{"id":34000,"date":"2019-08-14T12:09:15","date_gmt":"2019-08-14T11:09:15","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34000"},"modified":"2023-09-16T22:10:17","modified_gmt":"2023-09-16T21:10:17","slug":"cours-en-ligne-espaces-vectoriels-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-espaces-vectoriels-ecs1\/","title":{"rendered":"Espaces vectoriels et applications lin\u00e9aires en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Espaces vectoriels & Applications Lin\u00e9aires<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours, m\u00e9thodes \u2013 Espaces vectoriels\/applications lin\u00e9aires<\/h2>\n

1. Premi\u00e8res notions sur les espaces vectoriels et les familles de vecteurs<\/h3>\n

M\u00e9thode 1 : Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel.
\n<\/b><\/p>\n

Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on montre que c’est un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel de r\u00e9f\u00e9rence.<\/p>\n

On rappelle quelques espaces vectoriels de r\u00e9f\u00e9rence :<\/p>\n

\"\mathbb{R}^n\" (\"n\"-uplets),<\/p>\n

\"\mathbb{R} \left[ X \right]\" (polyn\u00f4mes r\u00e9els),<\/p>\n

\"\mathbb{R}_n \left[ X \right]\" (polyn\u00f4mes r\u00e9els de degr\u00e9 inf\u00e9rieur \u00e0 \"n\"),<\/p>\n

\"\mathcal M_{n, p} \left( \mathbb{R} \right)\" (matrices<\/a> r\u00e9elles de taille \"n \times p\"),<\/p>\n

\"C^k \left( I \right)\" (fonctions r\u00e9elles<\/a> de classe \"C^k\" sur un intervalle \"I\"),<\/p>\n

\"\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\" (ensemble des suites r\u00e9elles<\/a>), etc.<\/p>\n

On rappelle que pour montrer qu’un ensemble \"F\" est un sous espace vectoriel de \"E\", on montre qu’il est non vide (on montre que \"0_E\" est dans \"F\") et que pour tout \"x,y \in F,\" pour tout \"\lambda \in \mathbb{R},\" \"x + \lambda y \in F.\"<\/p>\n

Exemple<\/b> :Montrer que les espaces suivants sont des espaces vectoriels :<\/p>\n

\"E= \left\{ \left( x , y , z \right) \in \mathbb{R}^3, \, x + 2 y - z = 0 \right\}\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

Clairement \"\left( 0, 0 , 0 \right) \in E.\"<\/p>\n

Soit \"\left( x_1 , y_1, z_1 \right), \left( x_2 , y_2 , z_2 \right) \in E\" et soit \"\lambda \in \mathbb{R}.\" Montrons que
\n\"\left( x_1 , y_1, z_1 \right) + \lambda \left( x_2 , y_2 , z_2 \right)\" \"= \left( x_1 + \lambda y_1 , x_2 + \lambda y_2 , x_3 + \lambda y_3 \right) \in E.\"<\/p>\n

Pour voir cela, \u00e9crivons :<\/p>\n

\"\left( x_1 + \lambda y_1 \right) - 2 \left( x_2 + \lambda y_2 \right) - \left( x_3 + \lambda y_3 \right)\" \"= \left( x_1 - 2 x_2 - x_3 \right) + \lambda \left( y_1 + 2 y_2 - y_3 \right)\"<\/p>\n

\"= 0\".<\/div>\n
<\/div>\n
\"E\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{R}^3\" donc un espace vectoriel.<\/div>\n
<\/div>\n
Retrouvez nos cours de maths<\/a> pour les \u00e9tudiants qui souhaitent progresser en maths en ECG1.<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 2 : Savoir utiliser la notation \"\mathrm{Vect}\".<\/b><\/div>\n

On rappelle que si \"a_1 , \cdots , a_n\" sont des vecteurs d’un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel \"E,\" on appelle \"\mathrm{Vect} \left( a_1 , \cdots , a_n \right)\" le sous espace vectoriel form\u00e9 par toutes les combinaisons lin\u00e9aires des vecteurs \"a_1 , \cdots , a_n\" :<\/p>\n

\"\mathrm{Vect} \left( a_1 , \cdots , a_n \right)\" \"= \left\{ \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k a_k , \; \left( \lambda_1 , \cdots , \lambda_n \right) \in \mathbb{K}^n \right\}.\"<\/p>\n

En cons\u00e9quence si l’on reconna\u00eet dans une partie de \"F\" de l’espace vectoriel \"E\" une \u00e9criture de la forme \"F= \left\{ \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k a_k , \; \left( \lambda_1 , \cdots , \lambda_n \right) \in \mathbb{K}^n \right\},\" on peut conclure que \"F = \mathrm{Vect} \left( a_1 , \cdots , a_n \right),\" donc \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E.\"<\/p>\n

Exemple : <\/b>Montrer que l’ensemble suivant est un espace vectoriel :<\/p>\n

\"E = \left\{ \left( x , y , z \right) \in \mathbb{R}^3, \; x = 2 y = 3 z \right\},\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On remarque que<\/p>\n

\"u = \left( x, y , z \right) \in E\" si, et seulement si,\u00a0 \"u = \left( x , \dfrac{x}{2} , \dfrac{x}{3} \right).\"<\/p>\n

Donc \"E= \left\{ x \left( 1 , \dfrac12 , \dfrac13 \right), \; x \in \mathbb{R} \right\} = \mathrm{Vect} \left( a \right)\" avec \"a = \left( 1 , \dfrac12 , \dfrac13 \right).\"<\/p>\n

Si bien que \"E\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{R}^3.\"<\/p>\n

 <\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

M\u00e9thode 3 : Montrer qu’une famille est une famille libre dans un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel.<\/b><\/p>\n

Voici quelques m\u00e9thodes que l’on peut essayer, la m\u00e9thode \"3\" \u00e9tant la plus importante :<\/p>\n

\"\bullet\" La famille \"\left( a \right)\" est libre si, et seulement si, \"a \neq 0.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que la famille \"\left( a , b \right)\" est libre, il est en g\u00e9n\u00e9ral plus simple de prouver que \"a \neq 0\" et que la condition \"b = \lambda a\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{K}\" est impossible.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour montrer qu’une famille de vecteurs \"\left( x_1 , \cdots , x_n \right)\" est libre, on revient g\u00e9n\u00e9ralement \u00e0 la d\u00e9finition, c’est-\u00e0-dire que l’on se donne \"\lambda_1 , \cdots \lambda_n \in \mathbb{K}\" tels que<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lambda_1 x_1 + \cdots \lambda_n x_n = 0,\]\"<\/p>\n<\/p>\n

et on montre que \"\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on sait que la famille \"\left( x_1 , \cdots , x_n \right)\" est libre, pour d\u00e9montrer que la famille \"\left( x_1 , \cdots , x_n , x_{n + 1 } \right)\" est libre, il suffit de montrer que la relation<\/p>\n

\"x_{n + 1} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k\" o\u00f9 \"\left( \lambda_1 , \cdots , \lambda_n \right) \in \mathbb{K}^n\" est impossible.<\/p>\n

Voici, en vrac, quelques id\u00e9es qui peuvent aussi servir \u00e0 montrer qu’une famille est libre :<\/p>\n

\"\bullet\" Une famille de polyn\u00f4mes<\/a> de degr\u00e9s \u00e9chelonn\u00e9s (c’est-\u00e0-dire de degr\u00e9s entiers deux \u00e0 deux distincts, donc ne contenant pas le polyn\u00f4me nul) est libre.<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque l’on doit montrer qu’une famille de fonctions est libre, il peut \u00eatre utile de prendre des valeurs de \"x\" bien choisies.<\/p>\n

\"\bullet\" Toujours avec des fonctions, il peut \u00eatre parfois int\u00e9ressant d’utiliser des propri\u00e9t\u00e9s d’analyse (continuit\u00e9, d\u00e9rivabilit\u00e9, etc).<\/p>\n

Exemple :<\/b> Montrer que \"\mathcal F_3 = \left( g_1: x \mapsto \left| x \right| , g_2 : x \mapsto \left| x - 1 \right|, g_3 : x \mapsto \left| x - 2 \right| \right)\" est libre dans \"C^0 \left( \mathbb{R} \right).\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

On pourrait prendre des valeurs particuli\u00e8res pour \"x\" mais on va proc\u00e9der autrement. On se donne trois r\u00e9els \"a,b\" et \"c\" tels que \"a g_1 + b g_2 + cg_3 = 0,\" montrons que \"a=b=c=0.\"<\/p>\n

Si l’on suppose, par exemple, \"a \neq 0,\" alors on aurait \"g_1 = - \dfrac{b}{a} g_2 - \dfrac{c}{a} g_3.\"<\/div>\n
Or, \"g_1\" n’est pas d\u00e9rivable en \"0\" et \"g_2, g_3\" le sont. L’\u00e9galit\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente est impossible, cela signifie que \"a= 0.\"<\/div>\n
On raisonne de m\u00eame pour montrer que \"b=c=0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 4 : Montrer qu’une famille est g\u00e9n\u00e9ratrice.<\/b><\/div>\n

\"\bullet\" Pour montrer qu’une famille de vecteurs \"\mathcal G = \left( x_1 , \cdots , x_m \right)\" de \"E\" est g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\", on montre que \"E = \mathrm{Vect} \left( x_1 , \cdots , x_m \right).\" En pratique, pour tout \"y \in E,\" on cherche des scalaires \"\lambda_1 , \cdots , \lambda_m \in \mathbb{K}\" tels que \"y = \displaystyle\sum_{k=1}^m \lambda_k x_k.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas o\u00f9 l’on sait que \"E = \mathrm{Vect} \left( e_1 , \cdots , e_p \right),\" pour d\u00e9montrer qu’une famille de vecteurs \"G =\left( x_1 , \cdots , x_m \right)\" de \"E\" est g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E,\" il suffit de prouver que pour tout \"k \in [\![ 1, p ]\!],\" \"e_k\" est combinaison lin\u00e9aire de vecteurs de \"G.\"<\/p>\n

Exemple<\/b> : On se place dans \"\mathbb{R}^4.\"<\/p>\n

On note \"E= \mathrm{Vect} \left( a , b , c \right)\" avec \"a = \left( 1 , 1 , - 1, - 1 \right), b= \left( 1 , - 1, 1 , -1 \right)\" et \"c = \left( 1 , - 1, -1 , 1 \right).\" On note \"u = \left( 1, 0 , 0 , - 1 \right), v= \left( 0 , 1 , 0 , - 1 \right)\" et \"w = \left( 0 , 0 , 1 , - 1 \right).\" Montrer que \"\left( u , v ,w \right)\" est un syst\u00e8me g\u00e9n\u00e9rateur de \"E.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On pose \"F = \mathrm{Vect} \left( u , v, w \right).\"<\/p>\n

\"\bullet\" De simples calculs montrent que \"a = u + v - w, b= u -v +w\" et \"c = u - v -w,\" les vecteurs \"a, b\" et \"c\" qui engendrent \"E\" sont combinaisons lin\u00e9aires de vecteurs de \"F,\" donc \"E \subset F.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On cherche des r\u00e9els \"\alpha, \beta, \gamma\" tels que \"u = \alpha a + \beta b + \gamma c.\" On obtient le syst\u00e8me :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma & = 1 \\ \alpha - \beta - \gamma & = 0 \\- \alpha + \beta - \gamma & = 0 \\ - \alpha - \beta + \gamma & = - 1 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

En formant \"L_2 \leftarrow L_2 + L_1,\" \"L_3 \leftarrow L_3 + L_1\" et \"L_4 \leftarrow L_4 + L_1,\" on obtient<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma & = 1 \\ 2 \alpha & = 1 \\ 2 \beta & = 1 \\ 2 \gamma & = 0 \end{cases},\]\"<\/p>\n

alors \"u = \dfrac12 \left( a + b \right).\"<\/div>\n

Avec le m\u00eame raisonnement<\/a>, on obtient \"v = \dfrac12 \left( a - c \right)\" et \"w = \dfrac12 \left( b - c \right).\" Les vecteurs \"u , v\" et \"w\" qui engendrent \"F\" sont combinaisons lin\u00e9aires des vecteurs \"a, b\" et \"c,\" donc \"F \subset E.\"<\/div>\n
Par double inclusion \"E = F.\"<\/div>\n

2. Espaces vectoriels de dimension finie<\/h3>\n

M\u00e9thode 5 : Montrer qu’une famille est une base.
\n<\/b><\/p>\n

On rappelle qu’une base est une famille libre et g\u00e9n\u00e9ratrice. En g\u00e9n\u00e9ral, vous devrez justifier ces deux propri\u00e9t\u00e9s successivement. Je ne peux que vous conseiller de revoir les d\u00e9finitions et les m\u00e9thodes du pr\u00e9c\u00e9dentes !<\/p>\n

Remarque :<\/i>\u00a0Il est indispensable de noter les bases sous forme de listes, puisque l’ordre des \u00e9l\u00e9ments d’une base est important pour \u00e9crire les coordonn\u00e9es des vecteurs.<\/p>\n

Exemple : <\/b>Soit \"E = \left\{ P \in \mathbb{R}_2 \left[ X \right], \, P \left( 0 \right) = 0 \right\}.\"<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0Montrer que \"E\" est un espace vectoriel.<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0Donner une base de \"E.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

1)<\/strong> La m\u00e9thode est classique. \"E\" est une partie non vide (car contenant le polyn\u00f4me nul) de l’espace vectoriel \"\mathbb{R}_2 \left[ X \right].\" On se donne \"P, Q \in E\" et \"\lambda \in \mathbb{R}.\" Montrons que \"P + \lambda Q \in E.\" Pour cela, on montre que \"\left( P + \lambda Q \right) \left( 0 \right) = 0.\" En effet,<\/p>\n

\"\left( P + \lambda Q \right) \left( 0 \right)\" \"= P \left( 0 \right) + \lambda Q \left( 0 \right)\"
\n\"= 0\".<\/p>\n

Ainsi, \"E\" est un sous espace vectoriel de \"\mathbb{R}_2 \left[ X \right]\" donc c’est un espace vectoriel.<\/p>\n

2)<\/strong> Soit \"P \in \mathbb{R}_2 \left[ X \right].\" On \u00e9crit \"P = a X^2 + b X + c\" et on cherche des conditions n\u00e9cessaires et suffisantes sur \"a, b\" et \"c\" pour que \"P \in E.\" On \u00e9crit donc :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P \in E \Leftrightarrow P \left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow c = 0.\]\"<\/p>\n

Ainsi \"E = \mathrm{Vect} \left( X , X^2 \right).\" La famille \"\left( X , X^2 \right)\" \u00e9tant libre car c’est une famille de polyn\u00f4mes ayant des degr\u00e9s \u00e9chelonn\u00e9s, la famille \"\left( X , X^2 \right)\" est une base de \"E\" car c’est une partie libre et g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E.\"<\/p>\n

M\u00e9thode 6 : Calculer la dimension d’un espace vectoriel.<\/b><\/p>\n

On rappelle qu’un espace vectoriel de dimension finie est, par d\u00e9finition, un espace vectoriel ayant une famille g\u00e9n\u00e9ratrice finie. On peut montrer (c’est dans votre cours) qu’un tel espace non r\u00e9duit \u00e0 \"\left\{ 0 \right\}\" admet des bases ayant un nombre fini d’\u00e9l\u00e9ments et que ces bases ont toutes le m\u00eame nombre d’\u00e9l\u00e9ments<\/b>.<\/p>\n

En pratique, lorsque l’on demande de calculer la dimension d’un espace vectoriel, on essaie d’en trouver une base et on compte le nombre d’\u00e9l\u00e9ments de cette base.<\/p>\n

Cas particuliers \u00e0 conna\u00eetre parfaitement :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N}^*, \dim \left( \mathbb{R}^n \right) = n.\" De plus, la famille \"\left( e_1 , \cdots , e_n \right)\" avec \"e_i = \left( 0 , \cdots , 0 , 1 , 0 , \cdots , 0\right)\" (le \"i\" \u00e9tant en \"i\"-\u00e8me position) est une base de \"\mathbb{R}^n\" appel\u00e9e base canonique.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N}^*, \dim \left( \mathbb{R}_n \left[ X \right] \right) = n + 1\" et la famille \"\left( 1 , X , \cdots , X^n \right)\" est une base de \"\mathbb{R}_n \left[ X \right]\" appel\u00e9e base canonique.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n, p \in \mathbb{N}^*, \dim \left( \mathcal M_{n, p } \left( \mathbb{R} \right) \right) = n \times p.\"<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: Montrer que l’ensemble suivant est un espace vectoriel et calculer sa dimension :<\/p>\n

\"E_1\" \"= \left\{ P \in \mathbb{R}_{2017} \left[ X \right] , \, P \left( 0 \right) = P' \left( 0 \right) = 0 \right\},\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

\"E_1\" est non vide car il contient le polyn\u00f4me nul.<\/p>\n

Soient \"P, Q \in E_1\" et \"\lambda \in \mathbb{R}.\" Montrons que \"P + \lambda Q \in E_1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a \"\left( P + \lambda Q \right) \left( 0 \right) = P \left( 0 \right) + \lambda Q \left( 0 \right) = 0\" et \"\left( P + \lambda Q \right) ' \left( 0 \right)\" \"\underset{\text{par linéarité de la dérivation} }{=}\" \"P ' \left( 0 \right) + \lambda Q ' \left( 0 \right) = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Ainsi \"P + \lambda Q \in E_1\" et donc \"E_1\" est un sous espace vectoriel de \"\mathbb{R}_{2017} \left[ X \right],\" c’est donc un espace vectoriel.<\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"P = \displaystyle\sum_{k=0}^{2017} a_k X^k \in E_1 \Leftrightarrow a_0 = a_1 = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a prouv\u00e9 que \"E_1 = \left\{ \displaystyle\sum_{k=2}^{2017} a_k X^k, \left( a_2 , \cdots , a_{2017} \right) \in \mathbb{R}^{2015} \right\}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a prouv\u00e9 que la famille \"\left( X^k \right)_{2 \le k \le 2017}\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E_1,\" elle est libre car extraite de la base canonique de \"\mathbb{R}_{2017} \left[ X \right],\" c’est une base de \"E_1\" et \"\dim \left( E_1 \right) = 2016.\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 7 : Montrer qu’une famille est une base en dimension finie.<\/b><\/div>\n

Lorsque \"E\" est un espace vectoriel de dimension finie \"n\", pour montrer qu’une famille \"\mathcal F\" de \"E\" est une base, il suffit de montrer qu’elle est libre et qu’elle contient \"n\" \u00e9l\u00e9ments (le m\u00eame nombre que la dimension) ou bien il suffit de montrer qu’elle est g\u00e9n\u00e9ratrice et qu’elle contient \"n\" \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: <\/span>Montrer que la famille suivante est une base de l’espace vectoriel indiqu\u00e9 :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathcal F_1 = \left( \left( 1 , 0 , 1 \right) , \left( 0 , 1 , 1 \right) , \left( 1 , 1 , 0 \right) \right)\" dans \"\mathbb{R}^3,\"<\/span><\/div>\n
\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

Montrons que \"\mathcal F_1\" est libre. Pour cela, on se donne trois r\u00e9els \"a, b\" et \"c\" tels que<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[a \left( 1 , 0 , 1 \right) + b \left( 0 , 1 , 1 \right) + c \left( 1 , 1 , 0 \right) = \left( 0 , 0 , 0 \right).\]\"<\/p>\n

On r\u00e9cup\u00e8re le syst\u00e8me suivant :<\/p><\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a + c & = 0 \\ b + c & = 0 \\ a + b & =0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

En faisant \"L_3 \leftarrow L_3 - L_1,\" on obtient<\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a + c & = 0 \\ b + c & = 0 \\ b - c & =0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

En sommant les deux derni\u00e8res lignes, on a \"b = 0.\" Ainsi \"c= 0\" puis \"a = 0.\" La famille \"\mathcal F_1\" est donc libre.<\/div>\n

<\/div>\n
Cette famille est libre, contient trois \u00e9l\u00e9ments dans \"\mathbb{R}^3\" de dimension \"3,\" c’est donc une base de \"\mathbb{R}^3\".<\/div>\n

Remarque :<\/i> Naurions pu montrer en premier que la famille \u00e9tait g\u00e9n\u00e9ratrice pour en d\u00e9duire que c’est une base. Mais il est g\u00e9n\u00e9ralement plus facile de montrer que c’est une famille libre.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

\n

3. Somme de sous-espaces vectoriels<\/h3>\n

M\u00e9thode 8 : Montrer qu’un espace vectoriel est la somme de deux sous espaces vectoriels.<\/b><\/p>\n

Soit \"E\" un espace vectoriel et soient \"F, G\" deux sous espaces vectoriels de \"E.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Pour montrer que \"E = F + G,\" on doit montrer que pour tout \u00e9l\u00e9ment \"x \in E,\" il existe \"y \in F\" et \"z \in G\" tels que \"x = y + z .\" On pourra utiliser la m\u00e9thode d’analyse-synth\u00e8se d\u00e9crite dans la\u00a0m\u00e9thode 8<\/b>.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9terminer \"F + G,\" il faut trouver l’ensemble des \"x\" de \"E\" tels qu’il existe \"y \in F, z \in G\" tels que \"x = y + z.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque de plus \"F \cap G = \left\{ 0 \right\},\" on dit que la somme est directe et on \u00e9crit \"F + G = F \oplus G.\"<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: Donner une base de \"F + G\" avec \"F = \mathrm{Vect} \left( \left( 1, 0 , 1, 0 \right) , \left( 0 , 1 , 0 , 1 \right) \right)\" et \"G = \mathrm{Vect} \left( \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right) , \left( 0 , 1, 1, 0 \right) \right).\"<\/p>\n

R\u00e9ponse :<\/strong><\/p>\n

Soit \"u = \left( x , y,z, t \right) \in \mathbb{R}^4\" et on cherche des conditions n\u00e9cessaires et suffisantes sur \"x, y ,z\" et \"t\" pour que \"u \in F + G.\" Le plus simple est de proc\u00e9der par analyse-synth\u00e8se, c’est-\u00e0-dire que l’on suppose que \"u \in F + G\" et on cherche des conditions n\u00e9cessaires sur \"x ,y , z\" et \"t.\" Lors de la synth\u00e8se, on v\u00e9rifiera que les conditions trouv\u00e9es lors de l’analyse sont suffisantes.<\/p>\n

Analyse :\u00a0<\/i>On suppose que \"u \in F + G,\" ainsi il existe \"f \in F\" et \"g \in G\" tels que \"\left( x , y , z, t \right) = f + g.\"<\/p>\n

Comme \"f \in F,\" il existe \"a, b \in \mathbb{R}\" tels que \"f = a\left( 1, 0 , 1, 0 \right) + b \left( 0 , 1 , 0 , 1 \right).\"<\/p>\n

Comme \"g \in G,\" il existe \"c, d \in \mathbb{R}\" tels que \"g = c \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right) + d \left( 0 , 1, 1, 0 \right).\"<\/div>\n
Alors \"\left( x, y, z , t \right) = \left( a + c , b + d , a + d , b + c \right).\"<\/div>\n
On r\u00e9cup\u00e8re donc le syst\u00e8me :<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a + c & = x \\ b + d & = y \\ a + d & = z \\ b + c & = t \end{cases}.\]\"<\/p>\n

On rappelle que pout r\u00e9soudre un tel syst\u00e8me, il faut l’\u00e9chelonner. L’op\u00e9ration \"L_3 \leftarrow L_3 - L_1\" donne :<\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a + c & = x \\ b + d & = y \\ - c + d & = z- x \\ b + c & = t \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Puis en faisant \"L_4 \leftarrow L_4 - L_2,\" on a<\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a + c & = x \\ b + d & = y \\ - c + d & = z- x \\ c - d & = t - y \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Et finalement, en faisant \"L_4 \leftarrow L_4 + L_3,\" il vient :<\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a + c & = x \\ b + d & = y \\ - c + d & = z- x \\ 0 & = -x - y + z + t \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La derni\u00e8re ligne donne \"- x - y + z + t =0\" soit \"x = - y + z +t.\"<\/div>\n

<\/div>\n
On a prouv\u00e9 que \"\left( x, y ,z, t \right) \in F + G ,\" il est n\u00e9cessaire qu’il s’\u00e9crive \"\left( - y + z +t , y ,z, t \right) .\"<\/div>\n
<\/div>\n
Synth\u00e8se :<\/i>\u00a0R\u00e9ciproquement, si \"u= \left( -y + z + t , y, z, t \right),\" on \u00e9crit \"u = y \left( - 1 , 1 , 0 , 0 \right) + z \left( 1 , 0 , 1 , 0 \right) + t \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
On remarque que<\/div>\n
<\/div>\n
\"\left( - 1, 1 , 0 , 0 \right)\" \"= \left( 0, 1 , 1 , 0 \right) - \left( 1, 0 , 1, 0 \right) \in F + G,\" \"\left( 1, 0, 1, 0 \right) \in F \subset F + G\" et \"\left( 1, 0 , 0 , 1 \right) \in G \subset F + G.\"<\/div>\n
On a prouv\u00e9 par combinaison lin\u00e9aire que \"u \in F + G\" et que \"\left( \left( -1, 1, 0, 0 \right) , \left( 1 , 0, 1, 0 \right) , \left( 1, 0 , 0 , 1 \right) \right)\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"F + G.\"<\/div>\n
On montre maintenant que c’est une famille libre. Pour cela, il suffit de remarquer que la famille \"\left( \left( -1, 1, 0, 0 \right) , \left( 1 , 0, 1, 0 \right) , \left( 1, 0 , 0 , 1 \right) \right)\" est \u00e9chelonn\u00e9e, ainsi \"\mathcal F\" est libre, c’est donc une base. On a donc \"F + G\" \"= \mathrm{Vect} \left( \left( - 1 , 1 , 0 , 0 \right) , \left( 1 , 0 , 1 , 0 \right) , \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right) \right).\"<\/div>\n
On a montr\u00e9 que \"\left( \left( - 1 , 1 , 0 , 0 \right) , \left( 1 , 0 , 1 , 0 \right) , \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right) \right)\" est une base de \"F + G.\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 9 : \u00a0Montrer qu’un espace vectoriel est la somme directe de deux sous-espaces vectoriels.<\/b><\/div>\n

\"\bullet\" On note \"E = F \oplus G\" lorsque \"E\" est somme directe des sous-espaces \"F\" et \"G,\" on dit alors que \"F\" et \"G\" sont des suppl\u00e9mentaires de \"E.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"E\" un espace vectoriel et \"F, G\" deux sous-espaces vectoriels de \"E.\" Pour montrer que \"F \oplus G = E,\" on doit montrer que :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F \cap G = \left\{ 0 \right\} \; \text{et} \; F + G = E.\]\"<\/p>\n

On rappelle aussi que<\/p>\n

\"E = F \oplus G\" si, et seulement si, tout \u00e9l\u00e9ment \"x \in E\" se d\u00e9compose de mani\u00e8re unique sous la forme \"x = y + z\" avec \"y \in F\" et \"z \in G.\"<\/p>\n

\"\bullet\" La principale difficult\u00e9 consiste \u00e0 prouver que \"E = F + G.\"<\/p>\n

Pour cela, on peut utiliser la m\u00e9thode d’analyse-synth\u00e8se :<\/p>\n

\"\quad\" \"\star\" La premi\u00e8re phase est l’analyse : \"x\" \u00e9tant un vecteur quelconque de \"E,\" on suppose que l’on peut \u00e9crire \"x = f + g\" avec \"f \in F\" et \"g \in G.\" En utilisant les propri\u00e9t\u00e9s des sous-espaces \"F\" et \"G,\" on d\u00e9termine \"f\" et \"g\" (on remarquera que si l’on a trouv\u00e9 par exemple \"f,\" alors \"g = x - f\").<\/p>\n

\"\quad\" \"\star\" Puis dans la phase \u00ab\u00a0synth\u00e8se\u00a0\u00bb, on introduit les vecteurs \"f\" et \"g\" obtenus dans l’analyse et on v\u00e9rifie que \"f + g = x, f \in F\" et \"g \in G.\"<\/p>\n

\"\quad\" \"\star\" Important : Si dans l’analyse, on a obtenu une unique valeur pour \"f\" et pour \"g,\" donc unicit\u00e9 de la d\u00e9composition si elle existe, alors on peut conclure \u00e0 l’issue de la synth\u00e8se que \"E = F \oplus G.\"<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: Montrer que :<\/p>\n

\"\mathcal F \left( \mathbb{R} , \mathbb{R}\right) = \mathcal P \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right) \oplus \mathcal I \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\" o\u00f9 \"\mathcal F \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\" est l’ensemble des fonctions de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R},\" \"\mathcal P \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\" est l’ensemble des fonctions paires de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" et \"\mathcal I \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\" est l’ensemble des fonction impaires de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R},\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Il est facile de voir que \"\mathcal P \left( \mathbb{R}, \mathbb{R} \right)\" et \"\mathcal I \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\" sont des sous-espaces vectoriels de \"\mathcal F \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right).\"<\/p>\n

Soit \"f \in \mathcal F \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right),\" cherchons \"p \in \mathcal P \left(\mathbb{R} , \mathbb{R}\right)\" et \"i \in \mathcal I \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\" telles que \"f= p + i .\" Pour cela, nous proc\u00e9dons par analyse-synth\u00e8se : lors de l’analyse, on suppose que de telles fonctions \"p\" et \"i\" existent et on va les exprimer \u00e0 l’aide de \"f.\" Lors de la synth\u00e8se, on v\u00e9rifie que les fonctions trouv\u00e9es lors de l’analyse conviennent.<\/div>\n
<\/div>\n
Analyse :<\/i>\u00a0On suppose qu’il existe \"p \in \mathcal P \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\" et \"i \in \mathcal I \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\" telles que \"f = p + i.\" Ainsi, on a pour tout \"x \in \mathbb{R},\"<\/div>\n
\"f \left( x \right) = p \left( x \right) + i \left( x \right)\"\u00a0 \"(2)\".<\/div>\n
En appliquant cette relation en \"-x,\" on a<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( - x \right) = p \left( x \right) + i \left( -x \right).\]\"<\/p>\n

Puis en utilisant la parit\u00e9 (resp. l’imparit\u00e9) de \"p\" (resp. de \"i\"), on a :<\/div>\n

\"f \left( -x \right) = p \left( x \right) - i \left( x \right)\"\u00a0 \"(3)\".<\/div>\n
<\/div>\n
En sommant \"(2)\" et \"(3)\", on a<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( x \right) + f \left( - x \right) = 2 p \left( x \right),\]\"<\/p>\n

soit<\/p><\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[p \left( x \right) = \dfrac{f \left( x \right) + f \left( - x \right)}{2}.\]\"<\/p>\n

Cela donne<\/p><\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[i \left( x \right) = \dfrac{f \left( x \right) - f \left( - x \right)}{2}.\]\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit que si \"p\" et \"i\" existent, elles sont uniques, cela termine l’analyse.<\/p>\n

Synth\u00e8se :<\/i>\u00a0Il faut v\u00e9rifier que les fonctions \"p\" et \"i\" trouv\u00e9es ci-dessus conviennent, c’est-\u00e0-dire que \"p\" est paire, \"i\" est impaire et \"f = p + i.\"<\/p>\n<\/div>\n

Il est clair que \"p + i = f.\"<\/div>\n
Montrons que \"p\" est paire. Pour tout \"x \in \mathbb{R},\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[p \left( -x \right) = \dfrac{f \left( -x \right) + f \left( x \right)}{2} = p \left( x \right).\]\"<\/p>\n

\"p\" est donc paire et on montre de la m\u00eame fa\u00e7on que \"i\" est impaire<\/div>\n

<\/div>\n
On a bien montr\u00e9 que<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathcal F \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right) = \mathcal P \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right) \oplus \mathcal I \left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
M\u00e9thode 10 : Montrer qu’un espace vectoriel est la somme directe de deux sous-espaces vectoriels dans un espace vectoriel de dimension finie.<\/b><\/div>\n

\"\bullet\" Soit \"E\" un espace vectoriel de dimension finie et \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels de \"E.\" Pour montrer que \"E = F \oplus G,\" il est en g\u00e9n\u00e9ral plus simple de montrer que :<\/p>\n

\"F \cap G = \left\{ 0 \right\}\"\u00a0 et\u00a0 \"\dim \left( F \right) + \dim \left( G \right) = \dim \left( E \right).\"<\/p>\n

On retiendra de plus que :<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque \"E\" est de dimension \"n \ge 2\" de base \"\left( e_1 , \cdots , e_n \right),\" dans le cas o\u00f9 \"1 \le p \le n - 1,\" les sous-espaces vectoriels \"F = \mathrm{Vect} \left( e_1 , \cdots , e_p \right)\" et \"G = \mathrm{Vect} \left( e_{p + 1} , \cdots , e_n \right)\" sont suppl\u00e9mentaires dans \"E.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"E = F \oplus G,\" si \"\left( f_1 , \cdots , f_p \right)\" est une base de \"F\" et \"\left( g_1 , \cdots , g_q \right)\" est une base de \"G,\" alors la famille \"\left( f_1 , \cdots , f_p, g_1 , \cdots , g_q \right)\" est une base de \"E\" dite adapt\u00e9e \u00e0 la somme directe.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: Montrer que :<\/p>\n

\"\mathbb{R}^3 = F \oplus G,\" avec \"F= \mathrm{Vect}\left( \left( 1 , 1 , 1 \right) \right)\" et \"G = \mathrm{Vect} \left( \left( 1, 0 , - 1 \right) , \left( - 1 , 2 , - 1 \right) \right).\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On pose \"f = \left( 1 , 1 , 1 \right), g_1 = \left( 1, 0 , - 1 \right)\" et \"g_2 = \left( - 1, 2, - 1 \right).\"<\/p>\n

\"f\" est une base de \"F\" car c’est un vecteur g\u00e9n\u00e9rateur non nul.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\left( g_1 , g_2 \right)\" est une famille libre (deux vecteurs non nuls et non colin\u00e9aires) et g\u00e9n\u00e9ratrice de \"G,\" c’est une base de \"G.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On montre que \"\left( f, g_1 , g_2 \right)\" est une famille libre de \"\mathbb{R}^3.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Soient \"a, b\" et \"c\" trois r\u00e9els tels que \"af + b g_1 + c g_2 = 0.\" On obtient le syst\u00e8me<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a + b - c & = 0 \\ a + 2 c & = 0 \\ a - b - c & =0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
Avec les op\u00e9rations \"L_2 \leftarrow L_2 - L_1\" et \"L_3 \leftarrow L_1 - L_3,\" on a \"\begin{cases} a + b - c & =0 \\ 3 c - b & = 0 \\ 2 b & = 0 \end{cases}.\" Cela donne \"a = b = c = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\left( f , g_1 , g_2 \right)\" est une famille libre de \"\mathbb{R}^3\" et cardinal \u00e9gal \u00e0 la dimension de \"\mathbb{R}^3.\" C’est une base de \"\mathbb{R}^3.\" Alors \"\mathbb{R}^3 = F \oplus G.\"<\/div>\n

4. Applications lin\u00e9aires<\/h3>\n<\/div>\n

M\u00e9thode 11 : Montrer qu’une application est lin\u00e9aire.
\n<\/b><\/p>\n

\n

Soient \"E\" et \"F\" deux \"\mathbb{K}\"-espaces vectoriels. Soit \"f : E \to F\" une application. Pour montrer que \"f\" est lin\u00e9aire, en g\u00e9n\u00e9ral on revient \u00e0 la d\u00e9finition, c’est-\u00e0-dire que l’on montre que pour tous vecteurs \"x , y \in E\" et pour tout \"\lambda \in \mathbb{K},\"\u00a0<\/span><\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( x + \lambda y \right) = f \left( x \right) + \lambda f \left( y \right).\]\"<\/p>\n

Il est aussi possible d’utiliser le fait qu’une combinaison lin\u00e9aire d’applications lin\u00e9aires est lin\u00e9aire et que la compos\u00e9e d’applications lin\u00e9aires est lin\u00e9aire (attention quand m\u00eame aux espaces vectoriels de d\u00e9part et d’arriv\u00e9e).<\/p>\n

On rappelle que si \"E\" et \"F\" sont de dimension finie, alors \"\mathcal L \left( E , F \right)\" est de dimension finie et
\n\"\dim \left( \mathcal L \left( E , F \right) \right)\" \"= \dim \left( E \right) \times \dim \left( F \right) \; \text{et } \; \dim \left( \mathcal L \left( E \right) \right)\" \"= \left( \dim \left( E \right) \right)^2.\"<\/p>\n

Pi\u00e8ge :<\/i>\u00a0Lorsque l’on demande de montrer qu’une application \"f: E \to E\" est un endomorphisme de \"E\", on doit montrer :<\/p>\n

\"\bullet\" la lin\u00e9arit\u00e9 de \"f\",<\/p>\n

\"\bullet\" si \"x\in E,\" alors \"f \left( x \right) \in E.\"<\/p>\n

\\noindent Le dernier point est trop souvent oubli\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Exemple<\/strong> : <\/span><\/span>Montrer que les applications suivantes sont lin\u00e9aires :<\/span><\/p>\n

1)<\/b>\u00a0\"f : \mathbb{R}_n \left[ X \right] \to \mathbb{R}_n \left[ X \right]\" d\u00e9finie par : pour tout \"P \in \mathbb{R}_n \left[ X \right],\" \"f \left( P \right) = X P',\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0\"f : \mathbb{R} \left[ X \right] \to \mathbb{R} \left[ X \right]\" d\u00e9finie par : pour tout \"P \in \mathbb{R} \left[ X \right],\" \"f \left( P \right)\" est le reste de la division euclidienne de \"P\" par \"X^2 + 1,\"<\/p>\n<\/div>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

1) Soit \"P \in \mathbb{R}_n \left[ X \right].\" Cela signifie que le degr\u00e9 de \"P\" est inf\u00e9rieur \u00e0 \"n.\" Celui de \"P'\" est donc inf\u00e9rieur \u00e0 \"n - 1\" et donc celui de \"X P'\" est inf\u00e9rieur \u00e0 \"n.\" Ainsi \"X P' \in \mathbb{R}_n \left[ X \right].\"<\/p>\n

Soient \"P, Q \in \R_n \left[ X \right]\" et \"\lambda \in \mathbb{R}.\" On a<\/p>\n

\"f \left( P + \lambda Q \right)\" \"= X \left( P + \lambda Q \right)'\"
\n\"\underset{\text{par linéarité de la dérivation}}{=}\" \"X \left( P ' + \lambda Q' \right)\"
\n\"= X P' + \lambda X Q'\"
\n\"= f \left( P \right) + \lambda f \left( Q \right)\".<\/p>\n

Ainsi \"f\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}_n \left[ X \right].\"<\/p>\n

2)<\/strong> Soient \"P , Q \in \mathbb{R} \left[ X \right]\" et \"\lambda \in \mathbb{R},\" montrons que \"f \left( P + \lambda Q \right) = f \left( P \right) + \lambda f \left( Q \right).\" Ici l’expression de \"f\" n’est pas explicite comme dans les deux premiers exemples. Faisons la division euclidienne de \"P\" et \"Q\" par \"X^2 + 1\" : il existe \"P_1\" et \"Q_1\" dans \"\mathbb{R} \left[ X \right]\" tels que :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P = \left( X^2 + 1 \right) P_1 + f \left( P \right),\]\"<\/p>\n

et<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[Q = \left( X^2 + 1 \right) Q_1 + f \left( Q \right).\]\"<\/p>\n

En multipliant la deuxi\u00e8me ligne par \"\lambda\" et en sommant les lignes, on a :<\/p>\n

\"P + \lambda Q\" \"= \left( X^2 + 1 \right) \left( P_1 + \lambda Q_1 \right) + \left( f \left( P \right) + \lambda f \left( Q \right) \right)\".\u00a0 \"(1)\"<\/div>\n
Or, par d\u00e9finition de \"f,\" la division euclidienne de \"P + \lambda Q\" par \"X^2 + 1\" est :<\/div>\n
\"P + \lambda Q\" \"= \left( X^2 + 1 \right) U + f \left( P + \lambda Q \right)\".\u00a0 \"(2)\"<\/div>\n
De plus, \"\deg \left( f \left( P \right) + \lambda f \left( Q \right) \right)\" \"\le \max \left\{ \deg \left( f \left( P \right) \right) , \deg \left( f \left( Q \right) \right) \right\}\" \"\le 1\" et \"P_1 + \lambda Q_1 \in \mathbb{R} \left[ X \right].\"
\nPar unicit\u00e9 du reste de la division euclidienne de \"P + \lambda Q\" par \"X^2 + 1\" dans \"(1)\" et \"(2)\", on a<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( P + \lambda Q \right) = f \left( P \right) + \lambda f \left( Q \right).\]\"<\/p>\n

Ainsi \"f\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R} \left[ X \right].\"<\/div>\n

<\/div>\n
M\u00e9thode 12 : D\u00e9finir une application lin\u00e9aire sur une base de \"E\".<\/b><\/div>\n

Dans certains exercices, on vous demandera de d\u00e9finir une application lin\u00e9aire v\u00e9rifiant certaines conditions. Il peut \u00eatre utile de d\u00e9finir alors l’application lin\u00e9aire seulement sur une base (\u00e9ventuellement bien choisie). La lin\u00e9arit\u00e9 permettant de la d\u00e9finir sur tout l’espace.<\/p>\n

En effet, soit \"f : E \to F\" une application lin\u00e9aire entre deux \"\mathbb{K}\"-espaces vectoriels \"E\" et \"F.\" Supposons que l’on connaisse \"f\" sur une base de \"E,\" disons \"\left( e_1, \cdots, e_n \right).\" Alors si \"x \in E,\" on peut \u00e9crire \"x= x_1 e_1 + \cdots x_n e_n\" avec \"x_i \in \mathbb{K}.\" Ainsi \"f \left( x \right) = f \left( x_1 e_1 + \cdots x_n e_n \right) = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i f \left( e_i \right).\"<\/p>\n

On a la cons\u00e9quence suivante tr\u00e8s int\u00e9ressante : pour montrer que deux applications \"f\" et \"g\" lin\u00e9aires sont \u00e9gales, il suffit de v\u00e9rifier qu’elles sont \u00e9gales sur les \u00e9l\u00e9ments d’une base.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: Soit \"E\" un espace vectoriel de dimension finie. Soit \"F\" un sous espace vectoriel de \"E.\" Montrer qu’il existe un endomorphisme de \"E\" dont \"F\" soit le noyau.<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Si \"F = \left\{ 0 \right\},\" l’application \"id_E\" convient. Dans la suite, on suppose que \"F \neq \left\{0 \right\}.\" On note \"r = \dim \left( F \right) \ge 1\" et on se donne \"\left( e_1 , \cdots , e_r \right)\" une base de \"F\". On compl\u00e8te cette famille libre en une base not\u00e9e \"\left( e_1 , \cdots ,e_r ,e_{r + 1}, \cdots ,e_n \right)\" de \"E\" gr\u00e2ce au th\u00e9or\u00e8me de la base incompl\u00e8te.<\/p>\n

On d\u00e9finit \"f\" de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n

\"f \left( e_i \right) = 0\" si \"i \in [\![ 1, r ]\!]\" et \"f \left( e_j \right) = e_j\" si \"j \in [\![ r+ 1, n ]\!].\"<\/p>\n

Montrons alors que \"F = \mathrm{Ker} \left( f \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Par la d\u00e9finition de \"f,\" il est clair que \"F \subset \mathrm{Ker} \left( f \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ciproquement, soit \"x \in \mathrm{Ker} \left( f \right),\" montrons que \"x \in F.\" On d\u00e9compose \"x\" dans la base \"\left( e_1, \cdots e_n \right),\" \"x=x_1 e_1 + \cdots x_n e_n.\" Comme \"f \left( x \right) = x_{r + 1} e_{r + 1} + \cdots + x_n e_n = 0\" et comme la famille \"\left( e_{r+ 1} , \cdots , e_n \right)\" est une famille libre, on obtient \"x_j = 0\" pour \"j \in [\![ r + 1 , n ]\!].\" Finalement \"x = x_1 e_1 + \cdots + x_r e_r \in F.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a prouv\u00e9 que \"\mathrm{Ker} \left( f \right) \subset F\" puis \"\mathrm{Ker} \left( f \right) = F.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a construit un endomorphisme \"f\" de \"E\" tel que \"\mathrm{Ker} \left( f \right) = F.\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 13 : D\u00e9terminer le noyau d’une application lin\u00e9aire.
\n<\/b><\/div>\n

Si \"f: E \to F\" est une application lin\u00e9aire entre deux espaces vectoriels \"E\" et \"F,\" le noyau de \"f,\" not\u00e9 \"\mathrm{Ker} \left( f \right),\" est le sous-espace vectoriel de \"E\" d\u00e9fini par :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{Ker} \left( f \right) = \left\{ x \in E , \, f \left( x \right) = 0 \right\}.\]\"<\/p>\n

Le noyau est g\u00e9n\u00e9ralement facile \u00e0 d\u00e9terminer, il suffit de r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"f \left( x \right) = 0 .\"<\/p>\n

Remarque : Une application lin\u00e9aire est injective\u00a0si et seulement si<\/b>\u00a0\"\mathrm{Ker} \left( f \right) = \left\{ 0 \right\}.\" D\u00e8s que l’on rencontre une question portant sur l’injectivit\u00e9 d’une application lin\u00e9aire, il faut faire le lien avec le noyau.<\/i><\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\n

D\u00e9terminer le noyau des applications lin\u00e9aires suivantes :<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0\"f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\" d\u00e9finie par \"f \left( x , y \right) = \left( x+ y , x - y , x + 2 y \right),\"<\/p>\n

2)\u00a0<\/b>\"f : \mathbb{R} \left[ X \right] \to \mathbb{R} \left[X \right]\" d\u00e9finie par \"f \left( P \right) = P \left( X + 1 \right) - P \left( X \right),\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

1)<\/strong> Soit \"\left( x, y \right) \in \mathrm{Ker} \left( f \right).\" On a donc : \"\left( x+ y , x - y , x + 2 y \right) = \left( 0 , 0 ,0 \right),\" ainsi on a le syst\u00e8me suivant :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x + y & = 0 \\ x -y & = 0 \\ x + 2y & = 0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

La somme des deux premi\u00e8res lignes donne : \"2 x = 0\" puis \"x = 0\" et \"y = 0.\" Ainsi \"\mathrm{Ker} \left( f \right) \subset \left\{ \left( 0 , 0 \right) \right\}.\" L’inclusion contraire est \u00e9vidente, donc \"\mathrm{Ker} \left( f \right) = \left\{ \left( 0 , 0 \right) \right\}.\"<\/p>\n

En particulier, cela montre que \"f\" est injective.<\/p>\n

2)<\/strong> Soit \"P \in \mathrm{Ker} \left( f \right),\" cela signifie que \"P \left( X + 1 \right) - P \left( X \right) = 0\" soit<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P \left( X + 1 \right) = P \left( X \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
On peut montrer, par r\u00e9currence, que, pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"P \left( X + n \right) = P \left( X \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
En \u00e9valuant en \"0\" et en posant \"Q = P - P \left( 0 \right),\" on a donc \"Q \left( n \right) = 0\" pour tout \"n \in \mathbb{N}.\" Ainsi \"Q\" est le polyn\u00f4me nul car il admet une infinit\u00e9 de racines et \"P\" est un polyn\u00f4me constant.<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ciproquement, pour tout polyn\u00f4me constant \"P,\" on a \"f \left( P \right) = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a prouv\u00e9 que \"\mathrm{Ker} \left( f \right) = \mathbb{R}_0 \left[ X \right].\"<\/div>\n
<\/div>\n
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M\u00e9thode 14 : La v\u00e9rit\u00e9 \u00e0 propos du th\u00e9or\u00e8me du rang.
\n<\/b><\/div>\n

Soient \"E\" un espace vectoriel de dimension finie et \"F\" un espace vectoriel (pas n\u00e9cessairement de dimension finie) et \"u \in \mathcal L \left( E , F \right).\" Le th\u00e9or\u00e8me du rang donne la relation<\/p>\n

\"\dim \left( E \right)\" \"= \dim \left( \mathrm{Ker} \left( f \right) \right) + \dim \left( \mathrm{Im} \left( f \right) \right).\"
\nEn cons\u00e9quence, pour d\u00e9montrer que \"E = \mathrm{Im} \left( f \right) \oplus \mathrm{Ker} \left( f \right),\" il suffira de montrer que \"\mathrm{Im} \left( f \right) \cap \mathrm{Ker} \left( f \right) = \left\{ 0 \right\}\" et d’utiliser le th\u00e9or\u00e8me du rang lorsque \"E\" est une espace vectoriel de dimension finie.<\/p>\n

Remarque :<\/i>\u00a0Le th\u00e9or\u00e8me du rang\u00a0ne veut pas dire\u00a0<\/b>que \"E = \mathrm{Ker} \left( f \right) \oplus \mathrm{Im} \left( f \right)\" !<\/p>\n

\n

Exemple\u00a0<\/b>: Soient \"E\" un espace vectoriel de dimension finie et \"u \in \mathcal L \left( E \right).\" Montrer l’\u00e9quivalence entre les propri\u00e9t\u00e9s<\/p>\n

i) \"E = \mathrm{Im} \left( u \right) \oplus \mathrm{Ker} \left( u \right)\"<\/p>\n

ii) \"\mathrm{Im} \left( u \right) = \mathrm{Im} \left( u^2 \right)\"<\/p>\n

iii) \"\mathrm{Ker} \left( u \right) = \mathrm{Ker} \left( u^2 \right).\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On va prouver que i) \"\Rightarrow\" ii) \"\Rightarrow\" iii) \"\Rightarrow\" i).<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"E = \mathrm{Im} \left( u \right) \oplus \mathrm{Ker} \left( u \right).\"<\/p>\n

Pour tout \"y \in \mathrm{Im} \left( u^2 \right),\" il existe \"x \in E\" tel que \"y = u^2 \left( x \right) = u \left( u \left( x \right) \right),\" donc \"y \in \mathrm{Im} \left( u \right),\" ce qui prouve que \"\mathrm{Im} \left( u^2 \right) \subset \mathrm{Im} \left( u \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Pour tout \"y \in \mathrm{Im} \left( u \right),\" il existe \"x \in E\" tel que \"y = u \left( x \right).\" Mais il existe \"a \in \mathrm{Im} \left( u \right)\" (donc \"t \in E\" tel que \"a = u \left( t \right)\") et \"b \in \mathrm{Ker} \left( u \right)\" tels que \"x = a + b.\" \"y = u \left( x \right) = u \left( a \right) + u \left( b \right) = u \left( u \left( t \right) \right) + 0 = u^2 \left( t \right),\" soit \"y \in \mathrm{Im} \left( u^2 \right)\" ; on a \u00e9tabli que \"\mathrm{Im} \left( u^2 \right) \subset \mathrm{Im} \left( u \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Par double inclusion, \"\mathrm{Im} \left( u \right) = \mathrm{Im} \left( u^2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" On suppose que \"\mathrm{Im} \left( u \right) = \mathrm{Im} \left( u^2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Pour tout \"x \in \mathrm{Ker} \left( u \right),\" \"u \left( x \right) = 0,\" donc \"u^2 \left( x\right) = u \left( u \left( x \right) \right) = 0,\" soit \"x \in \mathrm{Ker} \left( u^2 \right),\" ce qui prouve que \"\mathrm{Ker} \left( u \right) \subset \mathrm{Ker} \left( u^2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Par le th\u00e9or\u00e8me du rang
\n\"\dim \left( \mathrm{Ker} \left( u \right) \right)\" \"= \dim \left( E \right) - \dim \left( \mathrm{Im} \left( u \right) \right)\" \"= \dim \left( E \right) - \dim \left( \mathrm{Im} \left( u^2 \right) \right)\" \"= \dim \left( \mathrm{Ker} \left( u^2 \right) \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
L’inclusion \"\mathrm{Ker} \left( u \right) \subset \mathrm{Ker} \left( u^2 \right)\" et l’\u00e9galit\u00e9 des dimensions donne<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{Ker} \left( u \right) = \mathrm{Ker} \left( u^2 \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\"\bullet\" On suppose que \"\mathrm{Ker} \left( u \right) = \mathrm{Ker} \left( u^2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Pour tout \"y \in \mathrm{Im} \left( u \right) \cap \mathrm{Ker} \left( u \right),\" il existe \"x \in E\" tel que \"y = u \left( x \right)\" et \"u \left( y \right)= 0\" donc \"u^2 \left( x \right) = u \left( y \right) = 0\" soit \"x \in \mathrm{Ker} \left( u^2 \right),\" alors \"x \in \mathrm{Ker} \left( u \right),\" soit \"u \left( x \right) = 0,\" donc \"y = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a prouv\u00e9 que \"\mathrm{Im} \left( u \right) \cap \mathrm{Ker} \left( u \right) \subset \left\{ 0 \right\}.\" L’inclusion contraire est \u00e9vidente.<\/div>\n
<\/div>\n
Ayant \"\mathrm{Im} \left( u \right) \cap \mathrm{Ker} \left( u \right) = \left\{ 0 \right\}\" et \"\dim \left( E \right) = \dim \left( \mathrm{Ker} \left( u \right) \right) + \dim \left( \mathrm{Im} \left( u \right) \right),\" on a prouv\u00e9 que \"E = \mathrm{Im} \left( u \right) \oplus \mathrm{Ker} \left( u \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Ce chapitre sur les espaces vectoriels s’inscrit dans la lign\u00e9e du chapitre de terminale. D\u00e9couvrez aussi les autres chapitres \u00e0 conna\u00eetre absolument pour r\u00e9ussir en ECG1 :<\/div>\n<\/div>\n
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