{"id":34075,"date":"2019-08-14T16:12:32","date_gmt":"2019-08-14T15:12:32","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34075"},"modified":"2022-07-20T11:53:13","modified_gmt":"2022-07-20T10:53:13","slug":"cours-en-ligne-corriges-polynomes-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-polynomes-ecs1\/","title":{"rendered":"Polyn\u00f4mes en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Polyn\u00f4mes en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s sur les Polyn\u00f4mes en ECG1<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> On pose \"A= 3X^5 + 4X^2 + 1\" et \"B = X^2 - 4 X + 3.\" Comme \"B \neq 0,\" il existe \"Q \in \mathbb{R} \left[ X \right]\" et \"R\" tel que \"\deg \left( R \right) < \deg \left( B \right) = 2\" (il existe donc \"a, b \in \mathbb{R}\" tels que \"R = a X + b\") et \"A = B Q + R.\"<\/p>\n

Remarquons que \"B\" se factorise en \"\left( X - 1 \right) \left( X - 3\right).\"<\/p>\n

\u00c9valuons la relation en les racines de \"B\" : \"1\" et \"3.\" On a le syst\u00e8me suivant : \"\begin{cases} a + b & = 8 \\ 3 a + b & = 766 \end{cases}.\" La r\u00e9solution de ce syst\u00e8me donne \"a = 379\" et \"b = -371.\"<\/p>\n

Ainsi \"R = 379 X - 371.\"<\/p>\n

2)<\/strong> On commence par remarquer que \"X^2 - 3 X + 2 = \left( X - 1 \right) \left( X - 2 \right).\" Soit \"R\" le reste de la division euclidienne de \"X^n\" par \"X^2 - 3 X + 2.\" Comme \"\deg \left( X^2 - 3X + 2 \right)= 2,\" \"R\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 au plus \"1.\" Ainsi, on peut \u00e9crire \"R = aX + b\" avec \"a, b \in \mathbb{R}.\" Il existe donc \"Q \in \mathbb{R} \left[ X \right]\" tel que<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[X^n = Q \left( X - 1 \right) \left( X - 2 \right) + R.\]\"<\/p>\n

En \u00e9valuant cette relation en \"1\" et \"2,\" on a le syst\u00e8me suivant d’\u00e9quations :<\/p>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} 1 & = a + b \\ 2^n & = 2 a + b \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La r\u00e9solution donne \"a=2^n - 1\" et \"b = 2 - 2^n.\"<\/p>\n

<\/div>\n
Ainsi \"R= \left( 2^n - 1 \right) X + 2 - 2^n.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

3)<\/strong> \"\bullet\" On \u00e9crit \"X^{2n } + 2 X^n + 1 = Q \left( X^2 + 1 \right) + R.\"<\/span><\/span><\/p>\n

Comme \"\deg \left( X^2 + 1 \right) = 2,\" le reste est de degr\u00e9 au plus \"1,\" on \u00e9crit donc \"R= a X + b.\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

En \u00e9valuant en les racines de \"X^2 + 1,\" qui sont \"i\" et \"-i,\" on obtient le syst\u00e8me suivant :<\/span><\/span><\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a i + b & = i^{2n} + 2 i^n + 1 \\ - ai + b & = \left( - i \right)^{2n} + 2 \left( - i \right)^n + 1 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

.<\/p>\n

Remarquons que la seconde ligne se retrouve gr\u00e2ce \u00e0 la premi\u00e8re en conjuguant. Ainsi, on doit trouver \"a , b \in \R\" tels que \"ai + b = i^{2n} + 2 i^n + 1 = \left( \left( - 1 \right)^n + 1 \right) + 2 i^n.\" Il faut discuter selon les valeurs de \"n\" :<\/p>\n

\"\star\" si \"n = 4 k\" avec \"k \in \mathbb{N},\" alors on a : \"ai + b = 4\" soit \"a=0,\" \"b = 4,\" donc \"R = 4.\"<\/p>\n

\"\star\" si \"n = 4 k + 1\" avec \"k \in \mathbb{N},\" alors on a : \"a i + b = 2i\" soit \"a = 2,\" \"b = 0,\" donc \"R= 2 X.\"<\/p>\n

\"\star\" si \"n = 4 k + 2\" avec \"k \in \mathbb{N},\" alors on a : \"a i + b = 0\" soit \"a = b = 0,\" donc \"R=0.\"<\/p>\n

\"\star\" si \"n = 4 k + 3\" avec \"k \in \mathbb{N},\" alors on a : \"a i + b = - 2i\" soit \"a=- 2, b = 0\" donc \"R= - 2X.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On \u00e9crit \"X^{2n}+ X^n + 1 = Q \left( X - 1 \right)^2 + R .\" Comme \"\deg \left( \left( X - 1 \right)^2 \right) = 2,\" le reste est de degr\u00e9 au plus \"1,\" on \u00e9crit donc \"R = a X + b.\" Puis on traduit que \"S= X^{2n} + X^n +1 - R\" est divisible par \"\left( X - 1 \right)^2\" ce qui revient \u00e0 dire que \"S \left( 1 \right) = S ' \left( 1 \right) = 0\". On obtient le syst\u00e8me suivant<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} 4 - a - b & = 0 \\ 2n + 2n & = a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = 4 \left( 1- n \right) \\ a = 4n \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Le reste est \u00e9gal \u00e0 \"4 n X + 4 - 4n.\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

Soit \"P\" un polyn\u00f4me v\u00e9rifiant les conditions de l’\u00e9nonc\u00e9. Comme \"3 + 2i\" est racine de \"P\", polyn\u00f4me \u00e0 coefficients r\u00e9els, on en d\u00e9duit que \"3 - 2i\" est aussi racine de m\u00eame ordre que \"3 + 2i,\" c’est-\u00e0-dire \"1.\"<\/p>\n

R\u00e9sumons : \"1\" est racine d’ordre \"2\" donc \"P\" est divisible par \"\left( X - 1 \right)^2,\" \"2\" est racine d’ordre \"1\" donc \"X - 2\" divise \"P,\" \"3 + 2i\" est racine d’ordre \"1\" donc \"X - \left( 3 + 2i \right)\" divise \"P\" et enfin \"3 - 2i\" est racine d’ordre \"1\" donc \"X - \left( 3 - 2i \right)\" divise \"P.\"<\/p>\n

Remarquons que comme \"\deg \left( P \right) = 5,\" on a toutes les racines (compt\u00e9es avec l’ordre de multiplicit\u00e9). Si bien que \"P\" \"= 3 \left( X - 1 \right)^2 \left( X - 2 \right) \left( X - \left( 3 + 2i \right) \right) \left( X - \left( 3 - 2i \right) \right)\" (attention \u00e0 ne pas oublier le coefficient dominant).<\/p>\n

On laisse le soin au lecteur de d\u00e9velopper (ou pas) l’expression.<\/p>\n

Exercice 3 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Comme \"\left( X - 1 \right)^3\" divise \"P - 1,\" il existe un polyn\u00f4me \"Q\" tel que \"P - 1 = \left( X - 1 \right)^3 Q .\" Comme \"\deg \left( P - 1 \right) = 5,\" alors \"\deg \left( Q \right) = 2.\"<\/p>\n

2)<\/strong> Soit \"R = P + 2.\"<\/p>\n

Le polyn\u00f4me \"\left( X - 2 \right)^3\" divise \"R\" si, et seulement si, \"R \left( 2 \right) = R ' \left( 2 \right) = R'' \left( 2 \right) =0\" (voir \\textbf{m\u00e9thode 2.8}).<\/p>\n

On obtient donc les conditions n\u00e9cessaires et suffisantes \"P \left( 2 \right) = - 2, P ' \left( 2 \right) = 0\" et \"P '' \left( 2 \right) = 0.\"<\/p>\n

3)<\/strong> On utilise la relation \"P = \left( X - 1 \right)^3 Q + 1.\"<\/p>\n

On a
\n\"P' = 3 \left( X - 1 \right)^2 Q + \left( X - 1 \right)^3 Q '\" et \"P ''\" \"= 6 \left( X - 1 \right) Q + 6 \left( X - 1 \right)^2 Q ' + \left( X - 1 \right)^3 Q''.\"<\/p>\n

\"P \left( 2 \right) = Q \left( 2 \right) + 1, P ' \left( 2 \right)\" \"= 3 Q \left( 2 \right) + Q ' \left( 2 \right) \, \text{et} \, P '' \left( 2 \right)\" \"= 6 Q \left( 2 \right) + 6 Q ' \left( 2 \right) + Q '' \left( 2 \right).\"
\nLes conditions \"P \left( 2 \right) = - 2, P ' \left( 2 \right) = P'' \left( 2 \right) =0\" donnent<\/p>\n

\"\begin{cases} Q \left( 2 \right) & = - 3 \\ Q ' \left( 2 \right) = - 3 Q \left( 2 \right) & = 9 \\ Q '' \left( 2 \right) = - 6 Q \left( 2 \right) - 6 Q ' \left( 2 \right) & = - 36 \end{cases}\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \begin{cases} 4 a + 2 b + c & = - 3 \\ 4a + b & = 9 \\ 2 a & = -36 \end{cases}\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \begin{cases} c & = - 93 \\ b & = 81 \\ a & = -18 \end{cases}.\"<\/p>\n

On obtient donc \"P = \left( X - 1\right)^3 \left( - 18 X^2 + 81 X - 93 \right) + 1\" soit<\/div>\n
<\/div>\n
\"P = - 18 X^5 + 135 X^4 - 390 X^3 + 540 X^2\" \"- 360 X + 94.\"<\/div>\n
\n

Exercice 4 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

Pour montrer que \"\left( X - 1 \right)^2\" divise \"P_n = 2X^{n + 2} - \left( n + 2 \right) X^2 + n,\" il suffit de montrer que \"P_n \left( 1 \right) = P_n ' \left( 1 \right) = 0.\"<\/p>\n

On a bien \"P_n \left( 1 \right) = 2 - \left( n + 2 \right) + n =0.\"<\/p>\n

Comme \"P_n ' = 2 \left( n + 2 \right) X^{n + 1} - 2 \left( n + 2 \right) X,\" on a bien \"P_n ' \left( 1 \right) = 0.\"<\/p>\n

Exercice 5 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

Remarquons que le polyn\u00f4me nul est solution. On proc\u00e8de par analyse-synth\u00e8se :<\/p>\n

Analyse : Soit \"P\" une solution (\u00e9ventuelle) non nulle. On pose \"d = \deg \left( P \right).\" Comme \"P \left( X^2 \right) = \left( X^2 + 1 \right) P \left( X \right),\" \"d\" v\u00e9rifie \"2d = 2 + d,\" on a \"d = 2.\" On pose \"P = a X^2 + b X + c\" o\u00f9 \"a, b\" et \"c\" sont des r\u00e9els.<\/p>\n

L’\u00e9quation \"P \left( X^2 \right) = \left( X^2 + 1 \right) P \left( X \right)\" donne<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[a X^4 + b X^2 + c = \left( X^2 + 1 \right) \left( a X^2 + b X + c \right) = a X^4 + b X^3 + \left( a + c \right) X^2 + bX + c.\]\"<\/p>\n

Par \u00e9galit\u00e9 de deux polyn\u00f4mes, on a<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} a & = a \\ 0 & = b \\ b & = a + c \\ 0 & = b \\ c & =c \end{cases}.\]\"<\/p>\n

Ainsi \"b = 0\" et \"-a = c.\" D’o\u00f9 \"P = a X^2 - a = a \left( X^2 - 1 \right).\"<\/p>\n

Synth\u00e8se : La synth\u00e8se est facile : les polyn\u00f4mes de la forme \"a \left( X^2 - 1 \right)\" avec \"a \in\mathbb{R}\" v\u00e9rifient bien l’\u00e9quation \"P \left( X^2 \right) = \left( X^2 + 1 \right) P \left( X \right).\"<\/p>\n

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