0\\0\end{array}\right)\" donc \"\left(\begin{array}{ccc} 1\\0\\0\end{array}\right)\" qui est non nul est un vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 0, il formera la premi\u00e8re colonne de \"P.\"<\/p>\r\n

Pour trouver un vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 2, on r\u00e9sout \"A\left(\begin{array}{ccc} a\\b\\c\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{ccc} a\\b\\c\end{array}\right)\" d’inconnues \"a,b,c\" dans \"\mathbb{R}.\" On obtient le syst\u00e8me

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\{\begin{array}{l} -b=2a\\2b-4c=2b\\6c=2c\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} b=-2a\\c=0\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left(\begin{array}{ccc} a\\b\\c\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{ccc} 1\\-2\\0\end{array}\right).\]\"<\/p>
Donc \"\left(\begin{array}{ccc} 1\\-2\\0\end{array}\right)\" qui est non nul est un vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 2, il formera la deuxi\u00e8me colonne de \"P.\"<\/p>\r\n

Pour trouver un vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 6, on r\u00e9sout \"A\left(\begin{array}{ccc} a\\b\\c\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{ccc} a\\b\\c\end{array}\right)\" d’inconnues \"a,b,c\" dans \"\R.\" On obtient le syst\u00e8me :

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\{\begin{array}{l} -b=6a\\2b-4c=6b\\6c=6c\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} b=-6a\\c=-b\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left(\begin{array}{ccc} a\\b\\c\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{ccc} 1\\-6\\6\end{array}\right).\]\"<\/p>
Donc \"\left(\begin{array}{ccc} 1\\-6\\6\end{array}\right)\" qui est non nul est un vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 6, il formera la troisi\u00e8me colonne de \"P.\"<\/p>\r\n

On pose

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$P=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\0&-2&-6\\0&0&6\end{array}\right)$ et $D=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\0&2&0\\0&0&6\end{array}\right)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Le cours de maths assure que \"A=PDP^{-1}.\"<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Partie II : \u00c9tude d’un endomorphisme d’un espace de polyn\u00f4mes<\/h3>\r\n

4\/<\/strong> Pour tout polyn\u00f4me \"P\" de \"E, \quad T(P)=(X(X-1)P')',\" donc \"T(P)\" est bien un polyn\u00f4me comme d\u00e9riv\u00e9e d’un polyn\u00f4me. De plus \"\hbox{deg}(P)\leqslant n\" donc \"\hbox{deg}(P')\leqslant n-1\" donc \"\hbox{deg}(X(X-1)P')\leqslant n+1\" car \"X(X-1)\" est de degr\u00e9 2.
Donc \"\hbox{deg}((X(X-1)P')')\leqslant n\" donc \"T(P)\in E.\"<\/p>\r\n

Montrons que \"T\" est lin\u00e9aire. Soit \"\alpha \in \mathbb{R}, A\in E, B\in E.\" On utilise la lin\u00e9arit\u00e9 de la d\u00e9rivation ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[T( \alpha A+B)=(X(X-1)( \alpha A+B)')'=(X(X-1)( \alpha A'+B'))'=(\alpha X(X-1)A'+X(X-1)B')'\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\alpha( X(X-1)A')'+(X(X-1)B')'=\alpha T(A)+T(B).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$T\in{\cal L}(E).$ }}\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/<\/strong> On a \"T(1)=0.\" Pour \"k\in[\![1,n]\!],\"

  <\/span>   <\/span>\"\[T(X^k)=(kX(X-1)X^{k-1})'=k(X^{k+1}-X^{k})'=k(k+1)X^k-k^2X^{k-1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

La matrice \"M\" de \"T\" dans la base \"{\cal B}\" est donc triangulaire avec des termes diagonaux de la forme \"k(k+1)\" o\u00f9 \"k\in [\![0,n]\!].\" Il y a deux termes non nuls sur chaque colonne sauf sur la premi\u00e8re qui est nulle.<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[M=\left(\begin{array}{ccccccc} 0&-1&\hdots&0&\hdots&\hdots&0\\0&2& \hdots &\hdots &\hdots&\hdots &\hdots\\0&\hdots & \ddots &-k^2 &\hdots&\hdots &\hdots\\0&\hdots & 0 &k(k+1) &\hdots&\hdots &\hdots\\0&\hdots & \hdots &0 &\hdots&\hdots &\hdots\\0&\hdots & \hdots & &\hdots&\hdots &0\\<\/p><\/p>\r\n

6\/<\/strong> \"T\" n’est pas bijectif car son noyau contient 1. On sait que<\/p>\r\n

\"\hbox{Im}(T)=\hbox{Vect}(T(1),T(X),...,T(X^n))\"
\"= \hbox{Vect}(0,-1+2X,...,k(k+1)X^k-k^2X^{k-1},...,n(n+1)X^n-n^2X^{n-1})\"
\"=\hbox{Vect}(-1+2X,...,k(k+1)X^k-k^2X^{k-1},...,n(n+1)X^n-n^2X^{n-1}).\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\hbox{Im}(T)=\hbox{Vect}\left(\left(k(k+1)X^k-k^2X^{k-1}\right)_{1\leqslant k\leqslant n}\right).$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Ainsi la famille \"(-1+2X,...,k(k+1)X^k-k^2X^{k-1},...,n(n+1)X^n-n^2X^{n-1})\" engendre \"\hbox{Im}(T)\", elle contient \"n\" polyn\u00f4mes non nuls et \u00e9tag\u00e9s en degr\u00e9s donc elle est libre et forme une base de \"\hbox{Im}(T)\" qui est donc de rang \"n.\"<\/p>\r\n

Le th\u00e9or\u00e8me du rang appliqu\u00e9 \u00e0 \"T\" sur \"E\" de dimension finie \"n+1\" indique alors que \"\hbox{Ker}(T)\" est de dimension 1 donc tout polyn\u00f4me non nul de \"\hbox{Ker}(T)\" forme une base de \"\hbox{Ker}(T)\". Or le polyn\u00f4me \"1\" est dans ce noyau donc \"(1)\" est une base de \"\hbox{Ker}(T).\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\hbox{Ker}(T)$ est l'ensemble des polyn\^omes constants de $E.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/<\/strong> La matrice \"M\" est triangulaire donc son spectre est form\u00e9 des termes diagonaux c’est-\u00e0-dire \"\{k(k+1)\}_{0\leq k\leq n}.\" Comme la fonction \"g: x\mapsto x(x+1)\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}^+\", elle est injective sur \"\mathbb{R}^+\" donc l’ensemble \"\{k(k+1)\}_{0\leq k\leq n}=\{g(k)\}_{0\leq k\leq n}\" contient autant de termes que l’ensemble \"[\![0,n]\!]\" c’est-\u00e0-dire \"n+1.\"<\/p>\r\n

Comme \"E\" est de dimension \"n+1\", l’endomorphisme

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$T$ est diagonalisable.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie III : \u00c9quivalent de \"I\left( x\right)\" lorsque \"x\" tend vers \"+\infty\"<\/h3>\r\n

8\/<\/strong> Soit \"(P,Q,A)\in E^3\" et \"\alpha\in\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\varphi(P,Q)\" existe et est \u00e0 valeur r\u00e9elle car c’est l’int\u00e9grale d’une fonction continue sur un segment.
\"\bullet\" La commutativit\u00e9 du produit dans \"\mathbb{R}\" assure que \"\varphi(P,Q)=\varphi(Q,P).\"
\"\bullet\" la lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9gration assure que \"\varphi(\alpha A +P,Q)=\alpha\varphi(A,Q)+\varphi(P,Q).\"
\"\bullet\" On a \"\varphi(P,P)=\displaystyle\int_0^1P^2(x)\hbox{d}x\geq 0\" car c’est l’int\u00e9grale d’une fonction positive avec des bornes dans l’ordre croissant.
\"\bullet\" Si \"P\" est le polyn\u00f4me nul, alors \"\varphi(P,P)=\displaystyle\int_0^10\hbox{d}x= 0.\"
R\u00e9ciproquement si \"\varphi(P,P)=0,\" alors \"\displaystyle\int_0^1P^2(x)\hbox{d}x= 0\" comme \"P^2\" est une fonction continue, positive et que \"0\ne 1\" on sait que \"P^2\" est nulle sur \"[0,1]\" par stricte positivit\u00e9 de l’int\u00e9grale.<\/p>\r\n

Donc \"P^2(X)\" a une infinit\u00e9 de racines donc c’est le polyn\u00f4me nul, de m\u00eame pour \"P(X).\"<\/p>\r\n

Finalement \"\varphi\" est une forme bilin\u00e9aire sym\u00e9trique d\u00e9finie positive sur \"E\times E\" donc c’est un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\r\n

9\/<\/strong> Soit \"\displaystyle (P,Q)\in E^2, \quad \varphi(T(P),Q)=\int_0^1(X(X-1)P')'(t)Q(t)\hbox{d}t.\"<\/p>\r\n

On fait une int\u00e9gration par parties avec :\u00a0<\/p>\r\n

\"u'(t)=(X(X-1)P')'(t)\", \"\:\" \"v(t)=Q(t)\", \"\:\" \"u(t)=(X(X-1)P')(t)=t(t-1)P'(t)\", \"\:\" \"v'(t)=Q'(t).\"<\/p>\r\n

Les fonctions \"u,v\" sont polynomiales donc \"C^1\" sur \"[0,1].\" Ainsi<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(T(P),Q)=\left[t(t-1)P'(t)Q(t)\right]_0^1-\int_0^1t(t-1)P'(t)Q'(t)\hbox{d}t=-\int_0^1x(x-1)P'(x)Q'(x)\hbox{d}x.\]\"<\/p><\/p>\r\n

10\/<\/strong> Vu les r\u00f4les sym\u00e9triques de \"P'\" et \"Q'\" dans cette derni\u00e8re expression, il est clair que \"T\" est un endomorphisme sym\u00e9trique de \"E\" pour le produit scalaire \"\varphi.\"<\/p>\r\n

En effet :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(T(P),Q)=-\int_0^1x(x-1)P'(x)Q'(x)\hbox{d}x=\varphi(T(Q),P)=\varphi(P,T(Q)).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$T$ est diagonalisable}}\]\"<\/p> car sym\u00e9trique sur un \"\mathbb{R}\"-espace vectoriel.<\/p>\r\n

11\/ a\/<\/strong> Soit \"P\in E, \quad \varphi(T(P),P)=\int_0^1x(1-x)(P'(x))^2\hbox{d}x\geqslant 0\" car \"(P'(x))^2\" est positif sur \"[0,1]\" ainsi que \"x(1-x)\", c’est donc l’int\u00e9grale d’une fonction positive avec des bornes dans l’ordre croissant.<\/p>\r\n

11\/ b\/<\/strong> Soit \"P\" de \"E\". On a

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(T(P),P)= 0\Longleftrightarrow \int_0^1x(1-x)(P'(x))^2\hbox{d}x= 0 \Longleftrightarrow \forall x\in[0,1], x(1-x)(P'(x))^2=0\]\"<\/p> car la fonction \"x\mapsto x(1-x)(P'(x))^2\" est continue positive sur \"[0,1].\"<\/p>\r\n

Cela \u00e9quivaut \u00e0 dire que le polyn\u00f4me \"X(1-X)(P'(X))^2\" a une infinit\u00e9 de racines c’est-\u00e0-dire qu’il est nul c’est-\u00e0-dire que \"P'(X)\" est le polyn\u00f4me nul car \"X(X-1)\" n’est pas le polyn\u00f4me nul.<\/p>\r\n

Finalement :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\varphi(T(P),P)= 0$ si et seulement si $P$ est constant.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie IV : Retour sur l’exemple de la partie I\u00a0<\/h3>\r\n

12\/<\/strong> \"T(1)=0, T(X)=-1+2X, T(X^2)=-4X+6X^2\" donc on obtient la matrice \"A.\"<\/p>\r\n

13\/<\/strong> Avec la question 3 de la partie I, on sait que\u00a0
\"\bullet\" \"P_0=1\" est vecteur propre de \"T\" associ\u00e9 \u00e0 0
\"\bullet\" \"P_2=1-2X\" est vecteur propre de \"T\" associ\u00e9 \u00e0 2
\"\bullet\" \"P_6=1-6X+6X^2\" est vecteur propre de \"T\" associ\u00e9 \u00e0 6
Ces vecteurs propres sont deux \u00e0 deux orthogonaux car \"T\" est sym\u00e9trique pour \"\varphi\" et car les valeurs propres sont deux \u00e0 deux distinctes.<\/p>\r\n

Ils forment une base de \"E,\" il reste \u00e0 les normer en les divisant par leurs normes respectives. On montre facilement que, pour tout \"k\in\mathbb{N},\displaystyle\int_0^1x^k\hbox{d}x=\frac{1}{k+1}.\"
\"\bullet\" \"P_0\" est de norme 1 car \"\displaystyle\int_0^11\hbox{d}x=1.\"
\"\bullet\" Par ailleurs :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} $$ \varphi(P_2)&=&\displaystyle\int_0^1(1-2x)^2\hbox{d}x \\&=&\int_0^1(1-4x+4x^2)\hbox{d}x \\<\/p>\u00a0<\/p>\r\n

Donc \"\Vert P_2\Vert=\sqrt{\frac13}.\"<\/p>\r\n

Et

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} $$ \varphi(P_6) & =&\displaystyle\int_0^1\left(1-6x+6x^2\right)^2\hbox{d}x \\& =&\int_0^1\left(1+36x^2+36x^4-12x+12x^2-72x^3\right)\hbox{d}x \\ & =&\displaystyle\int_0^1\left(1+48x^2+36x^4-12x-72x^3\right)\hbox{d}x \\& =&1+\frac{48}{3}+\frac{36}{5}-\frac{12}{2}-\frac{72}{4} \\<\/p>\u00a0<\/p>\r\n

Donc \"\Vert P_6\Vert=\sqrt{\frac15}.\"<\/p>\r\n

Donc on pose

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{${\cal C}=\left(1, \sqrt{3}P_2,\sqrt{5}P_6\right).$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

14\/<\/strong> La matrice de \"T\" dans \"{\cal C}\" est \"D=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\0&2&0\\0&0&6\end{array}\right)\".<\/p>\r\n

On pose \"V\in {\cal L}(E)\" tel que

  <\/span>   <\/span>\"\[\hbox{Mat}_{{\cal C}}(V)=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\0&\sqrt{2}&0\\0&0&\sqrt{6}\end{array}\right)\]\"<\/p>
ainsi \"D=\hbox{Mat}_{{\cal C}}(V)^2=\hbox{Mat}_{{\cal C}}(V^2)=\hbox{Mat}_{{\cal C}}(T)\" donc \"V\circ V=T.\"<\/p>\r\n

On utilise le fait que \"{\cal C}\" est une base orthonormale de \"E\" form\u00e9es de vecteurs propres de \"V,\" on pose \"{\cal C}=(A_0,A_1,A_2)\" et \"P=a_0A_0+a_1A_1+a_2A_2\in E\" alors

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} \varphi(V(P),P)&=&\varphi(a_0V(A_0)+a_1V(A_1)+a_2V(A_2),a_0A_0+a_1A_1+a_2A_2) \\& = &\varphi(\sqrt{2}a_1A_1+\sqrt{6}a_2A_2,a_0A_0+a_1A_1+a_2A_2) \\<\/p><\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Probl\u00e8me 2 : Limite d’une int\u00e9grale et suites de variables al\u00e9atoires<\/h2>\r\n

Partie I : Premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s de la fonction \"H\"<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> On pose, pour tout \"x\in I, f_x:t\mapsto \frac{1}{(1+t^2)^x}=e^{-x\ln(1+t^2)}\" sur \"\mathbb{R}^+.\" Comme \"t\mapsto 1+t^2\" est polynomiale strictement positive sur \"\mathbb{R}^+,\" on peut composer par \"\ln\" et \"t\mapsto \ln(1+t^2)\" est \"C^0\" (et aussi \"C^{\infty}\") sur \"\mathbb{R}^+.\" On peut multiplier par \"-x\" et composer par exponentielle, la fonction \"f_x\" est positive et \"C^0\" (et aussi \"C^{\infty}\") sur \"\mathbb{R}^+.\"<\/p>\r\n

On a \"\frac{1}{(1+t^2)^x}\underset{t\to +\infty}{\sim}\frac{1}{t^{2x}}\" car \"\frac{t^{2x}}{(1+t^2)^x}=\left(\frac{t^{2}}{1+t^2}\right)^x =\left(\frac{1}{1+\frac{1}{t^2}}\right)^x=e^{-x\ln\left(1+\frac{1}{t^2}\right)}\underset{t\to +\infty}{\to}1.\"<\/p>\r\n

Comme \"\frac12<x\", on a \"1<2x\", donc \"\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^{2x}}\hbox{d}t\" converge donc par comparaison \"\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t\" converge.<\/p>\r\n

Par continuit\u00e9 sur un segment, \"\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t\" existe donc par somme \"H(x)\" converge.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$H$ est d\'efinie sur $I.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/<\/strong> Soit \"\frac12<x<y,\" on a \"-y<-x\", pour tout \"t\in\mathbb{R}^+, \ln(1+t^2)\geq 0\" donc \"-y\ln(1+t^2)\leq -x\ln(1+t^2).\" On compose par exponentielle qui est croissante sur \"\mathbb{R}\" ainsi \"e^{-y\ln(1+t^2)}\leq e^{-x\ln(1+t^2)}\".<\/p>\r\n

On int\u00e8gre de 0 \u00e0 \"+\infty\" avec des bornes dans l’ordre croissant, cela donne

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\operatorname{H}(y) =\int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)^y}\hbox{d}t\leq \operatorname{H}(x)=\int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$H$ est d\'ecroissante sur $I.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Soit A>0,

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{A}\frac{1}{(1+t^2)^1}\hbox{d}t=\left[\hbox{Arctan}(t)\right]_0^A=\hbox{Arctan}(A)-\hbox{Arctan}(0)=\hbox{Arctan}(A)\underset{A\to +\infty}{\longrightarrow}\frac{\pi}{2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : \"H(1)=\frac{\pi}{2}.\"<\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*.\" Soit \"A>0.\" On pose :<\/p>\r\n

\"u'(t)=1, \: u(t)=t, \: v(t)=\frac{1}{(1+t^2)^n}, \: v'(t)=\frac{-n(2t)}{(1+t^2)^{n+1}}.\" Les fonctions \"u,v\" sont \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^+.\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p><\/p>\r\n

On a \"\frac{A}{(1+A^2)^n}\underset{A\to +\infty}{\sim}\frac{1}{A^{2n-1}}\underset{A\to +\infty}{\to}0\" car \"2n-1>0.\"<\/p>\r\n

De sorte que, par passage \u00e0 la limite, \"\displaystyle\int_0^{A}\frac{1}{(1+t^2)^n}\hbox{d}t\underset{A\to +\infty}{\to}2nH(n)-2nH(n+1).\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\; \; H(n)=2n(H(n)-H(n+1)).\"<\/p>\r\n

On d\u00e9veloppe et \"H(n)=2nH(n)-2nH(n+1)\" donc \"2nH(n+1)=(2n-1)H(n)\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\hbox{\boxed{\text{$H(n+1)=\frac{2n-1}{2n}H(n)$}}}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ c\/<\/strong><\/p>\r\n

function H=emlyon17(n)
\u00a0 \u00a0H=pi\/2
\u00a0 \u00a0for k=2:n ( H vaut H(k-1) )
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 H=(2*(k-1)-1)*H\/(2*(k-1)) \/\/ H vaut (2*(k-1)-1)*H(k-1)\/(2*(k-1))=H(k)
\u00a0 \u00a0end ( en sortie H vaut H(n) car la derni\u00e8re valeur de k est n )
endfunction<\/p>\r\n

3\/ d\/<\/strong> On pose :\u00a0 \"\forall n\in\mathbb{N}^*,\; {\cal P}_n: \left(H(n)=\displaystyle \frac{(2n-2)!\pi}{2^{2n-1}\Big((n-1)!\Big)^2}\right).\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Au rang 1, \"\displaystyle \frac{(0)!\pi}{2^{1}\Big(0!\Big)^2}=\frac{\pi}{2}=H(1).\" Donc \"{\cal P}_1\" est vraie.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Supposons \"{\cal P}_n\" pour un \"n\in\mathbb{N}^*,\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} H(n+1)&=&\frac{2n-1}{2n}H(n) \\<\/p><\/p>\r\n

Donc \"{\cal P}_{n+1}\" est vraie.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\forall n\in\mathbb{N}^*,\; {\cal P}_n$ est vraie.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie II : \u00c9tude de \"H(x)\" lorsque \"x\" tend vers \"\frac12\"<\/h3>\r\n

4\/ a\/<\/strong> La fonction sinus hyperbolique \"\varphi:u\mapsto \displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{2}\" est une combinaison lin\u00e9aire d’exponentielles de polyn\u00f4mes donc elle est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall u\in \mathbb{R}, \; \varphi'(u)=\frac{e^u+e^{-u}}{2}>0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"\varphi\" est continue, strictement croissante sur \"\mathbb{R}\" donc elle est une bijection de \"\mathbb{R}\" vers \"\left]\lim\limits_{-\infty}(\varphi);\lim\limits_{+\infty}(\varphi)\right[.\"<\/p>\r\n

Il est facile de voir que \"\lim\limits_{-\infty}(\varphi)=-\infty, \lim\limits_{+\infty}(\varphi)=+\infty\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\varphi$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par r\u00e9ciprocit\u00e9 comme \"\varphi(0)=0\", on a \"\varphi^{-1}(0)=0\" et comme \"\lim\limits_{+\infty}(\varphi)=+\infty\" on a \"\lim\limits_{t\to +\infty}\varphi^{-1}(t)=+\infty.\"<\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> Soit \"A>0.\" Le changement de variables \"t=\varphi(u),\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^+.\"
On l’applique sur \"\displaystyle \int_0^{A}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t,\" avec \"\hbox{d}t=\varphi'(u)\hbox{d}u=\frac{e^u+e^{-u}}{2}\hbox{d}u.\"<\/p>\r\n

Ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{A}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t=\int_{\varphi^{-1}(0)}^{\varphi^{-1}(A)}\frac{1}{(1+\varphi(u)^2)^x}\frac{e^u+e^{-u}}{2}\hbox{d}u=\int_{\varphi^{-1}(0)}^{\varphi^{-1}(A)}\frac{4^x}{(4+e^{2u}-2+e^{-2u})^x}\frac{e^u+e^{-u}}{2}\hbox{d}u\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[=\int_{\varphi^{-1}(0)}^{\varphi^{-1}(A)}\frac{4^x}{(e^{2u}+2+e^{-2u})^x}\frac{e^u+e^{-u}}{2}\hbox{d}u=\int_{\varphi^{-1}(0)}^{\varphi^{-1}(A)}\frac{4^x}{(e^{u}+e^{-u})^{2x}}\frac{e^u+e^{-u}}{2}\hbox{d}u\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[=\frac{4^x}{2}\int_{0}^{\varphi^{-1}(A)}\frac{1}{(e^u+e^{-u})^{2x-1}}\hbox{d} u.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On peut faire tendre \"A\" vers \"+\infty\" dans l’\u00e9galit\u00e9

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{A}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t=\frac{4^x}{2}\int_{0}^{\varphi^{-1}(A)}\frac{1}{(e^u+e^{-u})^{2x-1}}\hbox{d} u.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in I,\; H(x)=\frac{4^x}{2}\int_0^{+\infty}\frac{1}{(e^u+e^{-u})^{2x-1}}\hbox{d} u.\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/ a\/<\/strong> Soit \"u\in[0;+\infty[,\; e^u\leqslant e^u+e^{-u}\" car \"0<e^{-u}.\"<\/p>\r\n

Comme \"u\" est positif, on a \"-u\leq u\" donc \"e^{-u}\leqslant e^u\".<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$0<e^u\leqslant e^u+e^{-u}\leqslant 2e^u$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/ b\/<\/strong> La fonction inverse est d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}^{+*},\" donc, pour tout \"u\in[0;+\infty[,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[0<\frac{1}{2}e^{-u}\leqslant\frac{1}{e^u+e^{-u}}\leqslant e^{-u}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Soit \"x>\frac12,\" on a \"2x-1>0\" donc la fonction \"t\mapsto t^{2x-1}=e^{(2x-1)\ln(t)}\" est croissante sur \"\mathbb{R}^{+*}\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[0<\frac{1}{2^{2x-1}}e^{-u(2x-1)}\leqslant\frac{1}{(e^u+e^{-u})^{2x-1}}\leqslant e^{-u(2x-1)}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On multiplie par \"\frac{4^x}{2}\geq 0\" et on int\u00e8gre selon \"u\" sur \"[0,+\infty[\" avec des bornes dans l’ordre croissant.<\/p>\r\n

Or \"\displaystyle\int_0^{A}e^{-u(2x-1)}\hbox{d} u=\left[\frac{e^{-u(2x-1)}}{-(2x-1)}\right]_0^A=\frac{e^{-A(2x-1)}-1}{-(2x-1)}\underset{A\to +\infty}{\to}\frac{1}{2x-1}.\"<\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{4^x}{2^{2x}}\frac{1}{2x-1}=\frac{1}{2x-1}\leq H(x)\leq \frac{4^x}{2}\frac{1}{2x-1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{ $\displaystyle \forall x\in I,\; \frac{1}{2x-1}\leqslant H(x)\leqslant \frac{4^x}{2(2x-1)}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/<\/strong> On a \"2x-1\underset{(\frac12)^+}{\to}0\" (par valeurs positives) donc \"\frac{1}{2x-1}\underset{(\frac12)^+}{\to}+\infty.\" Donc par minoration \"H(x)\underset{(\frac12)^+}{\to}+\infty.\"<\/p>\r\n

Avec \"x>\frac12\" et \"2x-1>0,\" on a aussi \"1\leqslant (2x-1)H(x)\leqslant \frac{4^x}{2}= \frac{e^{x\ln(4)}}{2}=\frac{e^{2x\ln(2)}}{2}\underset{(\frac12)^+}{\to}1.\"<\/p>\r\n

Dons par th\u00e9or\u00e8me des gendarmes \"(2x-1)H(x)\underset{(\frac12)^+}{\to}1.\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$H(x)\underset{(\frac12)^+}{\sim}\frac{1}{2x-1}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie III : \u00c9tude de \"H(x)\" lorsque \"x\" tend vers \"+\infty\"<\/h3>\r\n

7\/ a\/<\/strong> On pose \"\forall t\in [0;1], h(t)=\ln(1+t),\" comme \"1+t>0,\" la fonction \"h\" est \"C^1\" sur \"[0,1]\".<\/p>\r\n

Soit \"u\in]0,1],\" on peut appliquer l’\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis sur \"[0,u]\subset [0,1]\". Et il existe \"0<c<u\" tel que \"h(u)-h(0)=h'(c)\times u=\frac{u}{1+c}\" or \"c<1\" donc \"0<1+c<2\" et \"\frac12<\frac1{1+c}\" donc avec \"u\" positif on a \"\ln(1+u)\geq \frac{u}{2}.\"<\/p>\r\n

Pour \"u=0, \ln(1+u)=0=\frac{u}{2}.\"<\/p>\r\n

7\/ b\/<\/strong> On rappelle que pour \"\mu\in \mathbb{R}, \sigma>0,\" une densit\u00e9 de loi \"{\cal N}(\mu,\sigma^2)\" est

  <\/span>   <\/span>\"\[{\displaystyle f(t)={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Ici on pose \"\mu=0,\sigma^2=\frac1x.\" On obtient \"\displaystyle f(t)=\tfrac {\sqrt {x}}{ \sqrt {2\pi }}\;\;\mathrm {e} ^{-\frac {xt^2}{2}}\".<\/p>\r\n

Comme l’int\u00e9grale sur \"\mathbb{R}\" de \"f\" vaut 1, \"\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-xt^2/2}\hbox{d}t\" converge et vaut \"\displaystyle \sqrt {\frac{2\pi}{x}}.\"
Par parit\u00e9 de \"f,\" \"\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-xt^2/2}\hbox{d}t\" converge et vaut

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\displaystyle\frac12\times \sqrt {\frac{2\pi}{x}}=\sqrt {\frac{\pi}{2x}}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ c\/<\/strong> Soit \"\displaystyle x\in I,t\in[0,1],\; 0\leqslant \frac{1}{(1+t^2)^x}=e^{-x\ln(1+t^2)}\leqslant e^{-xt^2/2}\" avec la question 7.a. avec \"t^2\in[0,1]\". On int\u00e8gre de 0 \u00e0 1 avec \"0<1\" selon \"t\" ces fonctions continues,

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leqslant \int_0^{1}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t\leqslant \int_0^{1}e^{-xt^2/2}\hbox{d}t\leqslant \int_0^{1}e^{-xt^2/2}\hbox{d}t+\underset{\geqslant 0}{\underbrace{\int_1^{+\infty}e^{-xt^2/2}\hbox{d}t}}=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ d\/<\/strong> Soit \"x\in I, t\geq 1,\" on a \"0<t^2<1+t^2\" donc \"0\leq \frac{1}{1+t^2}\leq \frac{1}{t^2},\" on compose par la fonction \"u\mapsto u^x\" croissante sur \"\mathbb{R}^+\" puis on int\u00e8gre selon \"t\" sur \"[1,+\infty[\" avec des bornes dans l’ordre croissant. On peut le faire car on a reconnu une int\u00e9grale de Riemann convergente avec \"2x>1.\" Ainsi<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leqslant \int_1^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t\leqslant \int_1^{+\infty}\frac{1}{t^{2x}}\hbox{d}t=\frac{1}{2x-1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\displaystyle\forall x\in I,\; 0\leqslant \int_1^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t\leqslant\frac{1}{2x-1}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ e\/<\/strong> Il est clair que \"\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\underset{x\to +\infty}{\to}0\" et \"\frac{1}{2x-1}\underset{x\to +\infty}{\to}0\" donc par encadrement \"\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t\underset{x\to +\infty}{\to}0\" et \"\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t\underset{x\to +\infty}{\to}0\".<\/p>\r\n

Puis par somme de limites et relation de Chasles pour les int\u00e9grales convergentes,

  <\/span>   <\/span>\"\[H(x)=\int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)^x}\hbox{d}t\underset{x\to +\infty}{\to}0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

8\/<\/strong> On note, pour tout \"\displaystyle n\in\mathbb{N}^*,\; u_n=\ln\big(H(n)\big)+\frac{\ln(n)}{2}.\"<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\",

  <\/span>   <\/span>\"\[u_{n+1}-u_n= \ln\big(H(n+1)\big)+\frac{\ln(n+1)}{2}-\ln\big(H(n)\big)-\frac{\ln(n)}{2}=\ln\left(\frac{H(n+1)}{H(n)}\right)+\frac12\ln\left(\frac{n+1}{n}\right).\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[=\underset{\hbox{Avec la question 3.b.}}{\underbrace{\ln\left(\frac{2n-1}{2n}\right)}}+\dfrac12\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln\left(1-\frac{1}{2n}\right)+\frac12\ln\left(1+\frac{1}{n}\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

On utilise \"\ln(1+u)\underset{0}{=}u-\frac{u^2}{2}+o(u^2),\" on peut le faire car \"\frac{1}{n}\underset{n\to +\infty}{\to}0.\"<\/p>\r\n

Ainsi \"u_{n+1}-u_n\underset{n\to +\infty}{=}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{8n^2}+\frac12\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}\right)+o\left(\frac{1}{n^2}\right)=-\frac{3}{8n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right).\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$u_{n+1}-u_n\underset{n\to +\infty}{\sim} -\frac{3}{8n^2}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On a \"u_{n}-u_{n+1}\underset{n\to +\infty}{\sim} \frac{3}{8n^2}.\" Or la s\u00e9rie de Riemann \"\sum \frac{1}{n^2}\" converge avec \"\alpha=2>1.\" Donc par comparaison des s\u00e9ries \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif, la s\u00e9rie \"\sum (u_{n}-u_{n+1})\" converge donc \"\sum( u_{n+1}-u_{n})\" converge.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{la s\'erie $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}(u_{n+1}-u_n)$ converge.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Une s\u00e9rie converge si et seulement si ses sommes partielles convergent or, pour tout \"N\in \mathbb{N}^*,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{n=1}^N(u_{n+1}-u_n)=u_{N+1}-u_1 \hbox{ par t\'elescopage.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Notons \"s\" la somme de \"\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}(u_{n+1}-u_n)\", on a\u00a0 alors \"u_{N+1}-u_1\underset{N\to +\infty}{\to}s\" donc la suite \"(u_n)\" converge. On note \"a\" sa limite, donc la suite \"(e^{u_n})\" converge, on note \"K=e^a\" sa limite, elle est strictement positive. Or \"e^{u_n}=H_n\sqrt{n}\" en composant par exponentielle. Donc
\"H_n\sqrt{n} \underset{n\to +\infty}{\sim} K\" car \"K\" non nul.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\displaystyle H(n)\underset{n\to +\infty}{\sim}\frac{K}{\sqrt{n}}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

9\/<\/strong> On a \"\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}=\sqrt{1+\frac1n}\underset{n\to +\infty}{\to}1\" donc \"\sqrt{n+1}\sim \sqrt{n}.\" Pour tout \"x>1\", on a \"1\leqslant \lfloor{x}\rfloor\leqslant x\leqslant \lfloor{x\rfloor}+1\" et \"H\" est d\u00e9croissante donc \"H\left(\lfloor{x}\rfloor+1\right)\leqslant H(x)\leqslant H\left(\lfloor{x}\rfloor\right)\"<\/p>\r\n

On multiplie par \"\frac{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}{K}>0\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}{K}H\left(\lfloor{x}\rfloor+1\right)\leqslant \frac{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}{K}H(x)\leqslant \frac{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}{K}H\left(\lfloor{x}\rfloor\right)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}{\sqrt{\lfloor{x}+1\rfloor}}\frac{\sqrt{\lfloor{x}+1\rfloor}}{K}H\left(\lfloor{x}\rfloor+1\right)\leqslant \frac{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}{K}H(x)\leqslant \frac{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}{K}H\left(\lfloor{x}\rfloor\right)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"\displaystyle H(\lfloor{x}\rfloor)\underset{x\to +\infty}{\sim}\frac{K}{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}},\" on a \"\frac{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}{K}H\left(\lfloor{x}\rfloor\right)\underset{x\to +\infty}{\to}1.\"<\/p>\r\n

Ainsi par encadrement \"\displaystyle H(x)\underset{x\to +\infty}{\sim}\frac{K}{\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}}\underset{x\to +\infty}{\sim}\frac{K}{\sqrt{x}}\" car \"x\underset{x\to +\infty}{\sim}\lfloor{x}\rfloor\".<\/p>\r\n

En effet \"1\leqslant \frac{x}{\lfloor{x}\rfloor}\leqslant \frac{\lfloor{x}\rfloor+1}{\lfloor{x}\rfloor}\underset{x\to +\infty}{\to}1.\"<\/p>\r\n

Partie IV : \u00c9tude d’une suite de variables al\u00e9atoires<\/h3>\r\n

10\/<\/strong> \"f\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R},\" elle y est positive, elle est continue sur \"\mathbb{R}^{-*}\" et sur \"[0;+\infty[.\" Comme \"f\" est nulle sur \"]-\infty,0[,\" on a :<\/p>\r\n

\"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=\int_{0}^{+\infty}f(t)dt=\frac{2}{\pi}H(1)=1\".<\/p>\r\n

Donc \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt\" converge et vaut 1.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$f$ est une densit\'e.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

11\/<\/strong> On consid\u00e8re une variable al\u00e9atoire \"X\" \u00e0 densit\u00e9, de densit\u00e9 \"f.\"<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Soit \"x<0,\" \"F_X(x)=0\" car \"f\" nulle sur \"\mathbb{R}^{-*}\".<\/p>\r\n

Soit \"x\geqslant 0,\" \"\displaystyle F_X(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{2}{\pi}\hbox{Arctan}(x).\"<\/p>\r\n

b\/<\/strong> \"X\" a pour densit\u00e9 \"f\" donc \"X\" a une esp\u00e9rance si et seulement si l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)dt\" converge.<\/p>\r\n

Or \"tf(t)\underset{t\to +\infty}{\sim}\frac{2t}{\pi(1+t^2)}\underset{t\to +\infty}{\sim}\frac{2}{\pi t}\" et la fonction \"t\mapsto tf(t)\" est positive sur \"\mathbb{R}^+.\"<\/p>\r\n

Comme l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t}dt\" diverge, \"X\" n’a pas d’esp\u00e9rance.<\/p>\r\n

12\/<\/strong> On consid\u00e8re une suite de variables al\u00e9atoires r\u00e9elles \"(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\" \u00e0 densit\u00e9, \u00e0 valeurs strictement positives, mutuellement ind\u00e9pendantes, dont chacune a pour densit\u00e9 \"f.\"<\/p>\r\n

On d\u00e9finit, pour tout \"n\in\mathbb{N}^*,\" les variables al\u00e9atoires\\quad \"M_n=\max(X_1,\cdots,X_n)\" et \"\displaystyle Z_n=\frac{n}{M_n}.\"<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Soit \"n\" de \"\mathbb{N}^*, x\leqslant 0\" comme les \"X_k\" sont \u00e0 valeurs strictement positives, on a
\"[M_n\leqslant x]=[\max(X_1,\cdots,X_n)\leqslant x]=\emptyset\" donc \"F_{M_n}(x)=\hbox{ P}(M_n\leqslant x)=0.\"<\/p>\r\n

Soit \"x>0,\" \"[M_n\leqslant x]=[\max(X_1,\cdots,X_n)\leqslant x]\" est r\u00e9alis\u00e9 si et seulement si, pour tout \"k\in[\![1,n]\!], [X_k\leqslant x]\" est r\u00e9alis\u00e9. Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[[M_n\leqslant x]=\bigcap\limits_{k=1}^n[X_k\leqslant x].\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par ind\u00e9pendance mutuelle des \"X_k,\" on obtient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\hbox{P}\left(M_n\leqslant x\right)=\prod\limits_{k=1}^n\hbox{P}(X_k\leqslant x)=\left(F_X(x)\right)^n\hbox{ car il y a $n$ facteurs dans le produit}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$F_{M_n}(x)=0$ si $x\leqslant 0$ et $F_{M_n}(x)=\left(F_X(x)\right)^n$ si $x>0.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On pose \"\displaystyle\forall u\in ]0;+\infty[, g(u)=\hbox{Arctan}(u)+\hbox{Arctan}\left(\frac1u\right).\" La fonction inverse est d\u00e9rivable sur \"]0;+\infty[\" et \"\hbox{Arctan}\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}.\" Donc par composition \"u\mapsto \hbox{Arctan}\left(\frac1u\right)\" est d\u00e9rivable sur \"]0;+\infty[\".<\/p>\r\n

Par somme, \"g\" est d\u00e9rivable sur \"]0;+\infty[\" et, pour tout \"u\in ]0;+\infty[,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[g'(u)=\frac{1}{1+u^2}+\left(-\frac{1}{u^2}\right)\times \hbox{Arctan}'\left(\frac1u\right)=\frac{1}{1+u^2}+\left(-\frac{1}{u^2}\right)\times\frac{1}{1+(1/u)^2}=\frac{1}{1+u^2}-\frac{1}{1+u^2}=0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc la fonction \"g\" est constante sur l’intervalle \"]0;+\infty[.\"<\/p>\r\n

Or \"g(1)=2\hbox{Arctan}(1)=\frac{\pi}{2}.\"<\/p>\r\n

Finalement :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\displaystyle\forall u\in ]0;+\infty[, \hbox{Arctan}(u)+\hbox{Arctan}\left(\frac1u\right)=\frac{\pi}{2}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}^*, \displaystyle x\in ]0;+\infty[,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl} \hbox{P}(Z_n\leqslant x)&=&\displaystyle \hbox{P}\left(\frac{n}{M_n}\leqslant x\right)\\&=& \displaystyle \hbox{P}\left(\frac{n}{x}\leqslant M_n\right)\hbox{ avec $x>0$ et $M_n$ forc\'ement strictement positif}\\&=&\displaystyle1-\hbox{P}\left( M_n\leqslant\frac{n}{x}\right)\hbox{ sachant que $M_n$ est \`a densit\'e}\\&=&\displaystyle1-F_{M_n}\left( \frac{n}{x}\right)\\<\/p><\/p>\r\n

donc \"1-\frac{2}{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac1u\right)=\frac{2}{\pi}\hbox{Arctan}\left(u\right)\"<\/p>\r\n

d\/<\/strong> Pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}^*, \displaystyle x\in ]0;+\infty[,\" on sait que \"0<\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)<\frac{\pi}{2}\" donc \"0<\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)<1\"<\/p>\r\n

et \"0<1-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)<1\" donc on pourra composer par \"\ln.\"<\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent \"\displaystyle \left(1-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)\right)^n=\hbox{exp}\left(n\ln\left(1-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)\right)\right).\"<\/p>\r\n

On sait que \"-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)\underset{n\to +\infty}{\to} 0\" car \"\frac{x}{n}\underset{n\to +\infty}{\to} 0\" donc avec \"\ln(1+u)\underset{u\to 0}{\sim}{u}\" on a<\/p>\r\n

\"\ln\left(1-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)\right)\underset{n\to +\infty}{\sim}-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)\underset{n\to +\infty}{\sim}-\frac{2x}{\pi n}\" car \"\frac{x}{n}\underset{n\to +\infty}{\to} 0\" et \"\hbox{Arctan}(u)\underset{0}{\sim} u.\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que \"n\ln\left(1-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)\right)\underset{n\to +\infty}{\sim}-\frac{2x}{\pi }\" donc, sachant que \"-\frac{2x}{\pi }\" est ind\u00e9pendant de \"n,\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[n\ln\left(1-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)\right)\underset{n\to +\infty}{\to} -\frac{2x}{\pi }.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On peut composer cette limite par exponentielle qui est continue en \"-\frac{2x}{\pi }.\"<\/p>\r\n

Donc \"\displaystyle \left(1-\frac2{\pi}\hbox{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)\right)^n\underset{n\to +\infty}{\to} e^{-\frac{2x}{\pi }}.\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que

  <\/span>   <\/span>\"\[\hbox{\boxed{\text{$\displaystyle{P}(Z_n\leqslant x)\underset{n\to +\infty}{\to} 1-e^{-\frac{2}{\pi }x}$.}}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On reconnait la fonction de r\u00e9partition d’une loi exponentielle de param\u00e8tre \"\frac{2}{\pi }.\"<\/p>\r\n

Bilan : la suite de variables al\u00e9atoires \"(Z_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\" converge en loi vers une variable suivant une loi exponentielle de param\u00e8tre \"\frac{2}{\pi }.\"<\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

 <\/p>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2017 (ECG Approfondies) Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Probl\u00e8me I. Matrice, Polynome, Int\u00e9grale Partie I : \u00c9tude d’un exemple 1\/ La matrice est triangulaire avec un 0 sur la diagonale donc elle n’est pas inversible. 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