{"id":34210,"date":"2019-08-19T10:00:29","date_gmt":"2019-08-19T09:00:29","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34210"},"modified":"2023-09-16T21:55:56","modified_gmt":"2023-09-16T20:55:56","slug":"cours-en-ligne-probabilites-univers-fini-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-probabilites-univers-fini-ecs1\/","title":{"rendered":"Probabilit\u00e9s sur un univers fini en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Probabilit\u00e9s sur un univers fini en ECG1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Probabilit\u00e9s sur un univers fini<\/h2>\r\n

1. D\u00e9nombrement et combinatoire<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 1 : Tirages successifs avec remise.
<\/b><\/p>\r\n

Si l’on tire \"p\" boules successivement et avec remise dans une urne contenant \"n\" boules, il y a \"n^p\" tirages possibles. On peut facilement s’en convaincre en raisonnant de la mani\u00e8re suivante : il y a \"n\" choix possibles pour la premi\u00e8re boule, il y a \"n\" choix pour la deuxi\u00e8me, etc.<\/p>\r\n

Ces tirages s’appellent des \"p\"-listes sans r\u00e9p\u00e9tition des \"n\" boules. Il est conseill\u00e9 de prendre des cours de soutien de maths<\/a> pour progresser sur les probabilit\u00e9s sur un univers fini en ECG1<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : 1)\u00a0<\/b>Soient \"E = [\![ 1 , p ]\!]\" et \"F= [\![ 1 , n ]\!]\" avec \"n , p \in \mathbb{N}^*\" . D\u00e9nombrer le nombre d’applications de \"E\" vers \"F.\"<\/p>\r\n

2)<\/b>\u00a0On lance trois fois de suite un d\u00e9.<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0a)<\/b>\u00a0Combien y a-t-il de lancers possibles ?<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0b)<\/b>\u00a0Combien y a-t-il de lancers o\u00f9 le premier d\u00e9 donne un multiple de \"3\" ?<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0c)<\/b>\u00a0Combien y a-t-il de lancers o\u00f9 l’on obtient les chiffres \"2, 3\" et \"5\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

1)<\/strong> D\u00e9finir une application de \"E\" vers \"F,\" c’est associer \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment de \"E\" un unique \u00e9l\u00e9ment de \"F.\" Autrement dit, cela revient \u00e0 choisir successivement et avec remise \"p\" fois (car \"\mathrm{card} \left( E \right) = p\") un \u00e9l\u00e9ment de \"F\" qui contient \"n\" \u00e9l\u00e9ments. Ainsi, il y a \"n^p\" choix possibles donc il y a \"n^p\" applications de \"E\" vers \"F.\"<\/p>\r\n

2) a)<\/strong> Chaque lancer donne \"6\" r\u00e9sultats possibles, comme les trois lancers sont successifs, on en a au final \"6^3 = 216\" lancers possibles.<\/p>\r\n

b)<\/strong> Il y a \"2\" r\u00e9sultats possibles (\"3\" ou \"6\") pour le premier lancer. Pour chacun des deux lancers suivants, il y a \"6\" possibilit\u00e9s par lancer. Les lancers \u00e9tant successifs, il y a \"2 \times 6^2 = 72\" possibilit\u00e9s.<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
c)<\/strong> Les chiffres sont choisis, il nous reste \u00e0 affecter tel chiffre \u00e0 tel lancer. Cela revient \u00e0 permuter les trois chiffres sur ces trois lancers : il y a \"3! = 6\" possibilit\u00e9s.<\/div>\r\n

M\u00e9thode 2 : Tirages successifs sans remise.<\/b><\/p>\r\n

Soient \"n, p \in \mathbb{N}^*\" tels que \"n \ge p.\" Si l’on tire \"p\" boules de mani\u00e8re successive et sans remise dans une urne contenant \"n\" boules, il y a \"\frac{n!}{\left( n - p \right)!}\" tirages possibles. On appelle \"p\"-listes sans r\u00e9p\u00e9tition des \"n\" boules tout r\u00e9sultat d’un tel tirage et on note \"A_n^p\" le nombre de ces tirages.<\/p>\r\n

On peut s’en convaincre en raisonnant de la fa\u00e7on suivante : il y a \"n\" choix pour la premi\u00e8re boule, \"n - 1\" pour la deuxi\u00e8me, etc. Pour la \"p\"-i\u00e8me, il y a \"n - \left( p - 1 \right)\" choix.\u00a0<\/p>\r\n

En particulier, il y a \"n!\" fa\u00e7ons de vider une urne contenant \"n\" boules en tirant les boules l’une apr\u00e8s l’autre.<\/p>\r\n

On retiendra que l’ordre importe.\u00a0<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Les deux questions sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\r\n

1)<\/b>\u00a0Soient \"E = [\![ 1 , p ]\!]\" et \"F= [\![ 1 , n ]\!]\" avec \"n , p \in \mathbb{N}^*\" tels que \"n \ge p.\" D\u00e9nombrer le nombre d’applications injectives de \"E\" vers \"F.\"<\/p>\r\n

2)\u00a0<\/b>Au d\u00e9part d’une course de \"100\" m\u00e8tres, il y a \"8\" coureurs. Combien y a-t-il de podiums possibles ? On suppose qu’il n’y aura pas d’ex-\u00e6quo.<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : 1)<\/strong> D\u00e9finir une application de \"E\" vers \"F\" injective, c’est prendre successivement et sans remise (pour bien d\u00e9finir une application injective) \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"F.\" Il y a donc \"A_n^p\" applications injectives de \"E\" vers \"F\".<\/p>\r\n

2)<\/strong> D\u00e9finir un podium, c’est donner un premier, un deuxi\u00e8me et un troisi\u00e8me. Autrement dit, c’est effectuer \u00ab\u00a0trois tirages successifs et sans remise des \"8\" coureurs au d\u00e9part\u00a0\u00bb. Il y a donc \"A_8^3 = 336\" podiums possibles.<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

M\u00e9thode 3 : Tirages simultan\u00e9s.<\/b><\/p>\r\n

Soient \"n , p \in \mathbb{N}\" tels que \"n \ge p.\" Le nombre de tirages simultan\u00e9s de \"p\" boules dans une urne contenant \"n\" boules est \u00e9gal \u00e0 \"\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p! \left( n - p \right)!}\" tirages.\u00a0<\/p>\r\n

On retiendra que l’ordre n’importe pas.<\/p>\r\n

Exemple :<\/b> a) <\/b>De combien de fa\u00e7ons peut-on donner une main de \"8\" cartes d’un jeu de \"32\" cartes ?<\/p>\r\n

b)<\/b>\u00a0Combien de ces mains contiendront exactement un roi ?<\/p>\r\n

c)<\/b>\u00a0Combien de ces mains contiendront exactement un roi et deux reines ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

a)<\/strong> Donner une main de \"8\" cartes \u00e0 un joueur, cela revient \u00e0 choisir simultan\u00e9ment \"8\" cartes dans le jeu de \"32\" cartes : il y a \"\displaystyle\binom{32}{8} = 10\; 518 \; 300\" mains possibles.<\/p>\r\n

b)<\/strong> Se donner une main contenant exactement un roi, c’est choisir un roi parmi les \"4\" rois puis choisir simultan\u00e9ment \"7\" cartes parmi les \"28\" cartes restantes. Il y a donc \"\displaystyle\binom{4}{1} \displaystyle\binom{28}{7} = 4 \; 736\; 160.\"<\/p>\r\n

c)<\/strong> Choisir une main contenant exactement un roi et deux reines, c’est d’abord choisir un roi parmi les \"4\" rois puis choisir deux reines parmi les \"4\" et enfin choisir \"5\" cartes parmi les \"24\" cartes restantes (celles qui ne sont ni des rois ni des reines). Il y a donc \"\displaystyle\binom{4}{1} \displaystyle\binom{4}{2} \displaystyle\binom{24}{5} = 48\; 576\" mains.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 : Introduire une bijection.<\/b><\/p>\r\n

Il suffit de trouver une bijection entre \"E,\" l’ensemble \u00e0 d\u00e9nombrer, et un autre ensemble dont on conna\u00eet le nombre d’\u00e9l\u00e9ments.<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Soit \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"p\" un entier tel que \"1 \le p \le n.\" D\u00e9terminer le nombre de \"p\"-listes strictement croissantes de \"E = \left\{ 1 , \cdots , n \right\}.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On note \"\mathcal S_{n ,p} = \left\{ \left( i_1 , \cdots , i_p \right) \in [\![ 1, n ]\!] , \; i_1 < \cdots < i_p \right\}\" et \"\mathcal P_p \left( [\![ 1, n ]\!] \right)\" l’ensemble des parties de \"[\![ 1, n ]\!]\" contenant \"p\" \u00e9l\u00e9ments.\u00a0<\/p>\r\n

L’application \"\begin{cases} \mathcal S_{n ,p} \to \mathcal P_p \left( [\![ 1, n ]\!] \right) \\ \left( i_1 , \cdots , i_p \right) \mapsto \left\{ i_1 , \cdots , i_p \right\} \end{cases}\" est une bijection (toute partie \u00e0 \"p\" \u00e9l\u00e9ments peut \u00eatre rang\u00e9e d’une unique fa\u00e7on en une suite<\/a> strictement croissante), donc\u00a0<\/p>\r\n

\"\mathrm{card} \left( \mathcal S_{n ,p} \right)= \mathrm{card} \left( \mathcal P_p \left( [\![ 1, n ]\!] \right) \right) = \binom{n}{p}.\"<\/div>\r\n

2. Probabilit\u00e9s sur un ensemble fini<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 5 : V\u00e9rifier que l’on a d\u00e9fini une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)\".
<\/b><\/p>\r\n

Soit \"\Omega\" un ensemble non vide, on rappelle que \"\mathcal P \left( \Omega \right)\" d\u00e9signe l’ensemble des parties de \"\Omega.\"\u00a0<\/p>\r\n

Pour montrer qu’une application \"\mathbb{P}\" d\u00e9finie sur \"\mathcal P \left( \Omega \right)\" est une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)\", il faut montrer qu’elle v\u00e9rifie les deux points :<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P} \left( \Omega \right)= 1,\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" si \"A, B \subset \Omega\" et si \"A \cap B = \emptyset,\" alors \"\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right).\"<\/p>\r\n

On notera, lorsque \"\Omega\" est fini que, \"\mathbb{P}\" est enti\u00e8rement d\u00e9finie sur les ensembles de la forme \"\left\{ k \right\}\" avec \"k \in \Omega.\"<\/p>\r\n

De plus, pour toute partie \"B \subset \Omega,\" on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( B \right) = \displaystyle\sum_{k \in B} \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier si \"B = \Omega,\" on a\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[1 = \mathbb{P} \left( \Omega \right) = \displaystyle\sum_{k \in \Omega} \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Lorsque \"\mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right) = \mathbb{P} \left( \left\{ k' \right\} \right)\" pour tout \"k, k' \in \Omega,\" on dit que l’on est sous l’hypoth\u00e8se d’\u00e9quiprobabilit\u00e9. Dans ce cas, pour tout \"B \subset \Omega,\" on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( B \right) = \dfrac{\mathrm{card} \left( B \right)}{\mathrm{card} \left( \Omega \right)}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Soit \"n \in \mathbb{N}^*.\" Soit \"\Omega = [\![ 0 , 2n ]\!].\"<\/p>\r\n

1)\u00a0<\/b>D\u00e9terminer \"a \in \mathbb{R}\" tel que l’application \"\mathbb{P} : \mathcal P \left( \Omega \right) \to \left[ 0 , 1 \right]\" d\u00e9finie par : pour tout \"k \in \Omega,\" \"\mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right) = a 2^{k}\" d\u00e9finisse une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right).\"<\/p>\r\n

2)<\/b>\u00a0Calculer \"\mathbb{P} \left( A \right)\" o\u00f9 \"A\" est constitu\u00e9 des nombres pairs de \"\Omega.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

1)<\/strong> \"\mathbb{P}\" d\u00e9finit une probabilit\u00e9 si sur \"\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)\", et seulement si, \"\mathbb{P}\" prend des valeurs positives et si<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\sum_{k \in \Omega} \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right)= 1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

\r\n
Autrement dit, on doit avoir \"a \ge 0\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\sum_{k=0}^{2n} a 2^k = 1.\]\"<\/p> Or \"\displaystyle\sum_{k=0}^{2n} a 2^k = a \left( 2^{2n + 1} - 1\right),\" ainsi \"\mathbb{P}\" est une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)\" si, et seulement si, \"a = \dfrac{1}{2^{2n + 1} - 1}.\"<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
2)<\/strong> \"\mathbb{P}\left( A \right) = \displaystyle\sum_{k=0}^n \mathbb{P}\left( \left\{ 2k \right\} \right)= a \displaystyle\sum_{k=0}^n 4^k\" \"= \dfrac{4^{n + 1} - 1}{3 \left( 2^{2n + 1} - 1 \right)}\"<\/div>\r\n<\/div>\r\n

M\u00e9thode 6 : Savoir utiliser les relations fondamentales de probabilit\u00e9.<\/b><\/p>\r\n

Rappelons les relations qui servent tout le temps en probabilit\u00e9, \"\mathbb{P}\" \u00e9tant une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega, \mathcal P \left( \Omega \right) \right),\" \"A\" et \"B\" \u00e9tant deux \u00e9v\u00e9nements :<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P} \left( \overline{A} \right) = 1 - \mathbb{P} \left( A \right),\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P}\left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right),\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" la formule du crible pour \"3\" \u00e9v\u00e9nements \"A, B\" et \"C\" :<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( A \cup B \cup C \right)\" \"= \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) + \mathbb{P} \left( C \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)\" \"- \mathbb{P} \left( A \cap C \right)\"\u00a0<\/p>\r\n

\"-\mathbb{P} \left( B \cap C \right) + \mathbb{P} \left( A \cap B \cap C \right)\",<\/p>\r\n

\"\bullet\" si \"A_1, \cdots , A_m\" sont \"m\" \u00e9v\u00e9nements deux \u00e0 deux incompatibles, alors<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcup_{k=1}^m A_k \right) = \displaystyle\sum_{k=1}^m \mathbb{P} \left( A_k \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Exemple :\u00a0<\/b>Dans une urne, on place \"3\" jetons de couleur rouge num\u00e9rot\u00e9s de \"1\" \u00e0 \"3,\" \"3\" jetons de couleur blanche num\u00e9rot\u00e9s de \"1\" \u00e0 \"3\" et \"3\" jetons de couleur noire num\u00e9rot\u00e9s de \"1\" \u00e0 \"3.\" On tire simultan\u00e9ment \"3\" jetons. On introduit les \u00e9v\u00e9nements : \"A\" \u00ab\u00a0on a obtenu deux num\u00e9ros \"1\"\u00ab\u00a0, \"B\" \u00ab\u00a0on a obtenu un seul num\u00e9ro \"3\"\u00a0\u00bb et \"C\" \u00ab\u00a0on a obtenu deux num\u00e9ros distincts\u00a0\u00bb.\u00a0<\/p>\r\n

Calculer \"\mathbb{P}\left( A \right), \mathbb{P} \left( B \right), \mathbb{P} \left( C \right), \mathbb{P}\left( A \cup B \right)\" et \"\mathbb{P} \left( A \cup B \cup C \right).\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On se place dans le cadre de l’\u00e9quiprobabilit\u00e9. \"\Omega\" est l’ensemble des tirages simultan\u00e9s de \"3\" jetons parmi les \"9\" jetons donc \"\mathrm{card} \left( \Omega \right) = \displaystyle\binom{9}{3} = 12 \times 7.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9terminer \"\mathrm{card} \left( A \right)\" : on choisit deux \"1\" parmi \"3\" (\"\displaystyle\binom{3}{2} = 3\" fa\u00e7ons), puis un jeton parmi les \"6\" ne portant pas le num\u00e9ro \"1\" (\"6\" fa\u00e7ons), soit \"\mathrm{card} \left( A \right) = 3 \times 6\" et \"\mathbb{P} \left( A \right) =\dfrac{3 \times 6}{12 \times 7} = \dfrac{3}{14}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" Pour d\u00e9terminer \"\mathrm{card} \left( B \right)\" : on choisit le jeton portant le num\u00e9ro \"3\" (\"3\" fa\u00e7ons), puis \"2\" jetons parmi les \"6\" jetons ne portant pas le num\u00e9ro \"3\" (\"\displaystyle\binom{6}{2} = 3 \times 5\" fa\u00e7ons). Donc \"\mathbb{P} \left( B \right) = \dfrac{3 \times 15}{12 \times 7} = \dfrac{15}{28}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" Pour d\u00e9terminer \"\mathrm{card} \left( C \right)\" : on choisit la valeur du num\u00e9ro doubl\u00e9 (\"3\" fa\u00e7ons) et deux jetons portant ce num\u00e9ro (\"\displaystyle\binom{3}{2} = 3\" fa\u00e7ons), puis un jeton parmi les \"6\" jetons ne portant pas le num\u00e9ro doubl\u00e9 (\"6\" fa\u00e7ons). Ainsi \"\mathrm{card} \left( C \right) = 3 \times 3 \times 6\" et \"\mathbb{P} \left( C \right) = \dfrac{3 \times 3 \times 6}{12 \times 7} = \dfrac{9}{14}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" On utilise la relation \"\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right).\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"A \cap B\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on a obtenu deux \"1\" et un \"3\"\u00a0\u00bb : pour d\u00e9terminer \"\mathrm{card} \left( A \cap B \right),\" on choisit les jetons de num\u00e9ro \"1\" (\"\displaystyle\binom{3}{2} = 3\" fa\u00e7ons) et le jeton de num\u00e9ro \"3\" (\"3\" fa\u00e7ons), d’o\u00f9 \"\mathrm{card} \left( A \cap B \right) = 3 \times 3\" et \"\mathbb{P} \left( A \cap B \right) = \dfrac{3 \times 3}{12 \times 7} = \dfrac{3}{28}.\" On en d\u00e9duit<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)\" \"= \dfrac{3}{14} + \dfrac{15}{28} - \dfrac{3}{28} = \dfrac{9}{14}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" On termine par la formule du crible :<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( A \cup B \cup C \right)\" \"= \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) + \mathbb{P} \left( C \right)\" \"- \mathbb{P} \left( A \cap B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap C \right) - \mathbb{P} \left( B \cap C \right)\" \"+ \mathbb{P} \left( A \cap B \cap C \right).\"
L’\u00e9v\u00e9nement \"A \cap C\" est \u00ab\u00a0on a obtenu deux \"1\" et un num\u00e9ro diff\u00e9rent de \"1\"\u00a0\u00bb : pour d\u00e9terminer \"\mathrm{card} \left( A \cap C \right),\" on choisit les \"2\" jetons \"1\" parmi \"3\" (\"3\" fa\u00e7ons) et le num\u00e9ro diff\u00e9rent de \"1\" (\"6\" fa\u00e7ons) donc \"\mathrm{card} \left( A \cap C \right) = 3 \times 6\" et \"\mathbb{P} \left( A \cap C \right) = \dfrac{3 \times 6}{12 \times 7} = \dfrac{3}{14}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
L’\u00e9v\u00e9nement \"B \cap C\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on a obtenu un num\u00e9ro \"3\" et deux jetons portant le m\u00eame num\u00e9ro diff\u00e9rent de \"3\"\u00a0\u00bb : pour d\u00e9terminer \"\mathrm{card} \left( B \cap C \right),\" on choisit un jeton \"3\" parmi \"3\" de \"3\" fa\u00e7ons possibles et le m\u00eame num\u00e9ro diff\u00e9rent de \"3\" de \"2\" fa\u00e7ons et deux jetons parmi les \"3\" jetons portant ce num\u00e9ro de \"3\" fa\u00e7ons possibles, donc \"\mathrm{card} \left( B \cap C \right) = 3 \times 2 \times 3\" et \"\mathbb{P} \left( A \cap C \right) = \dfrac{3 \times 2 \times 3}{12 \times 7} = \dfrac{3}{14}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
L’\u00e9v\u00e9nement \"A \cap B \cap C\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on a obtenu un jeton \"3\" et deux jetons portant le num\u00e9ro \"1\"\u00a0\u00bb : pour d\u00e9terminer \"\mathrm{card} \left( A \cap B \cap C \right),\" on choisit le jeton \"3\" parmi \"3\" de \"3\" fa\u00e7ons possibles et les deux jetons \"1\" parmi \"3\" de \"3\" fa\u00e7ons possibles, donc \"\mathrm{card} \left( A \cap B \cap C \right) = 3 \times 3\" et \"\mathbb{P} \left( A \cap B \cap C \right) = \dfrac{3 \times 3}{12 \times 7} = \dfrac{3}{28}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Gr\u00e2ce \u00e0 la formule du crible, on a<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( A \cup B \cup C \right)\" \"=\mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) + \mathbb{P} \left( C \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)\" \"- \mathbb{P}\left( A \cap C \right) - \mathbb{P} \left( B \cap C \right)\"
\"+ \mathbb{P} \left( A \cap B \cap C \right)\"
\"= \dfrac{3}{14} + \dfrac{15}{28} + \dfrac{9}{14} - \dfrac{3}{28 } - \dfrac{3}{14} - \dfrac{3}{14} + \dfrac{3}{28}\"
\"= \dfrac{27}{28}\".<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\u00a0<\/div>\r\n

M\u00e9thode 7 : Utiliser la formule des probabilit\u00e9s conditionnelles et la formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es.<\/b><\/p>\r\n

1)<\/i>\u00a0Par d\u00e9finition, si \"B\" n’est pas un \u00e9v\u00e9nement impossible (i.e. \"\mathbb{P} \left( B \right) \neq 0\") \"\mathbb{P}_A \left( B \right) = \mathbb{P}{ \mathbb{P} \left( A \cap B \right) }{\mathbb{P} \left( B \right)}.\" Cette formule sert aussi sous la forme :\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( A \cap B \right) = \mathbb{P}_A \left( B \right) \times \mathbb{P} \left( B \right).\]\"<\/p>\u00a0
On retiendra que l’application \"\begin{cases} \mathcal P \left( \Omega \right) \to \left[ 0 , 1 \right] \\ B \mapsto \mathbb{P}_A \left( B \right) \end{cases}\" d\u00e9finit une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega, \mathcal P \left( \Omega \right) \right).\"<\/p>\r\n

2) Formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es.<\/i><\/p>\r\n

Soient \"A_1, \cdots , A_m\" des \u00e9v\u00e9nements tels que \"\mathbb{P} \left( A_1 \cap \cdots \cap A_m \right) \neq 0.\" Alors,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( A_1 \cap \cdots \cap A_m \right) =\]\"<\/p>
\"\mathbb{P} \left( A_1 \right) \times \mathbb{P}_{A_1} \left( A_2 \right) \times \mathbb{P}_{A_1 \cap A_2} \left( A_3 \right)\" \"\times \cdots \times \mathbb{P}_{A_1 \cap \cdots \cap A_{m - 1}} \left( A_m \right).\"
Il faut penser \u00e0 utiliser cette formule en particulier dans les cas suivants :<\/p>\r\n

\"\bullet\" dans les situations o\u00f9 il y a des urnes dont la composition change \u00e0 chaque tour,<\/p>\r\n

\"\bullet\" de mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, dans toutes les situations o\u00f9 ce qui se passe \u00e0 l’instant \"n\" d\u00e9pend de ce qui se passe aux instants \"0, 1 , \cdots, n-1.\"1) Par d\u00e9finition, si \"B\" n’est pas un \u00e9v\u00e9nement impossible (i.e. \"\mathbb{P} \left( B \right) \neq 0\") \"\mathbb{P}_A \left( B \right) = \dfrac{ \mathbb{P} \left( A \cap B \right) }{\mathbb{P} \left( B \right)}.\" Cette formule sert aussi sous la forme :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( A \cap B \right) = \mathbb{P}_A \left( B \right) \times\mathbb{P} \left( B \right).\]\"<\/p>\u00a0
On retiendra que l’application \"\begin{cases} \mathcal P \left( \Omega \right) \to \left[ 0 , 1 \right] \\ B \mapsto \mathbb{P}_A \left( B \right) \end{cases}\" d\u00e9finit une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega, \mathcal P \left( \Omega \right) \right).\"<\/p>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
Exemple\u00a0<\/b>:<\/span><\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Une urne contient initialement \"7\" boules noires et \"3\" boules blanches. On tire successivement \"3\" boules : si l’on tire une boule noire, on l’enl\u00e8ve ; si l’on tire une boule blanche, on la retire et on ajoute une boule noire \u00e0 la place.\u00a0<\/span><\/div>\r\n
\r\n

Quelle est la probabilit\u00e9 de tirer \"3\" boules blanches ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

On note \"B_i\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0la \"i\"-\u00e8me boule tir\u00e9e est blanche\u00a0\u00bb.\u00a0<\/p>\r\n

La probabilit\u00e9 recherch\u00e9e est :<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( B_1 \cap B_2 \cap B_3 \right)\" \"= \mathbb{P} \left( B_1 \right) \times \mathbb{P}_{B_1} \left( B_2 \right) \times \mathbb{P}_{B_1 \cap B_2} \left( B_3 \right).\"
Clairement \"\mathbb{P} \left( B_1 \right) = \dfrac{3}{10}.\" Si \"B_1\" est r\u00e9alis\u00e9, avant le \"2\"-i\u00e8me tirage, l’urne est constitu\u00e9e de \"8\" boules noires et \"2\" blanches, ainsi \"\mathbb{P}_{B_1} \left( B_2 \right) = \dfrac{2}{10}.\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Si \"B_1\" et \"B_2\" sont r\u00e9alis\u00e9s, avant le \"3\"-i\u00e8me tirage, l’urne contient \"9\" boules noires et \"1\" boule blanche, d’o\u00f9 \"\mathbb{P}_{B_1 \cap B_2} \left( B_3 \right) = \dfrac{1}{10}\" et\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( B_1 \cap B_2 \cap B_3 \right) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{10} \times \dfrac{1}{10}\" \"= \dfrac{6}{1000} = \dfrac{3}{500}.\"<\/div>\r\n
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