{"id":33998,"date":"2019-08-14T18:32:21","date_gmt":"2019-08-14T17:32:21","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33998"},"modified":"2022-06-11T17:11:36","modified_gmt":"2022-06-11T16:11:36","slug":"annale-corrige-du-sujet-essec-maths-ecs-2017","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-essec-maths-ecs-2017\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet ESSEC Maths ECS 2017"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet ESSEC Maths ECS 2017<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales de maths BCE<\/a><\/p>\r\n

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Partie 0 : \u00c9tude d’un premier exemple dans \"\mathbb{R}\"<\/h2>\r\n

1\/<\/strong> On prend ici \"E=\mathbb{R}\" et \"A=]0,1[\". Soit \"a\in]0,1[,\" comme \"0<a<1\", on a \"h=\min\left(\frac{a}{2},\frac{1-a}{2}\right) >0.\"
Ainsi \"a+h\leq a+\frac{1-a}{2}=\frac{1+a}{2}<1\" car \"a<1.\" Et \"a-h\geq a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0.\"<\/p>\r\n

Donc \"0<a-h<a<a+h<1\" et \"\frac12(a-h +a+h)=a\" avec \"a-h\ne a.\" Finalement \"a\" n’est pas un point extremal de \"]0,1[.\"<\/p>\r\n

On donne un exemple ci-dessous avec \"\frac12<a<1\" donc \"h=\frac{1-a}{2} :\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{picture}(20,10) <\/p><\/p>\r\n

2\/<\/strong> On consid\u00e8re maintenant \"E=\mathbb{R}\" et \"A=[0,1]\". La question pr\u00e9c\u00e9dente montre avec de mineures adaptations qu’aucun point de \"]0,1[\" n’est extremal de \"[0,1]\".<\/p>\r\n

Montrons que 0 est extremal de \"A.\" Supposons qu’il existe \"x,y\" dans \"[0,1]\" tel que \"\frac12(x+y)=0.\" Or une somme de r\u00e9els positifs est nulle si et seulement si tous les termes sont nuls donc ici \"x=y=0.\" Ainsi 0 est extr\u00e9mal de \"A.\"<\/p>\r\n

Montrons que 1 est extremal de \"A.\" Supposons qu’il existe \"x,y\" dans \"[0,1]\" tel que \"\frac12(x+y)=1.\" Si \"x<1\" alors \"x+y<2\" car \"y\leq 1\". C’est absurde donc \"x=1\" et \"y=2-x=1.\" Ainsi 1 est extr\u00e9mal de \"A.\"<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Partie 1 : \u00c9tude d’un second exemple dans \"M_2(\mathbb{R})\".<\/h2>\r\n

3\/ a\/ <\/strong>\" A_2 = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\1-\alpha & \alpha\end{pmatrix}\ , \: \alpha \in [0,1] \right\}\"<\/p>\r\n

\"= \left\{ \alpha \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} + (1-\alpha) \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix} , \: \alpha \in [0,1] \right\}\"<\/p>\r\n

\"= \left\{ \alpha I_2 + (1-\alpha) J , \: \alpha \in [0,1] \right\}\"<\/p>\r\n

On voit alors que \"A_2\" est un param\u00e9trage du segment d’extr\u00e9mit\u00e9s \"I_2\" et \"J\" dans \"{\cal M}_2(\mathbb{R}).\"<\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> Soient \"(\alpha,\beta) \in [0,1]^2\" et \"(M_{\alpha} , M_{\beta}) \in A_2\". Par calcul simple, on voit que

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{2} \, \left(M_{\alpha} + M_{\beta}\right) =\frac{1}2(\alpha + \beta) I_2+\left(1-\frac{1}2(\alpha + \beta)\right)J.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"(\alpha,\beta) \in [0,1]^2,\" on a \"\frac{1}2(\alpha + \beta)\in [0,1]\", ainsi \"\frac{1}{2} \, \left(M_{\alpha} + M_{\beta}\right) =M_{\frac{1}2(\alpha + \beta)}\in A_2\".<\/p>\r\n

3\/ c\/<\/strong> Soit \"\alpha\in[0,1], \begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\1-\alpha & \alpha\end{pmatrix}\" est inversible si et seulement si \"\alpha^2-(1-\alpha)^2\ne 0\" si et seulement si \"2\alpha -1\ne 0\" si et seulement si \"\alpha \ne \frac12.\" Si c’est le cas alors

  <\/span>   <\/span>\"\[M_{\alpha}^{-1}=\frac{1}{2\alpha-1}\begin{pmatrix}\alpha & \alpha-1\\\alpha-1 & \alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\alpha}{2\alpha-1} & 1-\frac{\alpha}{2\alpha-1}\\1-\frac{\alpha}{2\alpha-1} & \frac{\alpha}{2\alpha-1}\end{pmatrix}=M_{\frac{\alpha}{2\alpha-1} }.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Voyons pour quelles valeurs de \"\alpha\", on a \"\: \frac{\alpha}{2\alpha-1}\in [0,1].\"<\/p>\r\n

Si \"\frac12< \alpha < 1,\" alors \"\alpha-1< 0\" donc \"0<2\alpha -1 = \alpha+\underset{<0}{\underbrace{\alpha-1}}<\alpha\", on divise par \"2\alpha -1>0\" et \"1<\frac{\alpha}{2\alpha-1}.\" Donc \"M_{\alpha}^{-1}\notin A_2.\"<\/p>\r\n

Si \"0< \alpha < \frac12,\" alors \"2\alpha-1< 0\" donc \"\frac{\alpha}{2\alpha-1}<0\" et \"M_{\alpha}^{-1}\notin A_2.\"<\/p>\r\n

Si \"\alpha=0,\" alors \"M_0=I_2\" inversible d’inverse \"I_2\in A_2.\"<\/p>\r\n

Si \"\alpha=1,\" alors \"M_1=J\" inversible d’inverse \"J\in A_2.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"M_{\alpha}\" est inversible avec \"M_{\alpha}^{-1}\in A_2\" si et seulement si \"\alpha=0\" ou \"\alpha=0\".<\/p>\r\n

4\/<\/strong> Points extr\u00e9maux de \"A_2\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> On peut remarquer que, pour tout \"\alpha \in [0,1],\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[M_{\alpha}=I_2\Longleftrightarrow \alpha=1 \text{ et } 1-\alpha=0\Longleftrightarrow \alpha=1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, pour tout \"\beta\in [0,1],\" on a, en exploitant la question 2,

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{2} \, \left(M_{\alpha} + M_{\beta}\right) =I_2 \LongleftrightarrowM_{\frac{1}2(\alpha + \beta)}=I_2 \Longleftrightarrow \frac{1}2(\alpha + \beta)=1\underset{Q2}{\Longleftrightarrow}\alpha = \beta=1\Longleftrightarrow M_{\alpha} = M_{\beta}=I_2.\]\"<\/p><\/p>\r\n

De m\u00eame on peut remarquer que, pour tout \"\alpha \in [0,1],\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[M_{\alpha}=J\Longleftrightarrow \alpha=0 \text{ et } 1-\alpha=1\Longleftrightarrow \alpha=0.\]\"<\/p>
Par cons\u00e9quent, pour tout \"\beta\in [0,1],\" on a, en exploitant la question 2,

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{2} \, \left(M_{\alpha} + M_{\beta}\right) =J \LongleftrightarrowM_{\frac{1}2(\alpha + \beta)}=J \Longleftrightarrow \frac{1}2(\alpha + \beta)=0\underset{Q2}{\Longleftrightarrow}\alpha = \beta=0\Longleftrightarrow M_{\alpha} = M_{\beta}=J.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : \"I_2\" et \"J\" sont des points extr\u00e9maux de \"A_2\".<\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> Soit \"\alpha \in \, ]0,\frac{1}{2}]\". On a \"2\alpha \in]0,1].\" Avec la question (3b), \"\frac{1}{2} \, \left(M_{2 \alpha} + J\right)=\frac{1}{2} \, \left(M_{2 \alpha} + M_0\right)=M_{\frac{1}2(2\alpha + 0)}=M_{\alpha}\".<\/p>\r\n

Comme \"\alpha \ne 0,\" on a \"J=M_0\ne M\" donc \"M_{\alpha}\" n’est pas extr\u00e9mal.<\/p>\r\n

4\/ c\/<\/strong> Soit \"\alpha \in [\frac{1}{2},1 [\,\", alors \"2\alpha-1\in [0,1[\" et \"\frac{1}{2} \, \left(M_{2 \alpha-1} + I_2\right)=\frac{1}{2} \, \left(M_{2 \alpha-1} + M_1\right)=M_{\frac{1}2(2\alpha + 0)}=M_{\alpha}\".<\/p>\r\n

On a \"\alpha \ne 1,\" donc \"I_2\ne M_{\alpha}.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"M_{\alpha}\" n’est pas extr\u00e9mal.<\/p>\r\n

5\/<\/strong> R\u00e9duction simultan\u00e9e des matrices de \"A_2\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Soit \"\lambda\in \mathbb{R},\" la matrice \"J-\lambda I_2=\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\1 & -\lambda\end{pmatrix}\" est non inversible si et seulement si \"\lambda^2-1=0\" si et seulement si \"\lambda\in\{-1,1\}.\"<\/p>\r\n

Les valeurs propres de \"J\" sont \"-1\" et \"1.\" On voit facilement que \"J\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\" et \"J\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\". Il y a deux valeurs propres dans \"{\cal M}_{2,1}(\mathbb{R})\", un espace de dimension 2, donc \"J\" est diagonalisable et les deux SEP sont des droites.<\/p>\r\n

Bilan : SEP(\"J,1)=\text{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right)\" et SEP(\"J,-1)=\text{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right)\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Il est clair que \"I_2 begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\" et \"I_2 begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{c}1\\-1\end{pmatrix}\" donc \"\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\" et \"\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\" sont vecteurs propres de \"I_2\" associ\u00e9s \u00e0 1.\u00a0<\/p>\r\n

Ainsi, pour tout \"\alpha\" de \"[0,1]\", \"M_{\alpha}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=(\alpha I_2+(1-\alpha) J)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+(1-\alpha)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{Et : } M_{\alpha}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=(\alpha I_2+(1-\alpha) J)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}-(1-\alpha)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=(2\alpha-1)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"M_{\alpha}\" poss\u00e8de deux vecteurs propres formant une famille sur un espace de dimension 2 donc \"M_{\alpha}\" est diagonalisable avec la base de vecteurs propres suivante : \"\left(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right)\". Les valeurs propres associ\u00e9es sont \"1\" et \"2\alpha-1\". Il y a \u00e9galit\u00e9 entre \"2\alpha-1\" et 1 si et seulement si \"\alpha=1, M_{1}=I_2.\"<\/p>\r\n

Dans tous les cas, selon le cours, \"P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\in GL_2(\mathbb{R})\" est telle que, pour tout \"\alpha\" de \"[0,1]\", \"P^{-1}M_{\alpha}P=D_{\alpha}\" avec \"D_{\alpha}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\alpha-1\end{pmatrix}.\"<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Soit \"\alpha\" dans \"]0,1]\". On note \"u_{\alpha}\" l’endomorphisme de \"\mathbb{R}^2\" repr\u00e9sent\u00e9 par la matrice \"M_{\alpha}\" dans la base canonique de \"\mathbb{R}^2\".<\/p>\r\n

On sait que \"u_{\alpha}\" est un projecteur de \"\mathbb{R}^2\" si et seulement si \"u_{\alpha}\circ u_{\alpha}=u_{\alpha}\" si et seulement si \"M_{\alpha}^2=M_{\alpha}.\"<\/p>\r\n

On voit que \"J^2=J=J\times I_2 = I_2\times I\" donc<\/p>\r\n

\"M_{\alpha}^2=M_{\alpha}\" \"\Longleftrightarrow (\alpha I_2+(1-\alpha)J)^2=\alpha I_2+(1-\alpha)J\"
\"\:\" \"\Longleftrightarrow \alpha^2 I_2+2\alpha(1-\alpha)J+(1-\alpha)^2J^2=\alpha I_2+(1-\alpha)J\"
\"\:\" \"\Longleftrightarrow (\alpha^2+1-2\alpha +\alpha^2)I_2+2\alpha(1-\alpha)J=\alpha I_2+(1-\alpha)J\"
\"\:\" \"\Longleftrightarrow (\alpha^2+1-3\alpha +\alpha^2)I_2+(2\alpha-1)(1-\alpha)J=(0).\"
\"\Longleftrightarrow(-2\alpha+1)(1-\alpha)I_2+(2\alpha-1)(1-\alpha)J=(0).\"<\/p>\r\n

Comme \"(I_2,J)\" est libre on a \"M_{\alpha}^2=M_{\alpha}\Longleftrightarrow (2\alpha-1)(1-\alpha)=0 \Longleftrightarrow\alpha\in\left\{\frac12,1\right\}.\"<\/p>\r\n

Pour \"\alpha=1,\" on a \"u_{\alpha}=\text{Id}_{\mathbb{R}^2}\" de noyau \"\{(0,0)\}\" et d’image \"\mathbb{R}^2.\"<\/p>\r\n

Pour \"\alpha=\frac12,\" on a \"u_{\frac12}:(a,b)\mapsto \left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right)\" de noyau Vect(\"(1,-1))\" et d’image Vect(\"(1,1)).\"<\/p>\r\n

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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

Partie 2 : Points extr\u00e9maux et diam\u00e8tre d’une partie born\u00e9e d’un espace euclidien.<\/h2>\r\n

6\/<\/strong> \"A\" est non vide donc on peut choisir un \"u\" dans \"A\" et le nombre \"\left\| u-u \right\|\" est dans l’ensemble \"\left\{ \; \left\| v-w \right\|\; , \; (v,w) \in A^2\; \right\}\" donc il est une partie non vide de \"\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

Pour tout \"v,w\" dans \"A\", \"\left\| v-w \right\|\leq \left\| v\right\| + \left\|w \right\|\leq 2R\" par in\u00e9galit\u00e9 triangulaire donc l’ensemble \"\left\{ \; \left\| v-w \right\|\; , \; (v,w) \in A^2\; \right\}\" est major\u00e9 par \"2R.\"<\/p>\r\n

7\/<\/strong> On consid\u00e8re donc \"(c,d) \in A^2\\" tels que \"\ \frac{c+d}{2}=a\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> \"\left\|a-b\right\|= \left\|\frac{c+d}{2}-b\right\| = \left\|\frac{c-b+d-b}{2}\right\| \leq \frac12 \; \left(\, \left\|c-b\right\| + \left\|d-b\right\|\, \right)\" par in\u00e9galit\u00e9 triangulaire.<\/p>\r\n

Par d\u00e9finition du diam\u00e8tre, on peut dire que
\"\left\|c-b\right\| \leq \delta(A) = \left\|a-b\right\|\" et \"\left\|d-b\right\| \leq \delta(A) = \left\|a-b\right\|\". On somme ces in\u00e9galit\u00e9s et on divise par 2 pour obtenir \"\frac12 \; \left(\, \left\|c-b\right\| + \left\|d-b\right\|\, \right)\leq \left\|a-b\right\|.\"<\/p>\r\n

De sorte que, par double in\u00e9galit\u00e9, \"\left\|a-b\right\|=\frac12 \; \left(\, \left\|c-b\right\| + \left\|d-b\right\|\, \right).\"<\/p>\r\n

Si \"\delta(A)=\left\|a-b\right\|=0,\" alors \"A\" ne contient qu’un seul \u00e9l\u00e9ment et il est extr\u00e9mal dans \"A.\"<\/p>\r\n

Si \"\delta(A)=\left\|a-b\right\|>0,\" alors on peut diviser par \"\left\|a-b\right\|\" ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac12 \left( \frac{\left\|c-b\right\| }{\left\|a-b\right\|}+ \frac{\left\|d-b\right\|}{\left\|a-b\right\|}\right)=1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par d\u00e9finition \"0\leq \frac{\left\|c-b\right\| }{\left\|a-b\right\|}\leq 1\" et \"0\leq \frac{\left\|d-b\right\| }{\left\|a-b\right\|}\leq 1\", on sait que 1 est extr\u00e9mal dans \"[0,1]\" donc \"\frac{\left\|c-b\right\| }{\left\|a-b\right\|}=\frac{\left\|d-b\right\|}{\left\|a-b\right\|}=1.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\left\|c-b\right\| = \left\|d-b\right\| =\left\|a-b\right\|= \delta(A)\".<\/p>\r\n

b\/ <\/strong>\"\left\|c-a\right\|^2 + \left\|a-b\right\|^2 +2 \left\langle c-a , a-b \right\rangle\"<\/p>\r\n

\"=\tiny {\left\|c\right\|^2-2\left\langle c,a \right\rangle + \left\|a\right\|^2+\left\|a\right\|^2-2\left\langle b,a \right\rangle + \left\|b\right\|^2-2\left\|a\right\|^2+2\left\langle c,a \right\rangle-2\left\langle c,b \right\rangle+2\left\langle a,b \right\rangle}\"<\/p>\r\n

\"=\left\|c\right\|^2-2\left\langle c,b\right\rangle+\left\|b\right\|^2\"<\/p>\r\n

\"= \left\|c-b\right\|^2.\"<\/p>\r\n

Comme \"\left\|c-b\right\| =\left\|a-b\right\|,\" on peut les retirer simultan\u00e9ment et \"\left\|c-a\right\|^2 +2 \left\langle c-a , a-b \right\rangle=0\" donc \"\left\|c-a\right\|^2 =-2 \left\langle c-a , a-b \right\rangle.\"<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Les variables \"c\" et \"d\" jouent des r\u00f4les sym\u00e9triques donc \"\left\|d-a\right\|^2=-2 \left\langle d-a,a-b\right\rangle\".<\/p>\r\n

d\/<\/strong> Comme \"c+d=2a\", on a \"c-a=a-d\" donc \"\left\|d-a\right\|^2=\left\|c-a\right\|^2\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\langle d-a,a-b\right\rangle=\left\langle c-a , a-b \right\rangle\]\"<\/p><\/p>\r\n

donc \"\left\langle d-a,a-b\right\rangle-\left\langle c-a , a-b \right\rangle=0\"<\/p>\r\n

donc \"\left\langle d-a-(c-a),a-b\right\rangle=0\" et \"\left\langle d-c,a-b\right\rangle=0\"<\/p>\r\n

Bilan : \"c-d\" et \"a-b\" sont orthogonaux.<\/p>\r\n

e\/<\/strong> \"c-d\" et \"a-b\" sont orthogonaux donc \"\frac12(c-d)\" et \"b-a\" sont orthogonaux. On peut appliquer le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore et \u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} \left\|\frac12(c-d)\right\|^2+\left\|b-a\right\|^2=\left\|\frac12(c-d)-a+b\right\|^2=\left\|\frac12(\underset{=c}{\underbrace{2a-d}}-d)-a+b\right\|^2&=&\left\|a-d-a+b\right\|^2 \\ &=&\left\|b-d\right\|^2 \\<\/p><\/p>\r\n

car \"b\" et \"d\" sont dans \"A.\"<\/p>\r\n

D’autre part \"\left\|\frac12(c-d)\right\|^2\geq 0\" donc \"\delta(A)^2\leq \left\|\frac12(c-d)\right\|^2+\delta(A)^2= \left\|\frac12(c-d)\right\|^2+\left\|b-a\right\|^2\leq \delta(A)^2\" donc \"\left\|\frac12(c-d)\right\|^2=0\" et \"c=d\". On en d\u00e9duit \"a=c=d.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"a\" est extr\u00e9mal dans \"A.\"<\/p>\r\n

Remarque : de fa\u00e7on intuitive, s’il existe \"c-d\" orthogonal \u00e0 \"b-a\", alors on pourra trouver un vecteur \"v\" dans \"A\" tel que
\"\left\|b-v\right\| >\left\|b-a\right\|=\delta(A)\" ce qui est contradictoire avec la notion de diam\u00e8tre. En ce sens \"a\" est un point sur le \u00ab\u00a0bord\u00a0\u00bb de \"A\" ce qui permet \u00e0 \"\left\|b-a\right\|\" d’\u00eatre maximal.<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{picture}(10, 10)<\/p><\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

Partie 3 : \u00c9tude de l’ensemble des matrices bistochastiques et de ses points extr\u00e9maux.<\/h2>\r\n

8\/<\/strong> Premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s de \"A_n\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Soit \"(M,M')\" dans \"A_n^2\". Soit \"i\in [\![1,n]\!], s_L\left(\frac12 (M+M'),i\right)=\frac12 s_L(M,i)+\frac12 s_L(M',i)=\frac12+\frac12=1\" et, pour tout \"j\in [\![1,n]\!], s_C\left(\frac12 (M+M'),j\right)=\frac12 s_C(M,j)+\frac12 s_C(M',j)=\frac12+\frac12=1.\"<\/p>\r\n

De plus \"s_L(^tM,i)=S_C(M,i)=1\" et \"s_C(^tM,i)=S_L(M,i)=1\".<\/p>\r\n

Bilan : \"\frac12 (M+M') \in A_n\" et \"^tM \in A_n\".<\/p>\r\n

On note \"X_0=\begin{pmatrix}1\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \in M_{n,1}(\mathbb{R})\", le vecteur colonne dont toutes les composantes valent 1.<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"M \in A_n\". Soit \"i\in [\![1,n]\!],\" le produit \"M.X_0\" est un vecteur colonne dont le \"i^e\" terme est \"s_L(M,i)\" car on multiplie la \"i^e\" ligne de \"M\" par une colonne de 1. Donc \"(M.X_0)_i\" vaut 1.<\/p>\r\n

Bilan : \"M.X_0=X_0\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> R\u00e9ciproquement, soit \"M\" une matrice de \"E\" dont tous les coefficients sont positifs, et v\u00e9rifiant :\u00a0
\"M.X_0=X_0\\" et \"^tM.X_0=X_0\". Alors pour tout \"i\in [\![1,n]\!],\" on a \"s_L(M,i)=(M.X_0)_i=1\" et<\/p>\r\n

\"s_C(M,i)=s_L(^tM,i)=(^tM.X_0)_i=1.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"M \in A_n\".<\/p>\r\n

d\/<\/strong> Soit \"(M,M')\" dans \"A_n^2\". Soit \"(i,j) \in [\![1,n]\!]^2, (MM')_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^n(M)_{i,k}(M')_{k,j},\"<\/p>\r\n

donc \"s_L(MM',i)=\sum\limits_{j=1}^n (MM')_{i,j}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n(M)_{i,k}(M')_{k,j}=\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\underset{\text{\tiny{inversion des $\sum$ possible car les indices sont ind\'ependants avec un nombre fini de termes}}}{\underbrace{\sum\limits_{k=1}^n (M)_{i,k} \sum\limits_{j=1}^n(M')_{k,j}}}=\sum\limits_{k=1}^n (M)_{i,k}\underset{=1}{\underbrace{s_L(M',k)}}=\sum\limits_{k=1}^n (M)_{i,k}=1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

De m\u00eame \"s_C(MM',j)=\sum\limits_{i=1}^n (MM')_{i,j}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n(M)_{i,k}(M')_{k,j}=\sum\limits_{k=1}^n (M')_{k,j} \sum\limits_{i=1}^n(M)_{i,k}\"
\"=\sum\limits_{k=1}^n (M')_{k,j}\underset{=1}{\underbrace{s_C(M,k)}}=\sum\limits_{k=1}^n (M')_{k,j}=1.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"M.M' \in A_n\".<\/p>\r\n

9\/ a\/<\/strong> Si \"\sigma\" est l’identit\u00e9 de \"[\![1,n]\!]\", alors \"\forall j \in [\![1,n]\!], \ f_{\sigma}(e_j)=e_{\sigma(j)}=e_j\" donc \"f_{\sigma}=\text{Id}_{\mathbb{R}^n}\" car \"f_{\sigma}\" et \"\text{Id}_{\mathbb{R}^n}\" co\\\u00a0\u00bb\\i ncident sur une base de \"\mathbb{R}^n\" et \"M_{\sigma}=I_n\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Si \"\sigma\" est une permutation de \"[\![1,n]\!]\", alors, pour tout \"j \in [\![1,n]\!], \ f_{\sigma}(e_j)=e_{\sigma(j)}\" donc dans la \"j^e\" colonne de \"M_{\sigma}\" il y \"n-1\" termes nuls et un terme \u00e9gal \u00e0 1 qui est sur la ligne \"\sigma(j)\". Donc \"s_C(M_{\sigma},j )=1.\"<\/p>\r\n

Soit \"i\in [\![1,n]\!],\" comme \"\sigma\" est une permutation de \"S_n\" il existe un seul \"k\in S_n\" tel que \"\sigma(k)=i\" donc la ligne \"i\" de \"M_{\sigma}\" contient \"n-1\" termes nuls et un terme \u00e9gal \u00e0 1 qui est sur la colonne \"k.\" Donc \"s_L(M_{\sigma},i )=1.\"<\/p>\r\n

On remarque aussi que tous les coefficients de \"M_{\sigma}\" sont positifs car ils valent 1 ou 0.<\/p>\r\n

Bilan : \"M_{\sigma} \in A_n\".\u00a0<\/p>\r\n

Ce qui pr\u00e9c\u00e8de permet de dire que, pour tout \"(i,j)\in [\![1,n]\!]^2,\" \"(M_{\sigma})_{i,j}=1\" si et seulement si \"f_{\sigma}(e_j)=e_{\sigma(j)}=e_i\" si et seulement si \"\sigma(j)=i.\"<\/p>\r\n

Donc \"(^tM_{\sigma})_{j,i}=1\" si et seulement si \"(M_{\sigma})_{i,j}=1\" si et seulement si \"\sigma(j)=i\" si et seulement si \"\sigma^{-1}(i)=j.\"<\/p>\r\n

Or \"(M_{\sigma}^{-1})_{j,i}=1\" si et seulement si \"f_{\sigma^{-1}}(e_i)=e_{\sigma^{-1}(i)}=e_j\" si et seulement si \"\sigma^{-1}(i)=j.\"<\/p>\r\n

On voit que \"^tM_{\sigma}\" et \"M_{\sigma}^{-1}\" ont des 1 sur les m\u00eames positions et des 0 sur les m\u00eames positions donc elles sont \u00e9gales.<\/p>\r\n

Bilan : \"^tM_{\sigma} = M_{{\sigma}^{-1}}\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Soit \"(\sigma, \sigma') \in S_n^2\", soit \"i\in [\![1,n]\!],\" \"f_{\sigma} \circ f_{\sigma'}(e_i) =f_{\sigma}(e_{\sigma'(i)})=e_{\sigma(\sigma'(i))}=e_{\sigma\circ \sigma'(i))}= f_{\sigma \circ \sigma' }(e_i).\"<\/p>\r\n

Donc \"f_{\sigma} \circ f_{\sigma'}\" et \"f_{\sigma \circ \sigma' }\" co\u00efncident sur une base de \"\mathbb{R}^n\" donc sont \u00e9gaux.<\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent \"f_{\sigma} \circ f_{\sigma^{-1}}=f_{\sigma \circ \sigma^{-1}}=f_{\text{Id}_{[\![1,n]\!]}}=\text{Id}_{\mathbb{R}^n}\" de m\u00eame \"f_{\sigma^{-1}} \circ f_{\sigma}=f_{\sigma^{-1} \circ \sigma}=f_{\text{Id}_{[\![1,n]\!]}}=\text{Id}_{\mathbb{R}^n}\"<\/p>\r\n

Par traduction matricielle dans la base canonique on a \"M_{\sigma}\" inversible et \"M_{\sigma}^{-1}=M_{\sigma^{-1}}.\"<\/p>\r\n

d\/<\/strong> On vient de montrer que, pour tout \"\sigma\in S_n\", \"M_{\sigma}\" est inversible et \"M_{\sigma}^{-1}=M_{\sigma^{-1}}= ^t\! M_{\sigma}.\" Donc \"M_{\sigma}\" est orthogonale.<\/p>\r\n

e\/<\/strong> On a vu que les matrices \"M_{\sigma}\" pr\u00e9sentant sur chaque ligne et sur chaque colonne un 1 et \"n-1\" fois 0.<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement soit \"M\" une matrice d’ordre \"n\" pr\u00e9sentant sur chaque ligne et sur chaque colonne un 1 et \"n-1\" fois 0.
Soit \"j\in [\![1,n]\!],\" on note \"n_j\" la ligne o\u00f9 se trouve l’unique 1 dans la colonne \"j\" de \"M.\" On a bien s\\^ur \"n_j\in [\![1,n]\!]\". On peut d\u00e9finir alors la fonction \"u\" telle que, pour tout \"j\in [\![1,n]\!],u(j)=n_j\".<\/p>\r\n

Si \"u(j)=u(i),\" il y a un 1 sur la ligne \"u(j)\" et sur les colonnes \"i\" et \"j\", par d\u00e9finition de \"M\" cela implique \"i=j\" donc \"u\" est injective.<\/p>\r\n

Comme il y a un 1 sur chaque ligne de \"M,\" on peut dire que \"u\" est surjective.<\/p>\r\n

Donc \"u\" est une permutation de \"[\![1,n]\!]\" et \"M=M_u.\"<\/p>\r\n

Bilan : les matrices \"M_{\sigma}\" sont exactement les matrices pr\u00e9sentant sur chaque ligne et sur chaque colonne un 1 et \"n-1\" fois 0.<\/p>\r\n

10\/<\/strong> Soit \"\sigma \in S_n\". montrons que, pour tout \"(i,j)\in [\![1,n]\!]^2, M\in A_n,\" on a \"(M)_{i,j}\in[0,1].\"<\/p>\r\n

Par hypoth\u00e8se les coefficients de \"M\" sont positifs donc \"0\leq (M)_{i,j}\leq \sum\limits_{k=1}^n(M)_{k,j}=1\" en effet la somme \"\sum\limits_{k=1}^n(M)_{k,j}\" contient le terme \"(M)_{i,j}\" est les autres sont positifs.<\/p>\r\n

Soit \"C,D\" dans \"A_n\" telles que \"\frac12(C+D)=M_{\sigma}\" alors pour tout \"(i,j)\in [\![1,n]\!]^2, \frac12(C+D)_{i,j}=(M_{\sigma})_{i,j}\" donc \"\frac12((C)_{i,j}+(D)_{i,j})=(M_{\sigma})_{i,j}\". On sait que \"(M_{\sigma})_{i,j}\" vaut 0 ou 1 et que les deux sont extr\u00e9maux dans \"[0,1]\" donc \"(C)_{i,j}=(D)_{i,j}=(M_{\sigma})_{i,j}.\"<\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent \"C=D=M_{\alpha}.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"M_{\sigma}\" est un point extr\u00e9mal de \"A_n\".<\/p>\r\n

11\/<\/strong> Etude d’un projecteur : on note \"p= \frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} f_{\sigma}\"\u00a0 et \"P= \frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} M_{\sigma}\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Soit \"\tau\" fix\u00e9 dans \"S_n\". L’application \"\varphi_{\tau} \ :\ \sigma \ \longmapsto\ \tau \circ \sigma\\" est une bijection de \"S_n\" dans lui m\u00eame car l’application \"\tau\" est bijective donc l’application \"\varphi_{\tau^{-1}}:\sigma \ \longmapsto\ \tau^{-1} \circ \sigma\" existe et elle v\u00e9rifie

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi_{\tau}\circ \varphi_{\tau^{-1}} = \varphi_{\tau\circ\tau^{-1}}=\varphi_{\text{Id}_{[\![1,n]\!]}}=\text{Id}_{S_n}= \varphi_{\tau^{-1}\circ\tau}=\varphi_{\tau^{-1}}\circ\varphi_{\tau}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On utilise la lin\u00e9arit\u00e9 de \"f_{\tau}\" pour \u00e9crire

  <\/span>   <\/span>\"\[f_{\tau} \circ p = f_{\tau} \circ\left(\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} f_{\sigma}\right)=\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} f_{\tau} \circ f_{\sigma}=\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} f_{\tau \circ\sigma}=\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} f_{\varphi_{\tau}(\sigma)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

or \"\varphi_{\tau}\" est une bijection de \"S_n\" dans lui m\u00eame donc \"\{f_{\varphi_{\tau}}(\sigma)\}_{\sigma \in S_n}=\{\sigma\}_{\sigma \in S_n}\" d’o\u00f9 \"\sum\limits_{\sigma \in S_n} f_{\varphi_{\tau}(\sigma)}=\sum\limits_{\sigma \in S_n} f_{\sigma}\".<\/p>\r\n

Bilan : \"f_{\tau} \circ p=p.\"<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Pour montrer que \"p\circ p=p,\" on calcule

  <\/span>   <\/span>\"\[p\circ p = \left(\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} f_{\sigma}\right)\circ p=\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} f_{\sigma}\circ p=\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} p = \frac{1}{n!}\times n! \times p = p\]\"<\/p>
car il y a \"n!\" termes dans l’indexation \"[\sigma \in S_n].\"<\/p>\r\n

Bilan : \"p\" est un projecteur de \"\mathbb{R}^n\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Comme \"p\" est un projecteur, on sait que, pour tout \"x\in\mathbb{R}^n\", on a \"x\in \Im(p)\Longleftrightarrow x=p(x).\"<\/p>\r\n

Ainsi soit \"x\in \Im(p),\" alors, pour tout \"\sigma\in S_n,\" on a \"f_{\sigma}(x)=f_{\sigma}(p(x))=f_{\sigma}\circ p(x)=p(x)=x.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement si, pour tout \"\sigma\in S_n,\" on a \"f_{\sigma}(x)=x\" alors \"p(x)=\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} f_{\sigma}(x)=\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} x=x.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\Im(p)=\left\{ x \in \mathbb{R}^n \ / \ \forall \sigma \in S_n, \ f_{\sigma}(x)=x\right\}\".<\/p>\r\n

d\/<\/strong> Soit \"x_0= \sum_{i=1}^n e_i\", il est facile de voir que, pour tout \"\sigma \in S_n,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\ f_{\sigma}(x)=f_{\sigma}\left(\sum\limits_{i=1}^n e_i\right)= \sum\limits_{i=1}^n f_{\sigma}(e_i)=\sum\limits_{i=1}^n e_{\sigma(i)}=\sum\limits_{i=1}^n e_{i}=x\]\"<\/p> en utilisant le fait que \"\sigma\" est une bijection et donc \"\{\sigma(i)\}_{i\in[\![1,n]\!]}=[\![1,n]\!]\". Cela implique \"x_0\in \Im(p).\"<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement soit \"x= \sum_{i=1}^n a_ie_i\in\mathbb{R}^n\" tel que, pour tout \"\sigma \in S_n, \ f_{\sigma}(x)=x.\" Soit \"i\" et \"j\" distincts dans \"[\![1,n]\!].\" On consid\u00e8re la permutation \"\sigma\" qui \u00e9change \"i\" et \"j\" et laisse fixes les autres valeurs.<\/p>\r\n

C’est-\u00e0-dire \"\sigma(i)=j, \sigma(j)=i,\" et, pour \"k\ne i, k\ne j, \sigma(k)=k.\"<\/p>\r\n

On a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} 0 &=&f_{\sigma}(x)-x \\<\/p><\/p>\r\n

Donc comme \"(e_i,e_j)\" est sous-famille d’une base elle est libre et \"a_j=a_i\" et cela pour tout \"i,j\" donc \"x=a_1x_0.\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que \"\Im(p)\subset \Vect(x_0).\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\Im(p)=\Vect(x_0)\"<\/p>\r\n

e\/<\/strong> On a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} ^{t}P= ^{t}\left( \frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} M_{\sigma}\right)= \frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} \; \; ^t M_{\sigma} &= &\frac{1}{n!}\; \sum_{\sigma \in S_n} M_{\sigma^{-1}} \\<\/p><\/p>\r\n

car \"\{\sigma^{-1}\}_{\sigma\in S_n}=\{\sigma\}_{\sigma\in S_n}.\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que la matrice de \"p,\" dans une base orthonorm\u00e9e, est symetrique donc \"p\" est un projecteur orthogonal.<\/p>\r\n

On sait que les matrices \"M_{\sigma}\" ne contiennent que des 0 et des 1. On pose \"M= \sum_{\sigma \in S_n} M_{\sigma}.\" Soit \"(i,j)\in[\![1,n]\!]^2,\" \"(M)_{i,j}\" est le nombre de permutations de \"[\![1,n]\!]\" qui, \u00e0 \"i,\" associent \"j.\" Il y en a \"(n-1)!\" c’est-\u00e0-dire le nombre de fa\u00e7ons de permuter les entiers de \"[\![1,n]\!]\" distincts de \"i.\" On en d\u00e9duit que tous les ceofficients de \"M\" valent \"(n-1)!\". Donc en divisant par \"n!\", on voit que \"P\" a tous ses coefficients \u00e9gaux \u00e0 \"\frac1n.\"<\/p>\r\n

f\/<\/strong> Les colonnes et lignes de \"P\" contiennent chacune \"n\" fois le terme \"\frac1n\" qui est positif donc les sommes des termes valent 1 sur chaque ligne et colonne.<\/p>\r\n

Bilan : \"P \in A_n\".<\/p>\r\n

12\/ a\/\u00a0<\/strong>Si \"M=(m_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}\" et \"N=(n_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}\" sont deux matrices de \"E\",

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{Tr}(^tM.N)=\sum_{i=1}^n(^tM.N)_{i,i}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(^tM)_{i,j}(N)_{j,i}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(M)_{j,i}(N)_{j,i}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nm_{j,i}n_{j,i}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> L’application \"(M,N)\ \longmapsto \ Tr(^tM.N)\" est un produit scalaire sur \"E\", c’est un r\u00e9sultat classique du cours.<\/p>\r\n

Si \"(M,N)\" sont dans \"E\", on note \"\left(M|N\right)=Tr(^tM.N)\\" ce produit scalaire, et \"\left\|M\right\|_2 = \sqrt{Tr(^tM.M)}\" la norme associ\u00e9e.<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Soit \"\sigma \in S_n\". On a \"\left\|M_{\sigma}\right\|_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n(M_{\sigma})_{i,j}^2}\". Or dans la matrice \"M_{\sigma}\" il y a \"n\" coefficients valant 1, les autres sont nuls donc \"\left\|M_{\sigma}\right\|_2=\sqrt{n}.\"<\/p>\r\n

d\/<\/strong> Dans cette question seulement, on suppose que \"n=2\". Soit \"(\alpha, \beta) \in [0,1]^2\" et \"(M_{\alpha}, M_{\beta}) \in A_2^2\". Par d\u00e9finition

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\| M_{\alpha}- M_{\beta} \right\|_2=\left\|\begin{pmatrix}{cc}\alpha-\beta &- \alpha+\beta\\-\alpha+\beta&\alpha-\beta\end{pmatrix} \right\|=\sqrt{4(\alpha-\beta)^2}=2\vert \alpha-\beta\vert.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"0\leq \alpha\leq 1\" et \"-1\leq \beta\leq 0\" donc \"-1\leq \alpha-\beta\leq 1\" donc \"\vert \alpha-\beta\vert\leq 1\" et pour \"\alpha=1,\beta =0\" on a \"\vert \alpha-\beta\vert= 1.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\delta(A_2)=2\".<\/p>\r\n

e\/<\/strong> Soit \"n \geq 2\". Soit \"M =(m_{i,j})_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}\in A_n\". On sait que les coefficients de \"M\" sont positifs et que la somme des termes de chaque ligne vaut 1 donc tous les coefficients sont dans \"[0,1]\" donc, pour tout \"(i,j)\in[\![1,n]\!]^2,\" on a
\"0\leq m_{i,j}^2\leq m_{i,j}\" donc \"\sum\limits_{j=1}^n m_{i,j}^2\leq \sum\limits_{j=1}^n m_{i,j}=1.\" On en d\u00e9duit que

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\|M\right\|_2^2 =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n m_{i,j}^2\leq \sum\limits_{i=1}^n 1=n.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : \"\left\|M\right\|_2^2 \leq n\".<\/p>\r\n

f\/<\/strong> On en d\u00e9duit que

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall (M,N) \in A_n^2\ , \ \left\|M-N\right\|_2^2 =\left\|M\right\|_2^2+\left\|N\right\|_2^2-2\langle M,N\rangle \leq 2n -2\langle M,N\rangle =2n-\sum_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nm_{j,i}n_{j,i}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nm_{j,i}n_{j,i}\geq 0\" car les coefficients de \"M\" et \"N\" sont positifs.<\/p>\r\n

Donc \"0\leq \left\|M-N\right\|_2^2\leq 2n\". On compose par la fonction racine carr\u00e9e qui est croissante sur \"\mathbb{R}^+\" et
\"0\leq \left\|M-N\right\|_2\leq \sqrt{2n}\" sachant qu’une norme est positive.<\/p>\r\n

g\/<\/strong> Soit \"\sigma \in S_n\", on d\u00e9finit \"\tau \in S_n\" de la fa\u00e7on suivante. Pour tout \"i\in[\![1,n]\!],\" si \"\sigma(i)<n\" on pose \"\tau(i)= \sigma(i)+1\in[\![2,n]\!]\", et si \"\sigma(i)=n\" on pose \"\tau(i)= 1.\" Il est clair que \"\tau\" a \"n\" images distinctes et que \"\tau\" est injectif donc \"\tau\" est dans \"S_n.\" On remarque que, pour tout \"i\in[\![1,n]\!],\" \"\tau(i)\ne \sigma(i).\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que \"\left(M_{\sigma} | M_{\tau}\right)= \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nm_{j,i}n_{j,i}=0\". En effet,
pour tout \"(i,j)\in[\![1,n]\!]^2,\" \"m_{i,j}n_{i,j}=1\" si et seulement si \"m_{i,j}=n_{i,j}=1\" car \"m_{i,j},n_{i,j}\" valent 1 ou 0.<\/p>\r\n

Or \"m_{i,j}=n_{i,j}=1\" si et seulement si \"i=\sigma(j)\" et \"i=\tau(j)\" ce qui est impossible.<\/p>\r\n

Bilan : \"\left(M_{\sigma} | M_{\tau}\right)=0.\"<\/p>\r\n

h\/<\/strong> La question 12(f) assure que diam\u00e8tre de \"A_n\" est domin\u00e9 par \"\sqrt{2n}.\" Or il existe \"\tau\" et \"\sigma\" dans \"S_n\" tel que \"\left(M_{\sigma} | M_{\tau}\right)=0.\" On sait que \"M_{\sigma}, M_{\tau}\" sont dans \"A_n,\" de sorte que

  <\/span>   <\/span>\"\[\Vert M_{\sigma}- M_{\tau}\Vert^2=\Vert M_{\sigma}\Vert^2+\Vert M_{\tau}\Vert^2-2\left(M_{\sigma} | M_{\tau}\right)=2n.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"\Vert M_{\sigma}- M_{\tau}\Vert=\sqrt{2n},\" cela implique que le majorant \"\sqrt{2n}\" est un maximum et que le diam\u00e8tre de \"A_n\" est \"\Vert M_{\sigma}- M_{\tau}\Vert=\sqrt{2n}.\"<\/p>\r\n

La partie II assure alors que \"M_{\sigma}\" est un point extr\u00e9mal de \"A_n.\" On peut faire ce raisonnement pour tout \"\sigma \in S_n.\"<\/p>\r\n

Bilan : les matrices de permutation sont des points extr\u00e9maux de \"A_n\".<\/p>\r\n

13\/ a\/<\/strong><\/p>\r\n

\"\bullet\" \"F_n\subset E\" ;
\"\bullet\" la matrice nulle de \"E\" est dans \"F_n\" qui n’est donc pas vide ;
\"\bullet\" soit \"\lambda \in \mathbb{R}, (M,N)\in F_n^2,\" alors, pour tout \"i\in[\![1,n]\!], s_L(\lambda M+N,i)=\lambda s_L(M,i)+s_L(N,i)=0\" et \"s_C(\lambda M+N,i)=\lambda s_C(M,i)+s_C(N,i)=0\".<\/p>\r\n

Donc \"\lambda M+N\in F_n.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"F_n\" est un sous-espace vectoriel de \"E\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"\Phi : F_n \ \longrightarrow \ {\cal M}_{n-1}(\mathbb{R})\\" qui \u00e0 toute matrice \"M=(m_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}\" de \"F_n\" associe la matrice \"\Phi(M)=(m_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n-1]\!]^2}\". L’action de \"\Phi\" consiste \u00e0 supprimer la derni\u00e8re ligne et la derni\u00e8re colonne d’une matrice d’ordre \"n\", on obtient une matrice d’ordre \"n-1.\"<\/p>\r\n

Soit \"\lambda \in \mathbb{R}, (M,N)\in F_n^2,\"

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} \Phi\left(\lambda M+N\right)&=&\Phi\left(\lambda (m_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}+(n_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}\right) \\<\/p><\/p>\r\n

Donc \"\Phi\in{\cal L}(F_n,{\cal M}_{n-1}(\mathbb{R})).\"<\/p>\r\n

Montrons que \"\Phi\" est injective. Soit \"M\in \text{Ker}(\Phi),\" comme \"\Phi(M)=(0)\" alors, pour tout \"i\in[\![1,n-1]\!],\" la \"i^e\" ligne de \"M\" contient \"n-1\" termes nul donc le \"n^e\" terme est nul aussi car la somme vaut 0.
Il en va de m\u00eame pour les \"(n-1)\" premi\u00e8res colonnes, il reste le terme en position \"(n,n)\" qui vaut 0 car tous les autres valent 0, finalement \"M\" est la matrice nulle d’ordre \"n.\"<\/p>\r\n

Montrons que \"\Phi\" est surjective. Soit \"B=(b_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n-1]\!]^2}\in {\cal M}_{n-1}(\mathbb{R}).\" Pour tout \"i\in[\![1,n-1]\!],\" on pose \"b_{i,n}=-\sum\limits_{j=1}^{n-1}b_{i,j}\" de sorte que \"\sum\limits_{j=1}^{n}b_{i,j}=0.\"<\/p>\r\n

Pour tout \"j\in[\![1,n-1]\!],\" on pose \"b_{n,j}=-\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_{i,j}\" de sorte que \"\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i,j}=0.\"<\/p>\r\n

Il reste \u00e0 d\u00e9terminer \"b_{n,n}\" et \u00e0 v\u00e9rifier que \"\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i,n}=0=\sum\limits_{j=1}^{n}b_{n,j}.\"<\/p>\r\n

Pour cela on pose \"b_{n,n}=-\sum\limits_{j=1}^{n-1}b_{n,j}=-\sum\limits_{j=1}^{n-1}\left(-\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_{i,j}\right)=\sum\limits_{j=1}^{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_{i,j}.\"<\/p>\r\n

On v\u00e9rifie que \"-\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_{i,n}=-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(-\sum\limits_{j=1}^{n-1}b_{i,j}\right)=b_{n,n}.\"<\/p>\r\n

Ainsi la matrice \"(b_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}\" est bien dans \"F_n\" et elle est ant\u00e9c\u00e9dent de \"B\" par \"\Phi.\"<\/p>\r\n

\"\Phi\" est donc surjective.<\/p>\r\n

Bilan : \"\Phi\" est un isomorphisme de \"F_n\" dans \"{\cal M}_{n-1}(\mathbb{R})\" donc la dimension de \"F_n\" est celle de \"{\cal M}_{n-1}(\mathbb{R})\" donc \"(n-1)^2\".<\/p>\r\n

14\/<\/strong> On d\u00e9sire montrer que les matrices de permutation sont les seuls points extr\u00e9maux de \"A_n\".
On raisonne par r\u00e9currence sur \"n \geq 2\". On note \"\mathcal{P} (n)\" la proposition :<\/p>\r\n

\"\mathcal P (n)\" : Si \"M\" est un point extr\u00e9mal de \"A_n\", alors \"M\" est une matrice de permutation.<\/p>\r\n

a\/<\/strong> La question 4 montre que dans \"A_2\" seuls \"I_2\" et \"J\" sont extr\u00e9maux et ce sont les seules matrices de permutation de \"{\cal M}_2(\mathbb{R}).\"<\/p>\r\n

On consid\u00e8re un entier naturel \"n \geq 3\" tel que \"\mathcal P (n-1)\" soit r\u00e9alis\u00e9 et on se donne une matrice \"M \in E\" \\\\telle que
\"M=(m_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}\" est un point extr\u00e9mal de \"A_n\".<\/p>\r\n

On suppose d’abord que la matrice \"M\" a au moins \"2n\" coefficients non nuls : il existe \"2n\" couples \"(i_k,j_k)_{k \in [\![1,2n]\!]}\" deux \u00e0 deux distincts tels que \"m_{i_k,j_k}\" est non nul.<\/p>\r\n

On pose alors \"H=\Vect\left( E_{i_k,j_k}\ / \ k \in [\![1,2n]\!] \right)\" o\u00f9 les matrices \"\left( E_{i,j}\right)_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}\" sont les matrices \u00e9l\u00e9mentaires de la base canonique de \"M_n(\mathbb{R})\", c’est-\u00e0-dire que \"E_{i,j}\" est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, \u00e0 l’exception du coefficient d’indices \"(i,j)\" qui vaut 1.<\/p>\r\n

b\/<\/strong> On sait que \"H\" et \"F_n\" sont des sous-espaces de \"{\cal M}_{n}(\mathbb{R})\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{dim}(H+F_n)=\text{dim}(H)+\text{dim}(F_n)-\text{dim}(H\cap F_n)=(n-1)^2+2n-\text{dim}(H\cap F_n).\]\"<\/p><\/p>\r\n

En effet \"H\" est de dimension \"2n\" car il a une famille g\u00e9n\u00e9ratrice \u00e0 \"2n\" vecteurs qui est libre car sous-famille d’une base.<\/p>\r\n

Or \"H+F_n\subset {\cal M}_n(\mathbb{R})\" donc \"\text{dim}(H+F_n)\leq \text{dim}({\cal M}_n(\mathbb{R}))=n^2\" donc \"\text{dim}(H\cap F_n)\geq (n-1)^2+2n-n^2=1\".<\/p>\r\n

Bilan : \"H \cap F_n \neq \left\{ 0_E \right\}\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> On prend \"N\" non nul dans \"H \cap F_n\" et pour tout r\u00e9el \"t\", on note \"Q_t=M+tN\". On peut remarquer que, pour tout \"i\in [\![1,n]\!], s_L(Q_t)=s_L(M+tN)=s_L(M)+ts_L(N)=1 + 0=1\" car \"M\" est dans \"A_n\" et \"N\" est dans \"F_n.\"
De m\u00eame \"s_C(Q_t)=s_C(M+tN)=s_C(M)+ts_C(N)=1 + 0=1\".<\/p>\r\n

Il reste \u00e0 trouver \"\varepsilon >0\" tel que \"\forall t \in ]-\varepsilon, \varepsilon[ , \forall (i,j)\in[\![1,n]\!]^2, (Q_t)_{i,j}\geq 0.\"<\/p>\r\n

On pose \"K=\{(i_k,j_k)\in [\![1,n]\!]^2 \text{ tel que } {k \in [\![1,2n]\!]} \text{ et } m_{i_k,j_k}\ne 0\} .\" Comme l’ensemble
\"\{ m_{i_k,j_k}\}_{(i_k,j_k)\in K}\" est non vide, fini et inclus dans \"\mathbb{R}^{+*}\", il a un minimum que l’on note \"m>0.\"<\/p>\r\n

On sait que \"N\" est dans \"H\" et qu’il est non nul donc il existe des scalaires \"a_1,a_2,...,a_{2n}\" non tous nul tels que

  <\/span>   <\/span>\"\[N=\sum\limits_{k=1}^{2n} a_{k}E_{i_k,j_k}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On note \"r=\max\limits_{1\leq k\leq 2n}(\vert a_k\vert)\", ce \"r\" existe car l’ensemble est fini et \"r>0\" car il y a au moins un terme strictement positif.<\/p>\r\n

On pose \"\varepsilon =\frac{m}{r}>0.\" Soit un r\u00e9el \"t\in ]-\varepsilon, \varepsilon[,\" prenons \"(i,j)\in [\![1,n]\!]^2.\"<\/p>\r\n

Si \"(Q_t)_{(i,j)}=0\" alors \"(Q_t)_{(i,j)}\geq 0.\"<\/p>\r\n

Sinon soit \"(i_k,j_k)\in K,\" \"(Q_t)_{(i_k,j_k)}=(M)_{(i_k,j_k)}+t (N)_{(i_k,j_k)}\", comme \"t \in ]-\varepsilon, \varepsilon[\", on a \"\vert t \vert <\frac{m}{r},\" on multiplie par \"\vert (N)_{(i_k,j_k)}\vert\geq 0\" ainsi \"\vert t (N)_{(i_k,j_k)}\vert \leq \frac{m}{r}\vert (N)_{(i_k,j_k)}\vert.\"<\/p>\r\n

Or \"(N)_{(i_k,j_k)}=a_k\" donc \"\frac{\vert a_k\vert}{r}\leq 1\" de sorte que \"\vert t (N)_{(i_k,j_k)}\vert \leq m\" donc<\/p>\r\n

\"-m\leq t (N)_{(i_k,j_k)}\leq m\" et \"m_{(i_k,j_k)}-m\leq (M)_{(i_k,j_k)}+t (N)_{(i_k,j_k)}\leq (M)_{(i_k,j_k)}+m.\"<\/p>\r\n

Or \"m\" est le minimum de \"\{ m_{i_k,j_k}\}_{(i_k,j_k)\in K}\" donc \"0\leq m_{(i_k,j_k)}-m\".<\/p>\r\n

Finalement pour tout \"t\in ]-\varepsilon, \varepsilon[,\" \"Q_t \in A_n\".<\/p>\r\n

d\/<\/strong> En consid\u00e9rant \"t \in ]-\varepsilon, \varepsilon[\" et \"t\ne 0,\" comme \"N\ne (0),\" on a \"Q_t\ne M\" et \"Q_{-t}\ne M\",
de plus

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac12(Q_t+Q_{-t})=\frac12(M+tN+M-tN)=M\]\"<\/p> avec \"Q_t \in A_n, Q_{-t}\in A_n.\"<\/p>\r\n

Donc \"M\" n’est pas extr\u00e9mal dans \"A_n.\"<\/p>\r\n

On aboutit \u00e0 une contradiction : on a donc prouv\u00e9 que la matrice \"M\" a au plus \"2n-1\" coefficicents non nuls.<\/p>\r\n

e\/<\/strong> La somme des coefficients de chaque colonne de \"M\" vaut 1 donc il y a au moins un terme non nul dans chaque colonne de \"M.\" Cela repr\u00e9sente \"n\" termes. Il en reste au plus \"n-1\" non nul, comme il y a \"n\" colonnes, il y a au moins une colonne sans deuxi\u00e8me terme non nul.<\/p>\r\n

Bilan : il existe une colonne de \"M\" n’ayant qu’un seul terme non nul, et que ce terme vaut 1.
On note \"s\" l’indice d’une telle colonne et \"r\" l’indice tel que \"m_{r,s}=1\".<\/p>\r\n

f\/<\/strong> On sait que la somme des coefficients de la ligne \"r\" vaut 1 or \"m_{r,s}=1\" donc s’il y a un autre terme non nul, il est forc\u00e9ment strictement positif et \"s_L(M,r)>1\". C’est absurde.<\/p>\r\n

Bilan : la ligne d’indice \"r\" de \"M\" a tous ses coefficients nuls sauf \"m_{r,s}\".<\/p>\r\n

g\/<\/strong> On consid\u00e8re alors la matrice \"M'\" obtenue \u00e0 partir de \"M\" en lui enlevant la colonne d’indice \"s\" et la ligne d’indice \"r\".<\/p>\r\n

On a \"M'\" d’ordre \"n-1.\"<\/p>\r\n

Soit \"i\in[\![1,n-1]\!], i< r,\" on a \"s_L(M',i)=s_L(M,i) + m_{i,s}=s_L(M,i)=1.\"<\/p>\r\n

Soit \"i\in[\![1,n-1]\!], i\geq r,\" on a \"s_L(M',i)=s_L(M,i+1) + m_{i+1,s}=s_L(M,i+1)=1.\"<\/p>\r\n

Soit \"j\in[\![1,n-1]\!], j< s,\" on a \"s_C(M',j)=s_C(M,j) + m_{r,j}=s_C(M,j)=1.\"<\/p>\r\n

Soit \"i\in[\![1,n-1]\!], j \geq s,\" on a \"s_C(M',j)=s_C(M,j+1) + m_{r,j+1}=s_C(M,j+1)=1.\"<\/p>\r\n

Les coefficients de \"M'\" clairement positifs donc \"M' \in A_{n-1}\".<\/p>\r\n

Montrons que \"M'\" est un point extr\u00e9mal de \"A_{n-1}\". On se donne \"C',D'\" dans \"A_{n-1}\" tels que \"\frac12(C'+D')=M'.\"<\/p>\r\n

On ajoute \u00e0 \"C'\" une colonne \u00e0 la position \"r\" et une ligne \u00e0 la position \"s\" en d\u00e9calant les colonnes d’indices \"r\" ou plus et les lignes d’indice \"s\" ou plus. Cette colonne et cette ligne ne contiennent que des 0 sauf en position \"(r,s)\" o\u00f9 le coefficient vaut 1. On note \"C\" cette matrice d’ordre \"n.\"<\/p>\r\n

On fait la m\u00eame chose sur \"D'\", on note \"D\" la nouvelle matrice. On v\u00e9rifie facilement que \"C\" et \"D\" sont dans \"A_n.\" Il suffit de reprendre la m\u00e9thode du d\u00e9but de cette question. Par somme on remarque que \"\frac12(C+D)=M.\" Or, par hypoth\u00e8se, \"M\" est extr\u00e9mal dans \"A_n\" donc \"C=D=M.\" Donc \"C'=D'=M'.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"M'\" est un point extr\u00e9mal de \"A_{n-1}.\"<\/p>\r\n

h\/<\/strong> On a suppos\u00e9 que \"\mathcal P (n-1)\" est r\u00e9alis\u00e9, comme \"M'\" est un point extr\u00e9mal de \"A_{n-1}\", on peut dire que \"M'\" est une matrice de permutation de \"A_{n-1}\".<\/p>\r\n

Donc \"M'\" ne contient que des 0 et des 1 et en ajoutant la colonne et la ligne pour reconstruire \"M,\" on voit que \"M\" ne contient que des 0 et des 1 et comme \"M\" est dans \"A_n\", on peut affirmer que \"M\" est une matrice de permutation de \"A_n\". Donc \"\mathcal P (n)\" est r\u00e9alis\u00e9. Cela termine la preuve par r\u00e9currence.<\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

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\u00a0 Corrig\u00e9 du sujet ESSEC Maths ECS 2017 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales de maths BCE Partie 0 : \u00c9tude d’un premier exemple dans 1\/ On prend ici et . Soit comme , on a Ainsi car Et Donc et avec Finalement n’est pas un point extremal de On donne un exemple ci-dessous 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