{"id":33887,"date":"2019-08-13T14:37:24","date_gmt":"2019-08-13T13:37:24","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33887"},"modified":"2022-07-20T11:55:43","modified_gmt":"2022-07-20T10:55:43","slug":"cours-en-ligne-corriges-nombres-complexes-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-nombres-complexes-ecs1\/","title":{"rendered":"Nombres complexes en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Nombres complexes en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Nombres complexes<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" Il est facile de voir que\u00a0\"- \dfrac12 + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} = e^{2i \pi / 3}.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On a \"\sqrt{3} + 3 i = 2 \sqrt{3} e^{i \pi / 3}\" et \"1 - i =\sqrt{2} e^{- i \pi / 4},\" d’o\u00f9 \"\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{3}i}{1 - i} = \sqrt{6} e^{7 i \pi / 12}.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On a \"\sqrt{2} + i \sqrt{2} = 2 e^{i \pi / 4}\" et \"\sqrt{3} + 3 i= 2 \sqrt{3} e^{i \pi / 3},\" d’o\u00f9 \"\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i }{\sqrt{3} + 3 i} = \dfrac{\sqrt{3} }{3} e^{ -i \pi / 12 }.\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 : Produit scalaire<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Mettons \"4\sqrt{2} \left( 1 - i \right)\" sous forme exponentielle.<\/p>\n

On a \"4 \sqrt{2} \left( 1 - i \right) = 8 e^{- i \pi / 4}.\" Ainsi, si l’on pose \"z=re^{i \theta}\" avec \"r> 0\" de sorte que \"z^3 = r^3 e^{3 i \theta}.\" On r\u00e9sout<\/p>\n

\"r^3 e^{3 i \theta} = 8 e^{- i \pi / 4}\" \"\Leftrightarrow \begin{cases} r^3 =8 \\ \exists k \in \Z, \; 3 \theta = - \dfrac{\pi}{4} + 2 k \pi \end{cases}\" \"\Leftrightarrow \begin{cases} r = 2 \\ \exists k \in \Z, \; \theta = - \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k \pi}{3} \end{cases} .\"
\nOn obtient trois valeurs pour \"\theta\" dans un intervalle de longueur \"2 \pi\" : \"- \dfrac{\pi}{12}, - \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2 \pi}{3} = \dfrac{7 \pi}{12}\" et \"- \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{4 \pi}{3} = \dfrac{15 \pi}{12}\" et on obtient trois solutions :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[2 e^{-i \dfrac{\pi}{12}}, 2 e^{\dfrac{7 i \pi}{12}} \; \text{et} \; 2 e^{\dfrac{15 i \pi}{12}}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

2)<\/strong> \"4 e^{2 i \dfrac{\pi}{3}} = \left( 2 e^{i \dfrac{\pi}{3}} \right)^2,\" une racine \u00e9vidente est \"2e^{i \dfrac{\pi}{3}},\" donc les deux solutions sont \"2 e^{i \dfrac{\pi}{3}}\" et \"- 2 e^{i \dfrac{\pi}{3}}.\"<\/p>\n

3)<\/strong> On pose \"Z=z^2.\" On a donc la nouvelle \u00e9quation : \"Z^2 + Z + 1 = 0.\" Cette \u00e9quation est facile \u00e0 r\u00e9soudre et donne deux solutions : \"Z_1 = e^{2 i \pi / 3}\" et \"Z_2 = e^{4 i \pi / 3}.\"<\/p>\n

L’\u00e9quation \"z^2 = Z_1 = e^{2 i \pi / 3}\" admet \"2\" solutions : \"e^{i \pi / 3}\" et \"- e^{ i \pi / 3}.\" De la m\u00eame fa\\c{c}on, l’\u00e9quation \"z^2 = Z_2\" donne deux solutions : \"e^{2 i \pi / 3}\" et \"- e^{2 i \pi / 3}.\"<\/p>\n

Finalement, l’\u00e9quation admet \"4\" solutions : \"e^{i \pi / 3}, - e^{ i \pi / 3}, e^{4 i \pi / 3}\" et \"- e^{ i \pi / 3}.\"<\/p>\n

4)<\/strong> On calcule<\/p>\n

\"\Delta = \left( 4 + 2i \right)^2 - 4 \times 1 \times \left( 2 + 4 i \right)\"\u00a0 \"= \left( 16 + 16 i - 4 \right) - \left( 8 + 16 i \right) = 4.\" Ainsi, il y a deux racines \"z_1 = \dfrac{\left( 4 + 2i \right) + 2}{2} = 3 + i\" et \"z_2 = \dfrac{\left( 4 + 2i \right) - 2}{2} = 1 + i.\"<\/p>\n

5)<\/strong> On a \u00a0\"\Delta = ( 2 i )^2 - 8 + 16 i = - 12 + 16 i\" \"= 4 ( - 3 + 4 i )\".<\/p>\n

Calculons maintenant les racines carr\u00e9es de \"\Delta\" m\u00e9thode 6. Soient \"a\" et \"b\" deux r\u00e9els tels que \"\left( a + ib \right)^2 = \Delta = - 12 + 16 i.\"<\/p>\n

En d\u00e9veloppant, on a \"\left( a + i b \right)^2 = a^2 - b^2 + 2 ab i,\" soit en identifiant les parties r\u00e9elles et les parties imaginaires :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a^2 - b^2 & = - 12 \\ ab & = 8 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

En utilisant le module dans l’\u00e9galit\u00e9 \"\left( a + ib \right)^2 = \Delta = - 12 + 16 i,\" on r\u00e9cup\u00e8re \"a^2 + b^2 = \sqrt{\left( - 12 \right)^2 + 16^2} = 20.\" On a finalement les relations suivantes :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a^2 - b^2 & = - 12 \\ ab & = 8 \\ a^2 + b^2 & = 20 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

En sommant la premi\u00e8re et la troisi\u00e8me ligne, on a \"2a^2 = 8\" soit \"a = 2\" ou \"a= - 2.\" En utilisant la relation \"ab = 8,\" on a \"b = 4\" (si \"a=2\") ou \"b= - 4\" (si \"a = -2\").<\/p>\n

Finalement les deux racines carr\u00e9es de \"\Delta\" sont \"2 + 4i= 2 \left( 1 + 2 i \right)\" et \"- 2 - 4 i = 2 \left( - 1 - 2 i \right).\"<\/p>\n

Les racines de l’\u00e9quation sont donc :<\/p>\n

\"z_1 = \dfrac{2i - 2 \left( 1 + 2i \right)}{2} = - 1 -i\" et \"z_2 = \dfrac{2i - 2 \left( - 1 - 2i \right)}{2} = 1 + 3i.\"<\/p>\n

Exercice 3 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

On rappelle que les racines \"n\"-i\u00e8mes de l’unit\u00e9 sont de la forme : \"e^{2 i k \pi / n}\" avec \"k \in [\![ 0 , n - 1 ]\!].\"<\/p>\n

Somme :<\/i><\/p>\n

On calcule \"\displaystyle\sum_{k=0}^{n - 1} e^{2i k \pi / n}:\"<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{k=0}^{n - 1} e^{2i k \pi / n}\" \"= \displaystyle\sum_{k=0}^{n - 1} \left( e^{2 i \pi / n} \right)^k\"<\/p>\n

\n
\"= \dfrac{1 - \left( e^{2 i \pi / n} \right)^n}{1 - e^{2 i \pi / n}}\"
\n\"= \dfrac{1 - 1}{1 - e^{2i \pi / n}}\"
\n\"= 0\".Produit :<\/i><\/div>\n
<\/div>\n
\n

On calcule \"\displaystyle\prod_{k= 0}^{n - 1} e^{2 i k \pi / n}.\"<\/p>\n

\"\displaystyle\prod_{k= 0}^{n - 1} e^{2 i k \pi / n}\" \"=\displaystyle e^{\sum_{k=0}^{n - 1} \left( 2 i k \pi / n \right)}\"
\n\"= \displaystyle e^{\dfrac{2i \pi }{n} \sum_{k=0}^{n - 1} k }\"
\n\"= e^{\dfrac{2 i \pi}{n} \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{2} }\"
\n\"= e^{i \pi \left( n - 1 \right)}\"
\n\"= \left( e^{i \pi} \right)^{n - 1}\"
\n\"= \left( - 1 \right)^{n - 1}\".<\/div>\n
<\/div>\n
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Exercice 4 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

L’in\u00e9galit\u00e9 \u00e0 prouver est \u00e9quivalente \u00e0 :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left| z_1 - z_2 \right| \le \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|.\]\"<\/p>\n

Pour s’en convaincre, il suffit de remplacer \"z_2\" par \"- z_2.\" Pour prouver cette derni\u00e8re in\u00e9galit\u00e9, on introduit \"M_1\" le point d’affixe \"z_1\", \"M_2\" le point d’affixe \"z_2\" et \"O\" le point d’affixe \"0.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"z_1 = 0\" ou \"z_2 = 0,\" l’in\u00e9galit\u00e9 est claire (il y a m\u00eame \u00e9galit\u00e9).<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose donc \"z_1 \neq 0\" et \"z_2 \neq 0.\" Ainsi, l’in\u00e9galit\u00e9 \u00e0 prouver est :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[M_1 M_2 \le O M_1 + O M_2.\]\"<\/p>\n

Or dans un triangle, la longueur d’un des c\u00f4t\u00e9s est inf\u00e9rieure \u00e0 la somme des longueurs des deux autres c\u00f4t\u00e9s, cela prouve l’in\u00e9galit\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente et termine l’exercice.<\/p>\n

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