{"id":34223,"date":"2019-08-19T10:26:47","date_gmt":"2019-08-19T09:26:47","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34223"},"modified":"2022-07-20T11:22:41","modified_gmt":"2022-07-20T10:22:41","slug":"cours-en-ligne-corriges-probabilites-univers-fini-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-probabilites-univers-fini-ecs1\/","title":{"rendered":"Probabilit\u00e9s sur un univers fini en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n

<\/a><\/p>\n

\n
\n

Corrig\u00e9s d’exercices : Probabilit\u00e9s sur un univers fini en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Probabilit\u00e9s sur un univers fini<\/h2>\n

Exercice 1 :<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Par d\u00e9finition, il y a \"\displaystyle\binom{n}{p}\" tirages possibles.<\/p>\n

2) a)<\/strong> Comme on veut que toutes les boules aient un num\u00e9ro inf\u00e9rieur \u00e0 \"k,\" cela revient \u00e0 tirer \"p\" boules dans l’ensemble \"[\![ 1 , k ]\!],\" il y a \"\displaystyle\binom{k}{p}\" tirages possibles.<\/p>\n

b)<\/strong> Pour obtenir un tirage de \"p\" boules dont le plus grand num\u00e9ro est \u00e9gal \u00e0 \"k,\" on choisit \"p - 1\" boules parmi les boules num\u00e9rot\u00e9es de \"1\" \u00e0 \"k - 1\" de \"\displaystyle\binom{p - 1}{ k- 1}\" fa\u00e7ons et on ajoute la boule \"k\" \u00e0 ces \"p - 1\" boules.<\/p>\n

Lorsque \"1 \le p \le k,\" le nombre de tirages de \"p\" boules dont le plus grand \u00e9l\u00e9ment est \u00e9gal \u00e0 \"k\" est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle\binom{k - 1}{p - 1}.\"<\/p>\n

On note \"B_k\" l’ensemble des tirages de \"p\" boules de num\u00e9ro inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"k\" et \"A_k\" l’ensemble des tirages de \"p\" boules dont le plus grand \u00e9l\u00e9ment est \u00e9gal \u00e0 \"k,\" alors \"B_k = A_k \cup B_{k - 1}.\" Comme ces deux ensembles sont disjoints,<\/div>\n
\"\mathrm{card} \left( B_k \right) = \mathrm{card} \left( A_k \right) + \mathrm{card} \left( B_{k - 1} \right),\" donc \"\mathrm{card} \left( A_k \right) = \displaystyle\binom{k}{p} - \displaystyle\binom{k - 1}{p}\"<\/div>\n
et par le triangle de Pascal, \"\mathrm{card} \left( A_k \right) = \displaystyle\binom{k - 1}{p - 1}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

c)<\/strong> Soit \"A\" l’ensemble des tirages de \"p\" boules parmi \"n\" boules num\u00e9rot\u00e9es de \"1\" \u00e0 \"n\". On rappelle que \"A_k\" est l’ensemble des tirages dont le plus grand num\u00e9ro vaut \"k\".\u00a0<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
Comme on tire \"p\" boules sans remise, on remarque que \"n \ge k \ge p.\" La famille \"\left( A_k \right)_{k \in [\![ p ,n ]\!]}\" est une partition de \"A.\" En effet<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" \"A_k\" est non vide (il contient le tirage \"\left( 1 , 2 , \cdots, p - 1, k \right)\"),<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" \"A_k \cap A_{k'} = \emptyset\" si \"k \neq k'\" (il ne peut y avoir deux plus grands num\u00e9ros distincts),<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" \"\displaystyle\bigcup_{k=p}^n A_k = A.\" L’inclusion \"\displaystyle\bigcup_{k=p}^n A_k \subset A\" \u00e9tant \u00e9vidente, montrons l’inclusion r\u00e9ciproque. Si l’on tire \"p\" boules sans remise dans une urne en contenant \"n,\" le plus grand des num\u00e9ros tir\u00e9s, disons \"j,\" est plus grand que \"p.\" Ainsi le tirage appartient \u00e0 \"A_j.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Il s’ensuit que<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{card} \left( A \right) = \displaystyle\sum_{k=p}^n \mathrm{card} \left( A_k \right).\]\"<\/p>\n

Comme \"\mathrm{card} \left( A \right) = \displaystyle\binom{n}{p}\" (nombres de fa\u00e7ons de tirer \"p\" boules parmi \"n\") et \"\mathrm{card} \left( A_k \right) = \displaystyle\binom{k- 1}{p - 1}\" (question pr\u00e9c\u00e9dente), on a bien l’\u00e9galit\u00e9 souhait\u00e9e.<\/div>\n

<\/div>\n
3) a)<\/strong> Le nombre de tirages successifs et sans remise de \"p\" boules parmi les \"n\" boules est \"\dfrac{n!}{\left( n - p \right)!}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
b)<\/strong> Le nombre de tirages successifs et sans remise de \"p\" boules parmi les \"n\" boules et commen\u00e7ant par la boule num\u00e9ro \"2\" est le nombre de tirages successifs et sans remise de \"p - 1\" boules parmi les \"n - 1\" boules \"\left\{ 1, 3, \cdots , n \right\},\" il est \u00e9gal \u00e0 \"\dfrac{\left( n - 1 \right)!}{\left( n - 1 - \left( p - 1 \right) \right) !} = \dfrac{\left( n - 1 \right)!}{\left( n - p \right)!}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
4) a)<\/strong> Le nombre de tirages successifs et avec remise de \"p\" boules parmi les \"n\" boules est \u00e9gal \u00e0 \"n^p.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

b)<\/strong> Se donner un tirage avec remise de \"p\" boules tel que le premier num\u00e9ro soit strictement inf\u00e9rieur au dernier revient\u00a0<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\"\bullet\" \u00e0 se donner le premier et le dernier num\u00e9ro avec \"1 \le i < j \le n,\" ce qui revient \u00e0 se donner une partie de \"\left\{ 1 , \cdots , n \right\}\" \u00e0 deux \u00e9l\u00e9ments, cette partie \u00e9tant ordonn\u00e9e d’une et d’une seule fa\u00e7on sous forme strictement croissante, il y a donc \"\displaystyle\binom{n}{2} = \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{2}\" choix de ces deux num\u00e9ros.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" puis \u00e0 faire \"p - 2\" tirages successifs avec remise parmi \"n\" boules (pour les tirages de \"2\" \u00e0 \"n - 1\") : il y a \"n^{p - 2}\" choix.<\/div>\n
<\/div>\n
Donc le nombre de tirages \u00e9tudi\u00e9 est \u00e9gal \u00e0 \"\dfrac{n \left( n - 1 \right)} {2} n^{p - 2} = \dfrac{n^{p - 1} \left( n - 1 \right)}{2}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n
\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Exercice 2 :<\/b><\/h3>\n

1) a)<\/strong>\u00a0Il ne pas y avoir de surjection car l’ensemble d’arriv\u00e9e contient plus d’\u00e9l\u00e9ments que l’ensemble de d\u00e9part. Ainsi \"S_n^p= 0\" si \"n > p.\"<\/p>\n

b)<\/strong>\u00a0Lorsque \"n = p,\" on sait que si \"f\" est surjective, alors \"f\" est injective donc \"f\" est bijective.<\/p>\n

Or, il y a \"p!\" bijections d’un ensemble \u00e0 \"p\" \u00e9l\u00e9ments dans un ensemble \u00e0 \"p\" \u00e9l\u00e9ments. Ainsi \"S_p^p = p!.\"<\/p>\n

Si \"p= 1,\" il n’y a qu’une seule application : l’application qui \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment de l’ensemble de d\u00e9part associe l’unique \u00e9l\u00e9ment de l’ensemble d’arriv\u00e9e. Cette application \u00e9tant surjective, il y a \"1\" application et \"S_1^p = 1.\"<\/p>\n

c)<\/strong>\u00a0Rappelons qu’il y a \"2^p\" applications d’un ensemble \u00e0 \"p\" \u00e9l\u00e9ments vers un ensemble \u00e0 \"2\" \u00e9l\u00e9ments, disons \"\left\{ a, b \right\}\". Parmi toutes ces applications, seules deux ne sont pas surjectives : celle qui \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment de l’ensemble de d\u00e9part associe l’\u00e9l\u00e9ment \"a\" et celle qui \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment de l’ensemble de d\u00e9part associe l’\u00e9l\u00e9ment \"b.\"<\/p>\n

Ainsi \"S_2^p = 2^p - 2.\"<\/div>\n
\n

d)<\/strong>\u00a0D\u00e9finir une surjection d’un ensemble \"E\" \u00e0 \"n + 1\" \u00e9l\u00e9ments vers un ensemble \"F\" \u00e0 \"n\" \u00e9l\u00e9ments revient :<\/p>\n

<\/div>\n
\"\bullet\" \u00e0 choisir les deux \u00e9l\u00e9ments de l’ensemble \"E\" qui ont la m\u00eame image : on choisit \"2\" \u00e9l\u00e9ments parmi \"n + 1\" de \"\displaystyle\binom{n + 1}{2} = \dfrac{n \left( n + 1 \right)}{2}.\" Soient \"a, b\" ces deux \u00e9l\u00e9ments retenus.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" puis \u00e0 d\u00e9finir une bijection de \"E \backslash \left\{ b \right\}\" dans \"F\" (on posera ensuite \"f \left( b \right) = f \left( a \right)\"), ce qui se fait de \"n!\" fa\u00e7ons. Alors \"S_{n}^{n + 1} = \dfrac{\left( n + 1 \right) n}{2} \times n! = \dfrac{n}{2} \left( n+ 1 \right)!.\"<\/div>\n
\n

2) a)<\/strong>\u00a0La formule<\/p>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{q} = \displaystyle\binom{n}{q} \displaystyle\binom{n - q}{k - q}\]\"<\/p>\n

est facile \u00e0 v\u00e9rifier en revenant \u00e0 la d\u00e9finition des coefficients binomiaux.<\/p><\/div>\n

<\/div>\n
D’apr\u00e8s la relation pr\u00e9c\u00e9dente, on a :<\/div>\n
\"\sum_{k=q}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{q}\" \"= \sum_{k=q}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{q} \displaystyle\binom{n - q}{k - q}\"
\n\"= \displaystyle\binom{n}{q} \sum_{k=q}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n - q}{k - q}\"
\n\"\underset{\text{on a posé} \; l = k - q}{=}\" \"\displaystyle\binom{n}{q} \sum_{l=0}^{n - q} \left( - 1 \right)^{l + q} \displaystyle\binom{n - q}{l}\"
\n\"= \displaystyle\binom{n}{q} \left( - 1 \right)^q \sum_{l=0}^{n - q} \left( - 1 \right)^l \displaystyle\binom{n - q}{l}\"
\n\"= \displaystyle\binom{n}{q} \left( - 1 \right)^q \left( 1 - 1 \right)^{n - q}\"
\n\"= 0\",<\/div>\n
<\/div>\n
car \"n - q \ge 1.\"<\/div>\n
\n

b)<\/strong>\u00a0Il est clair que \"\displaystyle\bigcup_{i=1}^n \mathcal A_i \subset F^E.\"<\/p>\n

<\/div>\n
Montrons maintenant l’inclusion contraire.<\/div>\n
Si \"\mathrm{card} \left( f \left( E \right) \right) = k \in [\![ 1, n ]\!],\" alors \"f \in \mathcal A_k\" et \"f \in \displaystyle\bigcup_{i=1}^n \mathcal A_i.\"<\/div>\n
Montrons que, si \"i \neq j,\" alors \"\mathcal A_i \cap \mathcal A_j = \emptyset.\"<\/div>\n
En effet, il est impossible de trouver un \u00e9l\u00e9ment \"f \in \mathcal A_i \cap \mathcal A_j\" car \"\mathrm{card} \left( F \left( E \right) \right)\" serait \u00e9gal \u00e0 \"i\" et \u00e0 \"j.\"<\/div>\n
La famille \"\left( \mathcal A_i \right)_{i \in [\![ 1 , n ]\!]}\" est donc une partition de \"F^E\" donc<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{card} \left( F^E \right) = n^p = \displaystyle\sum_{i=1}^n \mathrm{card} \left( \mathcal A_i \right).\]\"<\/p>\n

Il nous reste \u00e0 calculer \"\mathrm{card} \left( \mathcal A_i \right).\"<\/div>\n

Dire que \"f \in \mathcal A_i,\" c’est dire que \"\mathrm{card} \left( f \left( E \right) \right) = i.\" Cela revient \u00e0 choisir les \"i\" \u00e9l\u00e9ments dans l’ensemble d’arriv\u00e9e qui ont un ant\u00e9c\u00e9dent (de \"\displaystyle\binom{n}{i}\" fa\u00e7ons) et de d\u00e9finir une surjection de l’ensemble de d\u00e9part (ayant \"p\" \u00e9l\u00e9ments) sur un ensemble \u00e0 \"i\" \u00e9l\u00e9ments (\"S_i^p\" fa\u00e7ons).<\/div>\n
Finalement \"\mathrm{card} \left( \mathcal A_i \right) = \displaystyle\binom{n}{i} S_i^p.\" Cela conclut.<\/div>\n
c)<\/strong>\u00a0D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[k^p = \displaystyle\sum_{i=1}^k \displaystyle\binom{k}{i} S_i^p,\]\"<\/p>\n

puis<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} k^p = \displaystyle\sum_{i=1}^k \left(- 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{i} S_i^p.\]\"<\/p>\n

On somme cette relation entre \"0\" et \"n\" puis on intervertit les deux sommes :<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{k=0}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} k^p\" \"= \displaystyle\sum_{k=0}^n \sum_{i=1}^k \left(- 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{i} S_i^p\"
\n\"= \displaystyle\sum_{0 \le i \le k \le n} \left(- 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{i} S_i^p\"
\n\"= \displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\sum_{k=i}^n \left(- 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{i} S_i^p\"
\n\"= \displaystyle\sum_{i=0}^n S_i^p \displaystyle\sum_{k=i}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{i}\".<\/p>\n

Or, on a \u00e9tabli \u00e0 la question 2) a), que \"\displaystyle\sum_{k=i}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{i} = 0\" pour \"0 \le i \le n- 1.\" Ainsi, on a :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\displaystyle\sum_{k=0}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} k^p\" \"\underset{i =n}{=}\" \"S_n^p \left( - 1 \right)^n \displaystyle\binom{n}{n} \displaystyle\binom{n}{n}\"
\n\"= \left( - 1 \right)^n S_n^p\".<\/div>\n
Finalement,<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[S_n^p = \left( - 1 \right)^n \sum_{k=0}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} k^p.\]\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Lors de la correction de vos exercices, pensez \u00e0 prendre note de vos erreurs et relisez r\u00e9guli\u00e8rement les r\u00e8gles ou m\u00e9thodes qui vous posent probl\u00e8me. Faites de m\u00eame pour les autres chapitres au programme d’ECG1 en Maths :<\/p>\n<\/div>\n

\n