{"id":33997,"date":"2019-08-14T10:22:00","date_gmt":"2019-08-14T09:22:00","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33997"},"modified":"2022-07-20T11:11:49","modified_gmt":"2022-07-20T10:11:49","slug":"cours-en-ligne-corriges-matrices-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-matrices-ecs1\/","title":{"rendered":"Matrices en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Matrices en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Matrices<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

On remarque que \"A = 3 I_3 + N\" o\u00f9 \"N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}.\" On remarque que \"N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}\" et \"N^3 =0.\" Comme \"3 I_3\" et \"N\" commutent, on peut appliquer la formule du bin\u00f4me de Newton, d’o\u00f9 pour \"n \ge 2,\"<\/p>\n

\"A^n\" \"= \left( 3 I_3 + N \right)^n\"
\n\"= \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} N^k \left( 3 I_3 \right)^{n - k}\"
\n\"\underset{N^k = 0 \; \text{si} \; k \ge 3}{=}\" \"\displaystyle\sum_{k=0}^2 \binom{n}{k} 3^{n - k} N^k\"
\n\"= 3^n I_3 + n 3^{n - 1} N + \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{2} 3^{n - 2} N^2\".<\/p>\n

On v\u00e9rifie que cette formule est vraie pour \"n =0\" et \"n =1.\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Pour \"n \in \mathbb{N},\" on pose<\/p>\n

\"\mathcal P_n\" : \u00ab\u00a0il existe \"a_n \in \mathbb{R}\" tel que \"A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2a_n & 1 - 2 a_n & 2 a_n \\ a_n & - a_n & a_n + 1 \end{pmatrix}\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n = 0,\" on a \"A_0 = I_3\" ainsi \"\mathcal P_0\" est vraie avec \"a_0 = 0.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Supposons \"\mathcal P_n\" est vraie, montrons que \"\mathcal P_{n + 1}\" est vraie. Pour cela, \u00e9crivons :<\/p>\n

\n
\"A^{n + 1}\" \"= A^n \times A\"
\n\"\underset{\text{HR}}{=}\"\u00a0 \"\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2a_n & 1 - 2 a_n & 2 a_n \\ a_n & - a_n & a_n + 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 6 & -5 & 6 \\ 3 & -3 & 4 \end{pmatrix}\"
\n\"= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ - 4 a_n + 6 & 4 a_n - 5 & - 4 a_n + 6 \\ - 2a_n + 3 & 2 a_n - 3 & - 2 a_n + 4 \end{pmatrix}\"
\n\"= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2a_{n + 1} & 1 - 2 a_{n + 1} & 2 a_{n + 1} \\ a_{n + 1} & - a_{n + 1} & a_{n + 1} + 1 \end{pmatrix}\",<\/div>\n
o\u00f9 l’on a pos\u00e9 \"a_{n + 1} = - 2a_n + 3.\"<\/div>\n
\n

2)<\/strong> Nous avons montr\u00e9 que la suite<\/a> \"\left( a_n \right)_{n \in \N}\" v\u00e9rifie \"a_0 = 0\" et \"a_{n + 1}= - 2 a_n + 3.\" La suite \"\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est donc arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

Le cours donne \"a_n = - \left( - 2 \right)^n + 1.\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit \"A^n\" en rempla\u00e7ant \"a_n\" dans \"A^n.\"<\/p>\n

Exercice 3 : Calcul de produit scalaire<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Soit \"N = \left\{ k \in \mathbb{N}, \; A^k = 0 \right\}.\" L’ensemble \"N\" est une partie non vide de \"\mathbb{N}\" car \"A\" est nilpotente. Donc \"N\" admet un plus petit \u00e9l\u00e9ment \"m.\" Comme \"A^0 = I_n,\" on a \"m \ge 1.\"<\/p>\n

Si \"A^{m - 1} = 0,\" cela signifierait que \"m - 1 \in N\" et que \"m\" n’est pas le plus petit \u00e9l\u00e9ment de \"A.\"<\/p>\n

Ainsi, on a \"A^{m - 1} \neq 0\" et \"A^m = 0.\"<\/p>\n

2)<\/strong> On suppose \"A\" inversible, il existe donc \"A^{ - 1}\" telle que \"A A^-1 = I_n.\"<\/p>\n

En multipliant par \"A^{m - 1}\" : \"A^m A^-1 = A^{m - 1},\" donc \"0 = A^{ m - 1},\" ce qui est impossible par choix de \"m.\"<\/p>\n

La matrice \"A\" n’est pas inversible.<\/p>\n

3)<\/strong> On a, pour tout \"p \in \mathbb{N},\"<\/p>\n

\"\left( A - I_n \right) \displaystyle\sum_{k=0}^p A^k\" \"= \left( A - I_n \right) \left( I_n + A + A^2 + \cdots + A^{p - 1} \right)\"
\n\"= \left( A + A^2 + \cdots + A^p \right)\" \"- \left( I_n + A + \cdots + A^{p - 1} \right)\"
\n\"= A^p - I_n\".<\/p>\n

En prenant \"p = m\" (d\u00e9fini \u00e0 la question 1) et gr\u00e2ce au fait que \"A^m = 0,\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[- I_n = \left( A - I_n \right) \displaystyle\sum_{k=0}^p A^k,\]\"<\/p>\n

d’o\u00f9 \"I_n - A\" est inversible et <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( I_n - A \right)^{- 1} = \displaystyle\sum_{k=0}^p A^k.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

Exercice 4 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> \"\bullet\" Pour une matrice \"2 \times 2,\" on a<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[A^2 - \left( a + d \right) A + \left( ad - bc \right) I_2 = 0,\]\"<\/p>\n

soit<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[A^2 - 5 A - 2 I_2 = 0.\]\"<\/p>\n

Cela peut se r\u00e9\u00e9crire sous la forme<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[A \left( \dfrac12 \left( A - 5 I_2 \right) \right)= I_2.\]\"<\/p>\n

Ainsi \"A\" est inversible et \"A^{-1} = \dfrac12 \left( A - 5 I_2 \right)= \dfrac15 \begin{pmatrix} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{pmatrix}.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Cette matrice \u00e9tant de taille \"3 \times 3,\" il n’y a pas de formule analogue \u00e0 celle obtenue pour les matrices \"2 \times 2\" (en fait, si mais elle est compliqu\u00e9e).<\/p>\n

Soit \"Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix},\" cherchons \"X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\" tel que \"BX = Y.\" Cela donne le syst\u00e8me suivant :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x_3 = y_1 \\ x_2 = y_2 \\ x_1 = y_3 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Ainsi<\/p>\n

\"Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3 \\ x_2 \\ x_1 \end{pmatrix}\" \"= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\" \"= B^{- 1} X.\"
\nAinsi \"B\" est inversible et \"B^{-1} =B.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On proc\u00e8de de la m\u00eame mani\u00e8re : soit \"Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix},\" cherchons \"X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\" tel que \"CX = Y.\" Cela donne le syst\u00e8me suivant :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x_1 - x_2 & = y_1 \\ x_1 + 2 x_2 + x_3 & = y_2 \\ x_1 + x_2 & = y_3 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

On applique la m\u00e9thode du pivot de Gauss. On commence par faire \"L_2 \leftarrow L_2 - L_1\" et \"L_3 \leftarrow L_3 - L_1\" pour obtenir<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x_1 - x_2 & = y_1 \\ 3 x_2 + x_3 & = y_2 - y_1 \\ 2 x_2 & = y_3 - y_1 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

la derni\u00e8re ligne donne directement \"x_2 = - \dfrac12 y_1 + \dfrac12 y_3.\" La deuxi\u00e8me ligne donne<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x_3 = y_2 - y_1 - 3 x_2 = \dfrac12 y_1 + y_2 - \dfrac32 y_3.\]\"<\/p>\n

La premi\u00e8re ligne donne finalement<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x_1 = y_1 + x_2 = \dfrac12 y_1 + \dfrac12 y_3.\]\"<\/p>\n

On a<\/p>\n

\"\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}\" \"= \begin{pmatrix} \dfrac12 & 0 & \dfrac12 \\ - \dfrac12 & 0 & \dfrac12 \\ \dfrac12 & 1 & - \dfrac32 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\"
\n\"= C^{-1} X\".<\/p>\n

Soit<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[C^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac12 & 0 & \dfrac12 \\ - \dfrac12 & 0 & \dfrac12 \\ \dfrac12 & 1 & - \dfrac32 \end{pmatrix}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

2)<\/strong> \"\bullet\" La premi\u00e8re colonne \u00e9tant nulle, on a \"C_1 + 0 C_2 + 0 C_3 = 0\" ainsi<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[E \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]\"<\/p>\n

donc \"E\" n’est pas inversible.<\/p>\n

\"\bullet\" On remarque que \"C_1 + C_2 - C_3 = 0\" ainsi \"F \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\" et donc \"F\" n’est pas inversible.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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