{"id":34283,"date":"2019-08-19T18:04:29","date_gmt":"2019-08-19T17:04:29","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34283"},"modified":"2022-06-11T17:56:14","modified_gmt":"2022-06-11T16:56:14","slug":"annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2016"},"content":{"rendered":"
\r\n
\r\n
\r\n
\r\n
\r\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

\r\n
\r\n
\r\n

Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2016<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\r\n

<\/p>\r\n

Partie I. Partitions de l’identit\u00e9<\/h2>\r\n

1\/ a\/<\/strong> \"A\" est une matrice triangulaire, donc ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux, donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$Sp(A)=\{-1,0\}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"A\" a une colonne nulle et deux colonnes non proportionnelles, donc \"rg\left( A\right) =2.\"<\/p>\r\n

Donc, par le th\u00e9or\u00e8me du rang, \"\dim \left( \ker \left( A\right)\right) =\dim \left( \mathcal{M}_{3,1}\left( \mathbb{R}\right) \right)-rg\left( A\right) =3-2=1.\"<\/p>\r\n

\"A+I_{3}=\left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) .\" Et de m\u00eame \"\dim \left( \ker \left( A+I_{3}\right) \right) =1.\"<\/p>\r\n

\"A\in \mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) ,\" \"A\" admet deux valeurs propres et \"\dim \left( \ker \left( A\right) \right) +\dim \left( \ker \left(A+I_{3}\right) \right) =2,\"<\/p>\r\n

donc \"\dim \left( \ker \left( A\right) \right) +\dim \left( \ker \left(A+I_{3}\right) \right) \neq 3,\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$A$ n'est pas diagonalisable.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Apr\u00e8s calculs, on trouve : \"A^{2}=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\" et \"A^{3}=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) ,\" donc \"A^{3}+A^{2}=0,\"<\/p>\r\n

donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$X^{3}+X^{2}$ est un polyn\^ome annulateur de $A.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Supposons qu’il existe un polyn\u00f4me \"T\" de degr\u00e9 \"2\" et annulateur de \"A.\"<\/p>\r\n

On note \"T=aX^{2}+bX+c\" avec \"a\neq 0.\"<\/p>\r\n

\"T\left( A\right) =0,\" donc \"aA^{2}+bA+cI_{3}=0,\" donc \"\left( \begin{array}{ccc}c & b & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & c-b+a\end{array}\right) =0,\" donc \"c=b=a=0.\"<\/p>\r\n

Contradiction puisque \"a\neq 0.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{il n'existe pas de polyn\^ome de degr\'e $2$ annulateur de $A.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> \"Q\left( X\right) =X^{3}+X^{2}\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"A\", donc de \"f.\"<\/p>\r\n

Donc \"f^{3}+f^{2}=0_{\mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{3}\right) },\" donc \"f^{3}+f^{2}+Id_{\mathbb{R}^{3}}=Id_{\mathbb{R}^{3}}.\"<\/p>\r\n

En prenant \"Q_{1}\left( X\right) =X^{3}+X^{2},\" et \"Q_{2}\left( X\right) =1,\"
donc \"Q_{1}\left( f\right) =f^{3}+f^{2}\" et \"Q_{2}\left( f\right) =Id_{\mathbb{R}^{3}},\"<\/p>\r\n

on a bien \"Q_{1}\left( f\right) +Q_{2}\left( f\right) =Id_{\mathbb{R}^{3}}\", \"Q_{1}\left( f\right) ^{2}=Q_{1}\left( f\right) =0_{\mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{3}\right) }\" et \"Q_{2}\left( f\right) ^{2}=Q_{2}\left( f\right) =Id_{\mathbb{R}^{3}}.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$Q_{1}\left( X\right) =X^{3}+X^{2},$ et $Q_{2}\left( X\right) =X$$\:$ conviennent.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> \"f\" est diagonalisable, donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$E=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}E_{\lambda _{i}}\left( f\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour la suite de la question, on pose \"Q=\prod\limits_{j=1}^{k}\left(X-\lambda _{j}\right) .\"<\/p>\r\n

Soit \"x\in E.\" Alors \"\exists !\left( x_{1},x_{2},...,x_{k}\right) \in\prod\limits_{i=1}^{k}E_{\lambda _{i}}\left( f\right)\,\,/\,\,x=\sum\limits_{i=1}^{k}x_{i}.\"<\/p>\r\n

Soit alors \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] .\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} Q\left( f\right) \left( x_{i}\right) &=&\left[\bigodot\limits_{j=1}^{k}\left( f-\lambda _{j}Id_{E}\right) \right] \left(x_{i}\right) \\<\/p>\u00a0<\/p>\r\n

Donc \"Q\left( f\right) \left( x_{i}\right) =0_{E}.\"<\/p>\r\n

Donc, par lin\u00e9arit\u00e9 de \"Q\left( f\right) ,\" \"Q\left( f\right) \left(x\right) =\sum\limits_{i=1}^{k}\underset{=0_{E}}{\underbrace{Q\left(f\right) \left( x_{i}\right) }}=0_{E}.\"<\/p>\r\n

Donc \"Q\left( f\right) =0_{\mathcal{L}\left( E\right) },\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$Q=\prod\limits_{j=1}^{k}\left( X-\lambda _{j}\right) $ est un polyn\^ome annulateur de $f.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] .\"<\/p>\r\n

\"\left( X-\lambda _{i}\right) \times L_{i}=\left( X-\lambda _{i}\right)\times \prod\limits_{\substack{ 1\leqslant j\leqslant k \\ j\neq i }} \left( \frac{X-\lambda _{j}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right) =\underset{=c,\text{ }c\text{ r\'eel fix\'e}}{\underbrace{\prod\limits_{\substack{ 1\leqslantj\leqslant k \\ j\neq i }} \left( \frac{1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right) }}\times Q\left( X\right) .\"<\/p>\r\n

Donc \"\left( f-\lambda _{i}Id_{E}\right) \circ L_{i}\left( f\right)=c.Q\left( f\right) =0_{\mathcal{L}\left( E\right) }\" car \"Q\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"f.\"<\/p>\r\n

Donc \"\left( f-\lambda _{i}Id_{E}\right) \circ v_{i}=0_{\mathcal{L}\left(E\right) },\" donc \"\func{Im}\left( v_{i}\right) \subset \ker \left(f-\lambda _{i}Id_{E}\right) .\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\func{Im}\left( v_{i}\right) \subset E_{\lambda _{i}}\left(f\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/ <\/strong>\"\bullet\" Soit \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] .\"<\/p>\r\n

\"L_{i}\" est donn\u00e9 sous forme factoris\u00e9e, donc les racines de \"L_{i}\" sont les r\u00e9els \"\lambda _{j},\" \"j\in \left[ \!\left[ 1,k\right]\!\right] \backslash \left\{ i\right\} .\"<\/p>\r\n

Et on a clairement \"L_{i}\left( \lambda _{i}\right) =1.\"<\/p>\r\n

Donc \"L_{i}\left( \lambda _{j}\right) =\left\{ \begin{array}{c}0\text{ si }i\neq j \\ 1\text{ si }i=j\end{array}\right.\" .<\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"j\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] .\" \"\sum\limits_{i=1}^{k}L_{i}\left( \lambda _{j}\right) =\underset{=1}{\underbrace{L_{i}\left( \lambda _{i}\right) }}+\sum\limits_{\substack{ 1\leqslanti\leqslant k \\ i\neq j }} \underset{=0}{\underbrace{L_{i}\left(\lambda _{j}\right) }}=1,\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\sum\limits_{i=1}^{k}L_{i}\left(\lambda _{j}\right) =1.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"x\in E.\" \"E=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}E_{\lambda _{i}}\left(f\right)\" , donc \"\exists !\left( x_{1},x_{2},...,x_{k}\right) \in\prod\limits_{j=1}^{k}E_{\lambda _{j}}\left( f\right)\,\,/\,\,x=\sum\limits_{j=1}^{k}x_{j}.\"<\/p>\r\n

Soit \"\left( i,j\right) \in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ^{2}.\"<\/p>\r\n

Ou bien \"x_{j}\neq 0\". Alors \"x_{j}\" est vecteur propre de \"f\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\lambda _{j},\" donc \"x_{j}\" est vecteur propre de \"L_{i}\left( f\right)\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"L_{i}\left(\lambda _{j}\right) ,\" donc \"L_{i}\left( f\right) \left( x_{j}\right)=L_{i}\left( \lambda _{j}\right) .x_{j}.\"<\/p>\r\n

Ou bien \"x_{j}=0,\" et alors la formule pr\u00e9c\u00e9dente est clairement vraie.<\/p>\r\n

D’o\u00f9 \"v_{i}\left( x_{j}\right) =L_{i}\left( f\right) \left(x_{j}\right) =L_{i}\left( \lambda _{j}\right) .x_{j}.\"<\/p>\r\n

Soit \"j\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] .\" \"\left(\sum\limits_{i=1}^{k}v_{i}\right) \left( x_{j}\right)=\sum\limits_{i=1}^{k}v_{i}\left( x_{j}\right)=\sum\limits_{i=1}^{k}L_{i}\left( \lambda _{j}\right) .x_{j}=\underset{=1}{\underbrace{\left( \sum\limits_{i=1}^{k}L_{i}\left( \lambda _{j}\right)\right) }}.x_{j}=x_{j}.\"<\/p>\r\n

On pose \"g=\sum\limits_{i=1}^{k}v_{i}.\" \"\quad g\left( x\right) =g\left(\sum\limits_{j=1}^{k}x_{j}\right) =\sum\limits_{j=1}^{k}g\left( x_{j}\right)=\sum\limits_{j=1}^{k}x_{j}=x.\"<\/p>\r\n

Donc \"\forall x\in E,\,\,\,\left( \sum\limits_{i=1}^{k}v_{i}\right) \left(x\right) =x,\" donc \"\sum\limits_{i=1}^{k}v_{i}=Id_{E}\"<\/p>\r\n

et

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$v_{1},v_{2},...,v_{k}$ constituent une partition de l'identit\'e$\:$ de $E.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> \"\forall x\in E,\,\,\,\,x=\sum\limits_{i=1}^{k}\underset{\in \func{Im}\left( v_{i}\right) }{\underbrace{v_{i}\left( x\right) }},\" donc \"E\subset\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( v_{i}\right) .\" L’inclusion inverse \u00e9tant claire, on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$E=\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left(v_{i}\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"\forall i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\,\,\,\func{Im}\left(v_{i}\right) \subset E_{\lambda _{i}}\left( f\right) ,\"donc \"E=\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( v_{i}\right) \subset\sum\limits_{i=1}^{k}E_{\lambda _{i}}\left( f\right)=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}E_{\lambda _{i}}\left( f\right) =E,\"<\/p>\r\n

donc \"\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( v_{i}\right)=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}E_{\lambda _{i}}\left( f\right) .\"<\/p>\r\n

Comme \"\forall i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\,\,\,\func{Im}\left( v_{i}\right) \subset E_{\lambda _{i}}\left( f\right) ,\" la somme \"\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( v_{i}\right)\" est directe aussi<\/p>\r\n

et \"\bigoplus\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( v_{i}\right)=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}E_{\lambda _{i}}\left( f\right) .\"<\/p>\r\n

Notons alors, pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\,\,\,r_{i}=\func{Im}\left( v_{i}\right)\" et \"\alpha _{i}=E_{\lambda _{i}}\left(f\right) .\"<\/p>\r\n

On a donc \"\sum\limits_{i=1}^{k}r_{i}=\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha _{i},\" donc \"\sum\limits_{i=1}^{k}\underset{\geqslant 0}{\underbrace{\left(\alpha _{i}-r_{i}\right) }}=0.\"<\/p>\r\n

Or une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chacun des termes de la somme est nulle, donc \"\forall i\in \left[ \!\left[ 1,k\right]\!\right] ,\,\,\,r_{i}=\alpha _{i}.\"<\/p>\r\n

Et comme on a toujours \"\forall i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right],\,\,\,\func{Im}\left( v_{i}\right) \subset E_{\lambda _{i}}\left( f\right) ,\" on en d\u00e9duit que

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\forall i\in \left[ \!\left[ 1,k\right]\!\right] ,\,\,\,\func{Im}\left( v_{i}\right) =E_{\lambda _{i}}\left(f\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Soit \"x\in E.\" On a toujours \"\exists !\left( x_{1},x_{2},...,x_{k}\right)\in \prod\limits_{j=1}^{k}E_{\lambda _{j}}\left( f\right)\,\,/\,\,x=\sum\limits_{j=1}^{k}x_{j}.\" Donc \"x=x_{1}+y,\" o\u00f9 \"y=\sum\limits_{j=2}^{k}x_{j}.\"<\/p>\r\n

On note \"F=\bigoplus\limits_{j=2}^{k}E_{\lambda _{j}}\left( f\right) .\"<\/p>\r\n

On a \"E=E_{\lambda _{1}}\left( f\right) +F,\" et \"\dim \left( E_{\lambda_{1}}\left( f\right) \right) +\dim \left( F\right) =\dim \left( E_{\lambda_{1}}\left( f\right) \right) +\sum\limits_{j=2}^{k}\dim \left( E_{\lambda_{j}}\left( f\right) \right) =\dim \left( E\right) ,\"<\/p>\r\n

donc \"E=E_{\lambda _{1}}\left( f\right) \bigoplus F.\"<\/p>\r\n

De plus, \"v_{1}\left( x_{1}\right) =L_{1}\left( f\right) \left( x_{1}\right)=L_{1}\left( \lambda _{1}\right) .x_{1}=x_{1}.\"<\/p>\r\n

Et \"v_{1}\left( y\right) =\sum\limits_{j=2}^{k}v_{1}\left( x_{j}\right)=\sum\limits_{j=2}^{k}L_{1}\left( f\right) \left( x_{j}\right)=\sum\limits_{j=2}^{k}\underset{=0}{\underbrace{L_{1}\left( \lambda_{j}\right) }}\left( x_{j}\right) =0.\"<\/p>\r\n

Donc, \"v_{1}\left( x\right) =v_{1}\left( x_{1}\right)+\sum\limits_{j=2}^{k}v_{1}\left( x_{j}\right) =x_{1},\"<\/p>\r\n

donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$v_{1}$ est le projecteur sur $\func{Im}\left( v_{1}\right)=E_{\lambda _{1}}\left( f\right) $ parall\`element à $F=\bigoplus\limits_{j=2}^{k}E_{\lambda _{j}}\left( f\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> On a \"Id_{E}=\sum\limits_{i=1}^{k}u_{i},\" donc \"\forall x\inE,\,\,\,\,x=\sum\limits_{i=1}^{k}\underset{\in \func{Im}\left(u_{i}\right) }{\underbrace{u_{i}\left( x\right) }},\" donc \"E\subset\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( u_{i}\right) .\" L’inclusion inverse
\u00e9tant claire, on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$E=\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left(u_{i}\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On note, pour \"1\leqslant i\leqslant k,\" \"\mathcal{C}_{i}\" une base de \"\func{Im}\left( u_{i}\right) .\"<\/p>\r\n

On note \"\mathcal{C}\" la concat\u00e9nation des \"\mathcal{C}_{i},1\leqslanti\leqslant k.\"<\/p>\r\n

Soit \"x\in E.\" \"E=\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( u_{i}\right) ,\" donc \"\exists \left( x_{1,}x_{2},...,x_{k}\right) \in \prod\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( u_{i}\right)\" tel que \"x=\sum\limits_{i=1}^{k}x_{i}.\"<\/p>\r\n

Or pour tout \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\, x_{i}\" est combinaison des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal{C}_{i}\" (puisque \"\mathcal{C}_{i}\" est une base de \"\func{Im}\left( u_{i}\right)\"),<\/p>\r\n

donc \"x_{i}\" est combinaison lin\u00e9aire des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal{C}\" (puisque \"\mathcal{C}_{i}\subset \mathcal{C}).\"<\/p>\r\n

Donc \"x\" est combinaison lin\u00e9aire des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal{C}.\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que \"\mathcal{C}\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E,\" donc \"\dim \left( E\right) \leqslant card\left( \mathcal{C}\right)=\sum\limits_{i=1}^{k}\underset{=r_{i}}{\underbrace{card\left( \mathcal{C}_{i}\right) }}.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$n\leqslant \sum\limits_{i=1}^{k}r_{i}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On a \"E=\sum\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( u_{i}\right) .\" Donc par le cours,

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$E=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( u_{i}\right) $ ssi $n=\sum\limits_{i=1}^{k}r_{i.}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> \"\left( i\right)\" On suppose que les endomorphismes \"u_{1},u_{2},...,u_{k}\" sont des projecteurs.<\/p>\r\n

Soit \"1\leqslant i\leqslant k.\" On note, \"M_{i}=Mat_{\mathcal{B}}\left(u_{i}\right) .\"<\/p>\r\n

\"u_{i}\" est un projecteur, donc \"\exists P_{i}\in GL_{n}\left( \mathbb{R}\right) \,\,/\,\,M_{i}=P_{i}\Delta _{i}P_{i}^{-1},\" o\u00f9 \"\Delta_{i}=Diag\left( \underset{r_{i}\text{ fois}}{\underbrace{1,1,...,1}},\underset{n-r_{i}\text{ fois}}{\underbrace{0,...0}}\right) .\"
(\u00c9ventuellement, on peut avoir \"r_{i}=0\" ou \"r_{i}=n\").<\/p>\r\n

Deux matrices semblables ayant m\u00eame trace, on a \"tr\left( M_{i}\right)=tr\left( \Delta _{i}\right) =r_{i}.\"<\/p>\r\n

\"u_{1},...,u_{k}\" forment une partition de l’identit\u00e9 de \"E,\" donc \"\sum\limits_{i=1}^{k}u_{i}=Id_{E},\" donc \"\sum\limits_{i=1}^{k}M_{i}=I_{n}.\"<\/p>\r\n

D’o\u00f9 : \"n=tr\left( I_{n}\right) =tr\left(\sum\limits_{i=1}^{k}M_{i}\right) =\sum\limits_{i=1}^{k}tr\left(M_{i}\right)\" par lin\u00e9arit\u00e9 de la trace. Donc \"n=\sum\limits_{i=1}^{k}r_{i}.\"<\/p>\r\n

On a donc bien

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\left( 2\right) \Rightarrow \left( 1\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\left( ii\right)\" On suppose que \"n=\sum\limits_{i=1}^{k}r_{i}.\"<\/p>\r\n

Donc d’apr\u00e8s la question 3.b\/, \"E=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( u_{i}\right) .\"<\/p>\r\n

Soit \"j\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] .\" Soit \"x\in E.\"<\/p>\r\n

On a \"u_{j}\left( x\right) =\underset{\in \func{Im}\left( u_{1}\right) }{\underbrace{0}}+\cdots +\underset{\in \func{Im}\left( u_{j-1}\right) }{\underbrace{0}}+\underset{\in \func{Im}\left( u_{j}\right) }{\underbrace{u_{j}\left( x\right) }}+\underset{\in \func{Im}\left( u_{j+1}\right) }{\underbrace{0}}+\cdots +\underset{\in \func{Im}\left( u_{k}\right) }{\underbrace{0}}\" et \"Id_{E}=\sum\limits_{i=1}^{k}u_{i},\"<\/p>\r\n

d’o\u00f9 :<\/p>\r\n

\"u_{j}\left( x\right) =\sum\limits_{i=1}^{k}u_{i}\circ u_{j}\left(x\right) =\underset{\in \func{Im}\left( u_{1}\right) }{\underbrace{u_{1}\circ u_{j}\left( x\right) }}+\cdots +\underset{\in \func{Im}\left(u_{j-1}\right) }{\underbrace{u_{j-1}\circ u_{j}\left( x\right) }}+\underset{\in \func{Im}\left( u_{j}\right) }{\underbrace{u_{j}\circ u_{j}\left( x\right) }}\"<\/p>\r\n

\"+ \underset{\in \func{Im}\left( u_{j+1}\right) }{\underbrace{u_{j+1}\circ u_{j}\left( x\right) }}+\cdots +\underset{\in \func{Im}\left( u_{k}\right) }{\underbrace{u_{k}\circ u_{j}\left( x\right) }}\"<\/p>\r\n

Or \"E=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( u_{i}\right) ,\" donc par unicit\u00e9 de la d\u00e9composition, on a \"\left\{ \begin{array}{l}u_{j}\circ u_{j}\left( x\right) =u_{j}\left( x\right) \\ u_{i}\circ u_{j}\left( x\right) =0\text{ si }i\neq j\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

Donc pour tout \"\left( i,j\right) \in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right]^{2}\" tel que \"i\neq j:\" \"\forall x\in E,\,\,\,u_{i}\circ u_{j}\left(x\right) =0,\" donc \"u_{i}\circ u_{j}=0_{\mathcal{L}\left( E\right) }.\"<\/p>\r\n

On a donc bien

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\left( 1\right) \Rightarrow \left( 3\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\left( iii\right)\" On suppose que pour tout \"\left( i,j\right)\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ^{2}\" tel que \"i\neq j,\" \"u_{i}\circ u_{j}=0_{\mathcal{L}\left( E\right) }.\"<\/p>\r\n

Soit \"j\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] .\"<\/p>\r\n

\"Id_{E}=\sum\limits_{i=1}^{k}u_{i},\" donc \"u_{j}=\sum\limits_{i=1}^{k}u_{i}\circ u_{j}=u_{j}\circ u_{j}+\sum\limits_{i\neq j}\underset{=0}{\underbrace{u_{i}\circ u_{j}}}=u_{j}\circ u_{j}.\"<\/p>\r\n

Donc \"u_{j}^{2}=u_{j},\" donc \"u_{j}\" est un projecteur.<\/p>\r\n

Donc on a bien \"\left( 3\right) \Rightarrow \left( 2\right) .\"<\/p>\r\n

Et on a montr\u00e9 que \"\left( 2\right) \Rightarrow \left( 1\right)\Rightarrow \left( 3\right) \Rightarrow \left( 2\right) .\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{Les propri\'et\'es $\left( 1\right) ,\left( 2\right) $ et $\left(3\right) $ sont \'equivalentes.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Partie II. Repr\u00e9sentation matricielle d’un projecteur orthogonal<\/h2>\r\n

4\/ a\/<\/strong> D’apr\u00e8s le cours, \"p\" est un projecteur orthogonal ssi \"p\" est un projecteur et un endomorphisme sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"p\" est un projecteur ssi \"p\circ p=p\" ssi \"P^{2}=P\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\mathcal{B}\" est une base orthonorm\u00e9e et \"P=Mat_{\mathcal{B}}\left( p\right)\"<\/p>\r\n

D’o\u00f9 : \"p\" est un endomorphisme sym\u00e9trique ssi \"^{t}P=P.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$p$ est un projecteur orthogonal ssi $P^{2}=P$ et $\,^{t}P=P.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> \"\bullet\" Supposons qu’il existe \"\alpha\" r\u00e9el et \"p\" projecteur orthogonal tel que \"f=\alpha p\".<\/p>\r\n

On note \"P=mat_{\mathcal{B}}\left( p\right) .\"<\/p>\r\n

\"tr\left( M\right) M^{2}=tr\left( \alpha P\right) \left( \alpha P\right)^{2}=\alpha ^{3}tr\left( P\right) P^{2}\" par lin\u00e9arit\u00e9 de la trace.<\/p>\r\n

Donc \"tr\left( M\right) M^{2}=\alpha ^{3}tr\left( P\right) P\" car \"P\" est un projecteur.<\/p>\r\n

De m\u00eame \"tr\left( M^{2}\right) M=tr\left( \alpha ^{2}P^{2}\right) \left(\alpha P\right) =\alpha ^{3}tr\left( P^{2}\right) P=\alpha ^{3}tr\left(P\right) P.\"<\/p>\r\n

Donc \"tr\left( M\right) M^{2}=tr\left( M^{2}\right) M\"<\/p>\r\n

De plus \"^{t}M=\alpha \,^{t}P=\alpha P\" car \"P\" est un projecteur orthogonal, donc \"^{t}M=M.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Supposons que \"tr\left( M\right) M^{2}=tr\left(M^{2}\right) M\" et\u00a0 \"^{t}M=M.\"<\/p>\r\n

Ou bien \"tr\left( M^{2}\right) =0.\" On pose \"M=\left(m_{i,j}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n},\" donc \"M^{2}=\left(\sum\limits_{s=1}^{n}m_{i,s}m_{s,j}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}.\"<\/p>\r\n

Or \"M\" est sym\u00e9trique, donc \"M^{2}=\left(\sum\limits_{s=1}^{n}m_{i,s}m_{j,s}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}.\"<\/p>\r\n

Donc \"tr\left( M^{2}\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{s=1}^{n}m_{i,s}m_{i,s}=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{s=1}^{n}\left( m_{i,s}\right) ^{2}.\" Or \"tr\left( M^{2}\right) =0\" et une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chacun de ses termes est nul, donc \"\forall \left( i,s\right)\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] ^{2},\,\,m_{i,s}=0.\"<\/p>\r\n

Donc \"M=0\" et en prenant \"\alpha =0\" et \"p=0_{\mathcal{L}\left( E\right) },\" on a bien \"f=\alpha p\" avec \"p\" projecteur orthogonal.<\/p>\r\n

Ou bien \"tr\left( M\right) =0.\" Alors \"tr\left( M^{2}\right) M=0,\" donc \"tr\left( M^{2}\right) =0\" ou \"M=0\" et on est ramen\u00e9 au cas pr\u00e9c\u00e9dent.<\/p>\r\n

Ou bien \"tr\left( M\right) \neq 0\" et \"tr\left( M^{2}\right) \neq0\".<\/p>\r\n

Alors on pose \"\alpha =\frac{tr\left( M^{2}\right) }{tr\left( M\right) }\", \"P=\frac{tr\left( M\right) }{tr\left( M^{2}\right) }M\" et \"p\" l’endomorphisme de \"E\" de matrice \"P\" dans la base \"\mathcal{B}.\"<\/p>\r\n

On a bien \"M=\alpha P\" et \"^{t}P=P\" car \"\frac{tr\left( M\right) }{tr\left( M^{2}\right) }\" r\u00e9el et \"^{t}M=M.\"<\/p>\r\n

D’autre part \"P^{2}=\left( \frac{tr\left( M\right) }{tr\left( M^{2}\right) }\right) ^{2}M^{2}=\frac{tr\left( M\right) }{tr\left( M^{2}\right) }\times \frac{1}{tr\left( M^{2}\right) }\,.\,\underset{=tr\left( M^{2}\right) M}{\underbrace{tr\left( M\right) M^{2}}}=\frac{tr\left( M\right) }{tr\left(M^{2}\right) }M=P.\"<\/p>\r\n

\"P^{2}=P\" et \"^{t}P=P,\" donc \"p\" est un projecteur orthogonal (par 4.a), et on a bien trouv\u00e9 \"\alpha\" et \"p\" projecteur orthogonal tels que \"f=\alpha p.\"<\/p>\r\n

5\/ a\/<\/strong><\/p>\r\n

function t=tr(\"A\")\u00a0 (on entre une matrice carr\u00e9e)<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \"n=length\left( A\left( :,1\right) \right)\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \"t=0\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \"for\,\,\,i=1:n\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \"t=t+A\left( i,i\right)\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \"end\"<\/p>\r\n

\"endfunction\"<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Signification de la ligne \"\left( 5\right)\" . On note \"A=\left(a_{i,j}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}\"<\/p>\r\n

On affecte \u00e0 \"b\" la valeur \"True\" si \"b\" contient d\u00e9j\u00e0 \"True\" \"\textbf{et}\" \"a_{i,j}=a_{j,i}.\"<\/p>\r\n

Donc tant que les coefficients \"a_{i,j}\" et \"a_{j,i}\" sont \u00e9gaux, \"b\" re\u00e7oit \"True,\" et si \u00e0 un moment on a \"a_{i,j}\neq a_{j,i},\" alors \"b\" re\u00e7oit \"False.\" Dans ce dernier cas, \"b\" garde la valeur \"False\" jusqu’\u00e0 la fin des deux boucles, car \"False\,\,\,\&\,\,\,False=False\" et \"False\,\,\,\&\,\,\,True=False.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 5 \\ -1 & 5 & -2\end{array}\right) .\"<\/p>\r\n

\"b\" est initialis\u00e9 \u00e0 \"\%T.\"<\/p>\r\n

Pour \"i=1\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0Pour \"j=2,\" \"b\" est \"Vrai\" \"\textbf{et }\" \"^{\prime \prime}a_{1,2}=a_{2,1}\,^{\prime \prime }\" est \"Vrai,\" donc \"b\" garde la valeur \"\%T.\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0Pour \"j=3,\" \"b\" est \"Vrai\" \"\textbf{et }\" \"^{\prime \prime }a_{1,3}=a_{3,1}\,^{\prime \prime }\" est \"Vrai,\" donc \"b\" garde la valeur \"\%T.\"<\/p>\r\n

De m\u00eame pour \"i=2.\" Et \"b\" aura la valeur \"\T\" \u00e0 la fin de la fonction, ce qui est bien coh\u00e9rent avec le fait que \"A\" est sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & -2\end{array}\right) .\"<\/p>\r\n

\"b\" est initialis\u00e9 \u00e0 \"\T.\"<\/p>\r\n

Pour \"i=1\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0Pour \"j=2,\" \"b\" est \"Vrai\" \\textbf{et }\"^{\prime \prime}a_{1,2}=a_{2,1}\,^{\prime \prime }\" est \"Faux,\" donc \"b\" prend la valeur \"\%F.\"<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0Pour \"j=3,\,\,b\" est \"Faux\", donc peu importe la valeur de \"\,\,^{\prime \prime }\,A\left(i,j\right) ==A\left( j,i\right) \,^{\prime \prime },\" donc \"b\" garde la
valeur \"\%F.\"<\/p>\r\n

De m\u00eame pour \"i=2.\" Et \"b\" aura la valeur \"\%F\" \u00e0 la fin de la fonction.<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Il reste \u00e0 tester si \"tr\left( M\right) M^{2}=tr\left( M^{2}\right) M,\" c’est-\u00e0 dire si \"A=B.\"<\/p>\r\n

Dans l’instruction \"^{\prime \prime}\,\,if\,\,\,b\,\,\,then\,\,\,...\,\,\,^{\prime \prime },\" on n’effectue le \"^{\prime \prime }\,\,then\,\,^{\prime \prime }\" que si \"b\" est \"Vrai,\" c’est-\u00e0 dire si \"M\" est sym\u00e9trique. On a alors \"A\" et \"B\" sym\u00e9triques, donc il suffit de tester si les termes des triangles sup\u00e9rieurs de \"A\" et \"B\" \"\:\" sont \u00e9gaux pour savoir si \"A\" et \"B\" sont \u00e9gaux.<\/p>\r\n

La ligne manquante est : \"b=\left( b\,\,\&\,\,\left( A\left( i,j\right)==B\left( i,j\right) \right) \right) .\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"M=\left( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) .\" \"M\" est bien sym\u00e9trique. Apr\u00e8s calculs \"A=\left( \begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\" et \"B=\left( \begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & 0\end{array}\right) ,\"<\/p>\r\n

donc \"b=\%F.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"M=\left( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) .\" \"M\" est bien sym\u00e9trique. Apr\u00e8s calculs \"A=\left( \begin{array}{cc}4 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right) =B,\" donc \"b=\%T.\"<\/p>\r\n

6\/ a\/<\/strong> Supposons \"X\in \ker \left( S\right) .\" Alors \"SX=0,\" donc\u00a0 \"^{t}S\,SX=0,\" donc \"X\in \ker \left( \,^{t}S\,S\right) .\"<\/p>\r\n

Supposons \"X\in \ker \left( \,^{t}S\,S\right) .\" Alors \"^{t}S\,S\,X=0,\" donc \"^{t}X\,^{t}S\,S\,X=0,\" donc\u00a0\"^{t}\left( SX\right) \,SX=0.\"<\/p>\r\n

On consid\u00e8re alors le produit scalaire canonique sur \"\mathcal{M}_{n,1}\left( \mathbb{R}\right) ,\" on a donc \"\left\| SX\right\| ^{2}=0.\"<\/p>\r\n

Donc \"SX=0\" et \"X\in \ker \left( S\right) .\"<\/p>\r\n

On a donc montr\u00e9 que

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\ker \left( S\right) =\ker \left(\,^{t}S\,S\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a \"\,^{t}S\,S\in \mathcal{M}_{k}\left( \mathbb{R}\right)\" et \"S\in \mathcal{M}_{n,k}\left( \mathbb{R}\right) .\" Notons \"\varphi\" l’endomorphisme de \"\mathbb{R}^{k}\" canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"^{t}S\,S\" et \"\psi\" l’application lin\u00e9aire de \"\mathbb{R}^{k}\" dans \"\mathbb{R}^{n}\" canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"S.\" \"\mathbb{R}^{k}\" est donc l’ensemble de d\u00e9part des deux applications lin\u00e9aires \"\varphi\" et \"\psi .\"<\/p>\r\n

Alors, par le th\u00e9or\u00e8me du rang,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} rg\left( S\right) =\dim \left( \mathbb{R}^{k}\right) -\dim \left( \ker \left(S\right) \right) &=& \dim \left( \mathbb{R}^{k}\right) -\dim \left( \ker \left(\,^{t}S\,S\right) \right) \\<\/p><\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$rg\left( S\right) =rg\left( \,^{t}S\,S\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On note, pour \"j\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right],\,\,\,S_{j}=\left( \begin{array}{c}s_{1,j} \\ s_{2,j} \\ \vdots \\ s_{n,j}\end{array}\right) .\"<\/p>\r\n

Soit \"y\in E.\"<\/p>\r\n

\"y\in F\" \"\Leftrightarrow \exists \left( \alpha _{1},...,\alpha _{k}\right)\in \mathbb{R}^{k}\,\,\,/\,\,\,y=\sum\limits_{j=1}^{k}\alpha _{j}s_{j}\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow \exists \left( \alpha _{1},...,\alpha_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k}\,\,\,/\,\,\,Y=\sum\limits_{j=1}^{k}\alpha_{j}S_{j}\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow \exists \left( \alpha _{1},...,\alpha_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k}\,\,\,/\,\,\,\forall i\in \left[ \!\left[1,n\right] \!\right] ,\,\,\,y_{i}=\sum\limits_{j=1}^{k}\alpha _{j}s_{i,j}\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow \exists Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) \,\,/\,\,\,Y=SZ\" \"\:\" (On a pos\u00e9 \"Z=\left( \begin{array}{c}\alpha _{1} \\ \vdots \\ \alpha _{k}\end{array}\right)\").<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$y\in F\Leftrightarrow \exists Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) \,\,/\,\,\,Y=SZ.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> \"F=\left\{ y\in F\,\,\,\text{tels que }\exists Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) \,\,/\,\,\,Y=SZ\right\} .\"<\/p>\r\n

Or \"\left\{ Y\in \mathcal{M}_{n,1}\left( \mathbb{R}\right) \,\,\,\text{tels que }\exists Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) \,\,/\,\,\,Y=SZ\right\}=\left\{ SZ,\,\,\,Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) \right\} .\"<\/p>\r\n

\"y\in F^{\perp }\Leftrightarrow \forall x\in F,\,\,\,\left\langle y,x\right\rangle =0\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow \forall Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) ,\,\,\,^{t}Y\times SZ=0\" (expression du produit scalaire dans la base orthonorm\u00e9e \"\mathcal{B}\" )<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow \forall \: Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) ,\,\,\,\left( ^{t}YS\right) \times Z=0\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow \,^{t}Y\,S=0\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow \,^{t}S\,Y=0\" (en transposant)<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$y\in F^{\perp }\Leftrightarrow \,^{t}S\,Y=0.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> Soit \"x\in E\" et \"y=p_{F}\left( x\right) .\"<\/p>\r\n

\"y=p_{F}\left( x\right)\" donc \"y\in F,\" donc \"\exists Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) \,\,/\,\,\,Y=SZ.\"<\/p>\r\n

\"y=p_{F}\left( x\right) ,\" donc \"x-y\in F^{\perp },\" donc \"\,^{t}S\,\left(X-Y\right) =0,\" donc \"^{t}SX=\,^{t}SY.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\exists Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right)\,\,/\,\,\,Y=SZ$ et $^{t}SX=\,^{t}S\,S\,Z.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

e\/<\/strong> On suppose que \"\mathcal{F}\" est libre.<\/p>\r\n

Donc \"rg\left( S\right) =k,\" et par la question a), \"rg\left( \,^{t}S\,S\right) =k.\"<\/p>\r\n

Or \"\,^{t}S\,S\in \mathcal{M}_{k}\left( \mathbb{R}\right) ,\" donc \"^{t}S\,S\" est inversible.<\/p>\r\n

De plus, d’apr\u00e8s d\/<\/strong> \"\exists Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right)\,\,/\,\,\,Y=SZ\" et \"^{t}SX=\,^{t}S\,S\,Z,\"<\/p>\r\n

donc \"\exists Z\in \mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) \,\,/\,\,\,Y=SZ\" et \"Z=\left( \,^{t}S\,S\right) ^{-1}\" \"^{t}SX,\"<\/p>\r\n

donc \"Y=S\,\left( \,^{t}S\,S\right) ^{-1}\" \"^{t}SX.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$Mat_{\mathcal{B}}\left( p_{F}\right) =S\,\left(\,^{t}S\,S\right) ^{-1}$ $^{t}S.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ a\/<\/strong> \"M\" est une matrice sym\u00e9trique r\u00e9elle, donc est diagonalisable dans une base orthonorm\u00e9e de vecteurs propres, et il existe une matrice \"Q\" orthogonale et une matrice \"D\" diagonale telles que \"M=Q\times D\times \,^{t}Q.\" On note \"D=Diag\left( \rho _{1},\rho_{2},...,\rho _{k}\right) .\" Donc<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{il existe une matrice $Q$ orthogonale, et $k$ r\'eels $\rho_{1},\rho _{2},...,\rho _{k}$ tels que $M=Q\times Diag\left( \rho _{1},\rho_{2},...,\rho _{k}\right) \times \,^{t}Q.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} M\,M^{\left( -\right) }\,M&=&Q\times Diag\left( \rho _{1},...,\rho _{k}\right) \times \underset{=I_{k}}{\underbrace{\,^{t}Q\times Q}}\times Diag\left( h\left(\rho _{1}\right) ,...,h\left( \rho _{k}\right) \right) \times \,\underset{=I_{k}}{\underbrace{\,^{t}Q\times Q}}\times Diag\left( \rho _{1},...,\rho_{k}\right) \times \,^{t}Q \\ \end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

car \"Q\" est une matrice orthogonale.<\/p>\r\n

Donc \"M\,M^{\left( -\right) }\,M=Q\times Diag\left( h\left( \rho _{1}\right)\rho _{1}^{2},...,h\left( \rho _{k}\right) \rho _{k}^{2}\right) \times\,^{t}Q.\"<\/p>\r\n

Or pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\" \"h\left( \rho_{i}\right) \rho _{i}^{2}=\left\{ \begin{array}{l}\rho _{i}^{2}\times \frac{1}{\rho _{i}}\text{ si }\rho _{i}\neq 0 \\ 0\text{ si }\rho _{i}=0\end{array}\right. =\left\{ \begin{array}{l}\rho _{i}\text{ si }\rho _{i}\neq 0 \\ 0\text{ si }\rho _{i}=0\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

Donc pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\" \"h\left( \rho_{i}\right) \rho _{i}^{2}=\rho _{i},\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$M\,M^{\left( -\right)}\,M=Q\times Diag\left( \rho _{1},...,\rho _{k}\right) \times \,^{t}Q=M.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De m\u00eame, \"M^{\left( -\right) }\,M\,M^{\left( -\right) }=Q\timesDiag\left( \left( h\left( \rho _{1}\right) \right) ^{2}\rho _{1},...,\left(h\left( \rho _{k}\right) \right) ^{2}\rho _{k}\right) \times \,^{t}Q\"<\/p>\r\n

et pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\left( h\left( \rho_{i}\right) \right) ^{2}\rho _{i}=\left\{ \begin{array}{l}\rho _{i}\times \frac{1}{\rho _{i}^{2}}\text{ si }\rho _{i}\neq 0 \\ 0\text{ si }\rho _{i}=0\end{array}\right. =\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{\rho _{i}}\text{ si }\rho _{i}\neq 0 \\ 0\text{ si }\rho _{i}=0\end{array}\right. =h\left( \rho _{i}\right) .\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$M^{\left( -\right) }\,M\,M^{\left( -\right) }=Q\times Diag\left(h\left( \rho _{1}\right) ,...,h\left( \rho _{k}\right) \right) \times\,^{t}Q=M^{\left( -\right) }$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"M\,M^{\left( -\right) }\"<\/p>\r\n

\"=Q\times Diag\left( \rho _{1},...,\rho _{k}\right)\times \underset{=I_{k}}{\underbrace{\,^{t}Q\times Q}}\times Diag\left(h\left( \rho _{1}\right) ,...,h\left( \rho _{k}\right) \right) \,^{t}Q\"<\/p>\r\n

\"\quad \quad \quad \quad =Q\times Diag\left( \rho _{1}h\left( \rho_{1}\right) ,...,\rho _{k}h\left( \rho _{k}\right) \right) \times \,^{t}Q.\"<\/p>\r\n

Donc,<\/p>\r\n

\"^{t}\left( M\,M^{\left( -\right) }\right) =\,^{t}\left(^{t}Q\right) \times \,^{t}\left( Diag\left( \rho _{1}h\left( \rho_{1}\right) ,...,\rho _{k}h\left( \rho _{k}\right) \right) \right) \times\,^{t}Q\"<\/p>\r\n

\"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =Q\times Diag\left( \rho_{1}h\left( \rho _{1}\right) ,...,\rho _{k}h\left( \rho _{k}\right) \right)\times \,^{t}Q.\"<\/p>\r\n

Car une matrice diagonale est sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$^{t}\left( M\,M^{\left( -\right) }\right) =M\,M^{\left( -\right)}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On prouve de m\u00eame que

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$^{t}\left( M^{\left( -\right)}\,M\right) =M^{\left( -\right) }\,M.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Et on a bien montr\u00e9 que \"M^{\left( -\right) }\" est une inverse de Penrose-Moore de \"M.\"<\/p>\r\n

c\/<\/strong> \"\left( i\right)\" \"N=\underbrace{NM}N=\underbrace{\,^{t}\left( NM\right) }\,N=\,^{t}M\,^{t}N\,N=M\,^{t}N\,N\" car \"M\" est sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$N=M\,^{t}N\,N.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"M=\underbrace{MN}M=\underbrace{\,^{t}\left( MN\right) }\,M=\,^{t}N\,^{t}M\,M.\"<\/p>\r\n

Or \"M\" est sym\u00e9trique, donc \"M=\,^{t}M=\,^{t}M\,^{t}\left(\,^{t}M\right) \,^{t}\left( \,^{t}N\right) =\,^{t}M\,MN.\"<\/p>\r\n

Et en utilisant \u00e0 nouveau le fait que \"M\" est sym\u00e9trique, on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$M=M^{2}N.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\left( ii\right)\" On supose que \"M^{2}U=0.\" On note \"U_{1},U_{2},...,U_{k}\" les colonnes de \"U.\"<\/p>\r\n

Alors, pour tout \"j\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\,M^{2}U_{k}=0.\"<\/p>\r\n

Donc \"\,\" \"^{t}M\,M\,U_{j}=0\" car \"M\" est sym\u00e9trique, donc \"^{t}U_{j}\,^{t}M\,M\,U_{j}=0,\" donc \"^{t}\left(MU_{j}\right) \,MU_{j}=0.\"<\/p>\r\n

Et en utilisant le produit scalaire canonique sur \"\mathcal{M}_{k,1}\left( \mathbb{R}\right) ,\" on a \"\left\| MU_{j}\right\| ^{2}=0,\" donc \"MU_{j}=0.\"<\/p>\r\n

Donc \"\forall j\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\,\,\,MU_{j}=0,\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$MU=0.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\left( iii\right) \"On pose \"U=N-M^{\left( -\right) }.\"<\/p>\r\n

On a d’apr\u00e8s \"\left( i\right) ,\,\"car \"N\" et \"M^{\left( -\right) }\" sont des inverses de Penrose-Moore, \"\,\"<\/p>\r\n

\"M^{2}\,U=M^{2}N-M^{2}M^{\left( -\right) }=M-M=0.\" Donc \"M^{2}U=0,\" donc d’apr\u00e8s \"\left( ii\right) ,\" \"MU=0,\"<\/p>\r\n

donc \"MN=MM^{\left( -\right) }\".<\/p>\r\n

De plus, en reprenant le m\u00eame type de calculs qu’au \"\left( i\right) ,\"<\/p>\r\n

\"M=M\underbrace{NM}=M\,^{t}\left( NM\right) =M\,^{t}M\,^{t}N=M^{2}\,^{t}N\" car \"N\" est sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

Et en prenant \"U=\,^{t}N-\,^{t}\left( M^{\left( -\right) }\right) ,\" on trouve de m\u00eame que ci-dessus, \"M\,^{t}N=M\,^{t}\left( M^{\left( -\right)}\right) .\"<\/p>\r\n

Donc \"N\underset{\left( i\right) }{\underbrace{=}}M\,^{t}N\, N\underset{\left( iii\right) }{\underbrace{=}}M\,^{t}\left(M^{\left( -\right) }\right) \,N\underset{M\text{ sym}}{\underbrace{=}}\,^{t}\left( M^{\left( -\right) \,M\right) }\,N\underset{\text{d\'ef}}{\underbrace{=}}M^{\left( -\right) }M\,N\"<\/p>\r\n

Donc \"N\underset{\left( iii\right) }{\underbrace{=}}M^{\left( -\right)}\,M\,M^{\left( -\right) }\underset{\text{d\'ef}}{\underbrace{=}}M^{\left( -\right) }\". Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$N=M^{\left( -\right) }.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc si \"N\" est une inverse de Penrose-Moore de \"M\", alors \"N\" est unique et\u00a0 \"N=M^{\left( -\right) }.\"<\/p>\r\n

On a montr\u00e9 au a) que \"M^{\left( -\right) }\" \u00e9tait une inverse de Penmore-Moore de \"M\".<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$M^{\left( -\right) }$ est l'unique inverse de Penrose-Moore de $M.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

8\/ a\/<\/strong> R\u00e9sultat pr\u00e9liminaire : soit \"A\in \mathcal{M}_{n,p}\left( \mathbb{R}\right)\" et \"B\in \mathcal{M}_{p,r}\left( \mathbb{R}\right) .\"<\/p>\r\n

On a \"\func{Im}\left( AB\right) \subset \func{Im}\left( A\right) ,\" donc \"rg\left( AB\right) \leqslant rg\left( A\right) .\"<\/p>\r\n

Une matrice et sa transpos\u00e9e ayant m\u00eame rang, on a<\/p>\r\n

\"\quad rg\left( AB\right) =rg\left( \,^{t}\left( AB\right) \right) =rg\left(\,^{t}B\,^{t}A\right) \leqslant rg\left( \,^{t}B\right) =rg\left( B\right) .\"<\/p>\r\n

Donc \"rg\left( AB\right) \leqslant rg\left( A\right)\" et \"rg\left( AB\right) \leqslant rg\left( B\right) .\"<\/p>\r\n

Ici, \"P=\underset{=A}{\underbrace{S}}\,\,\underset{=B}{\underbrace{\left( \,^{t}S\,S\right) ^{\left( -\right) }\,^{t}S}},\" donc \"rg\left( P\right) \leqslant rg\left( S\right) .\"<\/p>\r\n

De plus, \"P=S\,\,\left( \,^{t}S\,S\right) ^{\left( -\right) }\,^{t}S\", donc \"^{t}S\,P\,S=\,^{t}SS\,\,\left( \,^{t}S\,S\right) ^{\left( -\right)}\,^{t}S\,S=\,^{t}S\,S\" par d\u00e9finition de \"\left( \,^{t}S\,S\right)^{\left( -\right) }\" au d\u00e9but du 15.<\/p>\r\n

Donc \"^{t}S\,P\,S=\,^{t}S\,S,\" donc \"rg\left( ^{t}S\,P\,S\right) =rg\left(\,^{t}S\,S\right) =rg\left( S\right)\" d’apr\u00e8s 14.a), donc \"rg\left( ^{t}S\,P\,S\right) =rg\left( S\right) .\"<\/p>\r\n

De plus, d’apr\u00e8s le r\u00e9sultat pr\u00e9liminaire, \"rg\left( \,^{t}S\,P\,S\right) \leqslant rg\left( PS\right) \leqslant rg\left(P\right) .\"<\/p>\r\n

Donc \"rg\left( S\right) \leqslant rg\left( P\right) .\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$rg\left( S\right) =rg\left( P\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> En utilisant les propri\u00e9t\u00e9s de \"\left( \,^{t}S\,S\right) ^{\left(-\right) },\" on montre que \"^{t}P=P\" et que \"P^{2}=P,\" donc que \"P\" est la matrice d’un projecteur orthogonal que l’on note \"p\".<\/p>\r\n

D’apr\u00e8s 14.c\/ pour \"x\in F^{\perp },\" On a \"^{t}S\,X=0,\" donc \"PX=0,\" donc \"F^{\perp }\subset \ker \left( p\right) .\"<\/p>\r\n

Or \"\dim \left( F^{\perp }\right) =n-\dim \left( F\right) =n-rg\left(S\right) =n-rg\left( P\right) =\dim \left( \ker \left( p\right) \right) .\" Donc \"F^{\perp }=\ker \left( p\right) .\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$p$ est le projecteur orthogonal sur $F$. }}\]\"<\/p><\/p>\r\n

9\/ a\/<\/strong> On sait que \"rg\left( S\right) =rg\,\left( \,^{t}S\,S\right) .\" Or \"^{t}S\,S\in \mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)\" et \"^{t}S\,S\" n’est pas inversible, donc \"rg\left( \,^{t}S\,S\right) \leqslant1,\" donc \"rg\left( S\right) \leqslant 1\" et \"\left( s_{1},s_{2}\right)\" est une famille li\u00e9e.<\/p>\r\n

Comme \"s_{1}\neq 0,\" \"\exists \theta \in \mathbb{R}\,\,/\,\,s_{2}=\theta s_{1},\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\exists \theta \in \mathbb{R}\,\,/\,\,\forall i\in \left[ \!\left[1,n\right] \!\right] ,\,\,\beta _{i}=\theta \alpha _{i}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} ^{t}S\,S&=&\left( \begin{array}{ccc}\alpha _{1} & \cdots & \alpha _{n} \\ \theta \alpha _{1} & \cdots & \theta \alpha _{n}\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc}\alpha _{1} & \theta \alpha _{1} \\ \vdots & \vdots \\ \alpha _{n} & \theta \alpha _{n}\end{array}\right) \\<\/p><\/p>\r\n

Les deux colonnes de \"M\" sont proportionnelles, donc \"M\" n’est pas inversible, et \"0\" est valeur propre de \"M.\" Un vecteur propre associ\u00e9e est, par exemple, \"\left( \begin{array}{c}\theta \\ -1\end{array}\right) .\"<\/p>\r\n

\"M\" est sym\u00e9trique r\u00e9elle, donc diagonalisable dans une base orthonorm\u00e9e de vecteurs propres et il existe \"Q\" orthogonale et \"\Delta\" diagonale telles que \"M=Q\times \Delta \times \,^{t}Q.\"<\/p>\r\n

On pose, par exemple, \"\Delta =\left( \begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) .\"<\/p>\r\n

\"M\" et \"\Delta\" sont semblables, donc ont m\u00eame trace, donc \"tr\left(M\right) =tr\left( \Delta \right) ,\" donc \"\lambda =1+\theta ^{2}.\"<\/p>\r\n

Un vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 \"1+\theta ^{2}\" est, par exemple, \"\left( \begin{array}{c}1 \\ \theta \end{array}\right) .\"<\/p>\r\n

La famille \"\left( \frac{1}{\sqrt{1+\theta ^{2}}}\left( \begin{array}{c}1 \\ \theta \end{array}\right) ,\frac{1}{\sqrt{1+\theta ^{2}}}\left( \begin{array}{c}\theta \\ -1\end{array}\right) \right)\" est donc une famille de vecteurs propres, clairement orthonorm\u00e9e. Elle est donc libre, de cardinal \"2,\" et comme \"\dim \left( \mathcal{M}_{2,1}\left( \mathbb{R}\right) \right) =2,\" c’est une base orthonorm\u00e9e de \"\mathcal{M}_{2,1}\left( \mathbb{R}\right) .\"<\/p>\r\n

Donc, en posant \"Q=\frac{1}{\sqrt{1+\theta ^{2}}}\left( \begin{array}{cc}1 & \theta \\ \theta & -1\end{array}\right) ,\" on a bien \"^{t}S\,S=Q\times \left( \begin{array}{cc}\left\| s_{1}\right\| ^{2}\left( 1+\theta ^{2}\right) & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \times \,^{t}Q.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$Q=\frac{1}{\sqrt{1+\theta ^{2}}}\left( \begin{array}{cc}1 & \theta \\ \theta & -1\end{array}\right) $ est telle que $^{t}Q\,^{t}S\,S\,Q$ est diagonale.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> D’apr\u00e8s la question 7\/ b\/<\/strong>, on a :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} \left( \,^{t}S\,S\right) ^{\left( -\right) }<\/p><\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\left( \,^{t}S\,S\right) ^{\left( -\right) }=\frac{1}{\left\|s_{1}\right\| ^{2}\left( 1+\theta ^{2}\right) ^{2}}\left( \begin{array}{cc}1 & \theta \\ \theta & \theta ^{2}\end{array}\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> On reprend les notations de la question 8, et on note \"P\" la matrice de \"p_{F}\" dans la base \"\mathcal{B}.\"<\/p>\r\n

On a donc

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} PX&=&S\left( \,^{t}S\,S\right) ^{\left( -\right) }\,^{t}S\,X \\<\/p><\/p>\r\n

Donc \"PX=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}}{\left\| s_{1}\right\|^{2}}\left( \begin{array}{c}\alpha _{1} \\ \alpha _{2} \\ \vdots \\ \alpha _{n}\end{array}\right) ,\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$p_{F}\left( x\right) =\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}}{\left\| s_{1}\right\| ^{2}}.s_{1}=\frac{\left\langle s_{1},x\right\rangle }{\left\| s_{1}\right\| ^{2}}s_{1}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

… et on retrouve la formule du cours, car \"F=vect\left( s_{1},s_{2}\right)=vect\left( s_{1}\right)\" puisque \"\left( s_{1},s_{2}\right)\" est li\u00e9e et \"s_{1}\neq 0.\"<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Partie III : densit\u00e9 et gaussienne centr\u00e9e<\/h2>\r\n

10\/<\/strong> \"\bullet\" Soit \"i\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] .\" \"X_{i}\hookrightarrow \mathcal{N}\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) ,\" donc \"\frac{X_{i}-\mu }{\sigma }\hookrightarrow \mathcal{N}\left( 0,1\right) .\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"Z\" une variable al\u00e9atoire qui suit la loi \"\mathcal{N}\left( 0,1\right) .\" On note \"\Phi\" sa fonction de r\u00e9partition et \"\varphi :t\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{t^{2}}{2}}\" sa densit\u00e9 usuelle.<\/p>\r\n

On note \"T=\frac{Z^{2}}{2}\"<\/p>\r\n

On a \"T\left( \Omega \right) =\mathbb{R}_{+},\" donc, pour \"x\in \mathbb{R}_{-}^{*},\,\,F_{T}\left( x\right) =0.\"
Pour \"x\in \mathbb{R}_{+},\" \"F_{T}\left( x\right) =P\left( T\leqslant x\right)=P\left( Z^{2}\leqslant 2x\right) =P\left( \left| Z\right| \leqslant \sqrt{2x}\right)\"<\/p>\r\n

\"=P\left( -\sqrt{2x}\leqslant Z\leqslant \sqrt{2x}\right) =\Phi \left( \sqrt{2x}\right) -\Phi\left( -\sqrt{2x}\right) .\"<\/p>\r\n

Or \"\Phi\" est de classe \"\mathcal{C}^{1}\" sur \"\mathbb{R}.\"\u00a0
De plus \"x\mapsto \sqrt{2x}\" et \"x\mapsto -\sqrt{2x}\" sont de classe \"\mathcal{C}^{1}\" sur \"\mathbb{R}_{+}^{*},\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R},\" donc \"F_{T}\" est de classe \"\mathcal{C}^{1}\" sur \"\mathbb{R}_{+}^{*}.\" \"F_{T}\" \u00e9tant nulle sur \"\mathbb{R}_{-}^{*},\" on a aussi \"F_{T}\" est de classe \"\mathcal{C}^{1}\" sur \"\mathbb{R}_{-}^{*}.\"<\/p>\r\n

Enfin \"\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim }F_{T}\left( x\right) =0\", \"F_{T}\left( 0\right) =0\" et \"\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }F_{T}\left( x\right) =\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\left( \Phi\left( \sqrt{2x}\right) -\Phi \left( -\sqrt{2x}\right) \right) =0\" car \"\Phi \" est continue en \"0\" et \"\sqrt{2x}\" tend vers \"0\" quand \"x\" tend vers \"0^{+},\" donc \"F_{T}\" est continue en \"0.\"<\/p>\r\n

\"F_{T}\" est donc continue sur \"\mathbb{R}\" et de classe \"\mathcal{C}^{1}\" sur \"\mathbb{R}\" sauf en \"0,\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$T$ est une variable \`a densit\'e.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On obtient une densit\u00e9 de \"T\" en d\u00e9rivant \"F_{T}\" sur \"\mathbb{R}^{*}\" et en donnant une valeur arbitraire positive \u00e0 \"F_{T}\left( 0\right) .\"<\/p>\r\n

Donc une densit\u00e9 \"f_{T}\" est donn\u00e9e par :<\/p>\r\n

\"f_{T}\left( x\right)=\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{2}\frac{1}{2\sqrt{x}}\varphi \left( \sqrt{2}\sqrt{x}\right) +\sqrt{2}\frac{1}{2\sqrt{x}}\varphi \left( -\sqrt{2}\sqrt{x}\right) \text{ si }x>0 \\ 0\text{ si }x\leqslant 0\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

D’o\u00f9 : \"f_{T}\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{l}2\times \sqrt{2}\frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-x\right) \text{ si }x>0 \\ 0\text{ si }x\leqslant 0\end{array}\right. =\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{\pi }}\frac{1}{\sqrt{x}}\exp \left( -x\right) \text{ si }x>0\\ 0\text{ si }x\leqslant 0\end{array}\right. .\"<\/p>\r\n

Donc \"f_{T}\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{l}\frac{x^{\frac{1}{2}-1}}{\sqrt{\pi }}\exp \left( -x\right) \text{ si }x>0 \\ 0\text{ si }x\leqslant 0\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

\"f_{T}\" \u00e9tant une densit\u00e9, on a \"\int_{-\infty }^{+\infty}f_{T}\left( t\right) dt=1,\" donc \"\int_{0}^{+\infty }\frac{t^{\left( \frac{1}{2}-1\right) }}{\,\sqrt{\pi }}\exp \left( -t\right) dt=1.\"<\/p>\r\n

Donc, on a \"\:\" \"\frac{\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }{\sqrt{\pi }}=1.\"<\/p>\r\n

Donc \"\sqrt{\pi }=\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) ,\" et on trouve :

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$f_{T}\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{l}\frac{x^{\left( \frac{1}{2}-1\right) }}{\,\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }\exp \left( -x\right) \text{ si }x>0 \\ 0\text{ si }x\leqslant 0\end{array}\right. $}}\]\"<\/p>. Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$T$ suit la loi $\gamma \left( \frac{1}{2}\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\bullet\" On note, pour \"1\leqslant i\leqslant n,\" \"T_{i}=\frac{1}{2}\left( \frac{X_{i}-\mu }{\sigma }\right) ^{2}.\" Comme \"\frac{X_{i}-\mu }{\sigma }\hookrightarrow \mathcal{N}\left( 0,1\right) ,\" on sait que \"T_{i}\hookrightarrow \mathcal{\gamma }\left( \frac{1}{2}\right)\" par le point pr\u00e9c\u00e9dent\".\"<\/p>\r\n

Les variables \"T_{i},1\leqslant i\leqslant n,\" sont ind\u00e9pendantes (par le lemme des coalitions car les \"X_{i},1\leqslant i\leqslant n,\" le sont), et toutes de loi \"\gamma \left( \frac{1}{2}\right).\"<\/p>\r\n

Donc, par stabilit\u00e9 de la loi \"\gamma ,\" \"\sum\limits_{i=1}^{n}T_{i}\" suit la loi \"\gamma \left( \frac{n}{2}\right),\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\left( \frac{X_{i}-\mu }{\sigma }\right)^{2}\hookrightarrow \gamma \left( \frac{n}{2}\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\sum\limits_{i=1}^{n}\left( \frac{X_{i}-\mu }{\sigma }\right)^{2}\hookrightarrow \chi ^{2}\left( n\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

11\/ a\/<\/strong> On pose \"M=\left( m_{i,j}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}.\"<\/p>\r\n

\"H=MG,\" donc pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] ,\" \"H_{i}=\sum\limits_{j=1}^{n}\underset{\text{r\'eel}}{\underbrace{m_{i,j}}}G_{j}.\"<\/p>\r\n

\"\left( G_{1},...,G_{n}\right)\" est un vecteur gaussien, donc par d\u00e9finition, pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] ,\" \"H_{i}\" est une variable gaussienne centr\u00e9e.<\/p>\r\n

Soit alors \"a=\left( a_{1},...,a_{n}\right)\" dans \"\mathbb{R}^{n}.\"<\/p>\r\n

\"\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}H_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_{i}\sum\limits_{j=1}^{n}m_{i,j}G_{j}\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{i}m_{i,j}G_{j}=\sum\limits_{j=1}^{n}\underset{\text{r\'eel}}{\underbrace{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i,j}a_{i}\right) }}G_{j}.\"<\/p>\r\n

\"\left( G_{1},...,G_{n}\right)\" est un vecteur gaussien, donc par d\u00e9finition, \"\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}H_{i}\" est une variable gaussienne centr\u00e9e.<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\left( H_{1},...,H_{n}\right) $ est un vecteur gaussien.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Pour tout \"i\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] ,\" \"G_{i}\" admet un moment d’ordre \"2,\" donc d’apr\u00e8s le cours,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{pour tout $\left( i,j\right) \in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right]^{2},$ $G_{i}G_{j}$ admet une esp\'erance.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

12\/ a\/<\/strong> Soit \"a=\left( a_{1},...,a_{n}\right) .\"<\/p>\r\n

Si \"a=0,\" alors \"\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}G_{i}=0\" et \"\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}G_{i}\" est une gaussienne centr\u00e9e.<\/p>\r\n

On suppose \"a\neq 0\" pour la suite du raisonnement.<\/p>\r\n

Soit \"i\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] .\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" ou bien \"a_{i}\neq 0.\" Alors \"a_{i}G_{i}\hookrightarrow \mathcal{N}\left(0,a_{i}^{2}\right)\" (stabilit\u00e9 par transformation affine de la loi normale).<\/p>\r\n

\"\bullet\" ou bien \"a_{i}=0.\" Alors \"a_{i}G_{i}\" est la variable constante nulle.<\/p>\r\n

On note \"I=\left\{ i\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right]\,\,/\,\,a_{i}\neq 0\right\} .\" \"I\neq \varnothing\" car \"a\neq 0.\"<\/p>\r\n

Les variables \"a_{i}G_{i},\,i\in I,\" sont ind\u00e9pendantes et toutes de loi normale, donc, par stabilit\u00e9 de la loi normale, \"\sum\limits_{i\inI}a_{i}G_{i}\hookrightarrow \mathcal{N}\left( 0,\sum\limits_{i\inI}a_{i}^{2}\right) .\"<\/p>\r\n

Or \"\sum\limits_{i\in I}a_{i}G_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}G_{i}\" car on rajoute des variables constantes nulles et \"\sum\limits_{i\inI}a_{i}^{2}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\" car on rajoute des termes nuls,
donc \"\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}G_{i}\hookrightarrow \mathcal{N}\left(0,\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) .\"<\/p>\r\n

Donc \"\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}G_{i}\" est une gaussienne centr\u00e9e.<\/p>\r\n

Donc pour tout \"a=\left( a_{1},...,a_{n}\right),\,\,\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}G_{i}\" est une gaussienne centr\u00e9e,<\/p>\r\n

donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\left( G_{1},G_{2},...,G_{n}\right) $ est un vecteur gaussien.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Soit \"\left( i,j\right) \in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] ^{2}\" avec \"i\neq j.\"<\/p>\r\n

\"E\left( G_{i}G_{j}\right) =E\left( G_{i}\right) E\left( G_{j}\right)\" car \"G_{i}\" et \"G_{j}\" sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\r\n

Donc \"E\left( G_{i}G_{j}\right) =0\" car \"E\left( G_{i}\right) =0.\"<\/p>\r\n

Soit \"i\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] .\" Alors \"E\left(G_{i}G_{i}\right) =E\left( G_{i}^{2}\right) \underset{\text{Koenig-Huygens}}{\underbrace{=}}\underset{=1}{\underbrace{V\left( G_{i}\right) }}+\underset{=0}{\underbrace{\left[ E\left( G_{i}\right) \right] ^{2}}}=1.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\Lambda \left( G\right) =I_{n}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On note \"Q=\left( q_{i,j}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}.\"<\/p>\r\n

\"H=QG,\" donc par d\u00e9finition du produit matriciel, on a \"\forall i\in\left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right],\,\,H_{i}=\sum\limits_{j=1}^{n}q_{i,j}G_{j}.\"<\/p>\r\n

\"Q\" est orthogonale, donc \"Q\,^{t}Q=I_{n}\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"i\in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] .\"<\/p>\r\n

\"\left( G_{1},...,G_{n}\right)\" est un vecteur gaussien d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\r\n

Donc \"\left( H_{1},...,H_{n}\right)\" est un vecteur gaussien d’apr\u00e8s la question 11\/ a\/.<\/p>\r\n

En prenant \"a=\left( 0,...,0,1,0,...,0\right) ,\" avec \"1\" en \"i^{\grave{e}me}\" position, on a \"H_{i}\" est une gaussienne centr\u00e9e.<\/p>\r\n

Or \"V\left( H_{i}\right) =\" \"V\left(\sum\limits_{j=1}^{n}q_{i,j}G_{j}\right) =\sum\limits_{j=1}^{n}\left(q_{i,j}\right) ^{2}\underset{=1}{\underbrace{V\left( G_{j}\right) }}\" car les variables \"G_{j},1\leqslant j\leqslant n,\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes.<\/p>\r\n

Donc \"V\left( H_{i}\right) =\sum\limits_{j=1}^{n}\left( q_{i,j}\right)^{2}=\sum\limits_{j=1}^{n}q_{i,j}\times q_{i,j}=1\" car on reconna\u00eet un terme diagonal de \"Q\,^{t}Q=I_{n}.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$H_{i}\hookrightarrow \mathcal{N}\left( 0,1\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"\left( i,j\right) \in \left[ \!\left[ 1,n\right] \!\right] ^{2}.\"<\/p>\r\n

\"E\left( H_{i}H_{j}\right) =E\left( \left(\sum\limits_{k=1}^{n}q_{i,k}G_{k}\right) \left(\sum\limits_{l=1}^{n}q_{j,l}G_{l}\right) \right)\"<\/p>\r\n

\"=E\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{l=1}^{n}q_{i,k}q_{j,l}G_{k}G_{l}\right)\"<\/p>\r\n

\"=\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{l=1}^{n}q_{i,k}q_{j,l}E\left( G_{k}G_{l}\right)\" par lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance<\/p>\r\n

\"=\sum\limits_{k=1}^{n}q_{i,k}q_{j,k}\underset{=1}{\underbrace{E\left(G_{k}^{2}\right) }}+\sum\limits_{k\neq l}q_{i,k}q_{j,l}\underset{=0}{\underbrace{E\left( G_{k}G_{l}\right) }}\" d’apr\u00e8s \"a)\"<\/p>\r\n

\"=\sum\limits_{k=1}^{n}q_{i,k}q_{j,k}\"<\/p>\r\n

On reconna\u00eet le terme g\u00e9n\u00e9ral de \"Q\,^{t}Q.\"<\/p>\r\n

Donc \"\Lambda \left( H\right) =Q\,^{t}Q=I_{n}\" car \"Q\" est une matrice orthogonale.<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\Lambda \left( H\right) =\Lambda \left( G\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc pour tout \"\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n},\,\,\,\"<\/p>\r\n

\"P\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}\left( H_{i}\leqslant x_{i}\right) \right)=P\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}\left( G_{i}\leqslant x_{i}\right) \right)\"<\/p>\r\n

\"=\prod\limits_{i=1}^{n}P\left( G_{i}\leqslant x_{i}\right)\" par ind\u00e9pendance des \"G_{i},1\leqslant i\leqslant n\"<\/p>\r\n

\"=\prod\limits_{i=1}^{n}P\left( H_{i}\leqslant x_{i}\right)\" car \"H_{i}\" et \"G_{i}\" ont m\u00eame loi \"\mathcal{N}\left( 0,1\right)\".<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{les variables $H_{1},H_{2},...,H_{n}$ sont mutuellement ind\'ependantes.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

13\/ a\/<\/strong> \"\sum\limits_{i=1}^{k}P_{i}=I_{n}\" et \"\sum\limits_{i=1}^{k}r_{i}=n,\" donc d’apr\u00e8s la question \"3.c/,\" \"P_{1},P_{2},...,P_{k}\" sont des matrices de projecteurs not\u00e9s respectivement \"p_{1},p_{2},...,p_{k}.\"<\/p>\r\n

De plus, \"P_{1}=mat_{\mathcal{B}}\left( p_{1}\right) ,...,P_{k}=mat_{\mathcal{B}}\left( p_{k}\right)\" sont sym\u00e9triques r\u00e9elles et \"\mathcal{B}\" est une base orthonorm\u00e9e, donc d’apr\u00e8s la question 4.a),<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$P_{1},...,P_{k}$ sont des matrices de projecteurs orthogonaux.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Soit \"\left( i,j\right) \in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ^{2},\" avec \"i\neq j.\"<\/p>\r\n

Soit \"\left( x,y\right) \in \func{Im}\left( p_{i}\right) \times \func{Im}\left( p_{j}\right) .\"<\/p>\r\n

\"\left\langle x,y\right\rangle =\left\langle p_{i}\left( x\right),p_{j}\left( y\right) \right\rangle\" car \"\func{Im}\left( p_{i}\right)=\ker \left( p_{i}-Id_{\mathbb{R}^{n}}\right)\" et \"\func{Im}\left(p_{j}\right) =\ker \left( p_{j}-Id_{\mathbb{R}^{n}}\right)\"<\/p>\r\n

Donc \"\left\langle x,y\right\rangle =\left\langle x,p_{i}\left( p_{j}\left(y\right) \right) \right\rangle\" car \"p_{i}\" est un endomorphisme sym\u00e9trique (sa matrice repr\u00e9sentative dans la base \"\mathcal{B}\" orthonorm\u00e9e est sym\u00e9trique r\u00e9elle)<\/p>\r\n

Or \"p_{i}\circ p_{j}=0_{\mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{n}\right) }\" d’apr\u00e8s la question 3.c\/ puisque \"i\neq j,\" donc \"\left\langle x,y\right\rangle =0.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\func{Im}\left( p_{i}\right) $ et $\func{Im}\left( p_{j}\right) $sont orthogonaux.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> D’apr\u00e8s la question 3, on a \"\mathbb{R}^{n}=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}\func{Im}\left( p_{i}\right) .\"<\/p>\r\n

On note, pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\mathcal{B}_{i}^{\prime }\" une base orthonorm\u00e9e de \"\func{Im}\left( p_{i}\right) ,\" et \"\mathcal{B}^{\prime }\" la concat\u00e9nation des \"\mathcal{B}_{i}^{\prime},1\leqslant i\leqslant k.\" \"\mathcal{B}^{\prime }\" est donc une base orthonorm\u00e9e de \"\mathbb{R}^{n}.\"<\/p>\r\n

On note \"Q\" la matrice de passage de \"\mathcal{B}^{\prime }\" \u00e0 \"\mathcal{B}.\" \"Q\" est la matrice de passage d’une base orthonorm\u00e9e \u00e0 une base orthonorm\u00e9e, c’est donc une matrice orthogonale.<\/p>\r\n

On note pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\Delta_{i}=\,Q\,P_{i}\,^{t}Q=mat_{\mathcal{B}^{\prime }}\left( p_{i}\right) .\"<\/p>\r\n

Pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\" \"p_{i}\" est le projecteur orthogonal sur \"\func{Im}\left( p_{i}\right) .\" Donc les vecteurs de \"\mathcal{B}_{i}^{\prime }\" ont pour image eux-m\u00eames car ils sont dans \"\func{Im}\left( p_{i}\right)\", et les vecteurs de \"\mathcal{B}^{\prime}\backslash \mathcal{B}_{i}^{\prime }\" sont dans \"\left( \func{Im}\left(p_{i}\right) \right) ^{\perp }\" d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, donc dans \"\ker \left( p_{i}\right) .\"<\/p>\r\n

Donc pour \"i\in \left[ \!\left[ 1,k\right] \!\right] ,\Delta _{i}=Diag\left( \underset{r_{1}\text{ fois}}{\underbrace{0,...,0}},...,\underset{r_{i-1}\text{ fois}}{\underbrace{0,...,0}},\underset{r_{i}\text{ fois}}{\underbrace{1,...,1}},\underset{r_{i+1}\text{ fois}}{\underbrace{0,...,0}},...,\underset{r_{k}\text{ fois}}{\underbrace{0,...,0}}\right) .\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{il existe $Q$ orthogonale telle que pour tout $i\in \left[\!\left[ 1,k\right] \!\right] ,$ $Q\,P_{i}\,^{t}Q$ est diagonale.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> On suppose que \"r_{1}\neq 0.\" \"^{t}G\,P_{1}\,G=\,^{t}G\,^{t}Q\,\Delta _{1}\,Q\,G=\,^{t}\left( QG\right) \,\Delta _{1}\,\left( QG\right)\"<\/p>\r\n

\"\left( G_{1},...,G_{k}\right)\" est un vecteur gaussien et toutes les variables al\u00e9atoires ont une variance \u00e9gale \u00e0 \"1\", donc avec la m\u00eame d\u00e9marche qu’\u00e0 la question 12.a), on montre que \"G_{1},...,G_{k}\" suivent toutes la loi \"\mathcal{N}\left( 0,1\right) .\"<\/p>\r\n

On pose \"H=QG.\"<\/p>\r\n

\"Q\" est une matrice orthogonale, et \"G_{1},G_{2},...,G_{k}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes et toutes de loi \"\mathcal{N}\left(0,1\right) ,\" donc d’apr\u00e8s la question 12.b\/, \"H_{1},...,H_{k}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes et toutes de loi \"\mathcal{N}\left(0,1\right) .\"<\/p>\r\n

De plus, \"^{t}\left( QG\right) \,\Delta _{1}\,\left( QG\right)=\sum\limits_{i=1}^{r_{1}}H_{i}^{2},\" et les variables al\u00e9atoires \"H_{1},...,H_{k}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes et toutes de loi \"\mathcal{N}\left( 0,1\right) ,\" donc, d’apr\u00e8s la question 10, avec \"\mu=0\" et \"\sigma =1,\" \"\sum\limits_{i=1}^{r_{1}}H_{i}^{2}\hookrightarrow \chi^{2}\left( r_{1}\right) .\" Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$^{t}G\,P_{1}\,G\hookrightarrow \chi^{2}\left( r_{1}\right) .$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> Avec les m\u00eames notations qu’au c\/<\/strong>, on a<\/p>\r\n

\"^{t}G\,P_{1}\,G=\sum\limits_{i=1}^{r_{1}}H_{i}^{2},\,\,\,\,^{t}G\,P_{2}\,G=\sum\limits_{i=r_{1}+1}^{r_{2}}H_{i}^{2},\,\,\,...\,\,\,\,,^{t}G\,P_{k}\,G=\sum\limits_{i=r_{k-1}+1}^{r_{k}}H_{i}^{2}.\"<\/p>\r\n

Or les variables \"H_{1},H_{2},...,H_{k}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes, donc par le lemme des coalitions,

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$^{t}G\,P_{1}\,G,^{t}G\,P_{2}\,G,...,^{t}G\,P_{k}\,G$ sont mutuellement ind\'ependantes.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

 <\/p>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2016 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Partie I. Partitions de l’identit\u00e9 1\/ a\/ est une matrice triangulaire, donc ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux, donc     a une colonne nulle et deux colonnes non proportionnelles, donc Donc, par le th\u00e9or\u00e8me du rang, […]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"yoast_head":"\nCorrig\u00e9 du sujet d'annale de maths 1 HEC ECS 2016<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths 1 HEC-ESSEC 2016 voie ECS : r\u00e9duction, polyn\u00f4mes annulateurs, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, vecteurs gaussiens...\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths 1 HEC ECS 2016\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths 1 HEC-ESSEC 2016 voie ECS : r\u00e9duction, polyn\u00f4mes annulateurs, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, vecteurs gaussiens...\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Groupe R\u00e9ussite\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-06-11T16:56:14+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"32 minutes\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/\",\"name\":\"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths 1 HEC ECS 2016\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website\"},\"datePublished\":\"2019-08-19T17:04:29+00:00\",\"dateModified\":\"2022-06-11T16:56:14+00:00\",\"description\":\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths 1 HEC-ESSEC 2016 voie ECS : r\u00e9duction, polyn\u00f4mes annulateurs, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, vecteurs gaussiens...\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Accueil\",\"item\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2016\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite\",\"description\":\"Stage et Cours particuliers maths, fran\u00e7ais, anglais, informatique, physique chimie\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"fr-FR\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/cropped-cropped-logo-1-1.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/cropped-cropped-logo-1-1.png\",\"width\":273,\"height\":75,\"caption\":\"Groupe R\u00e9ussite\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/\"}}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths 1 HEC ECS 2016","description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths 1 HEC-ESSEC 2016 voie ECS : r\u00e9duction, polyn\u00f4mes annulateurs, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, vecteurs gaussiens...","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/","og_locale":"fr_FR","og_type":"article","og_title":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths 1 HEC ECS 2016","og_description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths 1 HEC-ESSEC 2016 voie ECS : r\u00e9duction, polyn\u00f4mes annulateurs, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, vecteurs gaussiens...","og_url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/","og_site_name":"Groupe R\u00e9ussite","article_modified_time":"2022-06-11T16:56:14+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e":"32 minutes"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/","name":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths 1 HEC ECS 2016","isPartOf":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website"},"datePublished":"2019-08-19T17:04:29+00:00","dateModified":"2022-06-11T16:56:14+00:00","description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths 1 HEC-ESSEC 2016 voie ECS : r\u00e9duction, polyn\u00f4mes annulateurs, alg\u00e8bre bilin\u00e9aire, vecteurs gaussiens...","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fr-FR","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2016\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Accueil","item":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2016"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/","name":"Groupe R\u00e9ussite","description":"Stage et Cours particuliers maths, fran\u00e7ais, anglais, informatique, physique chimie","publisher":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"fr-FR"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization","name":"Groupe R\u00e9ussite","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fr-FR","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/cropped-cropped-logo-1-1.png","contentUrl":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/cropped-cropped-logo-1-1.png","width":273,"height":75,"caption":"Groupe R\u00e9ussite"},"image":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/"}}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/34283"}],"collection":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=34283"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/34283\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=34283"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}