{"id":33930,"date":"2019-08-14T09:12:47","date_gmt":"2019-08-14T08:12:47","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33930"},"modified":"2023-09-16T22:04:12","modified_gmt":"2023-09-16T21:04:12","slug":"cours-en-ligne-suites-reelles-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-suites-reelles-ecs1\/","title":{"rendered":"Suites r\u00e9elles en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Suites r\u00e9elles en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Suites r\u00e9elles<\/h2>\n

1. Suites croissantes\/d\u00e9croissantes.<\/h3>\n

M\u00e9thode 1 : Suites convergentes et calcul de la limite de variation d’une suite<\/b><\/p>\n

Pour montrer la monotonie d’une suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb {N}},\" on peut \u00e9tudier le signe de \"u_{n + 1} - u_n\" : si le r\u00e9sultat est positif pour tout \"n,\" alors la suite est croissante, si le r\u00e9sultat est n\u00e9gatif pour tout \"n,\" alors la suite est d\u00e9croissante.<\/p>\n

Pour les suites \u00e0 valeurs strictement positives, une autre possibilit\u00e9 est de comparer \"\dfrac{u_{n + 1}}{u_n}\" et \"1.\" Si pour tout \"n,\" \"\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \ge 1,\" alors la suite est croissante et si pour tout \"n,\" \"\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \le 1,\" elle est d\u00e9croissante. Cette m\u00e9thode sera bien adapt\u00e9e si la d\u00e9finition de \"u_n\" contient \u00ab\u00a0des produits\u00a0\u00bb.<\/p>\n

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Exemple<\/b> : Soient la suite\u00a0 \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" d\u00e9finie par \"u_n = \int_0^{\pi / 2} \cos^n \left( t \right) dt.\"<\/p>\n

Montrer que \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

On a
\n\"u_{n+ 1} - u_n\"<\/p>\n

=\u00a0\"\int_0^{\pi / 2} \left( \cos^{n+ 1} \left( t \right) - \cos^n \left( t \right) \right) dt\"<\/p>\n

\u00a0=\"\int_0^{\pi / 2} \cos^n \left( t \right) \left( \cos \left( t \right) - 1 \right) dt \le 0,\"<\/p>\n

En effet sur \"\left[ 0 , \pi / 2 \right],\" \"\cos^n \left( t \right) \ge 0\" et \"1 - \cos \left( t \right) \le 0,\"<\/p>\n

Donc on int\u00e8gre une fonction<\/a> n\u00e9gative, il s’ensuit que \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

M\u00e9thode 2 : Sens de variation d’une suite<\/b><\/p>\n

Cette m\u00e9thode est \u00e0 r\u00e9server pour les suites de la forme \"u_n = f\left( n \right).\" Auquel cas, si la fonction \"f\" est croissante sur \"\left[ 0 , +\infty \right[,\" alors la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est croissante et si \"f\" est d\u00e9croissante sur \"\left[ 0 , + \infty \right[,\" alors \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

Exemple : <\/b>Soit la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\" d\u00e9finie par \"u_n = \dfrac{\ln n }{n}.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On pose \"f \left( x \right) = \dfrac{\ln x}{x}\" pour \"x > 0.\"<\/p>\n

Un rapide calcul donne \"f' \left( x \right) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.\" On a \"f' \left( x \right) \ge 0\" si et seulement si \"x \ge e.\" Ainsi la suite \"\left( u_n \right)_{n \ge 3}\" est croissante.<\/p>\n

M\u00e9thode 3 : Sens de variation d’une suite<\/b><\/p>\n

Soit \"I\" un intervalle de \"\mathbb{R}\" et \"f\" une fonction \"f : I \to I.\" Soit \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" d\u00e9finie par \"u_{n + 1} = f \left( u_n \right)\" et \"u_0 \in I\" donn\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\" Si, pour tout \"x \in I,\" on a \"f \left( x \right) \le x,\" alors \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

\"\bullet\" Si, pour tout \"x \in I,\" \"f \left( x \right) \ge x,\" alors \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est croissante.<\/p>\n

Important :<\/em> Il faut v\u00e9rifier que l’intervalle \"I\" est stable par \"f,\" i.e. que pour tout \"x \in I,\" \"f \left( x \right) \in I.\"<\/p>\n

Exemple :<\/b> Soit la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" d\u00e9finie par \"u_{n + 1} = e^{u_n} - 1\" et \"u_0 = 0.\" Quel est son sens de variation ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

Posons \"f \left( x \right) = e^x - 1\" et \"g \left( x \right) = f \left( x \right) - x.\" \"f\" est une fonction d\u00e9finie sur \"I= \mathbb{R}\" \u00e0 valeurs dans \"I\".<\/p>\n

L’\u00e9tude du signe de \"g'\" (\"g ' \left( x \right) = e^x - 1\") donne le tableau de variation suivant<\/p>\n

\"methode<\/p>\n

Ainsi pour tout \"x \in \mathbb{R},\" on a \"f \left( x \right) \ge x\" et donc \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est croissante.<\/p>\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. Suites major\u00e9es, minor\u00e9es, born\u00e9es.<\/h3>\n

M\u00e9thode 4 : Trouver un majorant\/minorant explicitement.<\/b><\/p>\n

Un calcul direct suffit en g\u00e9n\u00e9ral si l’on propose un majorant ou un minorant. Sinon, \u00e0 vous de conjecturer ce majorant\/minorant<\/p>\n

Exemple : <\/b>Montrer que la suite dont le terme g\u00e9n\u00e9ral est d\u00e9fini par \"u_n = \dfrac{3n +1}{ n +1}\" est major\u00e9e par \"3.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

On a pour tout \"n \in \mathbb{N}\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_n - 3 = \dfrac{-2}{n + 1} \le 0.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

M\u00e9thode 5 : Justifier un majorant\/minorant en faisant un raisonnement par r\u00e9currence<\/a>.<\/b><\/p>\n

Cette m\u00e9thode fonctionnera particuli\u00e8rement bien pour les suites d\u00e9finies par r\u00e9currence.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\n

Soit la suite \"u\" d\u00e9finie par \"u_{n + 1 } = \sin \left( u_n \right)\" et \"u_0 = 1.\"<\/p>\n

Montrer que, pour tout entier \"n \in \mathbb{N},\" \"0 \le u_n \le 1.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

Proc\u00e9dons par r\u00e9currence.<\/p>\n

Introduisons, pour \"n \in \mathbb{N}\" la proposition \"\mathcal P \left( n \right) : " 0 \le u_n \le 1 ".\"<\/p>\n

\"\mathcal P \left( 0 \right)\" est manifestement vraie.<\/p>\n

Supposons que \"\mathcal P \left( n \right)\" est vraie pour un entier \"n \in \mathbb{N}\" fix\u00e9.<\/p>\n

Montrons que \"\mathcal P \left( n + 1 \right)\" est vraie.<\/p>\n

Par hypoth\u00e8se, on a \"0 \le u_n \le 1.\" Par croissance de la fonction \"\sin\" sur \"\left[ 0 , 1 \right],\" on a \"\sin \left( 0 \right) \le \sin \left( u_n \right) \le \sin 1\" (ne pas oublier cet argument de croissance !) soit<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[0 \le u_{n + 1 } \le \sin \left( 1 \right) \le 1.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

La proposition est donc d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/p>\n

3. Suites convergentes et calcul de la limite.<\/h3>\n

M\u00e9thode 6 : Calcul de la limite pour les suites d\u00e9finies explicitement.<\/b><\/p>\n

Si la suite est d\u00e9finie explicitement, l’existence et le calcul de la limite doivent pouvoir se faire directement, en utilisant les op\u00e9rations sur les suites convergentes<\/a>. En particulier, le produit d’une suite born\u00e9e par une suite qui converge vers \"0\" converge vers \"0.\"<\/p>\n

On n’oubliera pas les croissances compar\u00e9es ! Les voici : pour tout \"\alpha \in \mathbb{R}\" et \"\beta > 0,\"<\/p>\n

\"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{ \left(\ln n \right)^{\alpha} }{n^{\beta}}= 0 , \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^{\alpha} }{ e^{ \beta n} }=0 \, \text{et}\" \"\, \lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^{ \alpha n }}{n!} = 0.\"<\/p>\n

<\/div>\n
Exemple\u00a0<\/b>:<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
Montrer que la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" d\u00e9finie par \"u_n = \dfrac{\ln n + \left( - 1 \right)^n}{n}\" converge et calculer sa limite.<\/span><\/div>\n
\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On \u00e9crit \"u_n = \dfrac{\ln n }{n} + \dfrac{ \left( - 1 \right)^n}{n}.\"<\/p>\n

On a, par croissance compar\u00e9e, \"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\ln n}{n} = 0\" et \"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{ \left( - 1 \right)^n}{n}=0\" comme produit d’une suite qui converge vers \"0\" par la suite born\u00e9e \"\left( \left( - 1 \right)^n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}.\"<\/p>\n

La suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\" converge vers \"0.\"<\/p>\n

M\u00e9thode 7 : Calcul de la limite pour les suites d\u00e9finies par r\u00e9currence.<\/b><\/p>\n

Soit \"f : I \to I\" une fonction continue et \"u_{n + 1} = f \left( u_n \right)\" avec \"u_0 \in I.\" On suppose que l’on a montr\u00e9 que la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge vers \"l\" et que \"l \in I.\" Alors \"l\" v\u00e9rifie \"l = f \left( l \right).\" Il suffit alors de r\u00e9soudre cette \u00e9quation et de choisir parmi les solutions possibles.<\/p>\n

Attention, la continuit\u00e9 de \"f\" et le fait que \"l \in I\" sont essentiels.<\/p>\n

Exemple<\/b>\u00a0:<\/p>\n

Soit la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" d\u00e9finie par \"u_{n + 1}= \dfrac{u_n}{u_n + 1}\" et \"u_0 = 2.\" Montrer que \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge et calculer sa limite.<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

On montre par r\u00e9currence que \"u_n > 0\" (faites-le !). Aussi<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{u_{n+ 1 }}{u_n} = \dfrac{1}{u_n +1} \le 1.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Ainsi \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante, minor\u00e9e donc elle converge. On appelle \"l\" sa limite, \"l \ge 0\" comme limite d’une suite de r\u00e9els positifs. Comme \"x \mapsto \dfrac{x}{x + 1}\" est continue sur \"\mathbb{R}_+,\" \"l\" v\u00e9rifie l’\u00e9quation \"l = \dfrac{l}{l+1}\" soit \"l=0\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

4. Suites classiques.<\/h3>\n

M\u00e9thode 8 : \u00a0Etude des suites classiques.<\/b><\/p>\n

1) <\/b>Vous devez savoir \u00e9tudier les suites arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9triques, c’est-\u00e0-dire d\u00e9finies par une relation du type :<\/p>\n

il existe \"\left( a , b \right) \in \mathbb{R}^2, a \neq 1,\" pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"u_{n + 1} = a u_n + b.\"<\/p>\n

On commence par d\u00e9terminer le r\u00e9el \"C\" tel que \"a C + b = C.\"<\/p>\n

On note ensuite si \"n \in \mathbb{N}, w_n = u_n - C.\" On montre que \"\left( w_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison \"a.\" On en d\u00e9duit \"w_n\" puis \"u_n = w_n + C.\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0On peut g\u00e9n\u00e9raliser ce r\u00e9sultat aux suites de la forme \"u_{n + 1} = a u_n + P \left( n \right)\" o\u00f9 \"a \neq 1\" et \"P\" est une fonction polyn\u00f4me<\/a>.<\/p>\n

On commence par chercher une solution particuli\u00e8re \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" sous la forme \"v_n = Q \left( n \right),\" \"Q\" \u00e9tant une fonction polyn\u00f4me de m\u00eame degr\u00e9 que \"P.\"<\/p>\n

Puis on pose \"w_n = u_n - v_n.\" On montre que la suite \"\left( w_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison \"a.\" On d\u00e9termine \"w_n\" puis \"u_n.\"<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: Soit la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" d\u00e9finie par \"u_{n + 1} = 2u_n + n^2 + 1\" et \"u_0=1.\" Exprimer \"u_n\" en fonction de \"n.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On applique la m\u00e9thode ci-dessus avec \"P \left( n \right) = n^2 + 1.\" On cherche une suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" solution sous la forme \"v_n = Q \left( n \right)\" o\u00f9 \"Q\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"2\" (le m\u00eame que celui que \"P\") ainsi \"v_n = an^2 + b n +c.\"<\/p>\n

En traduisant \"v_{n + 1}= 2 v_n + n^2 +1,\" on a<\/p>\n

\"a \left( n + 1 \right)^2 + b \left( n + 1 \right) + c\" \"=2 \left( an^2 + bn + c \right) + n^2 + 1.\"<\/p>\n

En identifiant les coefficients devant \"n^2, n\" et \"1,\" on r\u00e9cup\u00e8re le syst\u00e8me d’\u00e9quations suivant :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a& =2 a + 1 \\ 2 a + b & = 2b \\ a + b +c & = 2c + 1 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La r\u00e9solution donne \"a=-1, b=-2, c=-4.\" Pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"v_n = -n^2 - 2n - 4.\" Il est facile de v\u00e9rifier que la suite \"\left(u_n - v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison \"2,\" ainsi on a \"u_n - v_n = 2^n \left( u_0 - v_0 \right)\" avec \"v_0 = - 4.\" Puis<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_n = 5 \times 2^n - n^2 - 2n - 4 .\]\"<\/p>\n

Le chapitre sur les suites r\u00e9elles est un classique de maths en pr\u00e9pa HEC, mais il est important d’\u00eatre parfaitement au point sur tous les autres chapitres de maths du programme, comme :<\/p>\n