{"id":33989,"date":"2019-08-14T10:08:11","date_gmt":"2019-08-14T09:08:11","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33989"},"modified":"2023-09-16T17:05:39","modified_gmt":"2023-09-16T16:05:39","slug":"cours-en-ligne-matrices-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-matrices-ecs1\/","title":{"rendered":"Matrices en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Matrices en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Matrices inversibles, produit de matrices & polyn\u00f4me d’une matrice<\/h2>\n

M\u00e9thode 1 : Produit de matrices.
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Rappelons que la notation \"\mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{K} \right)\" d\u00e9signe l’ensemble<\/a> des matrices \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\" ayant \"n\" lignes et \"p\" colonnes.<\/p>\n

Dans le cas o\u00f9 \"n = p =1,\" on identifie \"\mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{K} \right)\" avec \"\mathbb{K}.\"<\/p>\n

Soient \"A \in \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{K} \right)\" et \"B \in \mathcal M_{l,q}\" deux matrices. Pour que le produit \"A \times B\" ait un sens, il faut et il suffit que \"p=l.\" Dans ce cas, \"A \times B \in \mathcal M_{n,q} \left( \mathbb{K} \right).\"<\/p>\n

Dans le cas particulier o\u00f9 \"A\" et \"B\" sont deux matrices carr\u00e9es d’ordre \"n,\" le produit \"A \times B\" est d\u00e9fini et est une matrice carr\u00e9e d’ordre \"n.\"<\/p>\n

Il faut donc retenir que :<\/p>\n

\"\bullet\" le produit \"A \times B\" est donc possible si et seulement si le nombre de colonnes de \"A\" est \u00e9gal au nombre de lignes de \"B.\"<\/p>\n

\"\bullet\" si \"A = \left( a_{i, j } \right)_{1 \le i \le n , 1 \le j \le p}\" et \"B = \left( b_{i,j} \right)_{1 \le i \le p, 1 \le j \le q},\"<\/p>\n

alors \"A \times B = \left( c_{i, j } \right)_{1 \le i \le n, 1 \le j \le q}\" o\\`u si \"1 \le i \le n\" et \"1 \le j \le q,\" on a<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[c_{i, j} = \sum_{k=1}^p a_{i,k} b_{k , j} .\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" dans le cas particulier o\u00f9 \"B\" est une matrice colonne \"B \in \mathcal M_{p , 1} \left( \mathbb{K} \right),\" alors le produit \"A \times B\" est une matrice colonne dont le nombre de lignes est \u00e9gal au nombre de lignes de \"A.\"<\/p>\n

Si \"A = \left( a_{i, j } \right)_{1 \le i \le n , 1 \le j \le p}\" et \"B = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix},\" alors \"A \times B = \left( y_i \right)_{1 \le i \le n}\" avec, pour \"0 \le i \le n,\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[y_i = \sum_{k=1}^p a_{i , k} x_k.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Exemple<\/b> : On pose \"A= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\" et\u00a0 \"B =\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}.\"<\/p>\n

Calculer les matrices \"AB\" et \"BA\" si cela est possible.<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Le nombre de colonnes de \"A\" est \u00e9gal au nombre de lignes de \"B,\" donc le produit \"A \times B\" existe et
\n\"A \times B = \begin{pmatrix} 1 \times 4 & 1 \times 5 & 1 \times 6 \\ 2 \times 4 & 2 \times 5 & 2 \times 6 \\ 3 \times 4 & 3 \times 5 & 3 \times 6 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

= \"\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{pmatrix}.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Le nombre de colonnes de \"B\" est \u00e9gal au nombre de lignes de \"A,\" donc le produit \"B \times A\" existe et<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[B \times A = 4 \times 1 + 5 \times 2 + 6 \times 3 = 32.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

D\u00e9couvrez nos cours de maths \u00e0 Paris<\/a> sur notre plateforme d\u00e9di\u00e9e \u00e0 votre succ\u00e8s scolaire en ECG1.<\/p>\n

M\u00e9thode 2 : Polyn\u00f4me d’une matrice.<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"P=\sum_{k=0}^p a_k X^k \in \mathbb{K} \left[ X \right]\" et si \"A \in \mathcal M_n \left( \mathbb{K} \right),\" on d\u00e9finit la matrice
\n\"P \left( A \right) = \sum_{k=0}^p a_k A^k\" \"= a_0 I_n + a_1 A + \cdots + a_p A^p.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On peut montrer que si \"P, Q \in \mathbb{K} \left[ X \right]\" et si \"\lambda \in \mathbb{R},\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( P + \lambda Q \right) \left( A \right) = P \left( A \right) + \lambda Q \left( A \right) \; \text{et} \; \left( P Q \right) \left( A \right) = P \left( A \right) Q \left( A \right).\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" On dit que \"P \in \mathbb{K} \left[ X \right]\" est un polyn\u00f4me<\/a> annulateur de \"A\" si \"P \left( A \right) = 0.\" On remarque que le polyn\u00f4me nul annule toutes les matrices, ce n’est donc pas un polyn\u00f4me annulateur tr\u00e8s int\u00e9ressant !<\/p>\n

\"\bullet\" A\u00a0 ce sujet pour une matrice \"A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\" avez-vous remarqu\u00e9 que<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[A^2 - \left( a + d \right) A + \left( ad - bc \right) I_2 =0 \, ?\]\"<\/p>\n

Cela signifie que \"P=X^2- \left( a + d \right) X + \left( ad - bc \right)\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"A.\"<\/p>\n

Exemple : <\/b>Soit \"A = \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}.\" Soit \"P = 1 + X + X^2,\" calculer \"P \left( A \right).\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Par d\u00e9finition, on a :
\n\"P \left( A \right) = A^2 + A + I_2\" \"= \begin{pmatrix} 7 & 21 \\ 14 & 42 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\" \"= \begin{pmatrix} 9 & 24 \\ 16 & 49 \end{pmatrix}.\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

M\u00e9thode 3 : Calcul de puissances de matrices.<\/b><\/p>\n

Il faut se souvenir que calculer la puissance \"n\"-i\u00e8me d’une matrice, ce n’est -presque- jamais simple! Il y a des cas o\u00f9 l’on sait faire :<\/p>\n

\"\bullet\" si \"A=\mathrm{diag} \left( \lambda_1 , \cdots \lambda_d \right)\" est diagonale, alors \"A^n = \mathrm{diag} \left(\lambda_1^n , \cdots \lambda_d^n \right),\"<\/p>\n

\"\bullet\" si \"A\" est nilpotente (i.e. il existe \"p \in \mathbb{N}\" tel que \"A^p =0\") alors, pour tout \"k \ge p,\" on a \"A^k =0.\" Il reste simplement \u00e0 calculer \"A^2 , \cdots , A^{k -1}.\"<\/p>\n

On peut quand m\u00eame donner quelques m\u00e9thodes g\u00e9n\u00e9rales pour s’en sortir.<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas o\u00f9 \"A = B + C\" avec \"BC = CB,\" on peut utiliser la formule du bin\u00f4me de Newton.<\/p>\n

Cette m\u00e9thode marchera bien si \"A = B + \lambda I\" et si les puissances de \"B\" sont simples \u00e0 calculer (par exemple \"B\" nilpotente).<\/p>\n

\"\bullet\" Essayer de conjecturer une formule puis la montrer par r\u00e9currence.<\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on a un polyn\u00f4me annulateur \"P\" de la matrice \"A,\" on peut faire la division euclidienne de \"X^n\" par \"P,\" cela donne \"X^n = P Q + R\" avec \"\deg R < \deg P.\" Cette relation donne \"A^n = R \left( A \right)\" car \"P \left( A \right) = 0.\"<\/p>\n

Cette m\u00e9thode est tr\u00e8s efficace surtout si l’on conna\u00eet un polyn\u00f4me annulateur de \"A\" de petit degr\u00e9 (\"2\" ou \"3\").<\/p>\n

Exemple :<\/b> Calculer leur puissance \"n\"-i\u00e8me de \"A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

Ecrivons \"A = I_3 + N\" avec \"I_3\" la matrice identit\u00e9 et \"N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\" On remarque que \"N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\" et \"N^3 = 0.\" Ainsi pour \"n \ge 2\", en appliquant la formule du bin\u00f4me de Newton (possible car \"N\" et \"I_3\" commutent), on a<\/p>\n

\"A^n\" \"= \left( I_3 + N \right)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} N^k I_3^{n-k}\"<\/p>\n

\"= \displaystyle\binom{n}{0}I_3 + \displaystyle\binom{n}{1}N + \displaystyle\binom{n}{2} N^2\" \"+ \underbrace{\displaystyle\sum_{k=3}^n \binom{n}{k} N^k I_3^{n-k}}_{= 0 }\"<\/p>\n

\"= I_3 + n N + \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{2} N^2\".<\/p>\n

Pour \"n=0,\" on a \"A^n = I_3,\" pour \"n=1, A^1 = A,\" la relation trouv\u00e9e ci-dessus est donc vraie pour tout entier \"n \in \mathbb{N}.\"<\/p>\n

M\u00e9thode 4 : Appliquer l’algorithme du pivot de Gauss.<\/b><\/p>\n

Il est fondamental de savoir r\u00e9soudre de fa\\c{c}on efficace un syst\u00e8me d’\u00e9quations, c’est un passage oblig\u00e9 en math\u00e9matiques et malheureusement r\u00e9barbatif. C’est gr\u00e2ce \u00e0 cela que l’on peut inverser des matrices. Il est important de savoir le faire et sans erreur de calculs !<\/p>\n

Le point de d\u00e9part est le syst\u00e8me suivant (pas n\u00e9cessairement carr\u00e9 bien qu’en pratique, ils le sont tous !) avec pour inconnues \"x_1 , \cdots x_n,\" les autres coefficients \"a_{i,j}\" et \"b_k\" sont suppos\u00e9s connus.<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a_{1,1} x_1 + a_{1,2 } x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n & = b_1 \\ a_{2,1} x_1 + a_{2,2 } x_2 + \cdots + a_{2, n} x_n & = b_2 \\ \vdots \\ a_{m,1} x_1 + a_{m,2 } x_2 + \cdots + a_{m, n} x_n & = b_m \end{cases}.\]\"<\/p>\n

On suppose que l’un des coefficients \"a_{1 ,j}\" pour \"j \in [\![ 1 , m ]\!]\" est non nul. En changeant \u00e9ventuellement l’ordre des \u00e9quations, on peut se ramener au cas o\\`u \"a_{1,1} \neq 0.\" On dit que \"a_{1,1}\" est le premier pivot. En pratique, on choisit un pivot simple, \u00e9gal \u00e0 \"1\" lorsque c’est possible.<\/p>\n

En faisant des op\u00e9rations sur les lignes (c’est-\u00e0-dire que l’on fait \"L_i \leftarrow L_i + a L_j\" avec \"a \in \mathbb{R}\"), il faut r\u00e9ussir \u00e0 annuler les coefficients devant \"x_1\" \u00e0 partir de la deuxi\u00e8me ligne. Comme \"a_{1, 1} \neq 0,\" on utilise \"L_i \leftarrow L_i -\frac{a_{i , 1}}{a_{1, 1}} L_1\" pour tout \"2 \le i \le m\" de sorte que le syst\u00e8me devienne :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a_{1,1} x_1 + a_{1,2 } x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n & = b_1 \\ \qquad \quad \ \ \widetilde{a_{2,2 }} x_2 + \cdots + \widetilde{a_{2, n}} x_n & = \widetilde{b_2} \\ \qquad \quad \ \ \vdots \\ \qquad \quad \ \ \widetilde{ a_{m,2 } } x_2 + \cdots + \widetilde{a_{m, n} } x_n & =\widetilde{ b_m} \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Si tous les coefficients \"\widetilde{a_{i, j}}\" pour \"2 \le i \le m\" et \"2 \le j \le n\" sont nuls, alors les op\u00e9rations de triangularisation du syst\u00e8me sont termin\u00e9es.<\/p>\n

Si au moins l’un des coefficients \"\widetilde{a_{i , j}}\" pour \"i \in [\![ 2, m ]\!]\" et \"j \in [\![ 2 , m ]\!]\" est non nul, on introduit en changeant \u00e9ventuellement l’ordre des \u00e9quations \"2\" \\`a \"m,\" le pivot suivant de deuxi\u00e8me indice \"j\" minimum. En changeant \u00e9ventuellement l’ordre des \u00e9quations, on suppose que c’est le coefficient de \"x_j\" dans la ligne \"2.\" On obtient un syst\u00e8me du type :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a_{1,1} x_1 + \cdots + a_{1, n } x_n \qquad \quad \ \ \qquad \quad \ \ \qquad \quad \ \ \qquad \quad \ \ & = b_1 \\ \qquad \quad \ \ \widetilde{a_{2,j}} x_j + \cdots + \widetilde{a_{2 , n}} x_n \qquad \ \ \qquad \quad \ \ \qquad \ \ \qquad & = \widetilde{b_2} \\ \qquad \quad \ \ \qquad \quad \ \ \widetilde{a_{3,j}} x_j + \cdots + \widetilde{a_{3 , n}} x_n \qquad \qquad \qquad \; \; \; \; \; & = \widetilde{b_3} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ddots \\ \qquad \quad \ \ \qquad \quad \qquad \quad \ \ \qquad \quad \ \ \widetilde{a_{m,j}} x_j + \cdots + \widetilde{a_{m , n}} x_n \, & = \; \widetilde{b_m} \end{cases},\]\"<\/p>\n<\/p>\n

avec \"\widetilde{a_{2, j}} \neq 0.\"<\/p>\n

Attention :\u00a0<\/u>on ne touche pas \u00e0 la premi\u00e8re ligne dans cette phase de l’algorithme.<\/p>\n

Pour les lignes \"3\" \u00e0 \"m,\" on effectue l’op\u00e9ration \"L_i \leftarrow L_i - \frac{\widetilde{ a_{i , j}} }{ \widetilde{a_{2, j} } } L_2\" de fa\\c{c}on \u00e0 faire dispara\u00eetre le coefficient de \"x_j\" dans les lignes num\u00e9rot\u00e9es de \"3\" \u00e0 \"m.\"<\/p>\n

On poursuit la m\u00e9thode pr\u00e9c\u00e9dente sur les lignes \"3\" \u00e0 \"m\" jusqu’\u00e0 ne plus trouver de pivot. On obtient \u00e0 la fin un syst\u00e8me triangulaire que l’on r\u00e9sout en commen\u00e7ant par la derni\u00e8re \u00e9quation.<\/p>\n

Il est possible d’obtenir un syst\u00e8me sans solution, avec une infinit\u00e9 de solutions, et dans le cas \"n = m,\" une unique solution.<\/p>\n

Exemple<\/strong> : R\u00e9soudre le syst\u00e8me suivant en discutant suivant le param\u00e8tre \"m \in \mathbb{R}\" :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} \left( 1 - m \right) x + 2 y - z & = 0 \\ 2 x + \left( 2 - m \right) y + 2 z & = 1 \\ x - 2 y + 3 z & = 2 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

R\u00e9ponse :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On ne choisit pas \"1 - m\" comme pivot (car il s’annule pour \"m = 1\"). On va \u00e9changer les lignes \"L_1\" et \"L_3,\" le syst\u00e8me devient donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x - 2y + 3 z & = 2 \\ 2 x + \left( 2 - m \right) y + 2 z & = 1 \\ \left( 1 - m \right) x + 2 y - z & = 0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

En utilisant \"L_2 \leftarrow L_2 - 2 L_1\" et \"L_3 \leftarrow L_3 - \left( 1 - m \right) L_1,\" on obtient le syst\u00e8me suivant :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x - 2y + 3z & = 2 \\ \left( 6 - m \right) y - 4 z & = - 3 \\ \left( 4 - 2m \right) y + \left( 3m- 4 \right) z & = 2 \left( m - 1 \right) \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Les deux coefficients de \"y\" dans les deux derni\u00e8res lignes s’annulant, on place l’inconnue \"z\" en deuxi\u00e8me position ce qui permet d’avoir un pivot \u00e9gal \u00e0 \"- 4\" ind\u00e9pendant de \"m\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + 3 z - 2 y & = 2 \\ - 4 z + \left( 6 - m \right) y & = - 3 \\ \left( 3 m - 4 \right) z + \left( 4 - 2 m \right) y & = 2 \left( m - 1 \right) \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Avec l’op\u00e9ration \"L_3 \leftarrow L_3 + \dfrac{3m - 4}{4} L_2\" et apr\u00e8s avoir multipli\u00e9 de \"L_3\" par \"4,\" on obtient :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + 3 z - 2 y & = 2 \\ - 4 z + \left( 6 - m \right) y & = - 3 \\ - \left( 3m^2 - 14 m + 8 \right) y & = - \left( m - 4 \right) \end{cases},\]\"<\/p>\n

soit<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + 3 z - 2 y & = 2 \\ - 4 z + \left( 6 - m \right) y & = - 3 \\ \left( 3m - 2 \right) \left( m - 4 \right) y & = m - 4 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas o\u00f9 \"m \notin \left\{ 4 , \dfrac32 \right\},\" on r\u00e9sout la derni\u00e8re \u00e9quation qui donne la valeur de \"y,\" puis avec la deuxi\u00e8me ligne, on obtient \"z\" et avec la premi\u00e8re ligne, on obtient la valeur de \"x\" soit :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[y = \dfrac{1}{3m - 2}, z= \dfrac{2m}{3m - 2} \; \text{et} \; x= - \dfrac{2}{3m - 2}.\]\"<\/p>\n

Le syst\u00e8me admet une unique solution : \"\left( - \dfrac{2}{3m - 2}, \dfrac{1}{3m - 2}, \dfrac{2m}{3m - 2} \right).\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"m = \dfrac23,\" la derni\u00e8re ligne s’\u00e9crit \"0y = - \dfrac{10}{3},\" elle est impossible, le syst\u00e8me n’a pas de solution.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"m = 4,\" le syst\u00e8me s’\u00e9crit (puisque la derni\u00e8re \u00e9quation est \"0=0\") :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + 3 z - 2y & = 2 \\ - 4 z + 2 y & = - 3 \end{cases},\]\"<\/p>\n

soit encore<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + 3 z - 2y & = 2 \\ y & = - \dfrac32 + 2z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x & = - 3 z + 2y + 2 \\ y & = - \dfrac32 + 2z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x & = z - 1 \\ y & =2z - \dfrac32 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Le syst\u00e8me admet une infinit\u00e9 de solutions \"\left\{ \left( z - 1 , 2 z - \dfrac32 , z \right) , z \in \R \right\}.\"<\/p>\n

 <\/p>\n

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M\u00e9thode 5 : Montrer qu’une matrice est inversible et calculer son inverse.
\n<\/b><\/p>\n

On rappelle que la matrice carr\u00e9e d’ordre \"n\" est dite inversible s’il existe une matrice \"A'\" telle que \"A A' = A' A =I_n.\" La matrice \"A'\" est alors unique et on la note \"A^{-1}.\"<\/p>\n

On sait que s’il existe une matrice carr\u00e9e de m\u00eame ordre \"n\" que \"A\" telle que \"AB = I_n\" ou telle que \"BA = I_n,\" alors \"A\" est inversible et \"B=A^{- 1}.\"<\/p>\n

On rappelle aussi qu’une matrice diagonale ou triangulaire \"A\" est inversible si, et seulement si, le produit des termes diagonaux est non nul.<\/p>\n

Voici diverses m\u00e9thodes pour montrer qu’une matrice carr\u00e9e \"A\" d’ordre \"n\" est inversible et calculer son inverse :<\/p>\n

\"\bullet\" On peut r\u00e9soudre le syst\u00e8me \"Y=A X,\" c’est-\u00e0-dire \u00e9tant donn\u00e9e une matrice colonne \"Y\" arbitraire \u00e0 \"n\" lignes, existe t-il \"X\" unique de type \"\left( n , 1 \right)\" telle que \"Y = AX\"? Si oui, \"A\" est inversible, sinon elle ne l’est pas. Lorsqu’elle est inversible, on obtient \"A^{-1}\" en exprimant \"X\" en fonction<\/a> de \"Y.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on a un polyn\u00f4me annulateur de \"A\" de terme constant \"a_0 \neq 0,\" on peut isoler \"a_0 I_n\" et factoriser par \"A\" le reste de l’expression pour faire appara\u00eetre une relation du type \"A B = I_n\" (ou \"B A = I_n\") et pour conclure que \"A\" est inversible d’inverse \"B.\"<\/p>\n

Exemple : <\/b>Montrer que la matrice \"A = \begin{pmatrix} 7 & 4 & - 4 \\ - 4 & - 3 & 4 \\ - 2 & - 4 & 5 \end{pmatrix}\"\u00a0 est inversible et calculer son inverse.<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/strong><\/p>\n

On v\u00e9rifie facilement que \"A^3 - 9A^2 + 23 A - 15 I_3=0\" (faites-le !). Ainsi, en \u00ab\u00a0passant\u00a0\u00bb \"15 I_3\" \u00e0 droite de l’\u00e9galit\u00e9, on a<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[A^3 - 9 A^2 + 23 A = 15 I_3,\]\"<\/p>\n

puis, sans oublier la matrice \"I_3\" apr\\`es \"23\" (c’est une faute courante, il ne faut pas la faire !) :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[A \left( \dfrac{1}{15} \left( A^2 - 9 A + 23 I_3 \right) \right) = I_3.\]\"<\/p>\n

Cela prouve que \"A\" est inversible et \"A^{- 1}= \dfrac{1}{15} \left( A^2 - 9 A + 23 I_3 \right).\" Apr\u00e8s calculs, on a<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[A^{- 1} = \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & 4 & - 4 \\ 12 & 27 & -12 \\ 10 & 20 & - 5 \end{pmatrix}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

M\u00e9thode 6 : Montrer qu’une matrice n’est pas inversible.<\/b><\/p>\n

Pour montrer qu’une matrice n’est pas inversible, on peut essayer de trouver une combinaison lin\u00e9aire<\/a> non triviale entre les colonnes donnant \"0.\" Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, si \"A\" est une matrice de taille \"n \times n\" dont les colonnes sont not\u00e9es \"C_1 , \cdots, C_n\" et si l’on trouve \"\alpha_1, \cdots , \alpha_n\" non tous nuls tels que<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\alpha_1 C_1 + \cdots + \alpha_n C_n = 0,\]\"<\/p>\n<\/p>\n

alors la matrice \"A\" n’est pas inversible et si \"X = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix},\" alors \"A X = 0.\"<\/p>\n

Si l’on ne trouve pas \u00ab\u00a0\u00e0 vu\u00a0\u00bb les r\u00e9els \"\alpha_1 , \cdots , \alpha_n,\" pour montrer que la matrice \"A\" n’est pas inversible, on montre que le syst\u00e8me \"A X = 0\" admet au moins une solution non nulle.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/strong> Montrer que la matrice \"A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\" n’est pas inversible.<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/strong><\/p>\n

On pose \"C_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, C_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\" et \"C_3 = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}.\" On remarque que \"C_1 - 2 C_2 + C_3 =0\" ainsi \"A\" n’est pas inversible, dit autrement (c’est \u00e9quivalent)<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\]\"<\/p>\n

Si l’on ne devine pas la relation \"C_1 - 2 C_2 + C_3 =0,\" on peut chercher \"x, y\" et \"z\" non tous nuls tels que \"x C_1 + y C_2 + z C_3 = 0\" soit r\u00e9soudre le syst\u00e8me :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + 2 y + 3 z & = 0 \\ 4 x + 5 y + 6 z & = 0 \\ 7 x + 8 y + 9 z & =0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

En utilisant \"L_2 \leftarrow L_2 - 4 L_1\" et \"L_3 \leftarrow L_3 - 7 L_1\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + 2 y + 3 z & = 0 \\ - 3 y - 6 z & = 0 \\ - 6 y - 12 z & =0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Et enfin, puisque la troisi\u00e8me \u00e9quation est le double de la deuxi\u00e8me, on a
\n\"\begin{cases} x + 2 y + 3 z & = 0 \\ - 3 y - 6 z & = 0 \end{cases}\" \"\Leftrightarrow \begin{cases} x & = - 2 y - 3 z \\ y & = - 2 z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x & = z \\ y & = - 2 z \end{cases}.\"
\nOn retrouve l’\u00e9galit\u00e9 \"C_1 - 2 C_2 + C_3 =0\" en prenant \"z = 1.\"<\/p>\n

Regardez d\u00e8s maintenant tous les autres cours en ligne de maths en ECG1 pour \u00eatre s\u00fbr d’avoir bien assimil\u00e9 toutes les notions de cours :<\/p>\n