{"id":34235,"date":"2019-08-19T11:09:03","date_gmt":"2019-08-19T10:09:03","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34235"},"modified":"2023-09-16T21:56:59","modified_gmt":"2023-09-16T20:56:59","slug":"cours-en-ligne-formules-taylor-developpements-limites-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-formules-taylor-developpements-limites-ecs1\/","title":{"rendered":"Formules de Taylor et d\u00e9veloppements limit\u00e9s en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Formules de Taylor et d\u00e9veloppements limit\u00e9s en ECG 1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

1. Savoir utiliser les relations de comparaison en prepa HEC ECG<\/h2>\n

M\u00e9thode 1 : La relation de n\u00e9gligeabilit\u00e9.<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Pour les suites :<\/i> Soient \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" deux suites.<\/p>\n

Si vous rencontrez des probl\u00e8mes en math\u00e9matiques, nos cours particuliers de maths<\/a> visent sp\u00e9cifiquement \u00e0 assister les \u00e9l\u00e8ves en ECG1 dans leur d\u00e9marche pour exceller en maths.<\/p>\n

On suppose que la suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" ne s’annule pas \u00e0 partir d’un certain rang. Pour montrer que \"u_n \underset{n \to + \infty}{=} o \left( v_n \right),\" on montre que \"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 0.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Pour les fonctions<\/a> :<\/i>\u00a0Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies sur un voisinage de \"a\" (\"a \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}\"). On suppose que la fonction \"g\" ne s’annule pas au voisinage de \"a\" (sauf \u00e9ventuellement en \"a\" lorsque \"a\" est r\u00e9el). Pour montrer que \"f \left( x \right) \underset{x \to a}{=} o \left( g \left( x \right) \right),\" on montre que \"\lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 0.\"<\/p>\n

Cas particuliers : on peut traduire les r\u00e9sultats sur les puissances compar\u00e9es avec la notation \u00ab\u00a0\"o\"\u00a0\u00bb : pour tout r\u00e9el \"\alpha\" et pour tout \"\beta > 0,\"<\/p>\n

\"\ln^{\alpha } \left( x \right) \underset{x \to +\infty}{=} o \left( x^{\beta} \right), x^{\alpha} \underset{x \to +\infty}{=} o\"<\/p>\n

\"\left( e^{\beta x} \right) \; \text{et} \; {\alpha}^n \underset{n \to +\infty}{=} o \left( n! \right) .\"<\/p>\n

Pi\u00e8ge :\u00a0<\/i>Pour les fonctions, il faut bien indiquer le point en lequel on travaille, ici \"a.\" En effet, on peut tr\u00e8s bien avoir<\/p>\n

\"f \left( x \right) \underset{x \to a}{=} o \left( g \left( x \right) \right)\" et \"g \left( x \right) \underset{x \to b}{=} o \left( f \left( x \right) \right),\" ainsi si l’on omet de mettre le point, il peut y avoir des ambigu\u00eft\u00e9s.<\/p>\n

Par contre, pour les suites, il n’y a pas d’ambigu\u00eft\u00e9 car les limites se consid\u00e8rent uniquement lorsque \"n\" tend vers \"+\infty.\"<\/p>\n

Exemple<\/b> : Montrer les relations de n\u00e9gligeabilit\u00e9 suivantes :<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0\"n^2 + n + 1 \underset{n \to +\infty}{=} o \left( n^4 \right),\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0\"\cos \left( x \right) - 1 \underset{x \to 0}{=} o \left( x \right).\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

1)<\/strong> Le quotient \"\dfrac{n^2 + n + 1}{n^4}\" donne :<\/p>\n

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  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{n^2 + n + 1}{n^4} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n^3} + \dfrac{1}{n^4}.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Ainsi<\/p>\n

\"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + n + 1}{n^4}\" \"= \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n^3} + \dfrac{1}{n^4} \right) = 0.\"<\/p>\n

D’o\u00f9 \"n^2 + n + 1 \underset{n \to + \infty}{=} o \left( n^4 \right).\"<\/p>\n

2)<\/strong> On a \"\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos \left( x \right) - 1}{x} = \cos' \left( 0 \right) = - \sin \left( 0 \right) = 0\" (c’est un taux d’accroissement).<\/p>\n

D’o\u00f9 \"\cos \left( x \right) - 1 \underset{x \to 0}{=} o \left( x \right).\"<\/p>\n

M\u00e9thode 2 :<\/b>\u00a0 La relation d’\u00e9quivalence.<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Pour les suites<\/a> :<\/i>\u00a0Soient \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" deux suites.<\/p>\n

Pour montrer que \"u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n ,\" on montre qu’il existe une suite \"\left( w_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" de limite \"1\" et telle que \"u_n = v_n w_n.\" Lorsque la suite \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" ne s’annule pas \u00e0 partir d’un certain rang, on montre que \"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Pour les fonctions :<\/i>\u00a0Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies sur un voisinage de \"a\" (\"a \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}\").<\/p>\n

Pour montrer que \"f \left( x \right) \underset{x \to a}{\sim} g \left( x \right),\" on montre qu’il existe une fonction \"h\" d\u00e9finie sur un voisinage de \"a\" de limite \"1\" et telle que \"f = g h.\"<\/p>\n

Lorsque la fonction \"g\" ne s’annule pas sur un voisinage de \"a,\" sauf \u00e9ventuellement en \"a\" si \"a\" est fini, on montre que \"\lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 1.\"<\/p>\n

Equivalents et limites : on fera attention de distinguer les r\u00e9sultats suivants :<\/p>\n

\"\bullet\" Si la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge<\/a> vers le r\u00e9el non nul \"L,\" alors \"u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} L.\" Si la fonction \"f\" admet une limite finie non nulle \"L\" en \"a,\" alors \"f \left( x \right) \underset{x \to a}{\sim} L.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n\" et si \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" admet une limite \"L\" (finie ou infinie), il en est de m\u00eame de la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}.\" Si \"f \left( x \right) \underset{x \to a}{\sim} g \left( x \right)\" et si la fonction \"g\" admet une limite finie ou infinie \"L\" en \"a,\" il en est de m\u00eame de la fonction \"f.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Il est utile de savoir que si \"P \left( x \right) = \sum_{k=0}^n a_k x^k\" avec \"a_n \neq 0,\" alors \"P \left( x \right) \underset{x \to \pm \infty}{\sim} a_n x^n.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Les \u00e9quivalents \u00ab\u00a0passent\u00a0\u00bb bien au produit, au quotient et \u00e0 la puissance, c’est-\u00e0-dire que si \"u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n\" et \"x_n \underset{n \to +\infty}{\sim} y_n,\" alors \"u_n \times x_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n \times y_n,\" \"\dfrac{u_n}{x_n} \underset{n \to +\infty}{\sim} \dfrac{v_n}{y_n},\" lorsque \"y_n \neq 0\" \u00e0 partir d’un certain rang.<\/p>\n

\"\star\" Si pour tout \"n \in \mathbb{N},\" on a \"u_n > 0\" et \"v_n > 0,\" alors pour tout \"\beta \in \mathbb{R},\" \"u_n^{\beta} \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n^{\beta}.\"<\/p>\n

\"\star\" Si \"\beta \in \mathbb{N},\" si \"u_n \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n,\" alors \"u_n^{\beta} \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n^{\beta}\" (pas d’hypoth\u00e8se sur le signe de \"u_n\" et \"v_n\").<\/p>\n

\"\star\" Si \"\beta \in \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N},\" si \"u_n \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n\" et si \"u_n\" ne s’annule pas \u00e0 partir d’un certain rang (il en est donc de m\u00eame pour \"v_n\"), alors \"u_n^{\beta} \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n^{\beta}.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Pour trouver un \u00e9quivalent d’une somme de termes dont au moins l’un tend vers l’infini, mettre en facteur le terme qui tend le plus vite vers l’infini.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour trouver un \u00e9quivalent d’une somme de termes qui admettent tous \"0\" pour limite, mettre en facteur le terme qui tend le moins vite vers \"0.\"<\/p>\n

\"\bullet\" C’est une erreur classique que de penser que l’on peut composer les \u00e9quivalents par la fonction l’exponentielle : si \"u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n,\"\u00a0nous n’avons pas<\/b>\u00a0en g\u00e9n\u00e9ral \"e^{u_n} \underset{n \to +\infty}{\sim} e^{v_n}.\" Pour s’en convaincre, il suffit de prendre \"u_n = n\" et \"v_n = n + 1.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On retiendra aussi, qu’il est impossible de composer des \u00e9quivalents par la fonction \"\ln.\"<\/p>\n

Par exemple, \"u_n = \dfrac{n}{n + 1}\" et \"v_n =\dfrac{n^2}{n^2 + 1}\" sont strictement positifs, v\u00e9rifient \"u_n \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n \underset{n \to + \infty}{\sim} 1.\"<\/p>\n

Pourtant, \"\ln \left( u_n \right) \underset{n \to + \infty}{\sim} - \dfrac1n\" et \"\ln \left( v_n \right) \underset{n \to + \infty}{\sim} - \dfrac{1}{n^2}.\" \"\ln \left( u_n \right)\" n’est donc pas \u00e9quivalent \u00e0 \"\ln \left( v_n \right).\"<\/p>\n

Quelques \u00e9quivalents usuels \u00e0 retenir :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Exemple : 1)\u00a0<\/b>Montrer la relation d’\u00e9quivalence suivante :<\/p>\n

\"\sqrt{1 + 2x} - \sqrt{1 - 2x} \underset{x \to 0}{\sim} 2x,\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0Trouver un \u00e9quivalent de :\u00a0\"- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3\" en \"+ \infty\" et en \"0,\"<\/p>\n

R\u00e9ponse :<\/strong><\/p>\n

1)<\/strong> Si l’on pose \"f \left( x \right) = \sqrt{1 + 2x} - \sqrt{1 - 2x},\" \"f\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"f ' \left( 0 \right) = \dfrac{2}{2 \sqrt{1 + 2 \times 0}} + \dfrac{2}{2 \sqrt{1 - 2 \times 0}}\" \"= 2,\" \"\dfrac{f \left( x \right) }{x}\" \"= \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x},\" donc \"\lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right)}{x}\" \"= 2\" soit \"\sqrt{1 + 2x} - \sqrt{1 - 2 x} \underset{x \to 0}{\sim } 2x.\"<\/p>\n

2)<\/strong> En \"+\infty\" :\u00a0<\/i><\/p>\n

<\/div>\n
L’expression est la somme de trois termes qui divergent vers l’infini. On met en facteur le terme qui tend le plus vite vers l’infini : \"x^3.\" On a<\/div>\n
<\/div>\n
\"- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3\" \"= x^3 \left( 1 - \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} + \dfrac{\ln^2 \left( x \right)}{x^3} \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
En utilisant les croissances compar\u00e9es, \"\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3}\" \"= \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln^2 \left( x \right)}{x^3}\" \"= 0,\" donc \"\lim_{x \to + \infty} \left( 1 - \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} + \dfrac{\ln^2 \left( x \right)}{x^3} \right)\" \"= 1,\" ce qui prouve que<\/div>\n
<\/div>\n
\"-\ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3 \underset{x \to + \infty}{\sim} x^3.\"<\/div>\n
<\/div>\n
En \"0\" :<\/i><\/div>\n
<\/div>\n
\"- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3\" est une somme de termes qui tendent vers l’infini ou \"0,\" on met en facteur \"\ln^2 \left( x \right)\" qui est le terme qui tend le plus vite vers l’infini.<\/div>\n
<\/div>\n
\"- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3\" \"= \ln^2 \left( x \right) \left( 1 - \dfrac{1}{\ln \left( x \right)} + \dfrac{x^3}{\ln^2 \left( x \right)} \right),\"<\/div>\n
<\/div>\n
comme \"\lim_{x \to 0} \left( 1 - \dfrac{1}{\ln \left( x \right)} + \dfrac{x^3}{\ln^2 \left( x \right)} \right) = 1,\" on a finalement<\/div>\n
<\/div>\n
\"- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3 \underset{x \to 0}{\sim} \ln^2 \left( x \right).\"<\/div>\n
\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t

Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n<\/div>\n

2. Formules de Taylor en prepa HEC ECG<\/h2>\n

M\u00e9thode 3 : Appliquer l’in\u00e9galit\u00e9 de Taylor-Lagrange.<\/b><\/p>\n

Soit \"f : I \to \mathbb{R}\" une fonction de classe \"C^{n + 1}\" sur un intervalle \"I\" telle que \"f^{\left( n + 1 \right)}\" soit born\u00e9e sur \"I.\" Soient \"a\" et \"b\" deux points de \"I,\" alors :<\/p>\n

\"\left| f \left( b \right) - \displaystyle\sum_{k= 0 }^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right) }{k!} \left( b - a \right)^k \right|\"<\/p>\n

\"\le \dfrac{ \left| b - a \right|^{n + 1} }{\left( n + 1 \right)!} \sup_{t \in I} \left| f^{\left(n + 1 \right)} \left( t \right) \right|.\"<\/p>\n

Remarque : lorsque l’on ne suppose pas \"f^{\left( n + 1 \right)}\" born\u00e9e sur \"I,\" on peut quand m\u00eame \u00e9crire : pour tout \"a, b \in I,\"<\/p>\n

\"\left| f \left( b \right) - \displaystyle\sum_{k= 0 }^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right) }{k!} \left( b - a \right)^k \right|\"<\/p>\n

\"\le \dfrac{ \left| b - a \right|^{n + 1} }{\left( n + 1 \right)!} \sup_{t \in \left[ \min \left\{ a, b \right\} , \max \left\{ a , b \right\} \right]} \left| f^{\left(n + 1 \right)} \left( t \right) \right|.\"<\/p>\n

Cette formule servira dans les cas suivants :<\/p>\n

\"\bullet\" lorsque l’on doit montrer des in\u00e9galit\u00e9s faisant intervenir les d\u00e9riv\u00e9es successives d’une fonction,<\/p>\n

\"\bullet\" et dans les exercices plus th\u00e9oriques faisant intervenir des d\u00e9riv\u00e9es successives en un m\u00eame point (c’est vague, je sais…).<\/p>\n

Exemple :<\/b>Montrer que tout r\u00e9el \"x,\" on a<\/p>\n

\"e^x = \lim_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Il suffit d’\u00e9crire l’in\u00e9galit\u00e9 de Taylor-Lagrange avec<\/p>\n

\"f=\exp, I= \mathbb{R}, b=x, a= 0,\"<\/p>\n

en remarquant que pour tout \"k \in \mathbb{N},\" \"f^{\left( k \right) } \left( 0 \right) = 1\" et \"f^{\left( n + 1 \right) } \left( x \right) = e^x.\"<\/p>\n

Si \"x \ge 0,\" \"\sup_{t \in \left[ 0 , x \right]} \left| f^{\left( n + 1 \right)} \left( t \right) \right| = e^x\" et si \"x \le 0,\" \"\sup_{t \in \left[ x , 0 \right]} \left| f^{\left( n + 1 \right)} \left( t \right) \right| = e^0.\" Dans tous les cas, \"\sup_{t \in \left[ \min \left\{ 0, x \right\} , \max \left\{ 0 , x \right\} \right]}\" \"\le e^{\left| x \right|}.\" D’o\u00f9 :<\/p>\n

\"\left| f \left( x \right) - \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( 0 \right) }{k!} x^k \right|\" \"\le \dfrac{ \left| x^{n + 1} \right| }{\left( n + 1 \right)!} e^{\left| x \right|},\"<\/div>\n
<\/div>\n
soit<\/div>\n
<\/div>\n
\"\left| f \left( x \right) - \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k }{k!} \right|\" \"\le \dfrac{ \left| x^{n + 1} \right| }{\left( n + 1 \right)!} e^{\left| x \right|}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Comme \"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left| x \right|^{n + 1}}{ \left( n + 1 \right)!} = 0\" (croissance compar\u00e9e), on a par encadrement<\/div>\n
<\/div>\n
\"\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} =e^x.\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 4 : Appliquer l’\u00e9galit\u00e9 de Taylor avec reste int\u00e9gral.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
On la rappelle ci-apr\u00e8s : soit \"f\" une fonction de classe \"C^{n + 1}\" sur un intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathbb{R},\" alors pour tout \"a, b \in I,\" on a :<\/span>\"f \left( b \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k= 0}^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right) }{k!} \left( b - a \right)^k\" \"+ \int_a^b f^{\left( n + 1 \right)} \left( t \right) \dfrac{ \left( b - t \right)^n }{n!} dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Soyons clair, cette formule sert assez rarement… Ce n’est pas une raison pour ne pas la conna\u00eetre !<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple :\u00a0<\/b>Montrer que pour tout r\u00e9el \"x \ge 0,\" on a \"0 \le e^x - 1 -x \le \dfrac{x^2}{2} e^x.\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ponse :<\/strong> On applique la formule de Taylor avec reste int\u00e9gral \u00e0 la fonction \"f =\exp\" sur \"\left[ 0 , x \right]\" avec<\/div>\n
<\/div>\n
\"x \ge 0\" :<\/div>\n
<\/div>\n
\"f \left( x \right) - \displaystyle\sum_{k=0}^1 \dfrac{f^{ \left( k \right) } \left( 0 \right)}{k!} x^k\" \"= \int_0^x f^{\left( 2 \right)} \left( t \right) \dfrac{ \left( x - t \right)^1 }{1!} dt,\"<\/div>\n
<\/div>\n
soit<\/div>\n
\n
<\/div>\n
\"e^x - 1 - x = \int_0^x e^t \left( x - t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Comme pour tout \"t \in \left[ 0 , x \right],\" on a \"0 \le e^t \left( x - t \right) \le e^x \left( x - t \right),\" par croissance de l’int\u00e9grale<\/a><\/div>\n
<\/div>\n
\"0 \le \int_0^x e^t \left( x - t \right) dt \le \int_0^x e^x \left( x - t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Un simple calcul donne \"\int_0^x e^x \left( x - t \right) dt = e^x \dfrac{x^2}{2},\" cela donne l’in\u00e9galit\u00e9 demand\u00e9e.<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 5 : Appliquer la formule de Taylor-Young.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
Nous rappelons la formule de Taylor-Young ci-dessous :<\/div>\n
<\/div>\n
Soient \"f\" une fonction de classe \"C^n\" sur un intervalle \"I\" et \"a \in I\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"f \left( x \right) \underset{x \to a}{=} \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right)}{k!} \left( x - a \right)^k + o \left( \left( x - a \right)^n \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Nous rappelons que cette relation signifie uniquement<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
\"\lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x \right) - \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right) }{k!} \left( x - a \right)^k }{\left( x - a \right)^n} = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
La formule de Taylor-Young sert :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" \u00e0 \u00e9crire des d\u00e9veloppements limit\u00e9s, nous vous renvoyons \u00e0 la m\u00e9thode relative aux d\u00e9veloppements limit\u00e9s,<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" \u00e0 d\u00e9terminer des limites.<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple :\u00a0<\/b> Soit \"f\" une fonction de classe \"C^2\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}.\" Pour \"a \in \mathbb{R},\" calculer<\/div>\n
<\/div>\n
\"\lim_{h \to 0} \dfrac{f \left( a + h \right) + f \left( a - h \right) - 2 f \left( a \right)}{h^2}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ponse<\/strong> :<\/div>\n
<\/div>\n
On \u00e9crit la formule de Taylor-Young \u00e0 l’ordre \"2\" entre \"a + h\" et \"a,\" on a :<\/div>\n
<\/div>\n
\"f \left( a + h \right)\" \"\underset{h \to 0}{=} f \left( a \right) + f' \left( a \right) h + \dfrac{f'' \left( a \right)}{2} h^2 + o \left( h^2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
En rempla\u00e7ant \"h\" par \"-h,\" cela donne :<\/div>\n<\/div>\n
<\/div>\n
\"f \left( a - h \right)\" \"\underset{h \to 0}{=} f \left( a \right) + f' \left( a \right) \left( -h \right) + \dfrac{f'' \left( a \right)}{2} \left( -h \right)^2 + o \left( h^2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
On somme les deux lignes pour obtenir :<\/div>\n
<\/div>\n
\"f \left( a + h \right) + f \left( a - h \right)\" \"\underset{h \to 0}{=} 2 f \left( a \right) + f'' \left( a \right) h^2 + o \left( h^2 \right).\"
\nPuis,<\/div>\n
<\/div>\n
\"\dfrac{f \left( a + h \right) + f \left( a - h \right) - 2 f \left( a \right)}{h^2}\" \"\underset{h \to 0}{=} f'' \left( a \right) + o \left( 1 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Donc \"\lim_{h \to 0 } \dfrac{f \left( a + h \right) + f \left( a - h \right) - 2 f \left( a \right)}{h^2}\" \"= f'' \left( a \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

Remarque :<\/i>\u00a0Et maintenant la question que vous vous posez, quelle formule de Taylor choisir ?<\/span>\"\bullet\" Vous cherchez une propri\u00e9t\u00e9 valable au voisinage d’un point \"a\" (ce que l’on appelle une propri\u00e9t\u00e9 locale) : pensez \u00e0 la formule de Taylor-Young.<\/p>\n

\"\bullet\" Vous cherchez une propri\u00e9t\u00e9 valable sur tout un intervalle (ce que l’on appelle une propri\u00e9t\u00e9 globale) :<\/p>\n

\"\star\" elle contient une valeur absolue ; pensez in\u00e9galit\u00e9 de Taylor-Lagrange,<\/p>\n

\"\star\" il n’y a pas de valeur absolue : vous avez la malchance de devoir vous souvenir de la formule de Taylor avec reste int\u00e9gral, mais rassurez-vous, la situation est rare.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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3. D\u00e9veloppements limit\u00e9s en prepa ECG<\/h2>\n

M\u00e9thode 6 :<\/strong> Savoir faire un d\u00e9veloppement limit\u00e9.<\/b><\/p>\n

On donne ci-dessous la liste des d\u00e9veloppements limit\u00e9s usuels au voisinage de \"0.\" Il faut absolument la conna\u00eetre sur le bout des doigts.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

On rappelle que ces d\u00e9veloppements limit\u00e9s sont une cons\u00e9quence de la formule de Taylor-Young : si \"f\" est une fonction de classe \"C^n\" au voisinage d’un point \"a,\" alors \"f\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"n\" en \"a\" et :<\/p>\n

\"f \left( x \right)\" \"\underset{x \to a}{=} f \left( a \right)+ f' \left( a \right) \left( x - a \right)\" \"+ \cdots + \dfrac{f^{\left( n \right)} \left( a \right) }{n!} \left( x - a \right)^n + o \left( \left( x - a \right)^n \right).\"<\/p>\n

Les d\u00e9veloppements limit\u00e9s servent principalement \u00e0 :<\/p>\n

\"\bullet\" calculer des limites (lorsqu’il y a des formes ind\u00e9termin\u00e9es),<\/p>\n

\"\bullet\" faire l’\u00e9tude de fonction au voisinage d’un point (continuit\u00e9, d\u00e9rivabilit\u00e9, signe, etc.),<\/p>\n

\"\bullet\" trouver un \u00e9quivalent simple dans le cas d’une somme de fonctions. On retiendra que c’est le premier terme non nul du d\u00e9veloppement limit\u00e9.<\/p>\n

Remarque :<\/i>\u00a0\"\bullet\" le choix de l’ordre d’un d\u00e9veloppement limit\u00e9 pour lever une forme ind\u00e9termin\u00e9e est crucial : il doit \u00eatre assez \u00e9lev\u00e9 pour lever l’ind\u00e9termination mais pas trop pour \u00e9viter de faire trop de calculs,<\/p>\n

\"\bullet\" lorsque l’on demande un d\u00e9veloppement limit\u00e9 en \"a \neq 0,\" la m\u00e9thode la plus simple est de faire le changement de variable \"x = a + h\" avec \"h \to 0\" quand \"x \to a\" et de faire un d\u00e9veloppement limit\u00e9 en \"0\" en fonction des puissances de \"h\" puis d’exprimer le r\u00e9sultat en fonction des puissances de \"x - a\" sans les d\u00e9velopper.<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>Calculer les d\u00e9veloppements limit\u00e9s \u00e0 l’ordre et au point indiqu\u00e9 pour les fonctions suivantes :<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0\"x \mapsto \dfrac{\sin \left( x^2 \right)}{x^2}\" en \"0\" \u00e0 l’ordre \"4,\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0\"x \mapsto \sin \left( 2x \right)\" en \"\dfrac{\pi}{2}\" \u00e0 l’ordre \"4,\"<\/p>\n

R\u00e9ponse :<\/strong> 1)<\/strong> Sachant que l’on doit diviser le d\u00e9veloppement de \"\sin \left( x^2 \right)\" par \"x^2,\" pour obtenir le d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"4,\" il faut \u00e9crire celui de \"\sin \left( x^2 \right)\" \u00e0 l’ordre \"6\" donc celui de \"\sin \left( u \right)\" \u00e0 l’ordre \"3.\"<\/p>\n

\n

Le d\u00e9veloppement limit\u00e9 de \"\sin\" en \"0\" \u00e0 l’ordre \"3\" donne :<\/p>\n

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<\/div>\n
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  <\/span>   <\/span>\"\[\sin \left( x \right) \underset{x \to 0}{=} x - \dfrac{x^3}{6} + o \left( x ^3 \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
En rempla\u00e7ant \"x\" par \"x^2\" et en divisant par \"x^2,\" on a<\/div>\n
<\/div>\n
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  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{\sin \left( x^2 \right)}{x^2} \underset{x \to 0}{=} 1- \dfrac{x^4}{6} + o \left( x^4 \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

2)<\/strong> Le d\u00e9veloppement limit\u00e9 demand\u00e9 n’est pas au voisinage de \"0.\" On pose \"x = \dfrac{\pi}{2} + h\" de sorte que lorsque \"x \to \dfrac{\pi}{2},\" \"h \to 0.\" On a :<\/span><\/p>\n

\n
\"\sin \left( 2 x \right)\" \"= \sin \left( 2 \left( \dfrac{\pi}{2} + h \right) \right)\"
\n\"= \sin \left( \pi + 2h \right)\"
\n\"= - \sin \left( 2 h \right)\".<\/div>\n
Or<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[- \sin \left( 2h \right) \underset{h \to 0}{=} - \left( 2h \right) + \dfrac{\left(2h \right)^3}{6} + o \left( h^4 \right),\]\"<\/p>\n

puis en rempla\u00e7ant \"h\" par \"x - \dfrac{\pi}{2},\" on a :<\/div>\n

<\/div>\n
\"\sin \left( 2 x \right)\" \"\underset{x \to \dfrac{\pi}{2}}{=} - 2 \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right) + \dfrac43 \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right)^3\" \"+ o \left( \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right)^4 \right).\"
\n\u00e9videmment, on ne d\u00e9veloppe pas !D’autres chapitres au programme de maths en ECG1 peuvent \u00e9galement \u00eatre travaill\u00e9s gr\u00e2ce \u00e0 nos cours en ligne :<\/div>\n<\/div>\n
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