{"id":34204,"date":"2019-08-19T09:25:38","date_gmt":"2019-08-19T08:25:38","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34204"},"modified":"2022-07-20T11:19:23","modified_gmt":"2022-07-20T10:19:23","slug":"cours-en-ligne-corriges-fonctions-variables-reelles-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-fonctions-variables-reelles-ecs1\/","title":{"rendered":"Fonctions r\u00e9elles \u00e0 variables r\u00e9elles en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Fonctions r\u00e9elles \u00e0 variables r\u00e9elles en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Fonctions r\u00e9elles \u00e0 variables r\u00e9elles<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> On a une forme ind\u00e9termin\u00e9e de la forme \""\dfrac{0}{0}"\". La pr\u00e9sence de \"x - 1\" au d\u00e9nominateur nous fait penser \u00e0 un taux d’accroissement. Posons \"f \left( x \right) = x + \dfrac1x,\" ainsi :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{x + \dfrac1x - 2}{x - 1} = \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}.\]\"<\/p>\n

Comme \"f\" est d\u00e9rivable en \"1,\" on a \"\lim_{x \to 1} \dfrac{x + \dfrac1x - 2}{x - 1} = f ' \left( 1 \right) = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n

2)<\/strong> Il est classique que \"\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( x \right)}{x} = 1.\" De m\\^eme \"\lim_{x \to 0 } \dfrac{\sin \left( 3 x \right)}{3x} =1 .\" Comme<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{\sin \left( x \right)}{\sin \left( 3 x \right)} = \dfrac13 \dfrac{\sin \left( x \right)}{x} \times \dfrac{3x}{ \sin \left( 3 x \right)},\]\"<\/p>\n

on a<\/p><\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( x \right)}{\sin \left( 3 x \right)} = \dfrac13.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n<\/div>\n
3)<\/strong> On a une forme ind\u00e9termin\u00e9e de la forme \u00ab\u00a0\"\dfrac{\infty}{\infty}\"\u00ab\u00a0. On factorise au num\u00e9rateur par le terme le plus \u00ab\u00a0grand\u00a0\u00bb, i.e. \"x^2.\" On fait de m\u00eame au d\u00e9nominateur, cela donne :<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{x^2 + e^x}{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 \left( 1 + \dfrac{e^x}{x^2} \right)}{x^2 \left( 1 + \dfrac{1}{x^2} \right)} = \dfrac{ 1 + \dfrac{e^x}{x^2} }{1 + \dfrac{1}{x^2} }.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Or \"\lim_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{1}{x^2} =1,\" d’o\u00f9 \"\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^2 + e^x}{x^2 + 1} = 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
4)<\/strong> C’est une forme ind\u00e9termin\u00e9e de la forme \u00ab\u00a0\"\dfrac{\infty}{\infty}\"\u00ab\u00a0. On reconna\u00eet une croissance compar\u00e9e de sorte que \"\lim_{x \to + \infty} \dfrac{e^x}{\sqrt{x}} = + \infty.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

5)<\/strong> On s’int\u00e9resse d’abord \u00e0 \"\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}.\" En utilisant l’expression conjugu\u00e9e de \"\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\" qui est \"\sqrt{x + 1} + \sqrt{x},\" on a :<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\"\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\" \"= \dfrac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \right) \left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x} \right) }{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\" \"= \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}.\"
\nComme \"\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = 0,\" par continuit\u00e9 de la fonction \"\exp\" en \"0,\" on a<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to + \infty} e^{ \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} } = 1,\]\"<\/p>\n

et<\/p><\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to + \infty} e^{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} = 1.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

6)<\/strong> Il y a une puissance, on commence par mettre l’expression sous forme exponentielle, pour \"x \neq 0,\" on a :<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\"\left( 1 + \sin \left( x \right) \right)^{\dfrac1x} = e^{\dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{x}}\" \"= e^{ \dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)} \times \dfrac{\sin \left( x \right)}{x} }.\"<\/div>\n
Remarquons que le logarithme est bien d\u00e9fini si \"x\" est \u00ab\u00a0proche\u00a0\u00bb de \"0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Nous avons d\u00e9j\u00e0 vu que \"\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( x \right)}{x } = 1\" (voir\u00a0m\u00e9thode 2 sur les limites<\/b>).<\/div>\n
<\/div>\n
Pour traiter \"\dfrac{ \ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)},\" on pose \"u = \sin \left( x \right).\" Remarquons que \"u \to 0\" lorsque \"x \to 0.\" Comme<\/div>\n
<\/div>\n
\"\lim_{u \to 0} \dfrac{\ln \left( 1 + u \right)}{u} = 1,\"\u00a0 c’est le taux d’accroissement de \"u \mapsto \ln \left( 1 + u \right)\" en \"0,\"
\nainsi<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)} = 1.\]\"<\/p>\n

Alors, par produit, \"\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)} \times \dfrac{\sin \left( x \right)}{x } = 1.\"<\/div>\n

<\/div>\n
En utilisant la continuit\u00e9 de la fonction \"\exp\" en \"1,\" il vient que :<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to 0} e^{\dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{x}} = e.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

7)<\/strong> Pour \"x > 0,\" on a\u00a0<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( e^x - 1 \right) \ln \left( x \right) = \dfrac{e^x - 1}{x} x \ln \left( x \right).\]\"<\/p>\n

Or \"\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x } = 1,\" c’est le taux d’accroissement de la fonction \"\exp\" en \"0\" et \"\lim_{x \to 0} x \ln \left( x \right) = 0\" gr\u00e2ce \u00e0 une croissance compar\u00e9e. D’o\u00f9<\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to 0} \left( e^x - 1 \right) \ln \left( x \right) =0.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Montrons que \"\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = f \left( 0 \right) = 0.\"<\/p>\n

Pour voir cela, \u00e9crivons :<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left | x^2 \sin \left( \dfrac1x \right) \right | \le x^2.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
Comme \"\lim_{x \to 0} x^2 = 0,\" on a bien \"\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = 0\".<\/div>\n
<\/div>\n
Ainsi \"f\" est continue en \"0\".<\/div>\n
<\/div>\n
\n

2)<\/strong> On forme le taux d’accroissement \"\dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right) }{x - 0} = x \sin \left( \dfrac1x \right).\" En proc\u00e9dant de la m\u00eame fa\u00e7on que ci-dessus, on montre \"\lim_{x \to 0} x \sin \left( \dfrac1x \right) = 0.\"\u00a0<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
Ainsi, \"f\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"f ' \left( 0 \right) = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

3)<\/strong> Un simple calcul donne, pour \"x \neq 0,\" \"f ' \left( x \right) = 2x \sin \left( \dfrac1x \right) - \cos \left( \dfrac1x \right).\" On a, comme avant, \"\lim_{x \to 0} 2x \sin \left( \dfrac1x \right) = 0,\" il suffit donc montrer que \"\cos \left( \dfrac1x \right)\" n’admet pas de limite en \"0.\"\u00a0<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
Pour le justifier, trouvons deux suites<\/a> \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" qui convergent<\/a> vers \"0\" telles que \"\lim_{n \to +\infty} \cos \left( \dfrac{1}{u_n} \right) \neq \lim_{n \to +\infty} \cos \left( \dfrac{1}{v_n } \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
On prend \"u_n = \dfrac{1}{2n \pi}\" et \"v_n = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2n \pi}\" de sorte que \"\cos \left( \dfrac{1}{u_n} \right) = 1\" et \"\cos \left( \dfrac{1}{v_n} \right) = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"f'\" n’est pas continue en \"0.\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n

Exercice 3 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

Posons \"f \left( x \right) = g \left( x \right) - x.\" On a \"f \left( 0 \right) \ge 0\" et \"\lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = - \infty.\" Comme \"f\" est continue sur \"\left[ 0 , + \infty \right[\" comme diff\u00e9rence de deux fonctions continues sur \"\left[ 0 , + \infty \right[\", le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires assure qu’il existe \"x_0 \ge 0\" tel que \"f \left( x_0 \right) = 0\" soit \"g \left( x_0 \right) = x_0.\"<\/p>\n

\n

Exercice 4 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Il est clair que \"x \mapsto a x\" est continue sur \"\mathbb{R}\" et<\/p>\n

\"\text{pour tout} \; \in \mathbb{R}, f \left( x + y \right)\" \"= a \left( x + y \right)\" \"= a x + a y = f \left( x \right) + f \left( y \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

2)<\/strong> Pour\u00a0\"n \in \mathbb{N},\" on pose \"\mathcal P_n\" : \u00ab\u00a0\"f \left( n \right) = a n\"\u00ab\u00a0.<\/span>\"\bullet\" Si l’on prend \"x = y = 0,\" on a \"f \left( 0 \right) = f \left( 0 \right) + f \left( 0 \right)\" soit \"f \left( 0 \right) = 0 = 0 \times a.\" Ainsi \"\mathcal P_0\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" Supposons \"\mathcal P_n\" vraie, montrons que \"\mathcal P_{n + 1}\" vraie. Pour cela, \u00e9crivons<\/p>\n

\"f \left( n + 1 \right)\" \"= f \left( n \right) + f \left( 1 \right)\"<\/p>\n

\"\underset{\text{HR}}{=}\" \"an + a\"<\/p>\n

\"= a \left( n + 1 \right)\".<\/p>\n

Ainsi \"\mathcal P_n\" est donc vraie pour tout \"n \in \mathbb{N}.\"<\/p>\n

3)<\/strong> Pour \"x \in \mathbb{R},\" \"f \left( x + \left( - x \right) \right) = f \left( 0 \right) = 0\" soit \"f \left( x \right) + f \left( - x \right) = 0\" et \"f \left( - x \right) = - f \left( x \right).\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"f\" est impaire.<\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"n \in \mathbb{Z}.\" Si \"n \ge 0,\" d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a \"f \left( n \right) = an .\"<\/div>\n
<\/div>\n
On suppose \"n \le 0\" de sorte que \"- n \ge 0.\" Ainsi, par la question pr\u00e9c\u00e9dente, \"f \left( - n \right) = a \left( - n \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Gr\u00e2ce \u00e0 l’imparit\u00e9 de \"f\", on a \"f \left( - n \right) = - f \left( n \right)\" soit \"- f \left( n \right) = - a n\" et \"f \left( n \right) = an.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

4)<\/strong> Il est facile de montrer par r\u00e9currence que pour tout \"n \in \mathbb{N}\" et pour tout \"x_1 , \cdots , x_n,\" on a \"f \left( x_1 + \cdots + x_n \right) = f \left( x_1 \right) + \cdots + f \left( x_n \right).\" Ainsi, si \"p \in \mathbb{Z}\" et \"q \in \mathbb{N}^*,\" on a\u00a0<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\"f \left( p \right) = f \left( q \times \dfrac{p}{q} \right)\" \"= \underbrace{f \left( \dfrac{p}{q} \right) + \cdots + f \left( \dfrac{p}{q} \right)}_{q \; \text{fois}} = q f \left( \dfrac{p}{q} \right).\"
\nOr, \"f \left( p \right) = a p,\" d’o\u00f9 \"f \left( \dfrac{p}{q} \right) = a \dfrac{p}{q}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
5) a)<\/strong> Par d\u00e9finition de la partie enti\u00e8re, on a : \"10^n x - 1 \le \lfloor 10^n x \rfloor \le 10^n x.\" Puis \"x - \dfrac{1}{10^n} \le u_n \le x.\" Par le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, on a \"\lim_{n \to +\infty} u_n =x.\"<\/div>\n
<\/div>\n
5) b)<\/strong> Soit \"x \in \mathbb{R}.\" Par la question pr\u00e9ce\u00e9dente, il existe une suite de rationnels \"\left( r_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" telle que \"\lim_{n \to +\infty} r_n = x.\"<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\n

Par la question 4, on a \"f \left( r_n \right) = a r_n.\" Or \"\lim_{n \to +\infty} a r_n = ax.\" De plus, \"\lim_{n \to +\infty} f \left( r_n \right) = f \left( x \right)\" car la fonction \"f\" est continue en \"x.\"<\/p>\n

Il s’ensuit que \"f \left( x \right) = a x .\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

6)<\/strong> On vient de montrer que pour tout \"x \in \mathbb{R},\" on a \"f \left( x \right) = ax.\" Ainsi, les seules fonctions solutions sont les fonctions lin\u00e9aires.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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Ne rel\u00e2chez pas vos efforts et assurez-vous de bien conna\u00eetre vos cours, en vous exer\u00e7ant sur les autres exercices des chapitres de maths en ECG1 :<\/p>\n<\/div>\n