{"id":34282,"date":"2019-08-19T13:58:20","date_gmt":"2019-08-19T12:58:20","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34282"},"modified":"2023-09-16T22:05:18","modified_gmt":"2023-09-16T21:05:18","slug":"cours-en-ligne-series-numeriques-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-series-numeriques-ecs1\/","title":{"rendered":"S\u00e9ries num\u00e9riques en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : S\u00e9ries num\u00e9riques en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – S\u00e9ries num\u00e9riques<\/h2>\n

M\u00e9thode 1 : Plan d’\u00e9tude des s\u00e9ries \u00e0 termes positifs.<\/b><\/p>\n

Soit \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" une suite positive<\/a> et on s’int\u00e9resse \u00e0 la nature de la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum u_n.\" On peut essayer de suivre dans l’ordre les id\u00e9es suivantes :<\/p>\n

\"\bullet\" Un cas simple mais rarement utilisable si \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" ne converge pas vers \"0,\" alors la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum u_n\" diverge grossi\u00e8rement.<\/p>\n

\"\bullet\" Si n\u00e9cessaire, on d\u00e9termine un \u00e9quivalent simple de \"u_n,\" disons \"v_n.\" On sait que \"\displaystyle\sum u_n\" converge si, et seulement si, \"\displaystyle\sum v_n\" converge.<\/p>\n

\"\qquad\" \"\star\" \"u_n\" est-elle proportionnelle \u00e0 une s\u00e9rie de Riemann ? On rappelle que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}\" converge si, et seulement si, \"\alpha > 1.\"<\/p>\n

\"\qquad\" \"\star\" \"u_n\" est-elle proportionnelle \u00e0 une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique ? On rappelle que \"\displaystyle\sum x^n\" converge si, et seulement si, \"\left| x \right| < 1.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On peut aussi essayer de raisonner<\/a> par in\u00e9galit\u00e9 en d\u00e9terminant \"v_n\" telle que pour \"n\" assez grand, \"0 \le u_n \le v_n.\" Si \"\displaystyle\sum v_n\" converge, alors \"\displaystyle\sum u_n\" converge.<\/p>\n

Si l’on trouve \"w_n\" tel que pour \"n\" assez grand \"0 \le w_n \le u_n\" et \"\displaystyle\sum w_n\" diverge, alors \"\displaystyle\sum u_n\" diverge.<\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on trouve \"\alpha > 1\" tel que \"u_n \underset{n \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{n^{\alpha}} \right),\" alors \"\displaystyle\sum u_n\" converge.<\/p>\n

En particulier si \"u_n\" contient une exponentielle, on peut chercher si \"u_n \underset{n \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{n^2} \right).\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on trouve \"\alpha \le 1\" tel que \"\dfrac{1}{n^{\alpha}} \underset{n \to + \infty}{=} o \left( u_n \right),\" alors \"\displaystyle\sum u_n\" diverge.<\/p>\n

Pi\u00e8ge :<\/i>\u00a0\"\bullet\" On le dit une fois pour toutes, montrer que \"\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\"\u00a0ne prouve rien<\/b>\u00a0sur la nature de la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum u_n\". Cela dit juste que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum u_n\" ne diverge pas grossi\u00e8rement mais il y a encore du travail pour montrer la convergence ou la divergence.<\/p>\n

\"\bullet\" Attention \u00e0 ne pas \u00e9crire \"\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty} u_n\" sans avoir montr\u00e9 la convergence<\/a> de la s\u00e9rie. Cela n’aurait pas de sens !<\/p>\n

Exemple<\/b> : Etudier la nature des s\u00e9ries dont les termes g\u00e9n\u00e9raux sont donn\u00e9s ci-dessous :<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0\"\dfrac{1}{n^2 + 1},\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0\"\ln \left( \dfrac{n^2 + n - 1}{n^2 + n + 1} \right).\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : 1)<\/strong> On a \"\dfrac{1}{n^2 + 1} \underset{n \to + \infty}{\sim} \dfrac{1}{n^2}.\" Or la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^2}\" converge car c’est une s\u00e9rie de Riemann. Comme \"\dfrac{1}{n^2 + 1}\" et \"\dfrac{1}{n^2}\" sont de m\u00eame signe, on en d\u00e9duit que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^2 + 1}\" converge.<\/p>\n

2)<\/strong> On remarque que \"\dfrac{n^2 + n - 1}{n^2 + n + 1} \underset{n \to +\infty}{\sim} \dfrac{n^2}{n^2} \underset{n \to +\infty}{\sim} 1,\" donc \"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + n - 1}{n^2 + n + 1} = 1.\" Comme \"\ln \left( 1 + u \right) \underset{u \to 0}{\sim} u,\" en posant \"v = 1 + u,\" on a \"\ln \left( v \right) \underset{v \to 1}{\sim} v - 1.\" Donc<\/p>\n

\"\ln \left( \dfrac{n^2 + n - 1}{n^2 + n +1} \right)\" \"\underset{n \to +\infty}{\sim} \dfrac{n^2 + n - 1}{n^2 + n +1} - 1\"
\n\"\underset{n \to +\infty}{\sim} \dfrac{- 2}{n^2 + n + 1}\"
\n\"\underset{n \to +\infty}{\sim} \dfrac{-2}{n^2}\".<\/p>\n

Comme \"\displaystyle\sum \dfrac{- 2}{n^2}\" converge (Riemann) et que \"\ln \left( \dfrac{n^2 + n - 1}{n^2 + n + 1} \right)\" et \"\dfrac{-2}{n^2}\" sont de m\u00eame signe, on en d\u00e9duit que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \ln \left( \dfrac{n^2 + n - 1}{n^2 + n + 1} \right)\" converge.<\/p>\n

Les notions li\u00e9s aux s\u00e9ries num\u00e9rique peuvent sembler complexes pour certains \u00e9tudiants en ECG1, mais l’accompagnement en cours de maths \u00e0 domicile<\/a> peut s’av\u00e9rer b\u00e9n\u00e9fique.<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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M\u00e9thode 2 :<\/b>\u00a0 Plan d’\u00e9tude des s\u00e9ries \u00e0 signe quelconque.<\/b><\/p>\n

Mauvaise nouvelle pour vous, il n’y a pas beaucoup de r\u00e9sultat en ce sens dans votre programme… Le seul r\u00e9sultat est le suivant :<\/p>\n

Si la s\u00e9rie est absolument convergente (c’est-\u00e0-dire que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \left| u_n \right|\" converge), alors la s\u00e9rie converge.<\/p>\n

Pi\u00e8ge :<\/i>\u00a0Si \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" sont deux suites telles que \"u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n\" et si la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum v_n\" converge, alors la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum u_n\" ne converge pas, \u00e0 priori. Ce r\u00e9sultat est vrai si l’on suppose les suites de signe constant.<\/p>\n

Attention \u00e0 ne pas l’utiliser lorsque les deux suites ne sont pas de signe constant.<\/p>\n

M\u00e9thode 3 : Calculer la somme d’une s\u00e9rie.<\/b><\/p>\n

Il est indispensable de parfaitement conna\u00eetre la somme des s\u00e9ries usuelles. Les voici :<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \dfrac{1}{1 - x}\" valable pour tout complexe<\/a> \"x\" tel que \"\left| x \right| < 1,\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n - 1} = \dfrac{1}{ \left( 1 - x \right)^2}\" valable pour tout r\u00e9el \"x \in \left] - 1 , 1 \right[,\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} n \left( n - 1 \right) x^{n - 2} = \dfrac{2}{ \left( 1 - x \right)^3}\" valable pour tout r\u00e9el \"x \in \left] - 1 , 1 \right[,\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}=e^x\" valable pour tout r\u00e9el \"x.\"<\/p>\n

Le principe est assez simple, il faut jongler avec ces diff\u00e9rentes formules. Citons cependant, en vrac, d’autres m\u00e9thodes pouvant servir :<\/p>\n

\"\bullet\" faire appara\u00eetre une somme t\u00e9lescopique,<\/p>\n

\"\bullet\" utiliser un changement d’indice ou se ramener aux s\u00e9ries pr\u00e9c\u00e9dentes.<\/p>\n

Exemple :\u00a0Calculer les sommes suivantes (apr\u00e8s avoir montr\u00e9 la convergence de la s\u00e9rie) :<\/p>\n

1)\u00a0<\/b>\"\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n \left( n + 1 \right)}{2^n},\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0\"\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2 + 2n - 1}{3^n},\"<\/p>\n

R\u00e9ponse :<\/h3>\n

1)<\/strong> Si l’on remarque que : \"n \left( n + 1 \right) = n \left( n - 1 \right) + 2n,\" alors<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{n \left( n + 1 \right)}{2^n} = \dfrac{n \left( n - 1 \right) + 2n}{2^n} = \dfrac14 \dfrac{ n \left( n - 1 \right)}{2^{n - 2}} + \dfrac{n}{2^{n - 1}}.\]\"<\/p>\n

Comme les s\u00e9ries \"\displaystyle\sum \dfrac{ n \left( n - 1 \right)}{2^{n - 2}}\" et \"\displaystyle\sum \dfrac{n}{2^{n - 1}}\" convergent (c’est du cours !), \"\displaystyle\sum \dfrac{n \left( n + 1 \right)}{2^n}\" converge. De plus, il est facile de calculer sa somme :<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n \left( n + 1 \right)}{2^n}\" \"= \dfrac14 \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{ n \left( n - 1 \right)}{2^{n - 2}}\" \"+ \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n}{2^{n - 1}}\"<\/p>\n

\"= \dfrac14 \displaystyle\sum_{n=2}^{+ \infty} \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{2^{n - 2}} + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{n}{2^{n - 1}}\"
\n\"= \dfrac14 \times \dfrac{2}{ \left( 1 - \dfrac12 \right)^3} + \dfrac{1}{\left( 1 - \dfrac12 \right)^2}\"
\n\"= 8\"<\/p>\n

o\u00f9 dans la deuxi\u00e8me ligne, on a supprim\u00e9 les termes nuls pour se ramener \u00e0 des sommes connues.<\/p>\n

2) Gr\u00e2ce aux croissances compar\u00e9es, on peut voir que \"\dfrac{n^2 + 2 n - 1}{3^n} \underset{n \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{n^2} \right)\" car \"\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^2 \left( n^2 + 2n - 1 \right)}{3^n} = 0,\" donc \"\displaystyle\sum \dfrac{n^2 + 2 n - 1}{3^n}\" converge.<\/p>\n

Pour le calcul de la somme, on peut voir que \"n^2 + 2n - 1 = n \left( n - 1 \right) + 3n - 1,\" cela permet d’\u00e9crire (on v\u00e9rifie \u00e0 chaque introduction de somme de s\u00e9rie, que l’on manipule une s\u00e9rie convergente) :<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2 + 2 n - 1}{3^n}\" \"= \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n \left( n - 1 \right) + 3n - 1}{3^n}\"
\n\"= \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{3^n} + 3 \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n}{3^n}\" \"- \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{3^n}\"
\n\"= \dfrac19 \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{3^{n - 2}} + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{n}{3^{n - 1}}\" \"- \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{3^n}\"
\n\"= \dfrac19 \dfrac{2}{ \left( 1 - \dfrac13 \right)^3} + \dfrac{1}{ \left( 1 - \dfrac13 \right)^2}\" \"- \dfrac{1}{1 - \dfrac13}\"
\n\"= \dfrac32\"<\/div>\n
o\u00f9 dans la deuxi\u00e8me ligne, on a supprim\u00e9 les termes nuls pour se ramener \u00e0 des sommes connues.<\/div>\n

M\u00e9thode 4 : Faire une comparaison s\u00e9rie-int\u00e9grale.<\/b><\/p>\n

Cette m\u00e9thode est tr\u00e8s utile lorsque l’on demande donner un \u00e9quivalent d’une somme (par exemple, donner un \u00e9quivalent de \"\displaystyle\sum_{k=1}^n f \left( k \right)\" quand \"n\" tend vers \"+\infty\"). Pour cela, on proc\u00e8de comme suit :<\/p>\n

\"\bullet\" On s’assure que la fonction<\/a> \"f\" est d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}_+\" (\u00e0 minima, on s’assure qu’elle est d\u00e9croissante sur \"\left[ A, + \infty \right[\" avec \"A \in \mathbb{N}^*\"),<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"k \in \mathbb{N},\" on \u00e9crit (\"f\" \u00e9tant d\u00e9croissante) que :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall t \in \left[ k , k + 1 \right], f \left( k + 1 \right) \le f \left( t \right) \le f \left( k \right),\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" On int\u00e8gre la relation pr\u00e9c\u00e9dente entre \"k\" et \"k + 1\" pour obtenir :<\/p>\n

\"\int_k^{k + 1} f \left( k + 1 \right) dt\" \"\le \int_k^{k + 1} f \left( t \right) dt\" \"\le \int_k^{k + 1} f \left( k \right) dt,\"
\nsoit :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( k + 1 \right) \le \int_k^{k + 1} f \left( t \right) dt \le f \left( k \right) .\]\"<\/p>\n

En rempla\u00e7ant \"k\" par \"k - 1,\" on r\u00e9cup\u00e8re :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f \left( k \right) \le \int_{k-1}^{k } f \left( t \right) dt \le f \left( k - 1\right) .\]\"<\/p>\n

Puis en regroupant les deux in\u00e9galit\u00e9s :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_k^{k + 1} f \left( t \right) dt \le f \left( k \right) \le \int_{k-1}^{k } f \left( t \right) dt .\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Puis en sommant entre \"1\" et \"n,\" il vient que :<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{k=1}^n \int_k^{k + 1} f \left( t \right) dt\" \"\le \displaystyle\sum_{k=1}^n f \left( k \right)\"\u00a0 \"\le \displaystyle\sum_{k=1}^n \int_{k-1}^{k } f \left( t \right) dt.\"
\nPuis en utilisant la relation de Chasles :<\/p>\n

\"\int_1^{n + 1} f \left( t \right) dt\" \"\le \displaystyle\sum_{k=1}^n f \left( k \right)\" \"\le \int_0^n f \left( t \right) dt.\"<\/p>\n

Le calcul des int\u00e9grales<\/a> de gauche et de droite fournira souvent un \u00e9quivalent de \"\displaystyle\sum_{k=1}^n f \left( k \right)\" quand \"n\" tend vers \"+\infty\".<\/p>\n

Remarque :<\/i>\u00a0Ce r\u00e9sultat n’est pas \u00e0 apprendre par c\u0153ur mais \u00e0 savoir retrouver rapidement. De plus, il faut savoir l’adapter en probl\u00e8me (il faut peut-\u00eatre sommer de \"2\" \u00e0 \"n,\" par exemple).<\/p>\n

Exemple :<\/h3>\n

Donner un \u00e9quivalent de \"S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n}}\" quand \"n\" tend vers \"+\infty.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse :<\/h3>\n

Soit \"f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"f \left( t \right) = \dfrac{1}{\sqrt{t}}.\" Il est clair que \"f\" est d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}_+^*.\" On applique la relation de la m\u00e9thode pr\u00e9c\u00e9dente en se limitant \u00e0 une somme pour \"k\" entre \"2\" et \"n\" (si l’on ne s’en souvient pas, pas de panique, on la retrouve !) pour avoir :<\/p>\n

\n
\"\int_2^{n + 1} \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt\" \"\le \displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}\" \"\le \int_1^n \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt.\"
\nComme \"t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{t}}\" se primitive en \"t \mapsto 2 \sqrt{t},\" on a<\/div>\n
<\/div>\n
\"2 \sqrt{n + 1} - 2 \sqrt{2}\" \"\le \displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}\" \"\le 2\sqrt{n} - 2.\"
\nPour faire appara\u00eetre \"S_n,\" il faut ajouter \"1\" \u00e0 chaque membre de l’in\u00e9galit\u00e9 :<\/div>\n
<\/div>\n
\"2 \sqrt{n + 1} - 2 \sqrt{2} + 1\" \"\le \underbrace{\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}}_{=S_n}\" \"\le 2\sqrt{n} - 1.\"
\nIl semble que \"2 \sqrt{n}\" soit un bon candidat pour l’\u00e9quivalent. Divisons par \"2\sqrt{n}\" :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} - \sqrt{\dfrac{2}{n} } + \dfrac{1}{2 \sqrt{n}}\" \"\le \dfrac{S_n}{2 \sqrt{n}}\" \"\le 1 - \dfrac{1}{2 \sqrt{n}}.\"
\nComme \"\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} - \sqrt{\dfrac{2}{n} } + \dfrac{1}{2 \sqrt{n}} \right)\" \"= \lim_{n \to +\infty} \left( 1 - \dfrac{1}{2 \sqrt{n}} \right) = 1,\" on a bien le r\u00e9sultat souhait\u00e9 :<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[S_n \underset{n \to + \infty}{\sim} 2 \sqrt{n}.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Poursuivez vos efforts et gardez le bon cap dans vos r\u00e9visons en vous aidant des nombreux autres cours en ligne de maths au programme d’ECG1 :<\/p>\n