{"id":34301,"date":"2019-08-19T14:23:33","date_gmt":"2019-08-19T13:23:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34301"},"modified":"2022-07-20T11:38:27","modified_gmt":"2022-07-20T10:38:27","slug":"cours-en-ligne-corriges-series-numeriques-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-series-numeriques-ecs1\/","title":{"rendered":"S\u00e9ries num\u00e9riques en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s d’exercices : S\u00e9ries num\u00e9riques en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – S\u00e9ries num\u00e9riques<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> Pour tout \"n \in \mathbb{N},\" on a \"\dfrac{3^{2n + 1}}{n!} = 3 \times \dfrac{\left( 3^2 \right)^n}{n!} = 3 \times \dfrac{9^n}{n!}\" et que l’on sait que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \dfrac{9^n}{n!}\" converge (c’est une s\u00e9rie exponentielle), il en r\u00e9sulte que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \dfrac{3^{2n + 1}}{n!}\" converge. Ainsi<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{3^{2n + 1}}{n!}\" \"= 3 \times \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{9^n}{n!}\"
\n\"= 3 e^9\".<\/p>\n

2)<\/strong> Pour tout \"n \in \mathbb{N},\" on a \"n \dfrac{4^n}{3^{2n}} = \dfrac49 n \left( \dfrac49 \right)^{n - 1}\" et que l’on sait que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum n \left( \dfrac49 \right)^{n - 1}\" converge, il s’ensuit que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum n \dfrac{4^n}{3^{2n}}\" converge. De plus, on a<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} n \dfrac{4^n}{3^{2n}}\" \"= \dfrac49 \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} n \left( \dfrac49 \right)^{n - 1}\"
\n\"= \dfrac49 \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} n \left( \dfrac49 \right)^{n - 1 }\"
\n\"= \dfrac49 \times \dfrac{1}{\left( 1 - \dfrac49 \right)^2}\"
\n\"= \dfrac{36}{25}\".<\/p>\n

3)<\/strong> Pour tout \"n _in \mathbb{N},\" on a \"\dfrac{n}{ \left( n + 1 \right)!} = \dfrac{n + 1 - 1}{\left( n + 1 \right)!} = \dfrac{1}{n!} - \dfrac{1}{\left( n + 1 \right)!}.\" Soit \"N\in \mathbb{N},\" on a<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^N \dfrac{n}{ \left( n + 1 \right)!}\"\u00a0 \"= \displaystyle\sum_{n=0}^N \left( \dfrac{1}{n!} - \dfrac{1}{\left( n + 1 \right)!} \right)\"
\n\"= 1 - \dfrac{1}{\left( N + 1 \right)!}\".<\/p>\n

Comme \"\lim_{N \to + \infty} \left( 1 - \dfrac{1}{\left( N + 1 \right)!} \right) = 1,\" il en r\u00e9sulte que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \dfrac{n}{ \left( n + 1 \right)!}\" converge et<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{n}{ \left( n + 1 \right)!} = 1.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/b> La s\u00e9rie \"\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^x}\" converge si, et seulement si, \"x > 1.\" C’est le crit\u00e8re de Riemann qui l’assure !<\/p>\n

2)<\/strong> Soit \"x > 1.\" Soit \"f_x\" la fonction<\/a> d\u00e9finie sur \"\left] 0 , + \infty \right[\" par \"f_x \left( t \right) = \dfrac{1}{t^x}.\"<\/p>\n

Il est facile de voir que \"f_x\" est d\u00e9croissante sur \"\left] 0 , + \infty \right[.\" Soit \"n\" un entier sup\u00e9rieur \u00e0 \"2.\" On a alors<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_n^{n + 1} f_x \left( t \right) dt\" \"\le f_x \left( n \right)\" \"\le \int_{n - 1}^n f_x \left( t \right) dt.\"
\nOn somme cette relation pour \"n\" compris entre \"2\" et \"+ \infty,\" ce qui donne<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_2^{+ \infty} \dfrac{1}{t^x} dt\" \"\le \displaystyle\sum_{n = 2}^{+ \infty} \dfrac{1}{n^x}\" \"\le \int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t^x} dt.\"
\nSoit en calculant les int\u00e9grales<\/a> (on rappelle qu’une primitive de \"t \mapsto \dfrac{1}{t^x}\" est \"t \mapsto \dfrac{t^{-x +1}}{- x +1}\")<\/div>\n
<\/div>\n
\"\dfrac{2^{- x + 1}}{x - 1 }\" \"\le \displaystyle\sum_{n= 1}^{+ \infty} \dfrac{1}{n^x}\" \"\le \dfrac{1}{x - 1}.\"
\nOn ajoute \"1\" dans cette in\u00e9galit\u00e9 pour faire appara\u00eetre \"\zeta \left( x \right).\" On a donc<\/div>\n
<\/div>\n
\"1 + \dfrac{2^{- x + 1}}{x - 1 }\" \"\le \zeta \left( x \right)\" \"\le 1 + \dfrac{1}{x - 1}.\"
\nAinsi, en multipliant par \"x - 1 \ge 0,\" il vient que :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\left( x - 1 \right) + 2^{- x + 1}\" \"\le \left( x - 1 \right) \zeta \left( x \right)\" \"\le x .\"
\nComme \"\lim_{x \to 1} \left( x - 1 \right) + 2^{- x + 1} = \lim_{x \to 1} x = 1,\" on r\u00e9cup\u00e8re que<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \to 1} \left( x - 1 \right) \zeta \left( x \right) = 1.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n
\n

Exercice 3 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong>\u00a0Pour \"n \ge 0,\" on a \"u_{n + 1} - u_n = - u_n^2 \le 0.\" On en d\u00e9duit que la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

Pour montrer que la suite<\/a> \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge, il suffit de montrer qu’elle est minor\u00e9e.<\/div>\n
On conjecture que pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"u_n \ge 0.\" Montrons cela par r\u00e9currence. Pour \"n \in \mathbb{N},\" on pose \"\mathcal P_n\" : \u00ab\u00a0\"0 \le u_n \le 1\"\u00ab\u00a0.<\/div>\n
\"\bullet\" \"\mathcal P_0\" est vraie car \"u_0 = \dfrac12.\"<\/div>\n
\"\bullet\" Supposons \"\mathcal P_n\" vraie, montrons que \"\mathcal P_{n + 1}\" est vraie.<\/div>\n
Une simple \u00e9tude du trin\u00f4me montre que, pour \"x \in \left[ 0 , 1 \right],\" on a \"0 \le x - x^2 \le \dfrac14.\" Par l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence, on a \"0 \le u_n \le 1\" donc \"0 \le u_n - u_n^2 \le \dfrac14\" soit \"0 \le u_{n + 1} \le \dfrac14 \le 1.\" Ainsi \"\mathcal P_{n + 1}\" est vraie.<\/div>\n
On a montr\u00e9, par r\u00e9currence, que \"\mathcal P_n\" est vraie pour tout \"n \in \mathbb{N}.\"<\/div>\n
La suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante, minor\u00e9e : elle converge. On appelle \"l\" la limite.<\/div>\n
En passant \u00e0 la limite dans la relation de r\u00e9currence, on obtient l’\u00e9quation suivante sur \"l:\" \"l = l - l^2\" soit \"l = 0.\"<\/div>\n
2)<\/strong>\u00a0On remarque que \"u_n^2 = u_n - u_{n + 1}.\" Pour \"N \in \mathbb{N},\" on a<\/div>\n
\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^N u_n^2\" \"= \displaystyle\sum_{n = 0}^N \left( u_n - u_{n + 1} \right)\" \"= u_0 - u_{N + 1}^2\" \"= \dfrac12 - u_{N + 1}^2.\"<\/p>\n

Comme \"\lim_{N \to +\infty} u_{N +1}^2 = 0,\" on obtient : \"\lim_{N \to +\infty} \displaystyle\sum_{n=0}^N u_n^2 = \dfrac12.\" Ainsi la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum_{n \ge 0} u_n^2\" converge et \"\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} u_n^2 = \dfrac12.\"<\/div>\n
3)<\/strong>\u00a0Remarquons que, comme \"u_n > 0\" pour tout \"n \in \N,\" \"\ln \left( \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \right)\" est bien d\u00e9fini. On a<\/div>\n
\n

\"\ln \left( \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \right)\" \"= \ln \left( u_{n + 1} \right) - \ln \left( u_n \right).\"<\/p>\n

Ainsi, pour \"N \ge 0,\" on a<\/div>\n
\"\displaystyle\sum_{n=0}^N \ln \left( \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \right)\" \"= \displaystyle\sum_{n=0}^N \left( \ln \left( u_{n + 1} \right) - \ln \left( u_n \right) \right)\" \"= \ln \left( u_{N + 1} \right) - \ln \left( u_0 \right) .\"
\nComme \"\lim_{N \to +\infty} u_{N + 1} = 0,\" on a, par composition des limites, \"\lim_{N \to +\infty} \ln \left( u_{N + 1} \right) = - \infty,\" ainsi<\/div>\n
\"\lim_{N \to +\infty} \displaystyle\sum_{n=0}^N \ln \left( \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \right)\" \"= - \infty.\"
\nLa s\u00e9rie \"\displaystyle\sum_{n \ge 0} \ln \left( \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \right)\" diverge.<\/div>\n
<\/div>\n
\n

4)<\/strong>\u00a0Remarquons, que pour \"n \in n,\" on a \"\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} = \dfrac{u_n - u_n^2}{u_n} = 1 - u_n,\" ainsi<\/p>\n

<\/div>\n
\"\ln \left( \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \right)\" \"= \ln \left( 1 - u_n \right) \underset{n \to +\infty}{\sim} -u_n\"
\ncar \"\lim_{n \to +\infty} u_n =0\" et \"\ln \left( 1 - u \right) \underset{u \to 0}{\sim} -u.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Comme \"- u_n \le 0\" (de signe constant), les s\u00e9ries \"\displaystyle\sum_{n \ge 0} \left( - u_n \right)\" et \"\displaystyle\sum_{n \ge 0} \ln \left( \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \right)\" sont de m\u00eame nature. Or, d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum_{n \ge 0} \ln \left( \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \right)\" diverge.<\/div>\n
Finalement la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum_{n \ge 0} u_n\" diverge.<\/div>\n
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Exercice 4 :<\/h3>\n

\"\bullet\" On suppose que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum u_n\" converge<\/a>, montrons que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum v_n\" converge.<\/p>\n

\n
Dire que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum u_n\" converge, c’est dire que la suite \"\left( S_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge vers un r\u00e9el \"S > 0.\" Ainsi \"v_n \underset{n \to + \infty}{\sim} \dfrac{u_{n + 1}}{S}.\"<\/div>\n
Comme \"v_n\" et \"\dfrac{u_{n + 1}}{S},\" les s\u00e9ries \"\displaystyle\sum v_n\" et \"\displaystyle\sum \dfrac{u_{n + 1}}{S}\" sont de m\u00eame nature. Il s’ensuit que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum v_n\" converge.<\/div>\n
\"\bullet\" On suppose que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum u_n\" diverge, montrons que la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum v_n\" diverge.<\/div>\n
Par d\u00e9croissance de \"t \mapsto \dfrac1t\" sur \"\mathbb{R}_+^*,\" on a<\/div>\n
\"\int_{S_{k - 1}}^{S_k} \dfrac1t dt \le \dfrac{S_k - S_{k - 1}}{S_{k - 1}}\" \"= \dfrac{u_k}{S_{k - 1}}.\"
\nEn sommant cette in\u00e9galit\u00e9 entre \"2\" et \"n,\" on a<\/div>\n
\"\int_{S_1}^{S_n} \dfrac1t dt \le \displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{u_k}{S_{k - 1}}\" \"= \displaystyle\sum_{k=2}^n v_{k - 1}.\"
\nOr \"\int_{S_1}^{S_n} \dfrac1t dt = \ln \left( S_n \right) - \ln \left( S_1 \right).\" Comme \"\lim_{n \to + \infty} \ln \left( S_n \right) = + \infty,\" il s’ensuit que<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{n \to + \infty} \displaystyle\sum_{k=2}^n v_{k - 1} = + \infty,\]\"<\/p>\n

soit la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum v_n\" diverge.Si vous \u00eates d\u00e9j\u00e0 parfaitement \u00e0 l’aise avec ce cours de maths en ECG1, v\u00e9rifiez si vos connaissances sont aussi solides dans les autres cours :<\/div>\n<\/div>\n

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