{"id":33985,"date":"2019-08-14T09:13:08","date_gmt":"2019-08-14T08:13:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33985"},"modified":"2022-07-20T11:07:54","modified_gmt":"2022-07-20T10:07:54","slug":"cours-en-ligne-corriges-suites-reelles-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-suites-reelles-ecs1\/","title":{"rendered":"Suites r\u00e9elles en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Suites r\u00e9elles en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Suites r\u00e9elles<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> C’est faux !<\/p>\n

En effet, prenons \"u_n = \begin{cases} \dfrac1n & \text{si} \; n \; \text{est pair}, \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.\" Il est clair que \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge vers \"0\" et qu’elle n’est pas d\u00e9croissante car \"u_{2 n + 1} \le u_{2n + 2}\" pour tout \"n \in \mathbb{N}.\"<\/p>\n

2)<\/strong> C’est faux encore !<\/p>\n

En effet, en utilisant la racine carr\u00e9e, on obtient la convergence de la suite \"\left( \sqrt{u_n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}}.\" Puis \"\sqrt{u_n^2} = \left| u_n \right|\" donc \"\left(\left| u_n \right| \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge…<\/p>\n

Pour trouver un contre-exemple, prenons \"u_n = \left( - 1 \right)^n.\"<\/p>\n

\"u_n^2 =1\" donc la suite \"\left( u_n^2 \right)_{n \in \N}\" converge et pourtant \"\left( u_n \right)_{n \in \N}\" diverge car les suites extraites \"\left( u_{2n} \right)_{n \in \mathbb{N}\" et \"\left( u_{2n + 1} \right)_{n \in \N}\" convergent vers des limites diff\u00e9rentes (\"1\" et \"-1\").<\/p>\n

3)<\/strong> Si l’on rajoute l’hypoth\u00e8se \"u_n \ge 0,\" c’est vrai ! En effet, la suite \"\left( \sqrt{u_n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge et \"\sqrt{u_n^2} = \left| u_n \right| = u_n.\"<\/p>\n

4)<\/strong> C’est vrai !<\/p>\n

Si l’on appelle \"l\" la limite de la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}},\" alors en \u00e9crivant la d\u00e9finition de la limite, on a :<\/p>\n

\"\forall \epsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N},\" \"\left( n \ge N \right) \Rightarrow \left( \left| u_n - l \right| \le \epsilon \right).\"
\nEn choisissant \"\epsilon = 1,\" par l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire, si \"n \ge N\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left| u_n \right| = \left| \left( u_n - l \right) + l \right| \le \left| u_n - l \right| + \left| l \right| \le 1 + \left| l \right|.\]\"<\/p>\n

Puis on introduit \"M = \max \left\{ \left| u_0 \right| , \left| u_1 \right|, \cdots , \left| u_{N-1} \right|, \left| l \right| + 1 \right\},\" on a, en distinguant les cas \"n \le N -1\" et \"n \ge N\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{pour tout} \; n \in \mathbb{N}, \left| u_n \right| \le M.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

5)<\/strong> C’est vrai et c’est du cours !<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> La suite \"\left( u_n \right)_{n \in \N}\" est d\u00e9finie par une somme, on calcule<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\n

Donc la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \N}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

2)<\/strong> La suite est d\u00e9finie par un quotient et \"u_n > 0,\" calculons \"\dfrac{u_{n+ 1}}{u_n}\" :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\n

Comme \"2 \le e \le 3,\" on a \"\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \le 1\" pour \"n \ge 3.\" Il s’ensuit que la suite \"\left( u_n \right)_{n \ge 3}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

3)<\/strong> Si \"f \left( x \right) = \dfrac{\ln^2 \left( x \right)}{x},\" alors \"u_n =f \left( n \right).\" On a pour \"x > 0,\" \"f ' \left( x \right) = \dfrac{\ln \left( x \right) \left( 2 - \ln \left( x \right) \right)}{x^2}.\" \"f ' \left( x \right) \le 0\" d\u00e8s que \"x \ge e^2 \approx 7,34.\" Ainsi la suite \"\left( u_n \right)_{n \ge 8}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

Exercice 3 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> On a \"v_{n + 1} - v_n = u_{n + 2} - 2 u_{n + 1} + u_n.\" Or \"2 u_{n + 1} \le u_n + u_{n + 2}\" soit \"v_{n + 1} - v_n \ge 0,\" donc la suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est croissante.<\/p>\n

2)<\/strong> Comme la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est born\u00e9e, la suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" l’est comme diff\u00e9rence de deux suites born\u00e9es. La suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathhb{N}}\" \u00e9tant croissante et major\u00e9e converge vers une limite not\u00e9e \"l.\" On montre que \"l =0.\"<\/p>\n

Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose, par exemple, \"l > 0,\" le cas \"l < 0\" se traitant de mani\u00e8re analogue. On \u00e9crit que \"\lim_{n \to +\infty} u_{n + 1 } - u_n = l,\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall \epsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \; \forall n \in \mathbb{N} , \; \left( n \ge N \right) \Rightarrow \left( l - \epsilon \le u_{n + 1} - u_n \le l + \epsilon \right).\]\"<\/p>\n

On a le choix de \"\epsilon,\" prenons \"\epsilon = \dfrac{l }{2} > 0\" de sorte que \"l - \epsilon = \dfrac{l}{2} > 0,\" ainsi pour tout \"n \ge N,\" on a \"\dfrac{l}{2} \le u_{n + 1} - u_n.\"<\/p>\n

Soit \"p \ge N + 1,\" en sommant la relation pr\u00e9c\u00e9dente pour \"n\" compris entre \"N\" et \"p -1,\" on obtient : \"\displaystyle\sum_{n = N}^{p - 1} \dfrac{l}{2} \le \displaystyle\sum_{n = N}^{p - 1} \left( u_{n + 1} - u_n \right)\" soit \"\left( p - N \right) \dfrac{l}{2} \le u_{p } - u_N\" puis \"u_p \ge u_N + \left( p - N \right) \dfrac{l}{2}.\"<\/p>\n

Par minoration par une suite qui diverge vers \"+ \infty,\" \"\lim_{p \to +\infty} u_p = +\infty.\" Cela contredit le fait que la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est born\u00e9e. Ainsi \"l = 0.\"<\/p>\n

\n

Exercice 4 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> La suite \"\left( u_n \right)_{n \in \N}\" est une suite r\u00e9currente lin\u00e9aire d’ordre \"2.\" La m\u00e9thode est classique. L’\u00e9quation caract\u00e9ristique est \"r^2 = r + 1.\" On a \"\Delta = 5.\" Ainsi, l’\u00e9quation caract\u00e9ristique a deux solutions r\u00e9elles : \"r_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\" et \"r_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}.\"<\/p>\n

Ainsi, il existe deux constantes r\u00e9elles \"A\" et \"B\" telles que : pour tout \"n \in \N,\" \"u_n = A \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n + B \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n.\"<\/p>\n

Pour trouver \"A\" et \"B,\" utilisons les valeurs de \"u_0\" et \"u_1.\" Cela donne le syst\u00e8me suivant :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} A + B & = 0 \\ A \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} + B \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} & = 1 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La r\u00e9solution de ce syst\u00e8me donne \"A= \dfrac{1}{\sqrt{5}}\" et \"B = - \dfrac{1}{\sqrt{5}}.\" Si bien que pour tout \"n \in \mathbb{N},\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n .\]\"<\/p>\n<\/p>\n

2)<\/strong> La suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

On r\u00e9sout l’\u00e9quation \"l = 2l + 3.\" Cela donne \"l = -3.\"<\/p>\n

Soit la suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\" d\u00e9finie par \"v_n = u_n - l = u_n + 3.\" Il est facile de voir que \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison \"2.\"<\/p>\n

Ainsi pour tout \"n \ge 1,\" on a \"v_n = 2^{n - 1} v_1 = 6 \times 2^{n - 1}.\"<\/p>\n

D’o\u00f9 \"u_n + 3 = 6 \times 2^{n - 1}\" et \"u_n = 6 \times 2^{n - 1} - 3.\"<\/p>\n

3)<\/strong> Il est facile de montrer, par r\u00e9currence double (faites-la !) que, pour tout \"n \in \mathbb{N},\" on a \"u_n > 0.\" Posons \"v_n = \ln \left( u_n \right).\" La suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" v\u00e9rifie :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[v_0 = \ln \left( u_0 \right) = 0, v_1 = \ln \left( u_1 \right) = 1 \; \text{et}\; v_{n + 2} = \dfrac12 v_{n + 1} + \dfrac12 v_n.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est une suite r\u00e9currente lin\u00e9aire d’ordre \"2\" \\`a coefficients constants. L’\u00e9quation caract\u00e9ristique est \"r^2 = \dfrac12 r + \dfrac12\" soit \"2 r^2 - r - 1 = 0.\" \"\Delta = 9\" il y a donc deux solutions \"r_1 = 1\" et \"r_2 = - \dfrac12.\"<\/p>\n

Ainsi, il existe deux constantes \"A, B \in \mathbb{R}\" telles que<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{pour tout} \; n \in \mathbb{N}, v_n = A 1^n + B \left( - \dfrac12 \right)^n.\]\"<\/p>\n

Pour trouver \"A\" et \"B,\" utilisons les valeurs de \"v_0\" et \"v_1.\" Cela donne le syst\u00e8me :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} A + B & = 0 \\ A - \dfrac12 B & = 1 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La r\u00e9solution de ce syst\u00e8me donne \"A= \dfrac23\" et \"B = - \dfrac23.\" Ainsi pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"v_n = \dfrac23 - \dfrac23 \times \left( - \dfrac12 \right)^n\" puis<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_n = e^{v_n} = e^{\dfrac23 - \dfrac23 \times \left( - \dfrac12 \right)^n}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

4)<\/strong> Cherchons une suite \u00ab\u00a0simple\u00a0\u00bb v\u00e9rifiant la relation \"u_{n + 1} = 2 u_n + n + 3.\" On la cherche sous la forme \"v_n = an + b\" avec \"a, b \in \R.\" En substituant \"v_n\" dans la relation, on a : \"a \left( n + 1 \right) + b = 2 \left( a n + b \right) + n + 3\" soit \"an + a + b = \left( 2 a + 1 \right) n + 2 b + 3.\" En identifiant les termes devant \"n\" et les termes constants, on obtient le syst\u00e8me :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a & = 2 a + 1 \\ a + b & = 2 b + 3 \end{cases},\]\"<\/p>\n

soit \"a = -1\" et \"b = - 4.\"<\/p>\n

Soit la suite \"\left( w_n \right)_{n \in \N^*}\" d\u00e9finie par \"w_n = u_n - \left( - n - 4 \right).\"<\/p>\n

Il est facile de voir que \"\left( w_n \right)_{n \in \N^*}\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison \"2\" d’o\\`u pour tout \"n \ge 1,\" \"w_n = 2^{n - 1} w_1.\" Or \"w_1 = u_1 - \left( - 1 - 4 \right) = 2+ 5 = 7\" et \"w_n = 7 \times 2^{n - 1}\" et<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_n = w_n - n - 4 = 7 \times 2^{n - 1} - n - 4 .\]\"<\/p>\n<\/p>\n

5) <\/strong>La relation donn\u00e9e est \u00e9quivalente \u00e0 \"u_{n + 3} + u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n.\"<\/p>\n

En posant \"v_n=u_{n +1} + u_n,\" la relation pr\u00e9c\u00e9dente montre que la suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est constante. Ainsi pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"v_n = v_0 = u_0 + u_1 = 3 + 1 = 4.\"<\/p>\n

On a donc montr\u00e9 que pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"u_{n + 1} = 4 - u_n\" avec \"u_0 = 1.\" La suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est donc arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

La suite est classique : on pose \"w_n = u_n - 2.\" La suite \"\left( w_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison \"-1,\" ainsi pour tout \"n \in \mathbb{N},\" on a \"w_n = \left( - 1 \right)^n w_0.\" Or \"w_0 = u_0 - 2 =1\" d’o\u00f9, pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"w_n = \left( - 1 \right)^n\" pour tout \"n \in \mathbb{N}\" et donc \"u_n = 2 + \left( - 1 \right)^n\" pour tout \"n \in \mathbb{N}.\"<\/p>\n

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