{"id":34084,"date":"2019-08-14T16:47:44","date_gmt":"2019-08-14T15:47:44","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34084"},"modified":"2023-09-26T10:58:11","modified_gmt":"2023-09-26T09:58:11","slug":"cours-en-ligne-fonctions-variables-reelles-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-fonctions-variables-reelles-ecs1\/","title":{"rendered":"Fonctions r\u00e9elles \u00e0 variables r\u00e9elles en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Fonctions r\u00e9elles \u00e0 variables r\u00e9elles en ECG1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Fonctions r\u00e9elles \u00e0 variables en ECG1<\/h2>\r\n

M\u00e9thode 1 : D\u00e9terminer l’ensemble de d\u00e9finition d’une fonction.
<\/b><\/p>\r\n

Pour d\u00e9terminer l’ensemble d’une fonction, il faut se souvenir qu’un d\u00e9nominateur ne peut \u00eatre nul, que l’on ne calcule la racine carr\u00e9e que de r\u00e9els positifs et que l’on ne d\u00e9finit le logarithme que de r\u00e9els strictement positifs.<\/p>\r\n

D’autre part, un raisonnement du type \u00ab\u00a0pour que \"f \left( x \right)\" soit d\u00e9fini, on doit avoir \"x \in \mathcal D\"\u00a0\u00bb est incomplet car il dit que le domaine de d\u00e9finition de \"f\" est inclus dans \"\mathcal D.\" Il manque l’\u00e9tude de la r\u00e9ciproque : c’est-\u00e0-dire si \"x \in \mathcal D,\" a-t-on \"f \left( x \right)\" d\u00e9fini ?<\/p>\r\n

Le raisonnement<\/a> doit faire appara\u00eetre : \"f \left( x \right)\" est d\u00e9fini si, et seulement si, \"x \in \mathcal D.\"<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : D\u00e9terminer l’ensemble de d\u00e9finition de la fonction suivante :<\/p>\r\n

\"h : x \mapsto \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right),\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On commence par dire que l’on se limite aux r\u00e9els \"x\" tels que \"x^2 - 1 \ge 0\" pour que la racine soit d\u00e9finie. On distingue alors \"2\" cas :<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"x \ge 1,\" alors \"x + \sqrt{x^2 - 1} > 0\" et donc \"h \left( x \right)\" est d\u00e9fini.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"x \le - 1,\" on utilise \"\sqrt{x^2 - 1} < \sqrt{x^2}\" soit \"\sqrt{x^2 - 1} < - x\" puis \"x + \sqrt{x^2 - 1} < 0\" et \"h \left( x \right)\" n’est pas d\u00e9fini.<\/p>\r\n

Par disjonction des cas, on a prouv\u00e9 que \"h\" est d\u00e9finie sur \"\left[ 1 , +\infty \right[.\"<\/p>\r\n

Si vous souhaitez perfectionner votre niveau de maths en ECG1, vous pouvez faire une recherche de prof de maths \u00e0 domicile<\/a> sur notre plateforme.<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

M\u00e9thode 2 : Montrer qu’une fonction admet une limite en un point ou en \"\pm \infty\".<\/b><\/p>\r\n

La situation est simple : ou bien il n’y a pas de forme ind\u00e9termin\u00e9e, auquel cas il ne devrait pas y avoir de difficult\u00e9, ou bien il y a une forme ind\u00e9termin\u00e9e. Nous listons une liste de m\u00e9thodes permettant de lever les ind\u00e9terminations avec les outils \u00e0 votre disposition au premier semestre.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour les quotients avec une forme ind\u00e9termin\u00e9e de la forme \u00ab\u00a0\"\dfrac{\infty}{\infty}\"\u00ab\u00a0, il faut factoriser au num\u00e9rateur et au d\u00e9nominateur par le terme qui tend le plus vite vers \"\pm \infty.\" En particulier, pour une fonction polyn\u00f4me<\/a>, on factorise par le terme de plus haut degr\u00e9.<\/p>\r\n

La m\u00e9thode est la m\u00eame pour les formes ind\u00e9termin\u00e9es de la forme \"\infty - \infty\" o\u00f9 l’on factorise par le terme qui tend le plus vite vers \"\pm \infty.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour les formes ind\u00e9termin\u00e9es de la forme \u00ab\u00a0\"\dfrac{0}{0}\"\u00ab\u00a0, on peut essayer de faire appara\u00eetre un\/des taux d’accroissement (i.e. des expressions de la forme \"\frac{f \left( x \right) - f \left( a \right)}{x - a}\" car on sait que \"\lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x \right) - f \left( a \right)}{x - a} = f' \left( a \right)\" si \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\"). En particulier, vous rencontrerez souvent les limites suivantes :<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" \"\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( x \right)}{x} =1\" (d\u00e9riv\u00e9e de \"\sin\" en \"0\"),<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" \"\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1\" (d\u00e9riv\u00e9e de \"\exp\" en \"0\"),<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" \"\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1 + x \right)}{x} = 1\" (d\u00e9riv\u00e9e de \"\ln\" en \"1\"),<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" \"\lim_{x \to 0} \dfrac{\left( 1 + x \right)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha\" (d\u00e9riv\u00e9e de \"x \mapsto x^{\alpha}\" en \"1\").<\/p>\r\n

\"\bullet\" Il faut aussi conna\u00eetre par c\u0153ur les formes ind\u00e9termin\u00e9es qui sont des croissances compar\u00e9es. Beaucoup de formes ind\u00e9termin\u00e9es se ram\u00e8nent \u00e0 des croissances compar\u00e9es. Nous les listons ci-dessous :<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" \"\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}= 0\" pour tout \"\alpha \in \mathbb{R}\" et pour tout \"\beta > 0,\"<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" \"\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\left( \ln \left( x \right) \right)^{\alpha}}{x^{\beta}} = 0\" pour tout \"\alpha \in \mathbb{R}\" et pour tout \"\beta > 0,\"<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" \"\lim_{x \to 0} x^{\beta} \left| \ln \left( x \right) \right|^{\alpha} = 0\" pour tout \"\alpha \in \mathbb{R}\" et pour tout \"\beta > 0.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Vous disposerez au cours du second semestre des \u00e9quivalents usuels permettant de lever les ind\u00e9terminations dans les produits et les quotients. Lorsque les expressions comportent des sommes et des diff\u00e9rences, il pourra \u00eatre utile de faire un\u00a0<\/span>d\u00e9veloppement\u00a0limit\u00e9.<\/span><\/p>\r\n

Pi\u00e8ge :\u00a0Les croissances compar\u00e9es sont des outils puissants pour lever les ind\u00e9terminations mais avant de les utiliser, v\u00e9rifier quand m\u00eame que c’est bien une croissance compar\u00e9e dont il faut se servir…<\/i><\/span><\/p>\r\n

Exemple : <\/b>\"j \left( x \right) = \ln \left( x \right) - \sqrt{x} + \dfrac1x\" en \"+\infty\" puis en \"0^+,\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

En \"+\infty\" :<\/i><\/p>\r\n

On obtient une forme ind\u00e9termin\u00e9e de la forme \"\infty - \infty,\" le troisi\u00e8me terme ayant \"0\" pour limite. On factorise par \"\sqrt{x}\" qui tend plus vite vers \"+\infty\" que \"\ln \left( x \right).\" Ainsi<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[j \left( x \right) = \sqrt{x} \left( \dfrac{\ln \left( x \right)}{\sqrt{x}} - 1 + \dfrac{1}{x \sqrt{x}} \right).\]\"<\/p>
Or \"\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{\sqrt{x}} = 0\" (croissance compar\u00e9e), on obtient\u00a0<\/p>\r\n

\"\lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{\ln \left( x \right)}{\sqrt{x}} - 1 + \dfrac{1}{x \sqrt{x}} \right) = - 1\" puis \"\lim_{x \to +\infty} j \left( x \right) = - \infty.\"<\/p>\r\n

En \"0^+\" :<\/i>\u00a0On obtient une forme ind\u00e9termin\u00e9e de la forme \"\infty - \infty,\" le deuxi\u00e8me terme ayant pour limite \"0.\" On factorise par \"\dfrac1x\" qui tend plus vite vers l’infini que \"\ln \left( x \right):\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[j \left( x \right) = \dfrac1x \left( x \ln \left( x \right) - x \sqrt{x} + 1 \right).\]\"<\/p>
Or \"\lim_{x \to 0} x \ln \left( x \right) = 0\" (croissance compar\u00e9e), on obtient\u00a0<\/p>\r\n

\"\lim_{x \to 0} \left( x \ln \left( x \right) - x \sqrt{x} + 1 \right) = 1,\" donc \"\lim_{x \to 0} j\left( x \right) = + \infty.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 3 : Montrer qu’une fonction n’admet pas de limite en un point ou en \"\pm \infty\".\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Pour montrer qu’une fonction \"f\" n’admet pas de limite en un point \"a\" (fini ou \u00e9gal \u00e0 \"\pm \infty\"), il suffit de trouver deux suites \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" de limite \"a\" telles que \"\left( f \left( u_n \right) \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( f \left( v_n \right) \right)_{n \in \mathbb{N}}\" aient des limites diff\u00e9rentes.<\/p>\r\n

Exemple :<\/b> Soit \"f \left( x \right) =x \sin \left( x \right).\" Montrer que \"f\" n’admet pas de limite en \"+\infty.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On cherche deux suites \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" qui divergent vers \"+\infty\" et telles que \"\left( f \left( u_n \right) \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( f \left( v_n \right) \right)_{n \in \mathbb{N}}\" aient des limites diff\u00e9rentes.<\/p>\r\n

Il faut construire ces suites<\/a> pour que les \"\sin\" soient faciles \u00e0 calculer. On prend par exemple \"u_n = 2 \pi n\" et \"v_n = \dfrac{\pi}{2} + 2n \pi.\" On a \"f \left( u_n \right) = 0\" et \"f \left( v_n \right) = \dfrac{\pi}{2} + 2 \pi n.\" Il s’ensuit que \"\lim_{n \to +\infty} f \left( u_n \right) = 0\" et \"\lim_{n \to +\infty} f \left( v_n \right) = +\infty\" avec \"\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\" et \"\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty.\"<\/p>\r\n

\"f\" n’a pas de limite en \"+ \infty.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 : <\/b>Montrer la continuit\u00e9 d’une fonction en un point.<\/p>\r\n

Pour montrer qu’une fonction \"f\" d\u00e9finie sur un intervalle \"I\" est continue en \"x_0 \in I,\" on doit montrer que \"\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = f \left( x_0 \right).\" En g\u00e9n\u00e9ral pour montrer qu’une fonction est continue, on ne revient pas \u00e0 la d\u00e9finition mais on utilise les th\u00e9or\u00e8mes g\u00e9n\u00e9raux disant que la somme ou le produit de fonctions continues est continue, le quotient d’une fonction continue par une fonction continue\u00a0ne s’annulant pas<\/b>\u00a0est continue, etc.\u00a0<\/p>\r\n

On sera oblig\u00e9 de revenir \u00e0 la d\u00e9finition dans les cas suivants :<\/p>\r\n

\"\bullet\" la fonction est d\u00e9finie par \"f \left( x \right) = \cdots\" si \"x \in I \backslash \left\{ x_0 \right\}\" et la donn\u00e9e de \"f \left( x_0 \right),\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" la fonction est d\u00e9finie par intervalles (par exemple \"f \left( x \right) = g \left( x \right)\" si \"x \in \left] a , x_0 \right]\" et \"f \left( x \right) = h \left( x \right)\" si \"x \in \left] x_0 , b \right[\").<\/p>\r\n

Dans ce cas, on dira dans la suite que \"f\" est d\u00e9finie par un raccord.<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur \"\mathbb{R}:\"<\/p>\r\n

\"h \left( x \right) = \begin{cases} x^2 + x & \text{si} \; x \ge 0 \\ x \ln \left( x \right) & \text{si} \; x < 0 \end{cases},\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"h\" est clairement continue sur \"\mathbb{R}^*.\" Pour montrer que \"h\" est continue en \"0,\" montrons que \"\lim_{x \to 0^+} h \left( x \right) = \lim_{x \to 0^-} h \left( x \right)\" \"= h \left( 0 \right)= 0.\" S’il est clair que \"\lim_{x \to 0^-} x^2 + x = 0.\" Gr\u00e2ce \u00e0 une croissance compar\u00e9e, on obtient aussi que \"\lim_{x \to 0^+} x \ln \left( x \right) = 0.\" Ainsi \"h\" est bien continue en \"0\" puis sur \"\mathbb{R}.\"<\/p>\r\n

2. D\u00e9rivabilit\u00e9 et d\u00e9riv\u00e9es<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 5 : Montrer qu’une fonction est d\u00e9rivable.\u00a0
<\/b><\/p>\r\n

Comme pour la continuit\u00e9, on essaie dans un premier temps d’utiliser les th\u00e9or\u00e8mes g\u00e9n\u00e9raux qui disent qu’une somme de fonctions d\u00e9rivables, un produit de fonctions d\u00e9rivables est d\u00e9rivable, un quotient de fonctions d\u00e9rivables est aussi d\u00e9rivable (attention au d\u00e9nominateur qui ne doit pas s’annuler !).<\/p>\r\n

On peut aussi utiliser le th\u00e9or\u00e8me de composition des fonctions d\u00e9rivables : si la fonction \"u\" est d\u00e9rivable sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"J\" et si la fonction \"f\" est d\u00e9rivable sur \"J,\" la fonction \"f \circ u\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et \"\left( f \circ u \right)' = u' \times f' \circ u.\"<\/p>\r\n

Lorsqu’il est impossible d’appliquer les th\u00e9or\u00e8mes g\u00e9n\u00e9raux (par exemple lorsqu’il y a un raccord), il faut revenir \u00e0 la d\u00e9finition, c’est-\u00e0-dire qu’il faut montrer que le taux d’accroissement \"\frac{ f \left( x \right) - f \left(a \right)}{x - a}\" admet une limite finie lorsque \"x\" tend vers \"a.\"\u00a0<\/p>\r\n

\u00e0 cet effet, il est bon de se souvenir qu’une fonction \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\"\u00a0si et seulement si<\/i>\u00a0\"f\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"1\" en \"a,\" c’est-\u00e0-dire que l’on peut \u00e9crire :<\/p>\r\n

\"f \left( x \right)\" \"= f \left( a \right) + f' \left( a \right) \left( x - a \right) + \left( x - a \right) \epsilon \left( x \right),\"
avec \"\lim_{x \to a } \epsilon \left( x \right) = 0.\"<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>1)<\/strong> \u00e9tudier la d\u00e9rivabilit\u00e9 de \"k: x \mapsto \sqrt{-2 x^2 + x +1}.\"<\/p>\r\n

2)<\/strong> Montrer que les fonctions suivantes sont d\u00e9rivables en les points indiqu\u00e9s :<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0a)<\/strong>\u00a0\"f:x \mapsto x \left| x \right|\" en \"0,\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0b)<\/strong>\u00a0 \"h : x \mapsto \begin{cases} x^2 \sin \left( \dfrac1x \right) & \text{si} \; x \neq 0 \\ 0 & \text{si} \; x = 0 \end{cases}\" en \"0.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

1)<\/strong> Soit \"u \left( x \right) = - 2x^2 + x + 1.\" Les racines de \"u\" sont \"- \dfrac12\" et \"1.\" Il s’ensuit que\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u \left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left] - \dfrac12, 1 \right[.\]\"<\/p>
Comme la fonction \"\sqrt{\cdot}\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}_+^*,\" par le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9rivation des fonctions compos\u00e9es, la fonction \"k\" est d\u00e9rivable sur \"\left] - \dfrac12, 1 \right[\" et\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[k ' \left( x \right) = \dfrac{u' \left( x \right)}{2 \sqrt{u \left( x \right)}}= \dfrac{1 - 4x}{2 \sqrt{- 2x^2 + x + 1}}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

2)a)<\/strong> On sait que \"x \mapsto x\" est d\u00e9rivable en \"0\" mais \"x \mapsto \left| x \right|\" ne l’est pas, on ne peut donc pas appliquer les th\u00e9or\u00e8mes g\u00e9n\u00e9raux : on revient \u00e0 la d\u00e9finition, c’est-\u00e0-dire au taux d’accroissement.<\/p>\r\n

\"\dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{ x - 0 }\" \"= \dfrac{ x \left| x \right| - 0 \left| 0 \right|}{x - 0}\"
\"= \dfrac{x \left| x \right|}{x}\"
\"= \left| x \right|\".<\/p>\r\n

Ainsi, \"\lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{ x - 0 } = 0\" donc \"f\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"f ' \left( 0 \right) = 0.\"<\/p>\r\n

b)<\/strong> On forme le taux d’accroissement : \"\dfrac{f \left( x \right) - f\left( 0 \right)}{x - 0} = x \sin \left( \dfrac1x \right),\" donc \"\left| \dfrac{f \left( x \right) - f\left( 0 \right)}{x - 0} \right| \le \left| x \right|\" et alors, par encadrement, \"\lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x} = 0,\" \"f\" est donc d\u00e9rivable en \"0\" et \"f' \left( 0 \right) = 0.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 6 : Utiliser le th\u00e9or\u00e8me de Rolle.<\/b><\/p>\r\n

Ce th\u00e9or\u00e8me est fondamental en analyse. Il doit \u00eatre connu sur le bout des doigts ainsi que ses hypoth\u00e8ses (sans en oublier).\u00a0<\/p>\r\n

Soit \"a < b\" deux r\u00e9els et \"f : \left[ a , b \right] \to \mathbb{R}\" une fonction continue sur \"\left[ a , b \right],\" d\u00e9rivable sur \"\left] a , b \right[.\" Alors il existe \"c \in \left] a, b \right[\" tel que \"f ' \left( c \right) = 0.\"<\/p>\r\n

Lorsque l’on demande de d\u00e9montrer qu’une d\u00e9riv\u00e9e s’annule, la premi\u00e8re question \u00e0 se poser est celle-ci : peut-on trouver un intervalle \"\left[ a , b \right]\" sur lequel on puisse appliquer le th\u00e9or\u00e8me de Rolle ?<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>: Soit \"f : \left[ 0 , 1 \right] \to \mathbb{R}\" d\u00e9rivable sur \"\left[ 0 , 1 \right]\" telle que \"f \left( 0 \right) = f \left( 1 \right) = f' \left( 0 \right) = 0.\" Montrer qu’il existe \"c \in \left] 0 , 1 \right[\" telle que \"f' \left( c \right) = \dfrac{f \left( c \right)}{c}.\"\u00a0<\/p>\r\n

Indication :<\/i>\u00a0On pourra introduire la fonction \"x \mapsto \dfrac{f \left( x \right)}{x}.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

Soit \"g \left( x \right) = \dfrac{f \left( x \right) }{x}\" si \"x \neq 0\" et \"g \left( 0 \right) = 0.\" On remarque que \"g\" ainsi d\u00e9finie est continue sur \"\left[ 0 , 1 \right]\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles. En effet, les th\u00e9or\u00e8mes g\u00e9n\u00e9raux assurent que \"g\" est bien continue sur \"\left] 0 , 1 \right]\" et\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to 0 } g \left( x \right) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x} = f' \left( 0 \right) = 0.\]\"<\/p>\u00a0
On a donc \"g \left( 0 \right) = g \left( 1 \right) (= 0 )\" et \"g\" est d\u00e9rivable sur \"\left] 0 , 1 \right[.\" Par le th\u00e9or\u00e8me de Rolle, il existe \"c \in \left] 0, 1 \right[\" tel que \"g ' \left( c \right) = 0.\" Un petit calcul donne pour \"x \in \left] 0 , 1 \right[\" \"g ' \left( x \right) = \dfrac{x f' \left( x \right) - f \left( x \right)}{x^2}.\" Ainsi, si \"g ' \left( c \right) = 0,\" on a : \"f' \left( c \right) = \dfrac{f \left( c \right)}{c}.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 7 : Utiliser le th\u00e9or\u00e8me des accroissements finis.<\/b><\/p>\r\n

Soit \"f : \left[ a , b \right] \to \mathbb{R}\" une fonction continue sur \"\left[ a , b \right],\" d\u00e9rivable sur \"\left] a , b \right[.\" Alors il existe \"c \in \left]a , b \right[\" tel que \"f \left( b \right) - f\left( a \right) = f ' \left( c \right) \left( b - a \right).\"<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/span><\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Soit \"f\" une fonction continue sur \"\left[ a , b \right]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R},\" d\u00e9rivable sur \"\left] a, b \right[\" telle que \"f'\" admette une limite finie \"L\" en \"a^+\" (\u00e0 droite en \"a\"), montrer que \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et que \"f' \left( a \right) = L.\"<\/div>\r\n
\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Soit \"x \in \left] a , b \right[.\" On peut appliquer le th\u00e9or\u00e8me des accroissements finis \u00e0 \"f\" sur \"\left[ a , x \right],\" il existe donc \"c_x \in \left] a, x \right[\" tel que \"\dfrac{f \left( x \right) - f \left(a \right)}{x - a} = f' \left( c_x \right).\"<\/p>\r\n

Lorsque \"x\" tend vers \"a,\" par encadrement, \"c_x\" tend vers \"a\" et donc\u00a0\r\n

 <\/p>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to a} f ' \left( c_x \right) = L.\]\"<\/p>
Ainsi le taux d’accroissement admet une limite en \"a\" qui vaut \"L.\" \"f\" est donc d\u00e9rivable en \"a\" et \"f' \left( a \right) = L.\"<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\u00a0<\/div>\r\n<\/div>\r\n

M\u00e9thode 8 : Utiliser les in\u00e9galit\u00e9s des accroissements finis.<\/b><\/p>\r\n

Il y a deux r\u00e9sultats utiles pour d\u00e9montrer des in\u00e9galit\u00e9s :<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"f\" est d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et s’il existe deux r\u00e9els \"m\" et \"M\" tels que pour tout \"x \in I,\" \"m \le f ' \left( x \right) \le M,\" alors pour \"a, b \in I\" tels que \"a \le b,\" on a : \"m \left( b - a \right) \le f \left( b \right) - f \left( a \right) \le M \left( b - a \right).\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"f\" est d\u00e9rivable sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et s’il existe un r\u00e9el \"k\" tel que pour tout \"x \in I,\" \"\left| f ' \left( x \right) \right| \le k,\" alors pour tout \"a, b \in I,\" on a \"\left| f \left( b \right) - f \left( a \right) \right| \le k \left| b - a \right|.\"<\/p>\r\n

Exemple<\/b>\u00a0:<\/p>\r\n

Montrer que si \"x \le y,\" \"\ln \left( 1 + y^2 \right) - \ln \left( 1 + x^2 \right) \le y - x.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On pose \"f : t \mapsto \ln \left( 1 + t^2 \right),\" \"f\" est continue et d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" \u00e0 valeurs r\u00e9lles. Pour tout \"t \in \mathbb{R},\" on a \"f ' \left( t \right) = \dfrac{2t}{1 + t^2}.\" Comme \"2t \le 1 + t^2\" (car \"\left( 1 - t \right)^2 \ge 0\"), on a \"f ' \left( t \right) \le 1.\" Par l’in\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis (avec \"M = 1\"), on en d\u00e9duit que si \"x \le y,\" \"\ln \left( 1 + y^2 \right) - \ln \left( 1 + x^2 \right) \le y - x .\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode\u00a0 9 : Utiliser le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9rivation des fonctions r\u00e9ciproques.<\/b><\/p>\r\n

Nous rappelons ci-dessous le th\u00e9or\u00e8me permettant de d\u00e9river les fonctions r\u00e9ciproques.<\/p>\r\n

Soit \"f : I \to J\" une fonction bijective d\u00e9rivable. Soit \"y_0 \in J,\" on note \"x_0 \in I\" tel que \"y_0 = f \left( x _0 \right)\" et on suppose \"f' \left( x_0 \right) \neq 0.\" Alors \"f^{-1}\" est d\u00e9rivable en \"y_0\" et \"\left( f^{-1} \right)' \left( y_0 \right) = \dfrac{1}{f' \left( f^{-1} \left( y_0 \right) \right)}.\"<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Montrer que la fonction \"\sin : \left[ - \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right] \to \left[ - 1 , 1 \right]\" est bijective. Montrer que sa fonction r\u00e9ciproque not\u00e9e \"\mathrm{Arcsin}\" est d\u00e9rivable sur \"\left] - 1 ,1 \right[\" et calculer sa d\u00e9riv\u00e9e.\r\n

 <\/p>\r\n

 <\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

Pour appliquer le th\u00e9or\u00e8me de la bijection, on v\u00e9rifie que :<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\sin\" est continue sur \"\left[ - \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right],\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" \"\sin\" est strictement croissante sur \"\left[ - \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right],\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" \"\sin \left( - \dfrac{\pi}{2} \right) = - 1\" et \"\sin \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Par le th\u00e9or\u00e8me de la bijection, \"\sin\" d\u00e9finit bien une bijection de \"\left[ - \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right]\" sur \"\left[ - 1 , 1 \right].\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Soit \"y \in \left] - 1 , 1 \right[,\" il existe \"x \in \left] - \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right[\" tel que \"y = \sin \left( x \right)\" et \"\sin ' \left( x \right) \neq 0.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9rivation des fonctions r\u00e9ciproques, \"\mathrm{Arcsin}\" est d\u00e9rivable sur \"\left] - 1, 1 \right[\" et si \"y \in \left]- 1, 1 \right[,\" on a\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathrm{Arcsin}' \left( y \right)\" \"= \dfrac{1}{\sin ' \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right)} = \dfrac{1}{ \cos \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right)}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Il reste \u00e0 calculer \"\cos \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right).\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
On \u00e9crit \"\cos^2 \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right) + \sin^2 \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right) = 1\" et \"\sin \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right) = y\" donne \"\cos^2 \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right)^2 = 1 - y^2.\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Or \"\mathrm{Arcsin} \left( y \right) \in \left] - \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right[\" donc \"\cos \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right) \ge 0\" puis\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\cos \left( \mathrm{Arcsin} \left( y \right) \right) = \sqrt{1 - y^2}.\]\"<\/p>\u00a0
Finalement pour \"y \in \left] - 1 , 1 \right[,\" on a<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{Arcsin} ' \left( y \right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - y^2}}.\]\"<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n

Il est important de suivre un rythme de travail r\u00e9gulier pour ne pas \u00eatre submerg\u00e9 par la charge de travail en pr\u00e9pa HEC. N’h\u00e9sitez donc pas \u00e0 regarder et vous tester sur d’autres chapitres au programme de maths en ECG1 :\u00a0<\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n

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