{"id":34251,"date":"2019-08-19T11:54:00","date_gmt":"2019-08-19T10:54:00","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34251"},"modified":"2023-09-16T22:11:51","modified_gmt":"2023-09-16T21:11:51","slug":"cours-en-ligne-extrema-convexite-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-extrema-convexite-ecs1\/","title":{"rendered":"Extrema et convexit\u00e9 en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Extrema et convexit\u00e9 en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Extrema et convexit\u00e9<\/h2>\n

1. M\u00e9thodes sur les extrema<\/h3>\n

M\u00e9thode 1 : Montrer qu’une fonction admet un mimimum\/un maximum global.<\/b><\/p>\n

On rappelle le th\u00e9or\u00e8me le plus important : soit \"f : \left[ a , b \right] \to \mathbb{R}\" une fonction continue sur le segment \"\left[ a , b \right].\" Alors \"f\" admet un minimum et un maximum sur \"\left[ a, b \right].\" Ce r\u00e9sultat ne donne aucune information sur la mani\u00e8re de les trouver…<\/p>\n

Pour cela, on rappelle le r\u00e9sultat suivant : soit \"f : \left] a , b \right [ \to \mathbb{R}\" une fonction d\u00e9rivable. Si \"f\" admet un maximum ou un minimum en \"x_0 \in \left] a , b \right [,\" alors \"f ' \left( x_0 \right) = 0\" (un tel point \"x_0\" s’appelle un point critique). En pratique, on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"f ' \left( x \right) = 0\" et on v\u00e9rifie que les solutions trouv\u00e9es sont (ou pas) des maximums\/ des minimums.<\/p>\n

Pi\u00e8ge :\u00a0<\/i>Attention la condition \"f ' \left( x_0 \right) = 0\" n’est qu’une condition n\u00e9cessaire pour avoir un extremum (minimum ou maximum), c’est-\u00e0-dire que lorsque l’on a un point critique, il n’y a pas forc\u00e9ment de minimum\/maximum.<\/p>\n

Les m\u00e9thodes sur l’extrema et convexit\u00e9 peut para\u00eetre bloquant pour certains \u00e9l\u00e8ves en ECG1, l’aide d’un professeur particulier de maths<\/a> peut \u00eatre un atout.<\/p>\n

Exemple<\/b> : Les deux questions sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0Soit \"f : \left[ 0 , 1 \right] \to \mathbb{R}_+^*\" continue. Montrer qu’il existe \"\epsilon > 0\" tel que pour tout \"x \in \left[ 0 , 1 \right],\" \"f \left( x \right) \ge \epsilon.\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0Soit \"f : \left[ 0 , + \infty \right[ \to \mathbb{R}\" une fonction continue, non constante et admettant \"f \left( 0 \right)\" comme limite en \"+ \infty.\" Montrer que \"f\" admet un extremum global sur \"\left[ 0 , + \infty \right[.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : 1)<\/strong> \"f\" \u00e9tant continue sur le segment \"\left[ 0, 1 \right],\" \"f\" admet un minimum en \"x_0 \in \left[ 0 , 1 \right].\" Si l’on pose \"\epsilon = f \left( x_0 \right) > 0,\" alors pour tout \"x \in \left[ 0 , 1 \right],\" on a \"f \left( x \right) \ge f \left( x_0 \right)\" donc \"f \left( x \right) \ge \epsilon.\"<\/p>\n

2)<\/strong> Il existe \"a > 0\" tel que \"f \left( a \right) \neq f \left( 0 \right).\"<\/p>\n

\"\bullet\" On commence par supposer \"f \left( a \right) > f \left( 0 \right).\" On traduit la limite de \"f\" en \"+ \infty\" en prenant \"\epsilon = \dfrac{f \left( a \right) - f \left( 0 \right)}{2} > 0.\"<\/p>\n

Il existe \"A > 0\" tel que si \"x \ge A,\" \"\left| f \left( x \right) - f \left( a \right) \right| \le \epsilon.\" Cela donne<\/p>\n

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  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( x \right) \le \dfrac{f \left( a \right) + f \left( 0 \right)}{2} < f \left( a \right)\]\"<\/p>\n

alors \"a \le A.\"<\/p>\n

\"f\" est continue sur \"\left[ 0 , A \right],\" donc \"f\" admet un maximum \"M\" atteint en un point \"b \in \left[ 0 , A \right].\" Alors \"M \ge f \left( a \right).\"<\/p>\n

Sur \"\left[ A , + \infty \right[,\" \"f \left( x \right) < f \left( a \right) \le M.\" On a prouv\u00e9 que \"f\" admet un maximum \u00e9gal \u00e0 \"M\" obtenu en \"b.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas o\u00f9 \"f \left( a \right) < f \left( 0 \right),\" on pose \"g = -f,\" \"g\" est continue non constante et admet une limite en \"+ \infty\" \u00e9gale \u00e0 \"g \left( 0 \right)\" et v\u00e9rifie \"g \left( a \right) > g \left( 0 \right)\" avec \"a > 0.\"<\/p>\n

D’apr\u00e8s le premier cas, \"g\" admet un maximum global \"M,\" alors \"f\" admet un minimum global \u00e9gal \u00e0 \"- M.\"<\/p>\n

Dans les deux cas, on a prouv\u00e9 que \"f\" admet un extremum global atteint en un point de \"\left] 0 , + \infty \right[.\"<\/p>\n

M\u00e9thode 2 : Manipuler la notion d’extremum local (une condition n\u00e9cessaire puis une condition suffisante)<\/b><\/p>\n

Soit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur un intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}.\" On rappelle que \"f\" admet un minimum (respectivement maximum) local en \"a \in I\" s’il existe \"\epsilon > 0\" tel que pour tout \"x \in I \cap \left] a - \epsilon , a + \epsilon \right[,\" \"f \left( x \right) \ge f \left( a \right)\" (respectivement \"f \left( x \right) \le f \left( a \right)\").<\/p>\n

Il est \u00e9vident que si \"f\" admet un extremum global en \"a,\" \"f\" admet un extremum local en \"a.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Condition n\u00e9cessaire :<\/i>\u00a0Soit \"I\" un intervalle\u00a0ouvert<\/b>, si \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et si \"f\" admet un extremum local en \"a,\" alors \"f ' \left( a \right) = 0.\" On dit que le point \"a\" est un point critique de \"f.\"<\/p>\n

En pratique, on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"f' \left( x \right) = 0\" et on v\u00e9rifie que les solutions trouv\u00e9es sont (ou ne sont pas) des extremums locaux (g\u00e9n\u00e9ralement en \u00e9tudiant les variations de la fonction).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Condition suffisante d’extremum local :<\/i>\u00a0Soient \"I\" un intervalle\u00a0ouvert<\/b>, \"f\" est de classe \"C^2\" sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et \"a \in I.\" On suppose que \"f' \left( a \right) = 0.\" Si \"f'' \left( a \right) > 0\" (respectivement \"f'' \left( a \right) < 0\"), alors \"f\" admet en \"a\" un maximum local (respectivement un minimum local).<\/p>\n

Remarque :<\/i>\u00a0\"\bullet\" Attention la condition \"f ' \left( a \right) = 0\" n’est pas une condition suffisante pour avoir un extremum local (prendre par exemple \"x \mapsto x^3\" en \"0\").<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f ' \left( a \right) = 0\" et \"f '' \left( a \right) = 0,\" on ne peut rien dire ! On peut avoir un maximum ou un minimum local ou bien rien du tout (reprendre l’exemple de \"x \mapsto x^3\" en \"0\").<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Cet exercice utilise des notions sur les \u00e9quivalents et les d\u00e9veloppements limit\u00e9s.<\/p>\n

Soit \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+\" une fonction de classe \"C^2\" sur \"\mathbb{R}\" et telle que \"\sqrt{f}\" soit \"C^1\" sur \"\mathbb{R}.\" Soit \"x_0 \in \mathbb{R}\" tel que \"f \left( x_0 \right) = 0.\" Montrer que \"f '' \left( x_0 \right) = 0.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse :<\/strong><\/p>\n

Comme \"f\" est positive et \"f \left( x_0 \right) = 0,\" \"f\" admet un minimum global en \"x_0\" donc \"f ' \left( x_0 \right) = 0.\" \u00e9crivons la formule de Taylor-Young<\/a> pour \"f\" \u00e0 l’ordre \"2\" en \"x_0:\"<\/p>\n

\"f \left( x \right) \underset{x \to x_0}{=}\" \"f \left( x_0 \right) + f ' \left( x_0 \right) \left( x - x_0 \right) + \dfrac{f '' \left( x_0 \right)}{2} \left( x - x_0 \right)^2\" \"+ o \left( \left( x - x_0 \right)^2 \right)\"
\n\"\underset{x \to x_0}{=}\" \"\dfrac{f '' \left( x_0 \right)}{2} \left( x - x_0 \right)^2 + o \left( \left( x - x_0 \right)^2 \right)\".<\/div>\n
\n

On suppose que \"f '' \left( x_0 \right) \neq 0,\" alors \"f \left( x \right) \underset{x \to x_0}{\sim} \dfrac{f '' \left( x_0 \right)}{2} \left( x - x_0 \right)^2.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on avait \"f '' \left( x_0 \right) < 0,\" deux fonctions \u00e9quivalentes au voisinage de \"x_0\" ayant m\u00eame signe au voisinage de \"x_0,\" on aurait \"f \left( x \right) < 0\" pour \"x\" proche de \"x_0\" et \"x \neq x_0,\" ce qui est absurde.<\/p>\n

\"\bullet\" On en d\u00e9duit que \"f '' \left( x_0 \right) > 0\" et donc \"\sqrt{f \left( x \right)} \underset{x \to x_0}{\sim} \sqrt{\dfrac{f '' \left( x_0 \right)}{2}} \left| x - x_0 \right|.\"<\/p>\n

Puis comme \"f \left( x_0 \right) = 0,\" \"\dfrac{\sqrt{f \left( x \right)} - \sqrt{f \left( x_0 \right)} }{x - x_0} \underset{x \to x_0}{\sim} \sqrt{\dfrac{f '' \left( x_0 \right)}{2}} \dfrac{\left| x - x_0 \right|}{x - x_0} .\"<\/p>\n

On aurait<\/p>\n

\"\lim_{x \to x_0^+} \dfrac{\sqrt{f \left( x \right)} - \sqrt{f \left( x_0 \right)} }{x - x_0}\" \"= \sqrt{\dfrac{f '' \left( x_0 \right)}{2}}\" et \"\lim_{x \to x_0^-} \dfrac{\sqrt{f \left( x \right)} - \sqrt{f \left( x_0 \right)} }{x - x_0}\" \"= - \sqrt{\dfrac{f '' \left( x_0 \right)}{2}}.\"<\/p>\n

Les d\u00e9riv\u00e9es \u00e0 droite et \u00e0 gauche de \"f\" en \"x_0\" sont diff\u00e9rentes, donc \"f\" n’est pas d\u00e9rivable en \"x_0.\" On aboutit \u00e0 une contradiction. On a \u00e9tabli que \"f '' \left( x_0 \right) = 0.\"<\/p>\n

La r\u00e9ciproque de ce r\u00e9sultat est vraie et le tout s’appelle le th\u00e9or\u00e8me de Glaeser.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Convexit\u00e9<\/h3>\n

M\u00e9thode 3 : Comprendre quelque chose \u00e0 la convexit\u00e9.<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" On rappelle qu’une fonction \"f\" d\u00e9finie sur un intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" est convexe sur \"I\" (respectivement concave sur \"I\") si :<\/p>\n

pour \"x , y \in I\" et pour tout \"t \in \left[ 0 , 1 \right],\" on a<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( \left( 1 - t \right) x + t y \right) \le \left( 1 - t \right) f \left( x \right) + t f \left( y \right),\]\"<\/p>\n<\/p>\n

(respectivement<\/p>\n

\"f \left( \left( 1 - t \right) x + t y \right)\" \"\ge \left( 1 - t \right) f \left( x \right) + t f \left( y \right)\").<\/p>\n

Graphiquement, si l’on note \"\mathcal C_f\" le graphe de la fonction \"f\" et \"M \left( x \right)\" le point d’abscisse \"x\" de \"\mathcal C_f.\" \"f\" est convexe (respectivement concave) sur \"I\" si, et seulement si pour tout \"x < y\" dans \"I,\" le graphe \"\mathcal C_f\" est en dessous (respectivement au-dessus) du segment \"M \left(x \right) M \left( y \right)\" (cela s’appelle une corde).<\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" est convexe si, et seulement si, pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"n \ge 2,\" \"\left( \lambda_1 , \cdots, \lambda_n \right) \in \left( \mathbb{R}_+ \right)^n\" tel que \"\displaystyle\sum_{i=k}^n \lambda_{k} = 1\" et pour tout \"\left( x_1 , \cdots , x_n \right) \in I^n,\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \right) \le \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k f \left( x_k \right).\]\"<\/p>\n

C’est l’in\u00e9galit\u00e9 de Jensen.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est d\u00e9rivable sur un intervalle \"I.\"<\/p>\n

\"f\" est convexe sur \"I\" \"\Leftrightarrow\" \"f'\" est croissante sur \"I\" \"\Leftrightarrow\" pour tout \"a \in I,\" le graphe de \"f\" est au dessus de sa tangente en \"\left( a , f \left( a \right) \right).\"<\/p>\n

Soit \"a \in I,\" alors pour tout \"x \in I,\" on a \"f \left( x \right) \ge f ' \left( a \right) \left( x - a \right) + f \left( a \right)\"<\/p>\n

\"\bullet\" La d\u00e9finition n’est pas toujours simple \u00e0 utiliser pour \u00e9tudier la convexit\u00e9 d’une fonction. Soit \"I\" un intervalle et \"J\" l’intervalle \"I\" priv\u00e9 de ses bornes \u00e9ventuelles.<\/p>\n

On suppose que \"f\" est continue sur \"I\" et deux fois d\u00e9rivable sur \"J.\" Il suffit d’appliquer le r\u00e9sultat suivant : \"f\" est convexe (respectivement concave) sur \"I\" si, et seulement si \"f'' \ge 0\" (respectivement \"f '' \le 0\") sur \"J.\"<\/p>\n

La convexit\u00e9 sert g\u00e9n\u00e9ralement dans les questions suivantes :<\/p>\n

\"\bullet\" les in\u00e9galit\u00e9s qui peuvent se d\u00e9duire de la convexit\u00e9 ou de l’in\u00e9galit\u00e9 de Jensen, on peut envisager cette m\u00e9thode en pr\u00e9sence de r\u00e9els positifs dont la somme est \u00e9gale \u00e0 \"1,\"<\/p>\n

\"\bullet\" d’in\u00e9galit\u00e9s cons\u00e9quences de la position du graphe de \"f\" par rapport \u00e0 ses tangentes,<\/p>\n

\"\bullet\" dans le trac\u00e9 d’un graphe d’une fonction que l’on vous a fait \u00e9tudier au pr\u00e9alable : si \"f'' \left( a \right) > 0\" (respectivement \"f'' \left( a \right) < 0\"), alors localement (comprendre sur un voisinage de \"a\"), le graphe de \"f\" est approximativement un morceau de parabole tourn\u00e9e vers le haut (respectivement vers le bas).<\/p>\n

Exemple : 1) <\/b>Montrer que la fonction \"- \ln\" est convexe sur \"\mathbb{R}_+^*.\" En d\u00e9duire que, pour tout \"x > 0,\" \"\ln \left( x \right) \le x - 1.\"<\/p>\n

2)\u00a0<\/b>En utilisant la convexit\u00e9 de \"- \ln,\" montrer que pour tout \"\left( x_1 , \cdots , x_n \right) \in \left( \mathbb{R}_+ \right)^n,\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \le \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}.\]\"<\/p>\n

Cette in\u00e9galit\u00e9 s’appelle l’in\u00e9galit\u00e9 arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

3)<\/b>\u00a0En d\u00e9duire que si \"\left( x_1 , \cdots , x_n \right) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^n,\"<\/p>\n

\"\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}\" \"\le \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \le \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

1)<\/strong> On a \"\left( - \ln \right)'' \left( x \right) = \dfrac{1}{x^2} \ge 0.\" Il s’ensuit que \"- \ln\" est convexe sur \"\mathbb{R}_+^*.\"<\/p>\n

En particulier, le graphe de \"- \ln\" est au dessus de sa tangente au point d’abscisse \"1.\" Cette tangente a pour \u00e9quation \"y = - 1 +x.\" Ainsi pour tout \"x > 0,\" on a \"- \ln \left( x \right) \ge -1 +x\" et \"\ln \left( x \right) \le x - 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

2)<\/strong> Si l’un des \"x_i\" est nul, l’in\u00e9galit\u00e9 est \u00e9vidente car le terme de gauche vaut alors \"0.\" Ainsi on suppose que pour tout \"i \in [\![ 1, n ]\!],\" \"x_i \neq 0.\" On applique l’in\u00e9galit\u00e9 de Jensen \u00e0 la fonction \"- \ln\" avec \"\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = \dfrac1n\" dont la somme vaut \"1,\" pour avoir<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\"- \ln \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac1n x_k \right)\" \"\le \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac1n \left( - \ln \left( x_k \right) \right),\"
\nsoit<\/div>\n
<\/div>\n
\"\ln \left( \displaystyle\sum_{k = 1}^n \dfrac1n x_k \right)\" \"\ge \dfrac1n \ln \left( x_1 \cdots x_n \right).\"
\nOn termine en utilisant la croissance de la fonction exponentielle<\/a>.<\/div>\n
<\/div>\n
3)<\/strong> L’in\u00e9galit\u00e9 de droite est claire : c’est l’in\u00e9galit\u00e9 arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique. Il nous reste \u00e0 prouver l’in\u00e9galit\u00e9 de gauche. Pour cela, on applique l’in\u00e9galit\u00e9 arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique au \"n\"-uplet \"\left( \dfrac{1}{x_1} , \cdots , \dfrac{1}{x_n} \right),\" cela donne :<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\n

\"\sqrt[n]{\dfrac{1}{x_1} \cdots \dfrac{1}{x_n }}\" \"\le \dfrac{\dfrac{1}{x_1} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} }{n}.\"<\/p>\n

On conclut en utilisant la d\u00e9croissance de la fonction inverse sur \"\mathbb{R}_+^*.\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
<\/div>\n

M\u00e9thode 2 : Montrer qu’un point est un point d’inflexion.<\/b><\/p>\n

\n

Soit \"f\" est fonction d\u00e9finie sur un intervalle \"I,\" deux fois d\u00e9rivable.<\/p>\n

Soit \"x_0 \in I,\" on dit que le graphe de \"f\" admet un point d’inflexion en \"\left( x_0 , f \left( x_0 \right) \right)\" si :<\/p>\n

\"\bullet\" \"f '' \left( x_0 \right) = 0,\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"f''\" change de signe en \"x_0.\"<\/p>\n

G\u00e9om\u00e9triquement, le graphe de \"f\" traverse sa tangente au point \"\left( x_0 , f\left( x_0 \right) \right).\"<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Soit la fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"f \left( x \right) = \mathrm{Arctan} \left( x \right).\"<\/p>\n

Montrer que le graphe de \"f\" a un unique point d’inflexion. Pr\u00e9ciser ses coordonn\u00e9es.<\/p>\n

R\u00e9ponse :<\/strong> \"f\" est bien deux fois d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\". Pour tout \"x \in \mathbb{R},\" on a<\/p>\n

\"f' \left( x \right) = \dfrac{1}{ 1 + x^2 } \quad \text{et} \quad f'' \left( x \right)\" \"= \dfrac{- 2 x}{ \left( 1 + x^2 \right)^2}.\"
\nL’\u00e9quation \"f '' \left( x \right) = 0\" a pour unique solution \"x = 0.\" De plus, \"f''\" change de signe en \"0.\" En effet, pour \"x \le 0,\" on a \"f'' \left( x \right) \ge 0\" et pour \"x \ge 0,\" on a \"f '' \left( x \right) \le 0.\"<\/p>\n

Finalement, le point \"\left( 0 , 0 \right)\" est l’unique point d’inflexion pour la courbe de \"f.\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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Vous trouverez ci-dessous d’autres chapitres de maths au programme d’ECG1 sous forme de cours en ligne, avec exercices et corrig\u00e9s :<\/p>\n