{"id":34030,"date":"2019-08-14T12:09:34","date_gmt":"2019-08-14T11:09:34","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34030"},"modified":"2022-07-20T11:15:48","modified_gmt":"2022-07-20T10:15:48","slug":"cours-en-ligne-corriges-espaces-vectoriels-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-espaces-vectoriels-ecs1\/","title":{"rendered":"Espaces vectoriels et applications lin\u00e9aires en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Exercices et Corrig\u00e9s : Espaces vectoriels en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Espaces vectoriels et applications lin\u00e9aires<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Lin\u00e9arit\u00e9 :<\/i><\/p>\n

Pour montrer que \"f\" est lin\u00e9aire, on se donne deux triplets \"\left( x_1 , y_1 , z_1 \right), \left( x_2 , y_2 , z_2 \right)\" et un r\u00e9el \"\lambda.\" Montrons que<\/p>\n

\"f \left( \left( x_1 , y_1 , z_1 \right) + \lambda \left( x_2 , y_2 , z_2 \right) \right)\" \"= f \left( x_1 , y_1 , z_1 \right) + \lambda f \left( x_2 , y_2 , z_2 \right).\"
\nIl suffit d’\u00e9crire les choses !<\/div>\n
\n

\"f \left( \left( x_1 , y_1 , z_1 \right) + \lambda \left( x_2 , y_2 , z_2 \right) \right)\" \"= f \left( x_1 + \lambda x_2 , y_1 + \lambda y_2 , z_1 + \lambda z_2 \right)\"<\/p>\n

\"= ( x_1 + \lambda x_2 - \left( y_1 + \lambda y_2 \right) - \left( z_1 + \lambda z_2 \right)\" \", y_1 + \lambda y_2 - 2 \left( z_1 + \lambda z_2 \right) )\"
\n\"= ( x_1 - y_1 - z_1 + \lambda \left( x_2 - y_2 - z_2 \right)\" \", y_1 - 2 z_1+ \lambda \left( y_2 - 2 z_2 \right) )\"
\n\"= \left( x_1 - y_1 - z_1 , y_1 - 2 z_1 \right)\" \"+ \lambda \left( x_2 , y_2 - z_2 , y_2 - 2 z_2 \right)\"
\n\"= f \left( x_1 , y_1 , z_1 \right) + \lambda f \left( x_2 , y_2 , z_2 \right)\".<\/div>\n
Noyau :<\/i>\u00a0Pour trouver le noyau, il faut trouver les triplets \"\left( x, y , z \right)\" tels que \"f \left( x , y , z \right) = \left( 0 , 0 \right).\"<\/div>\n
\"\left( x , y , z \right) \in \mathrm{Ker} \left( f \right)\" \"\Leftrightarrow \begin{cases} x - y - z & = 0 \\ y - 2 z& = 0 \end{cases}\"
\n\"\Leftrightarrow \begin{cases} y & = 2 z \\ x & = y + z \end{cases}\"
\n\"\Leftrightarrow \begin{cases} y & = 2 z \\ x & = 3z \end{cases}\".Ainsi \"\left( x , y , z \right) = \left( 3 z, 2 z , z \right) = z \left( 3 , 2, 1 \right).\" D’o\u00f9 \"\mathrm{Ker} \left( f \right) = \mathrm{Vect} \left( \left( 3 , 2 , 1 \right) \right).\" En particulier, le noyau est de dimension \"1.\"Image:\u00a0<\/i>\u00a0Le th\u00e9or\u00e8me du rang affirme que :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dim \mathrm{Ker} \left( f \right) + \dim \mathrm{Im} \left( f \right) = \dim \mathbb{R}^3 = 3.\]\"<\/p>\n

Comme \"\dim \mathrm{Ker} \left( f \right) = 1,\" on a \"\dim \mathrm{Im} \left( f \right) = 2.\" Ainsi \"\mathrm{Im} \left( f \right) \subset \mathbb{R}^2\" et \"\dim \left( \mathrm{Im} \left( f \right) \right) = \dim \left( \mathbb{R}^2 \right)= 2,\" donc <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\mathrm{Im} \left( f \right) = \mathbb{R}^2.<span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27b394a2ba7202079390b874a29cd6ae_l3.png" height="159" width="584" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[f$ n'étant pas injective, elle n'est pas bijective. <div> <strong>2)</strong> <i style="font-size: inherit;">Linéarité :</i>Soient $P , Q \in \mathbb{R}_2 \left[ X \right]$ et $\lambda \in \mathbb{R}.$ On a <div style="text-align: justify;">$g \left( P + \lambda Q \right)$ $= ( \left( P + \lambda Q \right) \left( 0 \right) , \left( P + \lambda Q \right) ' \left( 0 \right)$ $, \left( P + \lambda Q \right) '' \left( 0 \right) )$ $= ( P \left( 0 \right) + \lambda Q \left( 0 \right) , P ' \left( 0 \right) + \lambda Q ' \left( 0 \right)$ $ , P '' \left( 0 \right) + \lambda Q '' \left( 0 \right)) $ $= \left( P \left( 0 \right) , P ' \left( 0 \right) , P'' \left( 0 \right) \right)$ $+ \lambda \left( Q \left( 0 \right) , Q ' \left( 0 \right) , Q'' \left( 0 \right) \right) $ $= g \left( P \right) + \lambda g \left( Q \right)$.<i>Noyau :</i> Soit $P \in \mathbb{R}_2 \left[ X \right].\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>P \in \mathrm{Ker} \left( g \right)\"<\/p>\n

si, et seulement si, \"P \left( 0 \right) = P ' \left( 0 \right) = P '' \left( 0 \right) = 0.\" Il s’ensuit que \"0\" est racine d’ordre au moins \"3\" pour \"P.\" Comme \"\deg P \le 2,\" il s’ensuit que \"P = 0.\"On a montr\u00e9 que \"\mathrm{Ker} \left( g \right) \subset \left\{ 0 \right\},\" l’inclusion r\u00e9ciproque \u00e9tant claire, on a bien montr\u00e9 que \"\mathrm{Ker} \left( g \right) = \left\{ 0 \right \}.\"Image :\u00a0<\/i>On commence par appliquer le th\u00e9or\u00e8me du rang :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dim \mathrm{Ker} \left( g \right) + \dim \mathrm{Im} \left( g \right) = \dim \mathbb{R}^3 = 3.\]\"<\/p>\n

Ainsi \"\dim \mathrm{Im} \left( g \right) = 3.\" Finalement \"\mathrm{Im} \left( g \right) \subset \mathbb{R}^3\" et \"\dim \left( \mathrm{Im} \left( g \right) \right) = \dim \left( \mathbb{R}^3 \right) = 3,\" donc \"\mathrm{Im} \left( g \right) = \mathbb{R}^3.\"En particulier, \"g\" est bijective.<\/div>\n

3)<\/strong> Lin\u00e9arit\u00e9 :<\/i><\/p>\n

La lin\u00e9arit\u00e9 est laiss\u00e9 au lecteur.<\/p>\n

Noyau :<\/i>\u00a0Soit \"\left( x , y \right) \in \mathbb{R}^2.\"<\/div>\n
\"\left( x , y \right) \in \mathrm{Ker} \left( h \right)\" si, et seulement si, \"h \left( x , y \right) = \left( y , x \right) = \left( 0 , 0 \right).\" Cela est \u00e9quivalent \u00e0 \"x = y = 0.\" Ainsi \"\mathrm{Ker} \left( h \right) = \left\{ \left( 0 , 0 \right) \right\}\" et \"h\" est injective.<\/div>\n
Image :<\/i>\u00a0On commence par appliquer le th\u00e9or\u00e8me du rang :<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dim \mathrm{Ker} \left( h \right) + \dim \mathrm{Im} \left( h \right) = \dim \mathbb{R}^2 = 2.\]\"<\/p>\n

Ainsi \"\dim \mathrm{Im} \left( h \right) = 2,\" et donc comme ci-dessus \"\mathrm{Im} \left( h \right) = \mathbb{R}^2\" et \"h\" est surjective.<\/div>\n

\"h\" est injective et surjective, elle est donc bijective.<\/div>\n
<\/div>\n
\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
<\/div>\n

Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/h3>\n
\n

1)<\/strong> Soit \"u = \left( x , y , z \right) \in \mathbb{R}^3,\" alors<\/p>\n

\"f \left( u \right)\" \"= f \left( x \left( 1 , 0 , 0 \right) + y \left( 0 , 1, 0 \right) + z \left( 0 , 0 , 1 \right) \right)\"
\n\"= x f \left( 1 , 0 , 0 \right) + y f \left( 0 , 1, 0 \right) + z f \left( 0 , 0 , 1 \right)\"
\n\"= x \left( 1 , - 1 , 2 \right) + y \left( - 3 , 2 , - 1 \right) + z \left( - 7 , 4, 11 \right)\"
\n\"= \left( x - 3 y - 7 z , - x + 2 y + 4 z , 2 x - y + 11 z \right)\"<\/p>\n

2)<\/strong> \"\bullet\" Pour trouver les ant\u00e9c\u00e9dents \u00e9ventuels de \"\left( - 1 , - 1, 8 \right),\" on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"f \left( u \right) = \left( - 1 , - 1, 8 \right).\" On r\u00e9cup\u00e8re le syst\u00e8me<\/a><\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x - 3 y - 7 z & = - 1 \\ - x + 2 y + 4 z & = - 1 \\ 2 x - y + 11 z & = 8 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La r\u00e9solution de ce syst\u00e8me se fait gr\u00e2ce au pivot de Gauss. On trouve \"\left( x , y ,z \right) = \left( 5 , 2 , 0 \right).\"<\/div>\n

\"\bullet\" Pour trouver les ant\u00e9c\u00e9dents \u00e9ventuels de \"\left( - 2 , 1 , 3 \right),\" on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"f \left( u \right) = \left( - 1 , - 1, 8 \right).\" On r\u00e9cup\u00e8re le syst\u00e8me<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x - 3 y - 7 z & = -2 \\ - x + 2 y + 4 z & =1 \\ 2 x - y + 11 z & = 3 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La r\u00e9solution de ce syst\u00e8me se fait gr\u00e2ce au pivot de Gauss. On trouve \"\left( x , y ,z \right) = \left( - \dfrac35 , \dfrac25 , \dfrac15 \right).\"<\/div>\n

Injectivit\u00e9 :<\/i>\u00a0Pour montrer que \"f\" est injective, montrons que \"\mathrm{Ker} \left( f \right) = \left\{ \left( 0 , 0 , 0 \right) \right\}.\"<\/div>\n
\"\left( x , y, z \right) \in \mathrm{Ker} \left( f \right)\" si, eu seulement si \"f \left( x , y , z \right) = \left( 0 , 0 , 0 \right).\" Cela donne le syst\u00e8me:<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x - 3 y - 7 z & = 0 \\ - x + 2 y + 4 z & =0 \\ 2 x - y + 11 z & = 0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La r\u00e9solution donne \"x = y = z = 0.\" Ainsi \"\mathrm{Ker} \left( f \right) \subset \left\{ \left( 0 , 0 , 0 \right) \right\}.\" L’inclusion r\u00e9ciproque \u00e9tant claire, on a \u00e9tabli que \"\mathrm{Ker} \left( f \right) = \left\{ \left( 0, 0 , 0n\right) \right\}\" et \"f\" est injective.<\/div>\n

Surjectivit\u00e9 :<\/i>\u00a0Le th\u00e9or\u00e8me du rang donne :<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dim \mathrm{Ker} \left( f \right) + \dim \mathrm{Im} \left( f \right) = \dim \mathbb{R}^3 = 3.\]\"<\/p>\n

Or \"\dim \mathrm{Ker} \left( f \right) = 0\" donc \"\dim \mathrm{Im} \left( f \right) =3.\" Et, \"\mathrm{Im} \left( f \right) \subset \mathbb{R}^3\" et ces deux espaces ont la m\u00eame dimension, ils sont donc \u00e9gaux. Donc \"f\" est surjective.<\/div>\n

En particulier, \"f\" est bijective.<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n

Exercice 3 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Soient \"M , N \in \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right)\" et \"\lambda \in \mathbb{R}.\" On a :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\n

\"f\" est donc lin\u00e9aire.<\/p>\n

2)<\/strong> Soit \"g : \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right) \to \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right)\" d\u00e9finie par \"g \left( M \right) = A^{- 1} M.\"<\/p>\n

Calculons \"f \circ g.\" Pour \"M \in \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right),\" on a<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( f \circ g \right) \left( M \right) = f \left( g \left( M \right) \right) = f \left( A^{-1} M \right) = A A^{- 1} M = M.\]\"<\/p>\n

Il s’ensuit que \"f \circ g =i d.\" Donc \"f\" est bijective et \"f^{- 1} =g.\"<\/div>\n

<\/div>\n
3)<\/strong> Si \"f\" est surjective alors en particulier la matrice<\/a> \"I_n\" admet un ant\u00e9c\u00e9dent par \"f,\" disons \"N \in \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right).\" Ainsi<\/span><\/div>\n
\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( N \right) = M N = I_n .\]\"<\/p>\n

Donc \"M\" est inversible et \"M^{- 1} = N.\"<\/div>\n

<\/div>\n
\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
<\/div>\n

Exercice 4 :<\/strong><\/h3>\n<\/div>\n
\n

1)<\/strong> D\u00e9j\u00e0 \"E\" est non vide car la suite nulle est bien dans \"E.\"<\/p>\n

Soient \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" deux suites de \"E\" et \"\lambda \in \mathbb{R}.\" Montrons que la suite \"u + \lambda v \in E.\" Pour tout \"n \in \mathbb{N},\" on a :<\/div>\n
\"\left( u_{n + 2 } + \lambda v_{n + 2 } \right)\" \"= u_{n + 2 } + \lambda v_{n + 2}\"
\n\"= 3 u_{n + 1 } - 2 u_n + \lambda \left( 3 v_{n + 1} - 2 v_n \right)\"
\n\"= 3 \left( u_{n + 1} + \lambda v_{n + 1} \right) - 2 \left( u_n + \lambda v_n \right)\".<\/div>\n
Il s’ensuit que la suite \"u + \lambda v \in E.\"<\/div>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n
2)<\/strong> Pour montrer que \"\varphi\" est un isomorphisme, montrons que \"\varphi\" est injective et surjective.<\/span><\/div>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n
Injectivit\u00e9 :<\/i><\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"u \in E\" tel que \"\varphi \left( u \right) = \left( u_0 , u_1 \right) = \left( 0 , 0 \right),\" montrons que \"u = 0,\" i.e. montrons que pour tout \"n \in \mathbb{N}, u_n = 0 .\" Pour cela, on proc\u00e8de par r\u00e9currence double : on pose \"\mathcal P_n\" : \u00ab\u00a0\"u_n = 0\"\u00ab\u00a0.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" \"\mathcal P_0\" et \"\mathcal P_1\" sont vraies, par hypoth\u00e8se.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" Supposons \"\mathcal P_n\" et \"\mathcal P_{n + 1}\" vraies et montrons que \"\mathcal P_{n + 2}\" est vraie.<\/div>\n
<\/div>\n
Les hypoth\u00e8ses \"\mathcal P_n\" et \"\mathcal P_{n + 1}\" signifient \"u_n = u_{n + 1} = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Or, on a \"u_{n + 2 } = 3 u_{n + 1 } - 2 u_n = 0,\" d’o\u00f9 \"u_{n + 2 =0}\" et \"\mathcal P_{n + 2}\" est vraie.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" On a bien montr\u00e9 que pour tout \"n \in \mathbb{N}, u_n = 0\" donc \"\varphi\" est injective.<\/div>\n
<\/div>\n
Surjectivit\u00e9 :<\/i><\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"\left( a , b \right) \in \mathbb{R}^2.\" Pour voir que \"\varphi\" est surjective, soit la suite \"u\" d\u00e9finie par \"u_{n + 2} = 3 u_{n + 2} - 2 u_n\" pour tout \"n \in \mathbb{N}\" et \"u_0 = a\" et \"u_1 = b.\" De sorte que \"\varphi \left( u \right) = \left( u_0 , u_1 \right) = \left( a , b \right).\" Ainsi \"\varphi\" est surjective.<\/div>\n
<\/div>\n
3)<\/strong> Comme \"\varphi\" est un isomorphisme, on a \"\dim \left( E \right) = \dim \left( \mathbb{R}^2 \right) =2.\"<\/div>\n
<\/div>\n
4)<\/strong> On proc\u00e8de par analyse-synth\u00e8se. Soit \"\left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" (avec \"q \in \mathbb{R}\") une suite g\u00e9om\u00e9trique<\/a> de \"E.\" Ainsi, pour tout \"n \in \mathbb{N},\" on a \"q^{n+ 2} = 3 q^{n + 1} - 2 q^n.\"\u00a0<\/span><\/div>\n
\n
<\/div>\n
On remarque que \"q= 0\" est une solution possible.<\/div>\n
<\/div>\n
Supposons maintenant \"q \neq 0.\" On simplifie par \"q^n,\" on r\u00e9cup\u00e8re l’\u00e9quation \"q^2 = 3q - 2,\" soit \"q^2 - 3 q + 2 = 0.\" Cette \u00e9quation est simple \u00e0 r\u00e9soudre et donne deux solutions \"q = 1\" et \"q = 2.\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ciproquement, il est simple de v\u00e9rifier que les suites \"\left( 0 \right)_{n \in \mathbb{N}}, \left( 1 \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( 2^n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" sont bien dans \"E.\"<\/div>\n
<\/div>\n
5)<\/strong> On pose les suites \"u\" et \"v\" d\u00e9finies par \"u_n = 1\" et \"v_n = 2^n.\" Montrons que la famille \"\left( u , v \right)\" est libre. On se donne \"a, b \in \mathbb{R}\" tels que \"a u + b v = 0\" et montrons que \"a= b =0.\"\u00a0<\/span><\/div>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n
La relation \"a u + b v = 0\" signifie que pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"a + b \times 2^n = 0.\" En prenant pour valeurs \"n = 0\" et \"n= 1,\" on obtient le syst\u00e8me suivant : \"\begin{cases} a + b & = 0 \\ a + 2 b & = 0 \end{cases}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
La r\u00e9solution de ce syst\u00e8me donne \"a =b = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
La famille \"\left( u , v \right)\" est une famille libre dans un espace vectoriel de dimension \"2,\" c’est donc une base.<\/div>\n
<\/div>\n
On retrouve le r\u00e9sultat portant sur les suites r\u00e9currentes lin\u00e9aires d’ordre \"2.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Ne restez pas sur vos acquis, et continuez vos r\u00e9visons et vos entra\u00eenements sur les chapitres de maths \u00e0 suivre au programme d\u2019ECG1 :<\/div>\n
\n