{"id":34157,"date":"2019-08-18T17:30:25","date_gmt":"2019-08-18T16:30:25","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34157"},"modified":"2022-06-11T18:31:15","modified_gmt":"2022-06-11T17:31:15","slug":"annale-corrige-du-sujet-ecricome-maths-ecs-2017","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-ecricome-maths-ecs-2017\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2017"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2017<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths Ecricome<\/a><\/p>\r\n

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Exercice 1 : In\u00e9galit\u00e9s de Taylor-Lagrange<\/h2>\r\n

1\/ a\/<\/strong> Par limite du cours, \"\lim\limits_{x\to 0}x\ln x=0\". Par composition avec la limite \"\lim\limits_{u\to 0}e^u=1\", on a \"\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$f$ et $g$ admettent des limites (finies) en 0.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

1\/ b\/<\/strong> \"f\" est d\u00e9rivable sur \"]0,+\infty[\" et pour \"x>0\", \"f'(x)=\ln x+1\".\u00a0
\"f'(x)>0\" ssi \"\ln x>-1\" ssi \"x>e^{-1}\". On a le tableau de variations suivant :<\/p>\r\n

\"maths<\/p>\r\n

\"g\" est d\u00e9rivable sur \"]0,1]\" et pour \"x>0\", \"g'(x)=f'(x)e^{x\ln x}\". \"g'(x)\" est du signe de \"f'(x)\". On a le tableau de variations suivant :<\/p>\r\n

\"maths<\/p>\r\n

1\/ c\/<\/strong> \"g\" est continue sur \"]0,1]\" et admet une limite finie en 0 ; \"g\" est donc prolongeable par continuit\u00e9 en 0.

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{L'int\'egrale $\int\limits_0^1g(t)\,\mathrm{d}t$ converge.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> Soit \"n\in \mathbb{N}\". La fonction \"t\mapsto (f(t))^n\" est continue sur \"]0,1]\" et admet une limite finie en 0 (valant 0 si \"n\in\mathbb{N}^*\" et 1 si \"n=0\"). La fonction \"f^n\" est donc prolongeable par continuit\u00e9 en 0. L’int\u00e9grale \"\int\limits_0^1[f(t)]^n\,\mathrm{d}t\" converge.

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n$ existe.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> Par l’\u00e9tude de fonction de la question 1.b., on a \"-\frac 1e\leqslant t\ln t\leqslant 0\" pour tout \"t\in ]0,1]\". Pour tout \"t\in ]0,1]\", on a donc :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}|t\ln t|&\leqslant & e^{-1}\\|t\ln t|^n&\leqslant & e^{-n}\\|(t\ln t)^n|&\leqslant & e^{-n}\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

La fonction \"|f^n|\" est continue sur \"]0,1]\" et admet une limite finie en 0, donc l’int\u00e9grale \"\int\limits_0^1|(t\ln t)^n|\,\mathrm{d}t\" converge.
Par \u00ab\u00a0croissance de l’int\u00e9grale\u00a0\u00bb, on a : \"\int\limits_0^1|(t\ln t)^n|\,\mathrm{d}t\leqslant \int\limits_0^1e^{-n}\,\mathrm{d}t\", soit \"\int\limits_0^1|(t\ln t)^n|\,\mathrm{d}t\leqslant e^{-n}\".
Par l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire :

  <\/span>   <\/span>\"\[|u_n|\leqslant \frac 1{n!}\int\limits_0^1|(t\ln t)^n|\,\mathrm{d}t\leqslant \frac{e^{-n}}{n!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\lim\limits_{n\to +\infty}e^{-n}=0\" et \"\lim\limits_{n\to +\infty}n!=+\infty\". Sans forme ind\u00e9termin\u00e9e, \"\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{e^{-n}}{n!}=0\".<\/p>\r\n

Par le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement,

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{la suite $u$ converge et $\lim u_n=0$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ c\/<\/strong> \"u_0=\int\limits_0^11\,\mathrm{d}t=1\" et \"u_1=\int\limits_0^1t\ln t\,\mathrm{d}t\". Pour calculer cette int\u00e9grale, effectuons une int\u00e9gration par parties, en revenant bien aux int\u00e9grales partielles. Soit \"A\in ]0,1[\". Les fonctions \"u\" et \"v\" suivantes sont de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"[A,1]\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[u:t\mapsto \frac{t^2}{2}\quad\text{ et }\quad v:t\mapsto \ln t\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"u'(t)=t\" et \"v'(t)=\frac 1t\". On a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\int\limits_A^0t\ln t\,\mathrm{d}t&=&\left[\frac {t^2}2\ln t\right]_A^1-\int\limits_A^1\frac t2\,\mathrm{d}t\\&=&-\frac 12A^2\ln A-\left[\frac{t^2}4\right]_A^1\\&=&-\frac 14+\frac{A^2}{4}-\frac{A^2\ln A}2\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Par limite usuelle, \"\lim\limits_{A\to 0}A^2\ln A=0\". En faisant tendre \"A\" vers 0, nous obtenons

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$u_1=-\frac 14$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ d\/<\/strong> Soit \"A\in ]0,1[\". On effectue une int\u00e9gration par parties avec les fonctions de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"[A,1]\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[u:t\mapsto \frac{t^{n+1}}{n+1}\text{ et }v:t\mapsto (\ln t)^n\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"u'(t)=t^n\" et \"v'(t)=\frac nt (\ln t)^{n-1}\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\int\limits_A^1t^n (\ln t)^n\,\mathrm{d}t&$<\/p><\/p>\r\n

Par limite usuelle (ou croissance compar\u00e9e) \"\lim\limits_{A\to 0}A^{n+1}(\ln A)^n=0\". En faisant tendre \"A\" vers 0, nous obtenons :

  <\/span>   <\/span>\"\[n!u_n=-\frac n{n+1}\int\limits_0^1t^n (\ln t)^{n-1}\,\mathrm{d}t\]\"<\/p><\/p>\r\n

Nous r\u00e9it\u00e9rons, comme indiqu\u00e9, l’int\u00e9gration par parties sur le segment \"[A,1]\", avec les fonctions de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"[A,1]\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[u:t\mapsto \frac{t^{n+1}}{n+1}\text{ et }v:t\mapsto (\ln t)^{n-1}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} \int\limits_A^1t^n (\ln t)^{n-1}\,\mathrm{d}t&=&\left[\frac{t^{n+1}}{n+1}(\ln t)^{n-1}\right]_A^1-\int\limits_A^1\frac{(n-1)t^{n+1}(\ln t)^{n-2}}{(n+1)t}\,\mathrm{d}t\\&=&-\frac {A^{n+1}(\ln A)^{n-1}}{n+1}-\frac {n(n-1)}{n+1}\int\limits_A^1t^n(\ln t)^{n-2}\,\mathrm{d}t\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Par limite usuelle (ou croissance compar\u00e9e) \"\lim\limits_{A\to 0}A^{n+1}(\ln A)^{n-1}=0\", et en faisant tendre \"A\" vers 0, nous obtenons :

  <\/span>   <\/span>\"\[n!u_n=\frac {n(n-1)}{(n+1)^2}\int\limits_0^1t^n (\ln t)^{n-2}\,\mathrm{d}t\]\"<\/p><\/p>\r\n

En continuant ce proc\u00e9d\u00e9, nous avons pour tout \"k\in[\![0,n]\!]\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[n!u_n=(-1)^{k}\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{(n+1)^k}\int\limits_0^1t^n (\ln t)^{n-k}\,\mathrm{d}t\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier, \"n!u_n=(-1)^n \frac{n!}{(n+1)^n}\int\limits_0^1t^n \,\mathrm{d}t=(-1)^n \frac{n!}{(n+1)^n}\left[\frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^1=(-1)^n \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n=\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ e\/<\/strong> Pour \"n\geqslant 1\", \"|u_n|=\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\leqslant \frac 1{(n+1)^2}\leqslant \frac1{n^2}\".
La s\u00e9rie de Riemann \"\sum \frac 1{n^2}\" converge. On a \"0\leqslant |u_n|\leqslant \frac1{n^2}\".
Par le th\u00e9or\u00e8me de comparaison des s\u00e9ries \u00e0 termes positifs, la s\u00e9rie \"\sum |u_n|\" converge. Par propri\u00e9t\u00e9 relative \u00e0 la convergence absolue,

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{la s\'erie de terme g\'en\'eral $u_n$ converge.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ f\/ <\/strong>Avec calcul vectoriel :\u00a0
function S = somme(n)
\u00a0 \u00a0 \u00a0k = 0:n
\u00a0 \u00a0 \u00a0u = (-1).^k .\/(k+1).^(k+1)
\u00a0 \u00a0 \u00a0S = sum(u)
endfunction<\/p>\r\n

Par une boucle for :
function S = sommebis(n)
\u00a0 \u00a0 \u00a0S = 0
\u00a0 \u00a0 \u00a0for k = 0:n
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 S = S + (-1)^k\/(k+1)^(k+1)
\u00a0 \u00a0 \u00a0end
endfunction<\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}\". Consid\u00e9rons \"I=[-\frac 1e,0]\"
et \"f:t\mapsto e^t\". La fonction \"f\" est de classe \"\mathcal{C}^{n+1}\" sur \"I\", et pour tout \"t\in I\", \"|f^{(n+1)}(t)|=e^t\leqslant 1\". Par l’in\u00e9galit\u00e9 de Taylor-Lagrange \u00e0 l’ordre \"n\", pour tout \"x\in I\", on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\left|f(x)-\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x-0)^k\right|\leqslant \frac{|x-0|^{n+1}}{(n+1)!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour tout entier naturel \"k\", \"f^{(k)}=f\".
Pour \"x\in I\", on a \"|x|\leqslant \frac 1e\", puis \"|x|^{n+1}\leqslant \left( \frac 1e\right)^{n+1}\" et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in I,\quad \left|e^x-\sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right|\leqslant \frac{1}{e^{n+1}(n+1)!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in ]0,1]\". Par l’\u00e9tude de la question 1.b., \"x\ln x\in [-\frac 1e,0]\". On peut appliquer le r\u00e9sultat de la question pr\u00e9c\u00e9dente :

  <\/span>   <\/span>\"\[\left|e^{x\ln x}-\sum\limits_{k=0}^n \frac{(x\ln x)^k}{k!}\right|\leqslant \frac{1}{e^{n+1}(n+1)!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Les fonctions \"x\mapsto \left|e^{x\ln x}-\sum\limits_{k=0}^n \frac{(x\ln x)^k}{k!}\right|\" et \"x\mapsto \frac{1}{e^{n+1}(n+1)!}\" sont continues sur \"]0,1]\" et l’int\u00e9grale \"\int\limits_0^1\frac{1}{e^{n+1}(n+1)!}\,\mathrm{d}x\" est convergente. Par le th\u00e9or\u00e8me de comparaison pour des int\u00e9grales de fonctions continues positives, l’int\u00e9grale \"\int\limits_0^1\left|e^{x\ln x}-\sum\limits_{k=0}^n \frac{(x\ln x)^k}{k!}\right|\,\mathrm{d}x\" converge.<\/p>\r\n

Par \u00ab\u00a0croissance de l’int\u00e9grale\u00a0\u00bb :

  <\/span>   <\/span>\"\[\int\limits_0^1\left|e^{x\ln x}-\sum\limits_{k=0}^n \frac{(x\ln x)^k}{k!}\right|\,\mathrm{d}x\leqslant \int\limits_0^1\frac{1}{e^{n+1}(n+1)!}\,\mathrm{d}x \]\"<\/p>
soit

  <\/span>   <\/span>\"\[\int\limits_0^1\left|e^{x\ln x}-\sum\limits_{k=0}^n \frac{(x\ln x)^k}{k!}\right|\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{e^{n+1}(n+1)!} \]\"<\/p><\/p>\r\n

Par ailleurs, par lin\u00e9arit\u00e9 pour des int\u00e9grales convergentes, \"I-S_n=\int\limits_0^1\left(e^{x\ln x}-\sum\limits_{k=0}^n \frac{(x\ln x)^k}{k!}\right)\,\mathrm{d}x\".\\\\
On termine par l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire :

  <\/span>   <\/span>\"\[\left|I-S_n\right|\leqslant \int\limits_0^1\left|e^{x\ln x}-\sum\limits_{k=0}^n \frac{(x\ln x)^k}{k!}\right|\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{e^{n+1}(n+1)!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ c\/<\/strong> Sans forme ind\u00e9termin\u00e9e, \"\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{e^{n+1}(n+1)!}\". Le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement appliqu\u00e9 \u00e0 l’encadrement de la question pr\u00e9c\u00e9dente donne : \"\lim S_n=I\".
Ainsi \"\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}}=I\". Le changement d’indice \"n=k+1\" donne :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[I=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^n}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ d\/<\/strong>
function I = estimation(eps)
\u00a0 \u00a0 \u00a0n = 0
\u00a0 \u00a0 \u00a0while 1\/ (exp(n+1)*factorial(n+1)) >= eps
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0n = n+1
\u00a0 \u00a0 \u00a0end
\u00a0 \u00a0 \u00a0I = somme(n)
endfunction<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

Exercice 2 : Matrice Sym\u00e9trique<\/h2>\r\n

1\/ a\/<\/strong> \"J\" est une matrice sym\u00e9trique r\u00e9elle donc \"J\" est diagonalisable et il existe une matrice orthogonale \"P\" et une matrice diagonale \"D\" telles que \"J=PDP^{-1}=PD{ }^tP\".<\/p>\r\n

1\/ b\/<\/strong> On a, en notant \"C_1,\dots, C_n\" les colonnes de \"J\" :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}rg(J)&=&\dim\vect<C_1,C_2,\dots, C_n>\\&=&\dim \vect<C_1>\text{ car }C_1=C_2=\dots = C_n\\&=&1\text{ car }C_1\neq 0\text{ donc }(C_1)\text{ est libre} \end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Le rang de $J$ est 1.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"n\geqslant 2\", on a \"\rg(J-0I_n)<n\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{0 est valeur propre de $J$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par le th\u00e9or\u00e8me du rang, \"\dim E_0=n-\rg(J-0I_n)=n-1\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{L'espace propre associ\'e \`a 0 est de dimension $n-1$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

1\/ c\/<\/strong> Deux matrices semblables ont m\u00eame trace, donc \"\tr(D)=\tr(J)=n\".
Par la question pr\u00e9c\u00e9dente, il existe un r\u00e9el \"\mu\" tel que \"D=\begin{pmatrix}0&0&\dots &\dots &0\\0&0&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &0&0\\0&\dots & \dots &0&\mu\end{pmatrix}\". On a \"\tr(D)=\mu\". Finalement, \"\mu =n\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[D=\begin{pmatrix}0&0&\dots &\dots &0\\0&0&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &0&0\\0&\dots & \dots &0&n\end{pmatrix}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> D\u00e9veloppons le carr\u00e9 :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\left( \sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2&=&\left( \sum\limits_{i=1}^n x_i\right)\left( \sum\limits_{j=1}^n x_j\right)=\sum\limits_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}x_ix_j\\&=&\sum\limits_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2, \; i<j}x_ix_j+\sum\limits_{i=1}^n x_i^2+\sum\limits_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2, \; j<i}x_ix_j\\&&\text{on change d'indice dans la derni\`ere somme : $i'=j$ et $j'=i$}\\&=&\sum\limits_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2, \; i<j}x_ix_j+\sum\limits_{i=1}^n x_i^2+\sum\limits_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2, \; i'<j'}x_{j'}x_{i'}\\&=&\sum\limits_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2, \; i<j}x_ix_j+\sum\limits_{i=1}^n x_i^2+\sum\limits_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2, \; i'<j'}x_{i'}x_{j'}\\&=&2\sum\limits_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2, \; i<j}x_ix_j+\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\end{eqnarray*}\"<\/p>
On a bien

  <\/span>   <\/span>\"\[f(x_1,x_2,\dots, x_n)=\frac 12\left[\left( \sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2-\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\right]\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> La matrice \"M=\begin{pmatrix}0&1/2&\dots &\dots &1/2\\1/2&0&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &1/2&1/2\\1/2&\dots & \dots &1/2&0\end{pmatrix}\" est une matrice (sym\u00e9trique) telle que
\"f(x)={ }^tXMX\" pour tout \"x\in\mathbb{R}^n\".<\/p>\r\n

2\/ c\/<\/strong> On a \"M=\frac 12J-\frac 12I_n\".<\/p>\r\n

2\/ d\/<\/strong> On a \"M=\frac 12PD{ }^tP-\frac 12PI_n{ }^tP=P\left( \frac 12D-\frac 12I_n\right){ }^tP\".

  <\/span>   <\/span>\"\[M=P\Delta { }^tP\text{ avec }\Delta = \begin{pmatrix}-1/2&0&\dots &\dots &0\\0&-1/2&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &-1/2&0\\0&\dots & \dots &0&(n-1)/2\end{pmatrix}\]\"<\/p>
En tant que fonction polynomiale de \"n\" variables, \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^n\".
L’ensemble \"S\" est un ensemble ferm\u00e9 (d\u00e9fini par une fonction continue et une \u00e9galit\u00e9) et born\u00e9 (pour tout \"x\in S\", \"\Vert x\Vert =1\").
Par le th\u00e9or\u00e8me des bornes atteintes, \"f\" admet un minimum et un maximum sur \"S\".<\/p>\r\n

2\/ e\/<\/strong> Soit \"x\in S\".
Posons \"Y={ }^tPX\". Par b. et d., nous avons \"f(x)={ }^tY\Delta Y\". Par calcul matriciel,

  <\/span>   <\/span>\"\[f(x)=-\frac 12 \left( y_1^2+y_2^2+\dots +y_{n-1}^2\right)+\left(\frac{n-1}2\right)y_n^2\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par ailleurs, \"\Vert y\Vert ^2={ }^tYY={ }^tXP{ }^tPX={ }^tXX=1\" car \"x\in S\". Donc \"\sum\limits_{i=1}^n y_i^2=1\", puis :

  <\/span>   <\/span>\"\[f(x)=-\frac 12 \left(1-y_n^2\right)+\left(\frac{n-1}2\right)y_n^2=-\frac 12+\frac n2y_n^2\]\"<\/p><\/p>\r\n

Nous avons \"0\leqslant y_n^2\leqslant \Vert y\Vert ^2\", soit \"0\leqslant y_n^2\leqslant 1\". On en d\u00e9duit l’encadrement de \"f(x)\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R}^n,\quad -\frac 12\leqslant f(x)\leqslant -\frac 12+\frac n2\]\"<\/p><\/p>\r\n

Ceci ne nous fournit qu’un minorant et un majorant de \"f\" sur \"S\".<\/p>\r\n

Soit \"x\" un vecteur propre de norme 1 associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"-\frac 12\" de \"M\". Nous avons \"f(x)={ }^tX(-\frac 12)X=-\frac 12{ }^tXX=-\frac 12\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$f$ admet un minimum sur $S$, valant $-\frac 12$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Soit \"x\" un vecteur propre de norme 1 associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\frac n2-\frac 12\" de \"M\". Nous avons de m\u00eame \"f(x)=\frac n2-\frac 12\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$f$ admet un maximum sur $S$, valant $\frac{n-1}{2}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> \"A\" est une matrice sym\u00e9trique r\u00e9elle : elle est diagonalisable et il existe \"P\" matrice r\u00e9elle d’ordre \"n\" orthogonale et \"D\" matrice diagonale d’ordre \"n\" telles que \"A=P D{ }^tP\".
Comme \"A\" a toutes ses valeurs propres positives, les coefficients diagonaux de \"D\" sont positifs, et chacun est le carr\u00e9 d’une racine carr\u00e9e. Il existe \"r_1,\dots, r_n\" r\u00e9els tels que :

  <\/span>   <\/span>\"\[A=P\begin{pmatrix}r_1^2&0&\dots &\dots &0\\0&r_2^2&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &0&0\\0&\dots & \dots &0&r_n^2\end{pmatrix}{ }^tP\]\"<\/p><\/p>\r\n

Posons \"B=P\begin{pmatrix}r_1&0&\dots &\dots &0\\0&r_2&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &0&0\\0&\dots & \dots &0&r_n\end{pmatrix}{ }^tP\".<\/p>\r\n

Nous avons :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} B^2 &=&P\begin{pmatrix}r_1&0&\dots &\dots &0\\0&r_2&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &0&0\\0&\dots & \dots &0&r_n\end{pmatrix}{ }^tPP\begin{pmatrix}r_1&0&\dots &\dots &0\\0&r_2&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &0&0\\0&\dots & \dots &0&r_n\end{pmatrix}{ }^tP \\<\/p><\/p>\r\n

car \"{ }^tPP=I_n\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Il existe une matrice $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $B^2=A$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> Remarquons qu’avec le choix de la matrice \"B\" pr\u00e9c\u00e9demment effectu\u00e9, \"B\" est sym\u00e9trique. En effet, en notant \"S=\begin{pmatrix}r_1&0&\dots &\dots &0\\0&r_2&\ddots&&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\\vdots & &\ddots &0&0\\0&\dots & \dots &0&r_n\end{pmatrix}\", on a \"{ }^tB={ }^tP{ }^tSP={ }^tPSP=B\".<\/p>\r\n

Les valeurs propres de \"A\" sont non nulles donc \"u\" est bijectif. De m\u00eame, les valeurs propres de \"B\" sont les \"r_i\neq 0\", donc \"B\" est inversible et \"v\" est bijectif.
La matrice de \"v\" relativement \u00e0 une base orthonorm\u00e9e est sym\u00e9trique, donc \"v\" est un endomorphisme sym\u00e9trique. Pour les m\u00eames raisons, les endomorphismes \"u\", \"u^{-1}\", \"v^{-1}\" sont des endomorphismes sym\u00e9triques.
Pour \"x\" et \"y\" vecteurs de \"\mathbb{R}^n\", on a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\langle x,y\rangle &=&\langle v^{-1}(v(x)),y\rangle\\&=&\langle v(x),v^{-1}(y)\rangle\quad \text{ car $v^{-1}$ est sym\'etrique}\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Par l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz, on a alors \"(\langle x,y\rangle )^2\leqslant \Vert v(x)\Vert ^2\Vert v^{-1}(y)\Vert ^2\". Enfin,

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\Vert v(x)\Vert ^2&=&\langle v(x),v(x)\rangle \\&=&\langle v^2(x),x\rangle\quad \text{ car $v$ est sym\'etrique}\\&=&\langle u(x),x\rangle\text{ car }\mat(v^2)=B^2=A=\mat(u)\text{ donc }v^2=u\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

et<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\Vert v^{-1}(y)\Vert ^2&=&\langle v^{-1}(y),v^{-1}(y)\rangle\\&=&\langle (v^{-1})^2(y),y\rangle\quad\text{ car $v^{-1}$ est sym\'etrique}\\&=&\langle (v^2)^{-1}(y),y\rangle = \langle u^{-1}(y),y\rangle\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^n)^2,\quad (\langle x,y\rangle )^2\leqslant \langle u(x),x\rangle \;\langle u^{-1}(y),y\rangle$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ c\/<\/strong> Soit \"x\" un vecteur non nul de \"\mathbb{R}^n\". Posons \"y=u(x)\". Comme \"u\" est injectif (0 n’est pas valeur propre de \"A\"), son noyau est r\u00e9duit \u00e0 \"\{0\}\", et comme \"x\neq 0\", on a \"u(x)\neq 0\". On a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\langle u(x),x\rangle \langle u^{-1}(y),y\rangle = \langle u(x),x\rangle \langle x,u(x)\rangle = \langle x,y\rangle ^2\]\"<\/p><\/p>\r\n

Il y a \u00e9galit\u00e9 dans l’in\u00e9galit\u00e9 trouv\u00e9e plus haut.
Soit \"x\" un vecteur de \"\mathbb{R}^n\" de norme 1. On a par la question pr\u00e9c\u00e9dente (on prend \"y=x\"):

  <\/span>   <\/span>\"\[\Vert x\Vert ^2\leqslant \langle u(x),x\rangle \langle u^{-1}(x),x\rangle\quad \text{ donc }\quad 1\leqslant \langle u(x),x\rangle \langle u^{-1}(x),x\rangle\]\"<\/p><\/p>\r\n

Soit \"\lambda>0\" une valeur propre de \"A\", et \"x_0\" un vecteur propre de \"u\" de norme 1 associ\u00e9 \u00e0 cette valeur propre (un tel vecteur existe, car si \"v\" est un vecteur propre, \"\frac v{\Vert v\Vert}\" est encore vecteur propre et il est norm\u00e9).<\/p>\r\n

On a \"u(x_0)=\lambda x_0\" donc \"x_0=\lambda u^{-1}(x_0)\". Ainsi :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\langle u(x_0),x_0\rangle \langle u^{-1}(x_0),x_0\rangle&=&\langle \lambda x_0,x_0\rangle \langle \frac 1{\lambda}x_0,x_0\rangle\\&=&\frac{\lambda}{\lambda}\langle x_0,x_0\rangle\langle x_0,x_0\rangle=1\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

En conclusion, pour tout vecteur \"x\" de \"\mathbb{R}^n\" de norme 1, on a :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\langle u(x_0),x_0\rangle \langle u^{-1}(x_0),x_0\rangle\leqslant \langle u(x),x\rangle \langle u^{-1}(x),x\rangle\]\"<\/p><\/p>\r\n

et le minimum de l’ensemble \"\{\langle u(x),x\rangle \langle u^{-1}(x),x\rangle,\;x\in\R^n,\; \Vert x\Vert =1\}\" est \"1=\langle u(x_0),x_0\rangle \langle u^{-1}(x_0),x_0\rangle\".<\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> On a \"1\times 2-1\times 1=1\neq 0\" donc \"A\" est inversible. De plus,

  <\/span>   <\/span>\"\[A^{-1}=\frac 11\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> \"\lambda\" est valeur propre de \"A\" ssi \"A-\lambda I_2\" est non inversible ssi \"(1-\lambda)(2-\lambda)-1=0\" ssi \"\lambda^2-3\lambda+1=0\".

  <\/span>   <\/span>\"\[Sp(A)=\left\{\frac{3-\sqrt 5}2,\frac{3+\sqrt 5}2\right\}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"\sqrt 5<\sqrt 9\", on a \"\frac{3-\sqrt 5}2>0\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Les valeurs propres de $A$ sont strictement positives.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ c\/<\/strong> Faisons le lien avec la question 3. La matrice \"A\" est sym\u00e9trique r\u00e9elle \u00e0 valeurs propres strictement positives. Soit \"u\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\".
On a \"\langle u(x),x\rangle ={ }^tXAX=x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2\" et \"\langle u^{-1}(x),x\rangle = { }^tXA^{-1}X=2x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\",<\/p>\r\n

ce qui fait que \"g(x_1,x_2)=\langle u(x),x\rangle \langle u^{-1}(x),x\rangle\".<\/p>\r\n

Quant \u00e0 la contrainte \"x_1^2+x_2^2=1\", elle \u00e9quivaut \u00e0 \"\Vert x\Vert ^2=1\", ou encore \"\Vert x\Vert =1\".
Le r\u00e9sultat de la question 3.c. nous donne que la valeur du minimum de \"g\" sous la contrainte \"x_1^2+x_2^2=1\" est 1.<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

Probl\u00e8me : Densit\u00e9 de probabilit\u00e9<\/h2>\r\n

Partie A :\u00a0<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> \"\bullet\" \"g_a\" est continue sur \"]-\infty, 0[\" et \"]0,+\infty[\".
En r\u00e9alit\u00e9, comme \"\lim\limits_{x\to 0^+}g_a(x)=0=g_a(0)=\lim\limits_{x\to 0^-}g_a(x)\", \"g_a\" est continue sur \"\mathbb{R}\", mais cela ne nous sert pas ici.<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"g_a\" est positive sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"A>0\".

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\int\limits_0^Ag_a(x)\,\mathrm{d}x&=&\left[-e^{-x^2/(2a^2)}\right]_0^A=1--e^{-A^2/(2a^2)}\\\lim\limits_{A\to +\infty}\int\limits_0^Ag_a(x)\,\mathrm{d}x&=&1\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

donc l’int\u00e9grale \"\int\limits_0^{+\infty}g_a(x)\,\mathrm{d}x\" converge et vaut 1.
Comme \"g_a\" est nulle sur \"\mathbb{R}^-\", l’int\u00e9grale \"\int\limits_{-\infty}^0g_a(x)\,\mathrm{d}x\" converge et vaut 0.
L’int\u00e9grale \"\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g_a(x)\,\mathrm{d}x\" converge et vaut 1.
Par ces trois points,

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$g_a$ est une densit\'e de probabilit\'e.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> Une densit\u00e9 de \"N\" est :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f_N:x\mapsto \frac{1}{\sqrt {2\pi a^2}}e^{-x^2/(2a^2)}\text{ pour }x\in\mathbb{R}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a \"E(N)=0\" et \"E(N^2)=V(N)+(E(N))^2=V(N)=a^2\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$E(N)=0$ et $E(N^2)=a^2$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> Puisque \"N\" admet un moment d’ordre 2, l’int\u00e9grale d\u00e9finissant \"E(N^2)\" converge absolument et on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{\sqrt {2\pi a^2}}e^{-x^2/(2a^2)}\,\mathrm{d}x=a^2\]\"<\/p><\/p>\r\n

L’int\u00e9grande est pair ; par parit\u00e9 :

  <\/span>   <\/span>\"\[2\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{\sqrt {2\pi a^2}}e^{-x^2/(2a^2)}\,\mathrm{d}x=a^2\]\"<\/p><\/p>\r\n

donc l’int\u00e9grale \"\int\limits_0^{+\infty}x^2g_a(x)\,\mathrm{d}x\" converge (absolument) et vaut \"\frac{\sqrt{2\pi a^2}}2\" soit \"a\sqrt{\frac{\pi }{2}}\".
Comme \"g_a\" est nulle sur \"\mathbb{R}^-\", on a la convergence absolue de l’int\u00e9grale \"\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2g_a(x)\,\mathrm{d}x\" et sa valeur.<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$Z_a$ admet une esp\'erance, et cette esp\'erance vaut $a\sqrt{\frac{\pi }{2}}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ c\/<\/strong> \"Z_a\" admet un moment d’ordre 2 ssi l’int\u00e9grale \"\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2g_a(x)\,\mathrm{d}x\" converge absolument ssi l’int\u00e9grale \"I=\int\limits_0^{+\infty}\frac{x^3}{a^2}e^{-x^2/(2a^2)}\,\mathrm{d}x\" converge.
La fonction \"\varphi:x\mapsto \frac{x^2}{2a^2}\" est de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"\mathbb{R}^+\", strictement croissante sur \"\mathbb{R}^+\", bijective de \"\mathbb{R}^+\" dans \"\mathbb{R}^+\". Le changement de variables \"u=\frac{x^2}{2a^2}\" est permis dans cette int\u00e9grale impropre \"I\" ; les int\u00e9grales avant et apr\u00e8s changement de variables sont de m\u00eame nature, et \u00e9gales en cas de convergence. L’int\u00e9grale apr\u00e8s changement de variable est \"J=\int\limits_0^{+\infty}2a^2ue^{-u}\,\mathrm{d}u=2a^2\Gamma (2)=2a^2\", convergente.
Donc \"Z_a\" admet un moment d’ordre 2, donc une variance, et \"E(Z_a^2)=2a^2\".

  <\/span>   <\/span>\"\[V(Z_a)=E(Z_a^2)-(E(Z_a))^2=2a^2-\frac{\pi a^2}{2}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$Z_a$ admet une variance, valant $\frac{(4-\pi)a^2}{2}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie B :\u00a0<\/h3>\r\n

1\/<\/strong>
function X = tirage(n)
\u00a0 \u00a0urnes = zeros(1,n)
\u00a0 \u00a0X = 1
\u00a0 \u00a0choix = floor(rand()*n) + 1
\u00a0 \u00a0disp(choix)
\u00a0 \u00a0while max(urnes)<2
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0urnes(choix) = urnes(choix) + 1
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0choix = floor(rand()*n) + 1
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0disp(choix)
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0X = sum(urnes)
\/\/si on pr\u00e9f\u00e8re X = X+1, prendre l’initialisation X = 0 au lieu de X=1
\u00a0 \u00a0end
endfunction<\/p>\r\n

2\/<\/strong> Ici \"n=1\". On ne dispose que d’une urne. Elle contient deux boules pour la premi\u00e8re fois au deuxi\u00e8me tirage. \"X_1\" est la variable al\u00e9atoire certaine \u00e9gale \u00e0 2. Son esp\u00e9rance est 2 et sa variance est 0.<\/p>\r\n

3\/<\/strong> Ici \"n=2\". On dispose de deux urnes. Notons \"N_i\" la variable al\u00e9atoire \u00e9gale au num\u00e9ro de l’urne choisie au \"i\"-i\u00e8me placement de boule.<\/p>\r\n

\"X_2(\Omega)=\{2,3\}\"

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}{[X_2=2]}&=&\left([N_1=1]\cap [N_2=1]\right)\cup \left( [N_1=2]\cap [N_2=2]\right)\\P(X_2=2)&=&P(N_1=1)P(N_2=1)+P(N_1=2)P(N_2=2)=\frac 12\times \frac 12+\frac 12\times \frac 12=\frac 12\\{[X_2=3]}&=&\left([N_1=1]\cap [N_2=2]\right)\cup \left( [N_1=2]\cap [N_2=1]\right)\\P(X_2=2)&=&P(N_1=1)P(N_2=2)+P(N_1=2)P(N_2=1)=\frac 12\times \frac 12+\frac 12\times \frac 12=\frac 12\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

La variable al\u00e9atoire \"X_2-2\" est \u00e0 valeurs dans \"\{0,1\}\" et prend la valeur 1 avec probabilit\u00e9 1\/2 ; elle suit la loi de Bernoulli de param\u00e8tre 1\/2.<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[E(X_2-2)=\frac 12\quad \text{ et }\quad V(X_2-2)=\frac 12\times \frac 12=\frac 14\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance, \"E(X_2)=E(X_2-2)+2=\frac 52\" ; par propri\u00e9t\u00e9 \"V(aX+b)=a^2V(X)\", on a \"V(X_2)=V(X_2-2)=\frac 14\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$X_2(\Omega)=\{2,3\}$, $P(X_2=2)=P(X_2=3)=\frac 12$ ; $E(X_2)=\frac 52 $ et $V(X_2)=\frac 14$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> Au plus rapide, on peut choisir deux fois de suite la m\u00eame urne, et \"X_n\" prend la valeur 2. Au plus long, on peut choisir chacune des urnes une seule fois (cela prend \"n\" tirages) et le tirage suivant aboutit \u00e0 une urne contenant 2 boules pour la premi\u00e8re fois ; \"X_n\" prend la valeur \"n+1\". Les situations interm\u00e9diaires sont possibles (pour \"k\in[\![2,n]\!]\", on choisit pendant \"k-1\" placements des urnes diff\u00e9rentes, et le tirage \"k\", on prend une urne d\u00e9j\u00e0 utilis\u00e9e).<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$X_n(\Omega)=[\![2,n+1]\!]$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> Pour \"k\in [\![2,n+1]\!]\", on a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}P(X_n>k-1)&=&P(\text{"Les $k-1$ premi\`eres urnes choisies sont toutes diff\'erentes"})\\&=&\frac{n}n\times \frac{n-1}n\dots \times \frac{n-k+2}n=\frac{n(n-1)\dots (n-k+2)}{n^{k-1}} \\&=&\frac{n!}{(n-k+1)!n^{k-1}}\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Cette relation est en r\u00e9alit\u00e9 valable aussi pour \"k=1\" puisque \"P(X_n>0)=1\".<\/p>\r\n

On a \"[X_n>k]\cup [X_n=k]=[X_n>k-1]\" et l’union est constitu\u00e9e d’\u00e9v\u00e9nements disjoints.<\/p>\r\n

Donc \"P(X_n>k)+P(X_n=k)=P(X_n>k-1)\".<\/p>\r\n

Pour \"k\in [\![2,n+1]\!]\",

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}P(X_n=k)&=&\frac{n!}{(n-k+1)!n^{k-1}}-\frac{n!}{(n-k)!n^{k}}\\&=&\frac{n!}{(n-k+1)!n^{k}}\left[n-(n-k+1)\right]=\frac{n!(k-1)}{(n-k+1)!n^{k}}\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour $k\in [\![2,n+1]\!]$, \quad $P(X_n=k)=\frac{n!(k-1)}{(n-k+1)!n^{k}}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ c\/<\/strong> Pour \"n\in\mathbb{N}^*\", \"X_n\" prend un nombre fini de valeurs, et admet donc une esp\u00e9rance.<\/p>\r\n

\"E(X_n)=\sum\limits_{k=2}^{n+1}kP(X_n=k)=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{n!k(k-1)}{(n-k+1)!n^{k}}\"<\/p>\r\n

4\/ d\/<\/strong> function E = esperance(n)
\u00a0 \u00a0facto = prod([1:n])
\u00a0 \u00a0fac = facto
\u00a0 \u00a0somme = 0
\u00a0 \u00a0puissance = n
\u00a0 \u00a0for k = 2:(n+1)
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 puissance = puissance *n
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 fac = fac\/(n-k+2)
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 somme = somme + k*(k-1)\/(puissance * fac)
\u00a0 \u00a0end
\u00a0 \u00a0E = facto * somme
endfunction<\/p>\r\n

Partie C :\u00a0<\/strong><\/p>\r\n

1\/<\/strong> La fonction \"t\mapsto \ln (1+t)\" est concave sur \"]-1,+\infty[\", donc sa courbe repr\u00e9sentative est en-dessous de ses tangentes, et en particulier de sa tangente en 0, d’\u00e9quation \"y=t\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall t>-1,\quad \ln(1+t)\leqslant t\quad\text{ et donc }\quad \forall x\in [0,\frac 12],\; \ln (1-x)\leqslant -x \]\"<\/p><\/p>\r\n

Introduisons \"g:x\mapsto \ln (1-x)+x+x^2\". \"g\" est d\u00e9rivable sur \"[0,\frac 12]\" et pour \"x\" r\u00e9el de cet intervalle,
\"g'(x)=-\frac 1{1-x}+x+2x=\frac{x-2x^2}{1-x}=\frac{2x(\frac 12-x)}{1-x}\geqslant 0\".
\"g\" est donc croissante sur \"[0,\frac 12]\". Comme \"g(0)=0\", on a \"g(x)\geqslant 0\" pour \"x\in [0,\frac 12]\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour tout r\'eel $x$ de $[0,\frac 12]$, \quad $-x-x^2\leqslant \ln (1-x)\leqslant -x$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/<\/strong> Soient \"m\in\mathbb{N}\" et \"n\in\mathbb{N}^*\" tels que \"m\leqslant \frac n2\". Pour tout \"k\in[\![0,m]\!]\", on a \"0\leqslant \frac kn\leqslant \frac 12\". Par la question pr\u00e9c\u00e9dente :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[-\frac kn-\frac {k^2}{n^2}\leqslant \ln (1-\frac kn)\leqslant -\frac kn\]\"<\/p><\/p>\r\n

On somme ces in\u00e9galit\u00e9s pour \"k\" allant de 0 \u00e0 \"m\" :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{k=0}^m\left(-\frac kn-\frac {k^2}{n^2}\right)\leqslant \sum\limits_{k=0}^m\ln (1-\frac kn)\leqslant \sum\limits_{k=0}^m-\frac kn\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par lin\u00e9arit\u00e9 de la somme :

  <\/span>   <\/span>\"\[-\frac 1n\sum\limits_{k=0}^mk-\frac {1}{n^2}\sum\limits_{k=0}^mk^2\leqslant \sum\limits_{k=0}^m\ln (1-\frac kn)\leqslant -\frac 1n\sum\limits_{k=0}^mk\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par les formules de sommation : \"\sum\limits_{k=0}^mk=\frac{m(m+1)}{2}\" et \"\sum\limits_{k=0}^mk^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}\", on obtient le r\u00e9sultat demand\u00e9 :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}-\frac{m(m+1)}{2n}-\frac{m(m+1)(2m+1)}{6n^{2}}\leqslant \alpha(n,m)\leqslant -\frac{m(m+1)}{2n}.\end{equation*}\"<\/p><\/p>\r\n

3\/<\/strong> Pour \"x\leqslant 0\", \"\lfloor \sqrt nx\rfloor\leqslant 0\" et \"\lfloor nx\rfloor\" n’est pas une valeur de \"X_n\". Ainsi \"P(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor)=0\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour $x\leqslant 0$, $\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt nP(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor)=0$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> \"x\" est dans cette question strictement positif.
\"\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt nx=+\infty\". Par composition avec la limite \"\lim\limits_{x\to +\infty}\lfloor x\rfloor =+\infty\", on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$\lim\limits_{n\to +\infty}\lfloor \sqrt nx\rfloor=+\infty$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a l’encadrement :

  <\/span>   <\/span>\"\[\sqrt nx-1\leqslant \lfloor\sqrt nx\rfloor\leqslant \sqrt nx\]\"<\/p>
puis

  <\/span>   <\/span>\"\[1-\frac 1{\sqrt nx }\leqslant \frac{\lfloor \sqrt nx\rfloor}{\sqrt n x}\leqslant \frac1{\sqrt nx}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"\lim\limits_{n\to +\infty}1-\frac 1{\sqrt nx }=1\", on applique le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, et on obtient : \"\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\lfloor \sqrt nx\rfloor}{\sqrt n x}=1\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Un \'equivalent de $\lfloor \sqrt nx\rfloor$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $\sqrt nx$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> Comme \"\lim\limits_{n\to +\infty}\lfloor \sqrt nx\rfloor=+\infty\", il existe un rang \u00e0 partir duquel \"\lfloor \sqrt nx\rfloor \geqslant 2\".
Comme \"\frac{\lfloor \sqrt nx\rfloor}{n}\underset{n\to +\infty}{\sim}\frac x{\sqrt n}\" et \"\lim\limits_{n\to +\infty}\frac x{\sqrt n}=0\", il existe un rang \u00e0 partir duquel \"\frac{\lfloor \sqrt nx\rfloor}n\leqslant \frac 12\".\u00a0
Par ces deux informations,

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que pour $n\geqslant N$, $\quad$ $2\leqslant \lfloor \sqrt nx\rfloor \leqslant \frac n2$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ c\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\" et \"k\in[\![2,n+1]\!]\".

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\prod\limits_{i=0}^{k-2}\left(1-\frac{i}{n}\right)&=&\prod\limits_{i=0}^{k-2}\frac{\left(n-i\right)}n\\&=&\frac{\prod\limits_{i=0}^{k-2}(n-i)}{n^{k-1}}\\&=&\frac{n(n-1)\dots (n-k+2)}{n^{k-1}}=\frac{n!}{(n-k+1)!n^{k-1}}\\\text{ D' o\`u }\frac{k-1}n\prod\limits_{i=0}^{k-2}\left(1-\frac{i}{n}\right)&=&\frac{n!(k-1)}{n^k(n-k+1)!}\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Par la question B.4.b., on a bien \"P(X_n=k)=\frac{k-1}n\prod\limits_{i=0}^{k-2}\left(1-\frac{i}{n}\right)\".<\/p>\r\n

4\/ d\/<\/strong> Par propri\u00e9t\u00e9 de l’exponentielle :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\exp (\alpha(n,m))&=&\exp\left({\sum\limits_{k=0}^m\ln (1-\frac kn)}\right)=\prod\limits_{k=0}^me^{\ln (1-\frac kn)}=\prod\limits_{k=0}^m(1-\frac kn) \\\exp \left( \alpha(n,\lfloor \sqrt nx\rfloor -2)\right)&=&\prod\limits_{k=0}^{\lfloor \sqrt nx\rfloor -2}\left( 1-\frac kn\right)\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Pour \"n\geqslant N\", \"\lfloor \sqrt nx\rfloor\" est un entier compris entre 2 et \"\frac n2\", donc compris entre 2 et \"n+1\" ; c’est une valeur de \"X_n(\Omega)\", et la formule de la question c. s’applique.

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{Pour $n\geqslant N$,\quad }P\left(X_{n}=\left\lfloor\sqrt{n}x\right\rfloor\right)=\frac{\left\lfloor\sqrt{n}x\right\rfloor-1}{n}\exp\left(\alpha\left(n,\left\lfloor\sqrt{n}x\right\rfloor-2\right)\right)\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ e\/<\/strong> On rappelle que \"x\" est un r\u00e9el strictement positif fix\u00e9. Dans les n\u00e9gligeabilit\u00e9s et \u00e9quivalences ci-dessous, \"n\" tend vers \"+\infty\".
Par 4.a., \"\lfloor \sqrt nx\rfloor=\sqrt nx + o(\sqrt nx)\". On a \"1=o(\sqrt n)\" ou encore \"1=o(\sqrt nx)\".
Donc \"\lfloor \sqrt nx\rfloor-1=\sqrt nx + o(\sqrt nx)\", et \"\lfloor \sqrt nx\rfloor-1\sim \sqrt nx\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\lfloor \sqrt nx\rfloor-1 }{n}\sim \frac x{\sqrt n}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De m\u00eame, \"\lfloor \sqrt nx\rfloor-2\sim \sqrt nx\", et par produit d’\u00e9quivalents, \"-\frac{(\lfloor \sqrt nx\rfloor-2)(\lfloor \sqrt nx\rfloor-1)}{2n}\sim -\frac{nx^2}{2n}\sim -\frac{x^2}2\", et cette quantit\u00e9 est de limite \"-\frac{x^2}2\".<\/p>\r\n

Toujours par produit d’\u00e9quivalents,

  <\/span>   <\/span>\"\[-\frac{(\lfloor \sqrt nx\rfloor-2)(\lfloor \sqrt nx\rfloor-1)(2\lfloor \sqrt nx\rfloor -3)}{6n^2}\sim-\frac{x^2}2\frac{2\sqrt nx}{3n}\sim -\frac{x^3}{3\sqrt n}\]\"<\/p><\/p>\r\n

et cette quantit\u00e9 est de limite nulle.<\/p>\r\n

Relisons l’encadrement de la question 2. appliqu\u00e9 au cas de \"\alpha(n,\lfloor \sqrt nx\rfloor-2)\". Les calculs pr\u00e9c\u00e9dents nous assurent que les deux membres encadrants tendent vers \"-\frac{x^2}2\" quand \"n\" tend vers \"+\infty\". Par le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, \"\lim\limits_{n\to +\infty}\alpha(n,\lfloor \sqrt nx\rfloor-2)=-\frac{x^2}2\". Par composition avec exp, continue en \"-\frac{x^2}2\", on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim\limits_{n\to +\infty}\exp(\alpha(n,\lfloor \sqrt nx\rfloor-2))=\exp(-\frac{x^2}2)\text{ puis }\exp(\alpha(n,\lfloor \sqrt nx\rfloor-2))\sim\exp(-\frac{x^2}2)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par produit d’\u00e9quivalents, \"\sqrt n\frac{\left(\left\lfloor\sqrt{n}x\right\rfloor-1\right)}{n}\exp\left(\alpha\left(n,\left\lfloor\sqrt{n}x\right\rfloor-2\right)\right)\sim x\exp(-\frac{x^2}2)\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour $x>0$, $\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt nP(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor)=x\exp(-\frac{x^2}2)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On s’aper\u00e7oit que

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour tout r\'eel $x$, $\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt nP(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor)=g_1(x)$}}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie D<\/strong><\/p>\r\n

1\/ a\/<\/strong> Soit \"k\in\mathbb{Z}\" et \"n\in\mathbb{N}^*\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\lfloor \sqrt nx\rfloor =k\text{ ssi }k\leqslant \sqrt nx<k+1\text{ ssi }\frac{k}{\sqrt n}\leqslant x<\frac{k+1}{\sqrt n}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour $k\in\mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}^*$, l'ensemble des r\'eels $x$ tels que $\lfloor \sqrt nx\rfloor =k$ est $[\frac k{\sqrt n},\frac{k+1}{\sqrt n}[$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

1\/ b\/<\/strong> \"X_n(\Omega)=[\![2,n+1]\!]\".
\"\lfloor \sqrt nx\rfloor\in X_n(\Omega)\" ssi \"2\leqslant \lfloor \sqrt nx\rfloor\leqslant n+1\" ssi \"2\leqslant \sqrt nx<n+2\" ssi \"\frac 2{\sqrt n}\leqslant x< \frac{n+2}{\sqrt n}\".
\u00c0 l’aide des intervalles trouv\u00e9s en question pr\u00e9c\u00e9dente :

  <\/span>   <\/span>\"\[f_n(x)=\begin{cases}0&\text{ si }x<\frac 2{\sqrt n}\\\sqrt n P(X_n=2)&\text{ si }\frac 2{\sqrt n}\leqslant x<\frac{3}{\sqrt n}\\\sqrt n P(X_n=3)&\text{ si }\frac 3{\sqrt n}\leqslant x<\frac{4}{\sqrt n}\\\vdots &\\\sqrt n P(X_n=n+1)&\text{ si }\frac {n+1}{\sqrt n}\leqslant x<\frac{n+2}{\sqrt n}\\0&\text{ si }x\geqslant \frac{n+2}{\sqrt n}\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\r\n

o\u00f9 chacune des probabilit\u00e9s peut \u00eatre exprim\u00e9e \u00e0 l’aide de la question 4.b. de la partie B (mais ce n’est pas n\u00e9cessaire).
\"f_n\" est donc une fonction positive sur \"\mathbb{R}\", et continue sur \"\mathbb{R}\" priv\u00e9 d’un nombre fini de points.
L’int\u00e9grale de \"f\" sur \"\mathbb{R}\" converge (c’est l’int\u00e9grale d’une fonction continue par morceaux sur le segment \"[\frac 2{\sqrt n},\frac{n+2}{\sqrt n}]\", \"f\" \u00e9tant nulle hors de ce segment) et on a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_n(t)\,\mathrm{d}t&=&0+\int\limits_{2/\sqrt n}^{3/\sqrt n}\sqrt nP(X_n=2)\,\mathrm{d}t+\int\limits_{3/\sqrt n}^{4/\sqrt n}\sqrt nP(X_n=3)\,\mathrm{d}t+\dots \\&& +\int\limits_{(n+1)/\sqrt n}^{(n+2)/\sqrt n}\sqrt nP(X_n=n+1)\,\mathrm{d}t+0\\&=&P(X_n=2)+P(X_n=3)+\dots + P(X_n=n+1)=1\text{ car }X_n(\Omega)=[\![2,n+1]\!]\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $f_n$ est une densit\'e de probabilit\'e.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\" et \"k\in\mathbb{Z}\".
\"\bullet\" Premier cas : \"k>\lfloor \sqrt nx\rfloor\".
L’entier \"\lfloor \sqrt nx\rfloor\" est strictement inf\u00e9rieur \u00e0 l’entier \"k\". On a donc \"\lfloor \sqrt nx\rfloor\leqslant k-1\". Ainsi \"\sqrt nx<\lfloor \sqrt nx\rfloor +1<k\" puis \"\sqrt nx-k<0\".
\"P(U\leqslant \sqrt nx-k)=0\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Deuxi\u00e8me cas : \"k<\lfloor \sqrt nx\rfloor\".
L’entier \"\lfloor \sqrt nx\rfloor\" est strictement sup\u00e9rieur \u00e0 l’entier \"k\" donc \"\lfloor \sqrt nx\rfloor\geqslant k+1\". On a donc \"\sqrt nx\geqslant \lfloor \sqrt nx\rfloor\geqslant k+1\" puis \"\sqrt nx-k\geqslant 1\".
\"P(U\leqslant \sqrt nx-k)=1\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Troisi\u00e8me cas : \"k=\lfloor \sqrt nx\rfloor\".
On a : \"\lfloor \sqrt nx\rfloor\leqslant \sqrt nx<\lfloor \sqrt nx\rfloor\" donc \"\sqrt nx-k\in [0,1[\", et \"P(U\leqslant \sqrt nx-k)=\sqrt nx-k=\sqrt nx-\lfloor \sqrt nx\rfloor\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{$P(U\leqslant \sqrt nx-k)=\begin{cases}0&\text{ si }k>\lfloor \sqrt nx\rfloor\\\sqrt nx-\lfloor \sqrt nx\rfloor&\text{ si }k=\lfloor \sqrt nx\rfloor\\1&\text{ si }k<\lfloor \sqrt nx\rfloor\end{cases}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> Soit \"x\" r\u00e9el. Appliquons la formule des probabilit\u00e9s totales avec le syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements \"\left( [X_n=k]\right)_{k\in[\![2,n+1]\!]}.\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}P(Y_n\leqslant x)&=&\sum\limits_{k=2}^{n+1}P([X_n=k]\cap [Y_n\leqslant x])\\&=&\sum\limits_{k=2}^{n+1}P\left([X_n=k]\cap \left[\frac{k+U}{\sqrt n}\leqslant x\right]\right)\\&=&\sum\limits_{k=2}^{n+1}P([X_n=k]\cap [U\leqslant \sqrt nx-k])\quad \text{ et par ind\'ependance de $X_n$ et $U$ :}\\&=&\sum\limits_{k=2}^{n+1}P(X_n=k)P(U\leqslant \sqrt nx-k)\\&&\text{(on utilise la question pr\'ec\'edente) :}\\&=&\sum\limits_{k\in [\![2,n+1]\!],\; k<\sqrt nx}P(X_n=k)P(U\leqslant \sqrt nx-k)+P(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor)(\sqrt nx-\lfloor \sqrt nx\rfloor)+0\\&=&P(X_n<\sqrt nx)+P(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor)(\sqrt nx-\lfloor \sqrt nx\rfloor)\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

(cette relation est valable m\u00eame si \"\lfloor \sqrt nx\rfloor\not\in [\![2,n+1]\!]\" ; auquel cas la deuxi\u00e8me probabilit\u00e9 est nulle).
Par ailleurs, exprimons \"\int\limits_{-\infty}^xf_n(t)\,\mathrm{d}t\".
Pour \"x< \frac2{\sqrt n}\",

  <\/span>   <\/span>\"\[\int\limits_{-\infty}^xf_n(t)\,\mathrm{d}t=0=0+0=P(X_n<\sqrt nx)+P(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor)(\sqrt nx-\lfloor \sqrt nx\rfloor)=P(Y_n\leqslant x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Et pour \"x\geqslant \frac2{\sqrt n}\", par l’expression de \"f_n\" pr\u00e9sent\u00e9e en question 1.b. et par la relation de Chasles :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\int\limits_{-\infty}^xf_n(t)\,\mathrm{d}t&=&\int\limits_{2/\sqrt n}^xf_n(t)\,\mathrm{d}t\\&=&\int\limits_{2/\sqrt n}^{3/\sqrt n}\sqrt nP(X_n=2)\,\mathrm{d}t+\int\limits_{3/\sqrt n}^{4/\sqrt n}\sqrt nP(X_n=3)\,\mathrm{d}t+\dots \\&&+\int\limits_{{\lfloor \sqrt nx\rfloor-1}/\sqrt n}^{\lfloor \sqrt nx\rfloor/\sqrt n}\sqrt nP(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor -1)\,\mathrm{d}t+\int\limits_{{\lfloor \sqrt nx\rfloor}/\sqrt n}^{x}\sqrt nP(X_n=\lfloor \sqrt nx\rfloor )\,\mathrm{d}t\\<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Pour tout r\'eel $x$, $P(Y_n\leqslant x)=\int\limits_{-\infty}^xf_n(t)\,\mathrm{d}t$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ c\/<\/strong> Par 1.b., \"f_n\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9, et on peut consid\u00e9rer \"W_n\" une variable al\u00e9atoire de densit\u00e9 \"f_n\".
Par la question pr\u00e9c\u00e9dente, \"W_n\" et \"Y_n\" ont m\u00eame fonction de r\u00e9partition, et par cons\u00e9quent m\u00eame loi.
\"Y_n\" est donc une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9, de densit\u00e9 \"f_n\".
Par la partie C., pour tout r\u00e9el \"x\", \"\lim\limits_{n\to +\infty}f_n(x)=g_1(x)\".
La variable al\u00e9atoire \"Z_1\" est une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9, de densit\u00e9 \"g_1\".
Par le r\u00e9sultat admis en d\u00e9but de partie D., la suite de variables al\u00e9atoires \"(Y_n)\" converge en loi vers \"Z_1\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{La suite $(Y_n)$ converge en loi vers $Y=Z_1$ de densit\'e $g_1$ d\'efinie en partie A.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Soit \"(A_n)\" une suite de variables al\u00e9atoires convergeant en loi vers une variable al\u00e9atoire \"A\", et \"(B_n)\" une suite de variables al\u00e9atoires convergeant en probabilit\u00e9 vers une variable al\u00e9atoire constante \u00e9gale \u00e0 \"c\".
Alors la suite de variables al\u00e9atoires \"(A_n+B_n)\" converge en loi vers la variable al\u00e9atoire \"A+c\", et la suite de variables al\u00e9atoires \"(A_nB_n)\" converge en loi vers la variable al\u00e9atoire \"cA\".<\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> \"\frac{X_n}{\sqrt n}=Y_n-\frac{U}{\sqrt n}\". On vient de voir que \"(Y_n)\" convergeait en loi vers \"Y=Z_1\". Montrons que \"(\frac{U}{\sqrt n})\" converge en probabilit\u00e9 vers 0. Soit \"\varepsilon >0\".

  <\/span>   <\/span>\"\[P(|-\frac{U}{\sqrt n}|>\varepsilon)=P(U>\varepsilon \sqrt n) \text{ (on rappelle que $U\geqslant 0$). }\]\"<\/p>
et cette probabilit\u00e9 est nulle lorsque \"\varepsilon \sqrt n>1\" soit pour \"n>(\frac 1{\varepsilon})^2\".
Il existe un rang \u00e0 partir duquel \"P(|-\frac{U}{\sqrt n}|>\varepsilon)=0\", donc \"\lim\limits_{n\to +\infty}P(|-\frac{U}{\sqrt n}|>\varepsilon)=0\".
La suite \"(\frac{U}{\sqrt n})\" converge en probabilit\u00e9 vers 0.
Par le th\u00e9or\u00e8me de Slutsky,

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{la suite $\left(\frac{X_n}{\sqrt n}\right)$ converge en loi vers $Y=Z_1$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2017 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths Ecricome Exercice 1 : In\u00e9galit\u00e9s de Taylor-Lagrange 1\/ a\/ Par limite du cours, . Par composition avec la limite , on a .     1\/ b\/ est d\u00e9rivable sur et pour , .\u00a0 ssi ssi . 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