{"id":34050,"date":"2019-08-14T15:31:32","date_gmt":"2019-08-14T14:31:32","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34050"},"modified":"2023-09-16T22:15:37","modified_gmt":"2023-09-16T21:15:37","slug":"cours-en-ligne-polynomes-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-polynomes-ecs1\/","title":{"rendered":"Polyn\u00f4mes en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Polyn\u00f4mes en ECG1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Polyn\u00f4mes<\/h2>\r\n

M\u00e9thode 1 : Egalit\u00e9 de deux polyn\u00f4mes.
<\/b><\/p>\r\n

Deux polyn\u00f4mes \"P\" et \"Q\" sont \u00e9gaux si, et seulement si, \"\deg \left( P \right) = \deg \left( Q \right)\" et s’ils ont les m\u00eames coefficients.<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Montrer l’\u00e9galit\u00e9 suivante, dite \u00e9galit\u00e9 de Vandermonde :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{Pour tout} \; n \in \mathbb N^*, \qquad\binom{2n}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2\]\"<\/p><\/p>\r\n

Indication : En partant de l’\u00e9galit\u00e9 \"\left( 1 + X \right)^n \left( 1 + X \right)^n = \left( 1 + X \right)^{2n},\" on identifiera les coefficients de \"X^n.\"<\/i><\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\" D\u00e9veloppons \"\left( 1 + X \right)^{2n}\" \u00e0 l’aide de la formule du bin\u00f4me de Newton : on a\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( 1 + X \right)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} X^k.\]\"<\/p>
Le coefficient de \"X^n\" est donc \"\binom{2n}{n}.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Simplifions \"\left( 1 + X \right)^n \left( 1 + X \right)^n\" \u00e0 l’aide du bin\u00f4me de Newton : on a\u00a0<\/p>\r\n

\"\left( 1 + X \right)^n \left( 1 + X \right)^n\" \"= \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k \right) \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k \right).\"<\/p>\r\n

On rappelle que si \"A = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k\" et \"B= \displaystyle\sum_{l=0}^m b_l X_l,\" alors \"A \times B = \displaystyle\sum_{i=0}^{n +m } c_i X^i\" avec \"c_i = \displaystyle\sum_{p + q = i} a_p b_q.\" Le coefficient de \"X^n\" est \"\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n}{n - k} = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2\" (n’h\u00e9sitez pas \u00e0 d\u00e9velopper le produit si vous ne voyez pas pourquoi !)<\/p>\r\n

D’o\u00f9 :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\binom{2n}{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Si vous \u00eates confront\u00e9 \u00e0 des lacunes en maths, nos profs de maths en ligne<\/a> s’adressent sp\u00e9cialement aux \u00e9tudiants de terminale pour les aider \u00e0 surmonter les blocages en ECG1.<\/p>\r\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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M\u00e9thode 2 : Sur l’ordre des racines d’un polyn\u00f4me.<\/b><\/p>\r\n

Nous rappelons que \"a \in \mathbb {K}\" est racine d’ordre \"k\" (\"k \ge 1\") de \"P \in \mathbb{K} \left[ X \right]\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow P \left( a \right) = \cdots = P^{\left( k - 1 \right)} \left( a \right) = 0\" et \"P^{\left( k \right)} \left( a \right) \neq 0\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow\" il existe un polyn\u00f4me \"Q \in \mathbb{K} \left[ X \right]\" tel que \"P = \left( X - a \right)^k Q\" avec \"Q \left( a \right) \neq 0.\"<\/p>\r\n

Cons\u00e9quence : si \"a \in \mathbb{K}, k \in \mathbb{N}^*\" et \"P \in \mathbb{K} \left[ X \right],\" \"\left( X - a \right)^k\" divise \"P\" si, et seulement si, \"a\" est racine d’ordre au moins \"k\" de \"P\" si, et seulement si,\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[P \left( a \right) = P' \left( a \right) = \cdots = P^{\left( k - 1 \right)} \left( a \right) = 0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Donner une condition n\u00e9cessaire et suffisante sur \"a, b\" pour que \"P_n=a X^{n+1}+ b X^n + 1\" soit divisible par \"\left( X - 1 \right)^2.\"\u00a0<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

La condition : \"P_n=a X^{n+1}+ b X^n + 1\" est divisible par \"\left( X - 1 \right)^2\" signifie que \"1\" est racine d’ordre au moins \"2\" pour \"P_n.\" Ainsi, cela est \u00e9quivalent \u00e0 : \"P_n \left( 1 \right) = P_n' \left( 1 \right) = 0.\" Ces conditions donnent le syst\u00e8me d’\u00e9quations suivant :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a + b + 1 & = 0 \\ \left( n + 1 \right) a + n b & =0 \end{cases}.\]\"<\/p>
Cela donne \"a = n\" et \"b = - \left(n + 1 \right).\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 3 : Sur la division euclidienne.<\/b><\/p>\r\n

La division euclidienne est une pratique fondamentale \u00e0 ma\u00eetriser.<\/p>\r\n

Nous rappelons aussi le r\u00e9sultat g\u00e9n\u00e9ral : soient \"A\" et \"B\" deux polyn\u00f4mes de \"\mathbb{K} \left[ X \right]\" avec \"B \neq 0.\"<\/p>\r\n

Alors il existe deux polyn\u00f4mes de \"\mathbb{K} \left[ X \right],\" disons \"Q\" et \"R,\" uniques<\/b>\u00a0tels que :\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[A = B Q + R,\]\"<\/p>
avec \"\deg R < \deg B.\" L’unicit\u00e9 de \"Q\" et \"R\" est importante et est utile.<\/p>\r\n

Exemple :<\/b> Que vaut le reste \"R\" de la division euclidienne de \"X^4 + X^2 + X + 1\" par \"X^3 + 1\" ?<\/p>\r\n

(i)\u00a0\"R=0\"<\/p>\r\n

(ii)\u00a0\"R=X^3+1\"<\/p>\r\n

(iii)\u00a0\"R=X^2+1\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On remarque que \"X^4 + X^2 + X + 1\" \"= \left( X^3 + 1 \right) \times X + \left( X^2 + 1 \right),\" ainsi \"Q=X\" et \"R=X^2 + 1.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 : Une m\u00e9thode pratique pour d\u00e9terminer le reste de la division euclidienne.<\/b><\/p>\r\n

Soient \"A\" et \"B\" deux polyn\u00f4mes de \"\mathbb K \left[ X \right]\" avec \"B \neq 0.\" On suppose que \"B = \left( X - x_1 \right) \left( X - x_2 \right) \cdots \left( X - x_k \right)\" avec \"x_1 ,\cdots , x_k\" des scalaires deux \u00e0 deux distincts. On \u00e9crit alors \"A= BQ + R\" avec \"\deg R < \deg B,\" ainsi \"R=a_{k - 1} X^{k - 1 }+ \cdots + a_0.\" Puis en \u00e9valuant en \"x_i\" pour \"i \in [\![ 1 , k ]\!],\" on a\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[A \left( x_i \right) = B \left( x_i \right) Q \left( x_i \right) + R \left( x_i \right) = R \left( x_i \right).\]\"<\/p>
Cela donne un syst\u00e8me de \"k\" \u00e9quations \u00e0 \"k\" inconnues \"a_{k-1}, \cdots , a_0.\"<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Que vaut le reste \"R\" de la division euclidienne de \"X^5 + X^2 + 1\" par \"X^2 - 1\" ?<\/p>\r\n

(i)\u00a0\"R= X + 2\"<\/p>\r\n

(ii)\u00a0\"R= 2 X - 2\"<\/p>\r\n

(iii)\u00a0\"R= X - 2\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Comme \"\deg \left( X^2 - 1 \right) =2,\" le degr\u00e9 du reste est au plus \"1,\" ainsi on pose \"R= aX + b.\" Donc \"X^5 + X^2 +1 = \left( X^2 - 1 \right) Q \left( X \right) + \left( a X + b \right).\" En \u00e9valuant cette relation en \"-1\" et \"1,\" on a le syst\u00e8me suivant :<\/p>\r\n

\r\n

M\u00e9thode 5 : Factoriser un polyn\u00f4me.
<\/b><\/p>\r\n

En cons\u00e9quence du th\u00e9or\u00e8me de d’Alembert-Gauss, on rappelle qu’un polyn\u00f4me se factorise dans \"\mathbb{C}\" comme produit de polyn\u00f4mes de degr\u00e9 \"1\".<\/p>\r\n

Dans \"\mathbb C,\" pour factoriser un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n,\" il faut chercher ses \"n\" racines (\u00e9ventuellement confondues).<\/p>\r\n

Dans \"\mathbb R,\" la situation est diff\u00e9rente. On rappelle qu’un polyn\u00f4me r\u00e9el se factorise comme produit de polyn\u00f4mes de degr\u00e9 \"1\" et de polyn\u00f4mes de degr\u00e9 \"2\" ayant un discriminant strictement n\u00e9gatif. Ainsi, pour factoriser un polyn\u00f4me dans \"\mathbb R,\" on cherche ses racines r\u00e9elles et complexes non r\u00e9elles que l’on regroupe deux \u00e0 deux.<\/p>\r\n

Si \"z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}\" est racine, alors \"\overline{z}\" est aussi racine de \"P\" et<\/p>\r\n

\"\left( X - z \right) \left( X - \overline{z} \right) = X^2 - 2 \Re \left( z \right) X + \left| z \right|^2\" divise \"P\".<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Factoriser dans \"\mathbb{R}\" le polyn\u00f4me \"X^4 +1.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

Cherchons les racines de \"X^4 + 1\" : il faut donc r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"z^4 = - 1 .\" On remarque que \"z=e^{i \pi / 4}\" est solution particuli\u00e8re. Par la m\u00e9thode 5 du\u00a0 chapitre Nombres Complexes<\/a><\/b>, on r\u00e9cup\u00e8re toutes les autres racines en multipliant \"e^{i \pi / 4}\" par les racines \"4\"-i\u00e8mes de l’unit\\’e. Comme le coefficient dominant est \"1,\" on peut \u00e9crire
\"X^4 + 1\" \"= \left( X - e^{i \pi / 4} \right) \left( X - e^{3 i \pi / 4} \right)\" \"\times \left( X - e^{5 i \pi / 4} \right) \left( X - e^{7 i \pi / 4} \right).\"
Pour factoriser ce polyn\u00f4me dans \"\mathbb R,\" il faut remarquer que \"e^{7 i \pi / 4} = \overline{e^{i \pi / 4}}\" et \"e^{5 i \pi / 4} = \overline{ e^{3 i \pi / 4} }.\" En \u00e9crivant\u00a0
\"X^4 + 1\" \"= \left( X - e^{i \pi / 4} \right) \left( X - \overline{e^{i \pi / 4}} \right)\" \"\times\left( X - e^{3 i \pi / 4} \right) \left( X - \overline{ e^{3 i \pi / 4} } \right)\"
et en d\u00e9veloppant, on obtient<\/p>\r\n

\"X^4 + 1\" \"= \left( X^2 - 2 \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) X + 1 \right)\" \"\times \left( X^2 - 2 \cos \left( \dfrac{3 \pi}{4} \right) X + 1 \right)\"
\"= \left( X^2 - \sqrt{2} X + 1 \right) \left( X^2 + \sqrt{2} X + 1 \right)\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 6 : Calculer les racines carr\u00e9es d’un nombre complexe en l’absence d’une forme exponentielle simple.<\/b><\/p>\r\n

Pour factoriser un polyn\u00f4me, on vient de voir qu’il faut trouver ses racines. Citons quelques approches (non exhaustives) pour d\u00e9marrer !<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour un polyn\u00f4me de degr\u00e9 au moins \"3,\" il y a peut-\u00eatre une racine \u00ab\u00a0\u00e9vidente\u00a0\u00bb (par racine \u00e9vidente, on entend \"-2, -1 , 0,1\" ou \"2\").<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si l’on sait que \"z \in \mathbb C\" est racine d’un\u00a0polyn\u00f4me reel<\/b>, alors \"\overline{z}\" est aussi racine (cette remarque n’a d’int\u00e9r\u00eat que si \"z \notin \mathbb R\").<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour les polyn\u00f4mes du type \"a X^{2m} + b X^m +c,\" en posant \"Y=X^m,\" on se ram\u00e8ne \\`a un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"2.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Il est toujours bon de se rappeler que le polyn\u00f4me \"X^n - 1\" a pour racines les racines \"n\"-i\u00e8mes de l’unit\u00e9.<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>: Quelles sont les racines du polyn\u00f4me \"X^3 +2X + 3\" ?<\/p>\r\n

(i)\u00a0\"\left\{ \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2} , \dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}\"<\/p>\r\n

(ii) \"\left\{ -1, \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2} , \dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}\"<\/p>\r\n

(iii)\u00a0\"\left\{ -1, \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} , \dfrac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}\"<\/div>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On remarque que \"- 1\" est racine \u00e9vidente de \"P.\" Ainsi \"P\" se factorise par \"X + 1\" de la fa\u00e7on suivante : \"X^3 + 2X + 1= \left( X + 1 \right) \left( X^2 - X + 1 \right).\"\u00a0<\/p>\r\n

Par un simple calcul, on obtient les racines de \"X^2 - X + 1:\" \"\dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2}\" et \"\dfrac{1 - i \sqrt{3} }{2}.\"<\/p>\r\n

Les racines de \"P\" sont : \"-1, \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2}\" et \"\dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2}.\"<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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M\u00e9thode 7 : Montrer qu’un polyn\u00f4me est nul.<\/b><\/p>\r\n

Soit \"P\" un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"d.\" On suppose que \"P\" a au moins \"d + 1\" racines distinctes, alors \"P=0.\" En particulier, si \"P\" a une infinit\u00e9 de racines, alors \"P=0.\"<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/span><\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Que dire des polyn\u00f4mes tels que \"P \left( X + 1 \right) = P \left( X \right)\" ?<\/span><\/div>\r\n
\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On pose \"Q = P \left( X \right) - P \left( 0 \right) .\" On remarque que \"Q \left( 1 \right) = 0.\"\u00a0<\/p>\r\n

Il est facile de montrer, par r\u00e9currence que \"Q \left( n \right) = 0\" pour tout entier naturel \"n.\" Le polyn\u00f4me \"Q\" admet donc une infinit\u00e9 de racines, c’est donc le polyn\u00f4me nul, ce qui prouve que \"P\" est donc constant.<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement, il est clair que les polyn\u00f4mes constants v\u00e9rifient la relation\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P \left( X + 1 \right) = P \left( X \right).\]\"<\/p>
L’ensemble des polyn\u00f4mes v\u00e9rifiant la relation \"P \left( X + 1 \right) = P \left( X \right)\" est l’ensemble des polyn\u00f4mes constants.\u00a0<\/p>\r\n

Si vous \u00eates parfaitement au point sur ce chapitre, prenez de l’avance sur le programme de Maths en ECG1 avec les chapitres de maths suivants :<\/p>\r\n