{"id":34306,"date":"2019-08-19T15:04:08","date_gmt":"2019-08-19T14:04:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34306"},"modified":"2025-03-12T17:12:07","modified_gmt":"2025-03-12T16:12:07","slug":"cours-en-ligne-integration-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-integration-ecs1\/","title":{"rendered":"Int\u00e9gration en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Int\u00e9gration en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Int\u00e9gration<\/h2>\n

1. Int\u00e9gration sur le segment<\/h3>\n

M\u00e9thode 1 : Savoir calculer des primitives.<\/b><\/p>\n

Dans tout le tableau, \"I\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\" et \"u\" est une fonction d\u00e9rivable d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" (sauf pour la derni\u00e8re ligne, o\u00f9 l’on suppose en plus que \"u\" ne s’annule pas sur \"I\"). \"c\" est une constante r\u00e9elle.<\/p>\n

Pour execeller dans le calcul des primitives, vous pouvez prendre des cours de maths<\/a> sur notre plateforme.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Exemple<\/b> : Calculer des primitives pour les fonctions suivantes sur les intervalles indiqu\u00e9s :<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0\"x \mapsto x e^{x^2}\" sur \"\mathbb{R},\"<\/p>\n

2)\u00a0<\/b>\"x \mapsto \frac{1}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}\" sur \"\left] a , b \right[\" avec \"a < b.\"<\/p>\n

Indication :<\/i>\u00a0On trouvera deux r\u00e9els \"c\" et \"d\" tels que \"\dfrac{1}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}\" \"= \dfrac{c}{x - a} + \frac{d}{x - b}.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : 1)<\/strong> On reconna\u00eet la forme 9 du tableau avec \"u \left( x \right) = x^2.\"<\/p>\n

Comme \"u ' \left( x \right) = 2x,\" on \u00e9crit \"x e^{x^2}\"<\/p>\n

= \"\dfrac12 \left( 2 x e^{x^2} \right)\"<\/p>\n

= \"\dfrac12 u ' \left( x \right) e^{u \left( x \right)}\"<\/p>\n

de sorte qu’une primitive sur \"\mathbb{R}\" de \"x \mapsto x e^{x^2}\" est \"x \mapsto \dfrac12 e^{x^2}.\"<\/p>\n

2)<\/strong> On suit l’indication et on cherche \"c\" et \"d\" tels que pour tout \"x \in \left] a , b \right[,\"<\/p>\n

\"\dfrac{1}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)} = \dfrac{c}{x - a} + \frac{d}{x - b}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a \"\dfrac{c}{x - a} + \dfrac{d}{x - b}\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"= \dfrac{c \left( x - b \right) + d \left( x - a \right)}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"= \dfrac{\left( c + d \right) x - \left( cb + a d \right)}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On r\u00e9cup\u00e8re, par \u00e9galit\u00e9 des fonctions polyn\u00f4mes<\/a>, les \u00e9quations suivantes :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\begin{cases} c + d & = 0 \\ - \left( cb + a d \right) & = 1 \end{cases}.\"<\/div>\n
\nLa r\u00e9solution de ce syst\u00e8me donne \"c = - \dfrac{1}{b - a}\" et \"d = \dfrac{1}{b - a}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Une primitive sur \"\left]a , b \right[\" de \"x \mapsto \dfrac{1}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}\" est<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x \mapsto - \dfrac{1}{b - a} \ln \left( \left| x - a \right| \right) + \dfrac{1}{b - a} \ln \left( \left| x - b \right| \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
Attention \u00e0 ne pas oublier les valeurs absolues ! Comme \"x \in \left] a , b \right[,\"<\/div>\n
<\/div>\n
cela donne apr\u00e8s simplification<\/div>\n
<\/div>\n
\"x \mapsto - \dfrac{1}{b - a} \ln \left( x - a \right)\" \"+ \dfrac{1}{b - a} \ln \left( b -x \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
<\/div>\n
<\/div>\n
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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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<\/div>\n
<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 2 :<\/b>\u00a0 Faire une int\u00e9gration par parties.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
On rappelle la formule d’int\u00e9gration par parties : pour \"u, v : \left[ a , b \right] \to \mathbb{R}\" deux fonctions de\u00a0classe \"C^1\"<\/b> sur \"\left[ a , b \right],\" alors<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_a^b u \left( t \right) v ' \left( t \right) dt\" \"= \left[ u \left( t \right) v \left( t \right) \right]_a^b\" \"- \int_a^b u ' \left( t \right) v \left( t \right) d t.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Pour appliquer cette formule, il faut faire un choix. Que choisir pour \"u\" et pour \"v'\" ? Ce choix est important car il faut avoir en t\u00eate qu’\u00e0 la fin d’une int\u00e9gration par parties, il y a encore une int\u00e9grale \u00e0 calculer. Il faut donc que cette nouvelle int\u00e9grale soit plus simple \u00e0 calculer que la pr\u00e9c\u00e9dente, sinon l’int\u00e9gration par parties aura \u00e9t\u00e9 inutile ! Donnons quelques pistes :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" Pour des int\u00e9grales du type \"\int_a^b P \left( t \right) \begin{cases} e^{\alpha t} \\ \cos \left( \alpha t \right) \\ \sin \left( \alpha t \right) \end{cases} d t,\" on peut d\u00e9river le polyn\u00f4me.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" Pour des int\u00e9grales du type \"\int_a^b \ln \left( t \right) P \left( t \right) d t,\" on peut d\u00e9river \"t \mapsto \ln \left( t \right)\".<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" Pour les int\u00e9grales du type \"\int_a^b t^n e^{-t^2 / 2} dt,\" on peut \u00e9crire l’int\u00e9grale sous la forme \"- \int_a^b t^{n - 1} \times \left( - t e^{-t^2 / 2} \right) dt\" et remarquer que \"t \mapsto - t e^{-t^2 / 2}\" se primitive en \"t \mapsto e^{- t^2 / 2}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Cet exemple sera tr\u00e8s important lorsque l’on \u00e9tudiera les lois normales.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" Lorsque l’on a pas de produit, c’est-\u00e0-dire lorsque l’int\u00e9grale est de la forme \"\int_a^b f \left( t \right) dt,\" on peut essayer de poser \"v ' \left( t \right) = 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Remarque :<\/i> Il est bon pour une r\u00e9daction propre d’une int\u00e9gration par parties de d\u00e9finir d’abord les fonctions \"u\" et \"v,\" de pr\u00e9ciser qu’elles sont \"C^1\" sur l’intervalle consid\u00e9r\u00e9.<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 3 : Faire un changement de variable.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
Nous rappelons ci-dessous la formule du changement de variable.<\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"\varphi\" une fonction de classe \"C^1\" sur \"\left[ a , b \right]\" d\u00e9finissant une bijection de \"\left[ a , b \right]\" sur \"\left[ \varphi \left( a \right) , \varphi \left( b \right) \right].\"<\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"J\" contenant le segment d’extr\u00e9mit\u00e9s \"\varphi \left( a \right)\" et \"\varphi \left( b \right)\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R},\"<\/div>\n
<\/div>\n
alors<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_{\varphi \left( a \right)}^{\varphi \left( b \right)} f \left( t \right) dt\"\u00a0 \"= \int_a^b f \left( \varphi \left( u \right) \right) \varphi ' \left( u \right) du.\"<\/div>\n
<\/div>\n
En pratique, cette formule est difficilement m\u00e9moris\u00e9e par les \u00e9tudiants et vous passez rapidement \u00e0 la \u00ab\u00a0recette assez efficace\u00a0\u00bb que voici : soit \u00e0 calculer \"\int_c^d f \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Vous avez l’id\u00e9e ou l’\u00e9nonc\u00e9 vous sugg\u00e8re un changement de variable que l’on note<\/div>\n
<\/div>\n
\"t = \varphi \left( u \right),\" \"\varphi\" \u00e9tant de classe \"C^1\" et bijective de \"\left[ a , b \right]\" sur \"\left[ c , d \right]\" (condition absente dans l’\u00e9nonc\u00e9).<\/div>\n
<\/div>\n
On \u00ab\u00a0oublie\u00a0\u00bb en g\u00e9n\u00e9ral l’intervalle \"\left[ a , b \right]\" de d\u00e9finition de \"\varphi\" qui donne une bijection de \"\left[ a , b \right]\" sur \"\left[ c , d \right]\" en disant simplement que \"\varphi\" est bijective.<\/div>\n
<\/div>\n
Il faudrait pr\u00e9ciser \"\left[ a , b \right]\" pour \u00eatre rigoureux.<\/div>\n
<\/div>\n
Dans la suite<\/a>, on suivra mieux les \u00e9tapes en m\u00e9morisant que \"t\" est l’ancienne variable et \"u\" la nouvelle.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\cdots\" on remplace dans \"f \left( t \right),\" \"t\" par \"\varphi \left( u \right)\" :<\/div>\n
<\/div>\n
on obtient \"f \left( t \right)\" \"= f \left( \varphi \left( u \right) \right)\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\cdots\" on remplace \"dt\" par \"\varphi ' \left( u \right) du\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\cdots\" on change les bornes en se posant les questions : <\/span><\/div>\n
<\/div>\n
Quelle est la valeur de \"u\" lorsque \"t\" vaut \"c\" soit \"u = \varphi^{-1} \left( c \right)\" et quelle est la valeur de \"u\" lorsque \"t = d\" <\/span><\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"u = \varphi^{-1} \left( d \right)\" ? et on change les bornes. N’oubliez pas cette \u00e9tape !<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
Et on obtient \"\int_c^d f \left( t \right) dt\" \"= \int_{\varphi^{-1} \left( c \right)}^{\varphi^{-1} \left( d \right)} f \left( \varphi \left( u \right) \right) \varphi ' \left( u \right) du.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Nous illustrons ci-dessous sur un exemple les \u00e9tapes du raisonnement<\/a>.<\/div>\n
<\/div>\n
Calculons \"\int_0^1 \dfrac{1}{e^t + 1} dt\" en faisant le changement de variable<\/div>\n
<\/div>\n
\"t = \ln \left( u \right)\" et en remarquant que \"\dfrac{1}{u \left( u + 1 \right)} = \dfrac1u - \dfrac{1}{u + 1}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On fera attention dans cet exemple que l’on a exprim\u00e9 le changement de variable sous la forme<\/div>\n
<\/div>\n
\"u = \psi \left( t \right),\" mais que l’on peut \u00e9crire sous la forme<\/div>\n
<\/div>\n
\"t = \ln \left( u \right)\" de fa\u00e7on \u00e0 utiliser la m\u00e9thode expos\u00e9e ci-dessus.<\/div>\n
<\/div>\n
La fonction \"u \mapsto \ln \left( u \right)\" est \"C^1\" sur \"\left] 0 , + \infty \right[\" et d\u00e9finit une bijection de \"\left] 0 , + \infty \right[\" sur \"\mathbb{R}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\cdots\" \"f \left( t \right) = \dfrac{1}{e^t + 1}\" s’\u00e9crit \"\dfrac{1}{u + 1}\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\cdots\" \"dt\" est remplac\u00e9 par \"\varphi ' \left( u \right) du\" soit \"\dfrac1u du\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\cdots\" lorsque \"t\" vaut \"0,\" \"u\" est \u00e9gal \u00e0 \"1,\" lorsque<\/div>\n
<\/div>\n
\"t\" vaut \"1,\" \"u\" est \u00e9gal \u00e0 \"e,\" donc<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_0^1 \dfrac{1}{e^t + 1} dt = \int_1^e \dfrac{1}{\left( u + 1 \right) u} du\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"= \int_1^e \left( \dfrac1u - \dfrac{1}{u + 1} \right) du\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"= \left[ \ln \left( u \right) - \ln \left( u + 1 \right) \right]_1^e\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"= 1 - \ln \left( 1 + e \right) + \ln \left( 2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 4 : Reconna\u00eetre une somme de Riemann.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"f : \left[ a , b \right] \to \mathbb{R}\" une fonction continue, alors<\/div>\n
<\/div>\n
\"\lim_{n \to +\infty} \dfrac{b - a}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^n f \left( a + k \dfrac{b- a}{n} \right)\" \"= \int_a^b f \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Pour savoir si une somme est une somme de Riemann, il est important de transformer l’expression de fa\u00e7on \u00e0 ce que le coefficient de \"k\" soit de la forme<\/div>\n
<\/div>\n
\"\dfrac{b - a}{n}\" et de parvenir \u00e0 mettre \"\dfrac{b - a}{n}\" en facteur devant la somme, puis il reste \u00e0 pr\u00e9ciser la fonction \"f\" en v\u00e9rifiant sa continuit\u00e9 sur \"\left[ a , b \right].\"<\/div>\n
<\/div>\n
Dans la majorit\u00e9 des cas, \"\left[ a , b \right] = \left[ 0 , 1 \right].\"<\/div>\n
<\/div>\n
Remarque :<\/i> Le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent reste valable pour une somme o\u00f9 \"k\" varie entre \"0\" et \"n - 1\" au lieu de \"1\" et \"n.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple :<\/strong><\/div>\n
Calculer, apr\u00e8s en avoir prouv\u00e9 l’existence, \"\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n + k}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ponse :<\/strong><\/div>\n
On \u00e9crit : \"\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n + k}\" \"= \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n \left( 1 + \dfrac{k}{n} \right)}=\dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1 + \dfrac{k}{n}}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Ainsi si l’on pose \"f \left( x \right) = \dfrac{1}{1 + x},\" on a : \"\isplaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n + k}\" \"= \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^n f \left( \dfrac{k}{n} \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
On remarque que dans cette somme, on a \"b - a = 1\" (c’est le nombre devant les \"\dfrac{k}{n}\") et<\/div>\n
<\/div>\n
\"a=0\" (c’est le nombre \u00e0 l’int\u00e9rieur de \"f\" avant le \"\dfrac{k}{n}\").<\/div>\n
<\/div>\n
\"f\" \u00e9tant continue sur \"\left[ 0 , 1 \right],\" par le th\u00e9or\u00e8me des sommes de Riemann, on a<\/div>\n
<\/div>\n
\"\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n + k}\" \"= \int_0^1 f \left( t \right) dt\" \"= \ln \left( 2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n

2. Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque<\/h3>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 5 : Montrer que l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est convergente, la fonction \"f\" \u00e9tant continue sur \"\left[ a , b \right[\" avec \"b \in \mathbb{R},\" \"b > a\" ou \"b = + \infty\", \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}.\"<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
On ne le r\u00e9p\u00e9tera jamais assez : la premi\u00e8re chose \u00e0 faire est de v\u00e9rifier que la fonction \"f\" est continue sur \"\left[ a , b \right[,\" ce que l’on suppose dans la suite.<\/div>\n
<\/div>\n
1)<\/b> Si \"b\" est un r\u00e9el et si \"f\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"b\", on dit que l’int\u00e9grale est faussement impropre et on se ram\u00e8ne \u00e0 l’int\u00e9grale sur \"\left[ a , b \right]\" d’une fonction continue \u00e9tudi\u00e9e dans la premi\u00e8re partie de ce chapitre.<\/div>\n
2)\u00a0<\/b>M\u00e9thode d\u00e9conseill\u00e9e (sauf si l’on sait trouver une primitive de \"f\" tr\u00e8s facilement ou dans le cas o\u00f9 \"f : t \mapsto \dfrac{\sin \left( t \right)}{t}\" sur \"\left[ 1 , + \infty \right[,\" en effectuant une int\u00e9gration par parties), on montre que \"x \mapsto \int_a^x f \left( t \right) dt\" a une limite finie en \"b.\"<\/div>\n
3)<\/b> Si \"f\" est \u00e0 valeurs positives sur \"\left[ a , b \right[,\" l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est convergente si, et seulement si, la fonction \"x \mapsto \int_a^x f \left( t \right) dt\" est major\u00e9e sur \"\left[ a , b \right[.\"<\/div>\n
4)<\/b>\u00a0Par comparaison par in\u00e9galit\u00e9 de fonctions positives<\/a>.<\/div>\n
<\/div>\n
Si \"f\" et \"g\" sont continues sur \"\left[ a , b \right[\" et v\u00e9rifient :<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{pour tout} \; x \in \left[ a , b \right[, 0 \le f \left( x \right) \le g \left( x \right),\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\"\star\" si l’int\u00e9grale \"\int_a^b g \left( t \right) dt\" est convergente, l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right)\" est convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\star\" si l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est divergente, l’int\u00e9grale \"\int_a^b g \left( t \right)\" est divergente.<\/div>\n
<\/div>\n
5)<\/b> Par \u00e9quivalence de fonctions positives.<\/div>\n
Si \"f\" et \"g\" sont continues sur \"\left[ a , b \right[\" \u00e0 valeurs positives et v\u00e9rifient \"f \left( x \right) \underset{x \to b}{\sim} g \left( x \right),\" l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est convergente si, et seulement si, l’int\u00e9grale \"\int_a^b g \left( t \right) dt\" est convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
6)<\/b> Par utilisation des int\u00e9grales absolument convergentes.<\/div>\n
Si l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t\right) dt\" est absolument convergente (c’est-\u00e0-dire que l’int\u00e9grale \"\int_a^b \left| f \left( t \right) \right| dt\" est convergente), elle est convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
7)<\/b> Si \"f\" et \"g\" sont continues sur \"\left[ a , b \right[,\" la fonction \"g\" \u00e9tant \u00e0 valeurs positives au voisinage de \"b,\" si \"f \left( x \right) \underset{x \to b}{=} o \left( g \left( x \right) \right)\" et si l’int\u00e9grale \"\int_a^b g \left( t \right) dt\" est convergente, l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est absolument convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
Cette m\u00e9thode s’applique aux fonctions \"f\" v\u00e9rifiant \"f \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\" pour prouver que l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge (y penser lorsque \"f\" contient une exponentielle mais ne se r\u00e9duit pas \u00e0 \"t \mapsto e^{- a t}\").<\/div>\n
<\/div>\n
8)<\/b> Pour les comparaisons par \u00e9quivalence ou in\u00e9galit\u00e9s, il faut conna\u00eetre les int\u00e9grales de r\u00e9f\u00e9rence :<\/div>\n
l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt\" converge \"\Leftrightarrow \alpha > 1\"<\/div>\n
<\/div>\n
l’int\u00e9grale \"\int_{0}^{+ \infty} e^{-at} dt\" converge \"\Leftrightarrow\" \"a > 0\"<\/div>\n
<\/div>\n
l’int\u00e9grale \"\int_a^b \dfrac{1}{\left( b - t \right)^{\alpha}} dt\" converge \"\Leftrightarrow\" \"\alpha < 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On rappelle que lorsque l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" converge,<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_a^b f \left( t \right) dt\" \"= \lim_{x \to b} \int_a^x f \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On retiendra aussi que si \"f\" est continue sur \"\left[ a , b \right[\" et si \"c \in \left] a , b \right[,\" les int\u00e9grales \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" et \"\int_c^b f \left( t \right) dt\" sont de m\u00eame nature (i.e. convergent ou divergent en m\u00eame temps<\/div>\n
<\/div>\n
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M\u00e9thode 6 : Montrer que l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est convergente, la fonction \"f\" \u00e9tant continue sur \"\left] a , b \right]\" avec \"a \in \mathbb{R},\" \"a < b\" ou \"a = - \infty\", \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}.\"<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
On ne le r\u00e9p\u00e9tera jamais assez : la premi\u00e8re chose \u00e0 faire est de v\u00e9rifier que la fonction \"f\" est continue sur \"\left] a , b \right],\" ce que l’on suppose dans la suite.<\/div>\n
<\/div>\n
1)<\/b> Si \"a\" est un r\u00e9el et si \"f\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"a\", on dit que l’int\u00e9grale est faussement impropre et on se ram\u00e8ne \u00e0 l’int\u00e9grale sur \"\left[ a , b \right]\" d’une fonction continue \u00e9tudi\u00e9e au d\u00e9but de ce chapitre.<\/div>\n
<\/div>\n
2)\u00a0<\/b>M\u00e9thode d\u00e9conseill\u00e9e (sauf si l’on sait trouver une primitive de \"f\" tr\u00e8s facilement ou dans le cas o\u00f9 \"f : t \mapsto \ln \left( t \right)\" sur \"\left] 0 , 1 \right]\"), on montre que \"x \mapsto \int_x^b f \left( t \right) dt\" a une limite finie en \"a.\"<\/div>\n
<\/div>\n
3)<\/b> Si \"f\" est \u00e0 valeurs positives sur \"\left] a , b \right],\" l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est convergente si, et seulement si, la fonction \"x \mapsto \int_x^b f \left( t \right) dt\" est major\u00e9e sur \"\left] a , b \right].\"<\/div>\n
<\/div>\n
4)<\/b> Par comparaison par in\u00e9galit\u00e9 de fonctions positives.<\/div>\n
Si \"f\" et \"g\" sont continues sur \"\left] a , b \right]\" et v\u00e9rifient :<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{pour tout} \; x \in \left] a , b \right], 0 \le f \left( x \right) \le g \left( x \right),\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\"\star\" si l’int\u00e9grale \"\int_a^b g \left( t \right) dt\" est convergente, l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right)\" est convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\star\" si l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est divergente, l’int\u00e9grale \"\int_a^b g \left( t \right)\" est divergente.<\/div>\n
<\/div>\n
5)<\/b> Par \u00e9quivalence de fonctions positives.<\/div>\n
<\/div>\n
Si \"f\" et \"g\" sont continues sur \"\left] a , b \right]\" \u00e0 valeurs positives et v\u00e9rifient \"f \left( x \right) \underset{x \to a}{\sim} g \left( x \right),\" l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est convergente si, et seulement si, l’int\u00e9grale \"\int_a^b g \left( t \right) dt\" est convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
6)<\/b> Par utilisation des int\u00e9grales absolument convergentes.<\/div>\n
<\/div>\n
Si l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t\right) dt\" est absolument convergente (c’est-\u00e0-dire que l’int\u00e9grale \"\int_a^b \left| f \left( t \right) \right| dt\" est convergente), elle est convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
7)<\/b> Si \"f\" et \"g\" sont continues sur \"\left] a , b \right],\" la fonction \"g\" \u00e9tant \u00e0 valeurs positives au voisinage de \"a,\" si \"f \left( x \right) \underset{x \to a}{=} o \left( g \left( x \right) \right)\" et si l’int\u00e9grale \"\int_a^b g \left( t \right) dt\" est convergente, l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" est absolument convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
8)<\/b> Pour les comparaisons par \u00e9quivalence ou in\u00e9galit\u00e9s, il faut conna\u00eetre les int\u00e9grales de r\u00e9f\u00e9rence :<\/div>\n
l’int\u00e9grale \"\int_0^{1} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt\" converge \"\Leftrightarrow \alpha < 1\"<\/div>\n
<\/div>\n
l’int\u00e9grale \"\int_a^b \dfrac{1}{\left( t - a \right)^{\alpha}} dt\" converge \"\Leftrightarrow\" \"\alpha < 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On rappelle que lorsque l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" converge,<\/div>\n
\"\int_a^b f \left( t \right) dt\" \"= \lim_{x \to a} \int_x^b f \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On retiendra aussi que si \"f\" est continue sur \"\left] a , b \right]\" et si \"c \in \left] a , b \right[,\" les int\u00e9grales \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" et \"\int_a^c f \left( t \right) dt\" sont de m\u00eame nature (i.e. convergent ou divergent en m\u00eame temps).<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 7 : Intervalle ouvert ou r\u00e9union d’intervalles ouverts.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
1)\u00a0<\/b>Si \"I = \left] a, b \right[\" avec \"a < b\" (\"a\" pouvant \u00eatre \u00e9gal \u00e0 \"- \infty\" et \"b\" \u00e0 \"+ \infty\"), la fonction \"f\" \u00e9tant continue sur \"\left] a ,b \right[,\" pour montrer que l’int\u00e9grale \"\int_a^b f \left( t \right) dt\" converge, on choisit \"c \in \left] a , b \right[\" et on montre que les int\u00e9grales \"\int_a^c f \left( t \right) dt\" et \"\int_c^b f \left( t \right) dt\" convergent.<\/div>\n
<\/div>\n
Dans ce cas, \"\int_a^b f \left( t \right) dt = \int_a^c f \left( t \right) dt + \int_c^b f \left( t \right) dt\" (quelque soit \"c \in \left]a , b \right[\").<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/b> Lorsque \"a_1 < a_2 < \cdots < a_{p- 1} < a_p\" (\"a_1\" pouvant \u00eatre \u00e9gal \u00e0 \"- \infty\" et \"a_p\" \u00e0 \"+ \infty\"), la fonction \"f\" \u00e9tant continue sur chacun des intervalles \"\left] a_k , a_{k + 1} \right[\" (avec \"1 \le k \le p- 1\"), pour d\u00e9montrer que l’int\u00e9grale \"\int_{a_1}^{a_p} f \left( t \right) dt\" converge, on d\u00e9montre que les \"p - 1\" int\u00e9grales \"\int_{a_k}^{a_{k + 1}} f \left( t \right) dt\" (\"1 \le k \le p - 1\") convergent.<\/div>\n
<\/div>\n
Dans ce cas, \"\int_{a_1}^{a_p} f \left( t \right) dt = \sum_{k=1}^{p - 1} \int_{a_k}^{a_{k + 1}} f \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple : <\/b><\/div>\n
<\/div>\n
D\u00e9terminer la nature (convergente ou divergente) des int\u00e9grales suivantes.<\/div>\n
<\/div>\n
1)<\/b> \"\int_0^1 \dfrac{\ln \left( t \right)}{t - 1} dt,\"<\/div>\n
<\/div>\n
2)\u00a0<\/b>\"\int_0^{+\infty} \left( \dfrac{1}{\sqrt{t}} - \dfrac{1}{\sqrt{t + 1}} \right) dt,\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ponse<\/strong> : 1)<\/strong> Posons \"f \left( t \right) = \dfrac{\ln \left( t \right)}{t - 1},\" \"f\" est continue sur \"\left] 0 , 1 \right[.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Or \"\ln \left( t \right) = \ln \left( 1 + \left( t - 1 \right) \right) \underset{t \to 1}{\sim} t - 1\" en utilisant \"\ln \left( 1 + u \right) \underset{u \to 0}{\sim} u,\" ce qui donne \"f \left( t \right) \underset{t \to 1}{\sim}1.\" On peut prolonger \"f\" par continuit\u00e9 en \"1\" en posant \"f \left( 1 \right) = 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
La fonction \"f\" est continue sur \"\left] 0 , 1 \right]\" \u00e0 valeurs positives. On est dans le cadre d’un intervalle \"\left] 0 , 1 \right]\" (m\u00e9thode 8<\/b>).<\/div>\n
<\/div>\n
Or \"f \left( t \right) \underset{t \to 0}{\sim} - \ln \left( t \right).\" Nous avons d\u00e9j\u00e0 montr\u00e9 \u00e0 l’application 8<\/i>\u00a0que l’int\u00e9grale \"\int_0^1 \ln \left( t \right) dt\" converge. On utilise ici une autre m\u00e9thode de prouver la convergence<\/a>.<\/div>\n
<\/div>\n
Pour \"x \in \left] 0 , 1 \right],\" on pose \"G \left( x \right) = \int_x^1 - \ln \left( t \right) d t.\" On fait une int\u00e9gration par parties en posant \"u \left( t \right)\" \"= \ln \left( t \right)\" et \"v \left( t \right) = t.\"<\/div>\n
\"u, v\" sont \"C^1\" sur \"\left[ x , 1 \right],\" et pour tout \"t \in \left[ x , 1 \right],\" \"u' \left( t \right) = \dfrac1t\" et \"v ' \left( t \right) = 1.\" On a<\/div>\n
<\/div>\n
\"G \left( x \right)\" \"= \left[ -t \ln t \right]_x^1 + \int_x^1 \dfrac{t}{t} dt\" \"= \left[ - t \ln t + t \right]_x^1\" \"= 1 + x \ln \left( x \right) -x.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"G\" admet \"1\" pour limite en \"0\" donc l’int\u00e9grale \"\int_0^1 - \ln \left( t \right) dt\" converge (et est \u00e9gale \u00e0 \"1\").<\/div>\n
<\/div>\n
Par comparaison par \u00e9quivalence, l’int\u00e9grale \"\int_0^1 \dfrac{\ln \left( t \right)}{t - 1} dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
2) Posons \"f \left( t \right) = \dfrac{1}{\sqrt{t}} - \dfrac{1}{\sqrt{t + 1}},\" \"f\" est continue sur \"\left] 0 , + \infty \right[\" \u00e0 valeurs positives.<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
On est dans le cadre d’un intervalle ouvert, on choisit un \u00e9l\u00e9ment de \"\left] 0 , + \infty \right[\" (voir \\textbf{m\u00e9thode 10.9}), le choix le plus simple \u00e9tant \"1,\" et on doit donc \u00e9tudier la convergence des deux int\u00e9grales \"\int_0^1 f \left( t \right) dt\" et \"\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
a) Convergence de l’int\u00e9grale<\/b> \"\int_0^1 f \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On cherche un \u00e9quivalent de \"f \left( t \right)\" lorsque \"t\" tend vers \"0,\" \"f\" est la diff\u00e9rence d’une fonction qui tend vers \"+ \infty\" et d’une fonction qui tend vers \"1,\" on factorise par la fonction qui admet \"+ \infty\" pour limite :<\/div>\n
\"f \left( t \right) = \dfrac{1}{\sqrt{t}} \left( 1 - \sqrt{\dfrac{t}{t + 1}} \right) \underset{t \to 0}{\sim} \dfrac{1}{\sqrt{t}},\" comme l’int\u00e9grale de Riemann \"\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt\" converge car \"\dfrac12 < 1\" par comparaison par \u00e9quivalence entre fonctions positives, l’int\u00e9grale \"\int_0^1 f \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
b) Convergence de l’int\u00e9grale\u00a0<\/b>\"\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
On cherche un \u00e9quivalent de \"f\" lorsque \"t\" tend vers \"+ \infty.\"<\/div>\n
\"f \left( t \right)\" \"= \dfrac{1}{\sqrt{t}} - \dfrac{1}{\sqrt{t + 1}}\" \"= \dfrac{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t}}\" en multipliant par l’expression conjugu\u00e9e, on a \"f \left( t \right)\" \"= \dfrac{1}{\left( \sqrt{t} + \sqrt{t + 1} \right) \sqrt{t + 1} \sqrt{t}}\" puis \"\sqrt{t \left( t + 1 \right)} \underset{t \to + \infty}{\sim} \sqrt{t^2} \underset{t \to + \infty}{\sim} t\" et<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sqrt{ t + 1} + \sqrt{t} \underset{t \to + \infty}{\sim} 2 \sqrt{t},\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
car \"\dfrac{\sqrt{ t + 1} + \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}\" \"= \dfrac12 \left( \sqrt{1 + \dfrac 1t} + 1 \right)\" et \"\lim_{t \to + \infty} \dfrac12 \left( \sqrt{1 + \dfrac 1t} + 1 \right) = 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a montr\u00e9 que \"f \left( t \right) \underset{t \to + \infty}{\sim} \dfrac{1}{2 t^{3 / 2}}.\" Comme l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{2 t^{3 / 2}} dt\" converge, par comparaison par \u00e9quivalence, l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
On a donc \u00e9tabli que l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 8 :<\/b> Calculer une int\u00e9grale impropre ou g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
Pour calculer des int\u00e9grales impropres, il faut se placer sur un segment : c’est \u00e0 dire calculer l’int\u00e9grale<\/div>\n
\"\bullet\" sur \"\left[ a , x \right]\" dans le cas de l’intervalle \"\left[ a , b \right[,\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" sur \"\left[ x , b \right]\" dans le cas de l’intervalle \"\left] a , b \right],\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" sur \"\left[ x , y \right]\" dans le cas de l’intervalle \"\left] a , b \right[,\"<\/div>\n
et passer \u00e0 la limite \u00e0 l’issue des calculs.<\/div>\n
<\/div>\n
On rappelle que pour calculer une int\u00e9grale sur un segment, vous disposez des outils suivants<\/div>\n
\"\qquad\" \"\star\" on trouve directement une primitive (on renvoie au tableau de primitives),<\/div>\n
<\/div>\n
\"\qquad\" \"\star\" on fait une int\u00e9gration par parties,<\/div>\n
<\/div>\n
\"\qquad\" \"\star\" on fait un changement de variable.<\/div>\n
<\/div>\n
C’est le moment d’aller revoir le d\u00e9but du chapitre.<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple\u00a0<\/b>: Montrer que les int\u00e9grales suivantes convergent et calculer leurs valeurs.<\/div>\n
<\/div>\n
1)<\/b> \"\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x \left( x + 1 \right)} dx,\"<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/b> \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx.\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ponse<\/strong> : 1)<\/strong> On pose \"f \left( x \right) = \dfrac{1}{x \left( x + 1 \right)}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"f\" est continue sur \"\left[ 1 , + \infty \right[\" \u00e0 valeurs positives.<\/div>\n
<\/div>\n
On a \"f \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{\sim} \dfrac{1}{x^2},\" comme l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{x^2} dx\" converge, par comparaison par \u00e9quivalence, l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{x \left( x + 1\right)} dx\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
Calcul de l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t \left( t + 1 \right)} dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
En utilisant \"1 = \left( t + 1 \right) - t,\" on \u00e9crit \"\dfrac{1}{t \left( t + 1 \right) } = \dfrac1t - \dfrac{1}{t + 1}\" donc si \"x \ge 1,\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_1^x \dfrac{1}{t \left( t + 1 \right)} dt\" \"= \int_1^x \left( \dfrac1t - \dfrac{1}{t + 1} \right) dt\" \"= \left[ \ln \left( \dfrac{t}{t + 1} \right) \right]_1^x\" \"= \ln \left( \dfrac{x}{x + 1} \right) + \ln \left( 2 \right)\"<\/div>\n
<\/div>\n
puis si \"x\" tend vers \"+ \infty,\" \"\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t \left( t + 1 \right)} dt\" \"= \ln \left( 2 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/strong> On pose \"f \left( x \right) = \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3}.\" \"f\" est continue sur \"\left[ 1 , + \infty \right[.\"<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
Comme \"\lim_{x \to + \infty} x^2 \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} = 0,\"<\/div>\n
<\/div>\n
il s’ensuit que \"f \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^2} \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Comme l’int\u00e9grale \"\int_{1}^{+ \infty} \dfrac{1}{x^2} dx\" converge, par comparaison par domination, l’int\u00e9grale \"\int_{1}^{+ \infty} f \left( x \right) dx\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
Calcul de l’int\u00e9grale \"\int_{1}^{+ \infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"A \ge 1.\" On fait une int\u00e9gration par parties dans \"\int_1^A \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx .\"<\/div>\n
<\/div>\n
On pose \"u \left( x \right) = \ln \left( x \right)\" et \"v \left( x \right) = - \dfrac{1}{2 x^2}\" de sorte que \"v ' \left( x \right) = \dfrac{1}{x^3}.\" On a donc<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_1^A \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx\" \"= \left[ - \dfrac{\ln \left( x \right)}{2 x^2} \right ]_{1}^A + \int_1^A \dfrac{1}{2 x^3} dx\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"= - \dfrac{\ln \left( A \right)}{2 A^2} + \left[ - \dfrac{1}{4 x^2} \right]_1^A\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"= - \dfrac{\ln \left( A \right)}{2 A^2} - \dfrac{1}{4 A^2} + \dfrac14\".<\/div>\n
<\/div>\n
Comme \"\lim_{A \to + \infty } \left( - \dfrac{\ln \left( A \right)}{2 A^2} - \dfrac{1}{4 A^2} \right) = 0,\" on a :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\lim_{A \to + \infty} \int_{1}^{A} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx\" \"= \dfrac14,\"<\/div>\n
<\/div>\n
soit<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_{1}^{+ \infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx\" \"= \dfrac14.\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 9 : <\/b>Obtenir une relation de r\u00e9currence.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
Si l’\u00e9nonc\u00e9 d\u00e9finit une suite \"\left( I_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" par une int\u00e9grale et que l’on vous demande d’\u00e9tablir une relation de r\u00e9currence, dans \"95 \%\" des cas, il faut faire une int\u00e9gration par parties.<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple :<\/strong> On d\u00e9finit, lorsque c’est possible, \"\Gamma \left( x \right) = \int_{0}^{+ \infty} e^{-t} t^{x - 1} dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
1)\u00a0<\/b>Donner l’ensemble de d\u00e9finition de \"\Gamma.\"<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/b> En d\u00e9duire que pour tout \"n \in \mathbb{N},\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Gamma \left( n + 1 \right) = n!.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
R\u00e9ponse :<\/strong><\/div>\n
1)<\/strong> La fonction \"f : t \mapsto e^{-t} t^{x - 1}\" est continue sur \"\left] 0 , + \infty \right[\" (attention, il faut bien exclure \"0\" :<\/div>\n
<\/div>\n
si \"x < 1\" alors \"x - 1 <0\" et donc \"\lim_{t \to 0 } e^{-t} t^{x - 1} = + \infty\").<\/div>\n
<\/div>\n
On est dans le cas d’un intervalle ouvert, on choisit un \u00e9l\u00e9ment de \"\left] 0 , + \infty \right[,\" le choix le plus simple \u00e9tant \"1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
a) Convergence de l’int\u00e9grale<\/b> \"\int_0^1 e^{-t} t^{x - 1} dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a \"f \left( t \right) \underset{t \to 0}{\sim} t^{x - 1} = \dfrac{1}{t^{1 - x}}.\" Comme \"1 - x < 1\" car \"x > 0,\" l’int\u00e9grale de Riemann \"\int_0^1 \dfrac{1}{t^{1 - x}} dt\" est convergente.<\/div>\n
<\/div>\n
Par comparaison par \u00e9quivalence, l’int\u00e9grale \"\int_0^1 f \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
b) Convergence de l’int\u00e9grale<\/b> \"\int_1^{+ \infty}e^{-t} t^{x - 1} dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Comme \"\lim_{t \to + \infty} t^2 e^{-t} t^{x - 1} = 0,\" on a \"f \left( t \right) \underset{t \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{t^2} \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Comme l’int\u00e9grale de Riemann \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t^2} dt\" converge, par domination, l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
On a prouv\u00e9 que l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/strong> Il est facile de montrer par r\u00e9currence que<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{pour tout} \; n \ge 0, \Gamma \left( n + 1 \right) = n! \Gamma \left( 1 \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
Il nous reste \u00e0 calculer \"\Gamma \left( 1 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Pour \"A \ge 0\", on a<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^A e^{-t} dt = \left[ - e^{-t} \right]_0^A = 1 - e^{-A}.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
Comme \"\lim_{A \to + \infty} \left( 1 -e^{- A} \right) = 1,\" il s’ensuit que<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Gamma \left( 1 \right)= \int_0^{+ \infty} e^{-t} dt = 1 .\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
Si bien que, pour tout \"n \ge 0,\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Gamma \left( n + 1 \right) = n!.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

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Des explications de cours, des m\u00e9thodes et des exemples sont \u00e9galement disponibles dans nos autres cours en ligne de maths en ECG1. Par exemple, dans les cours suivants :<\/div>\n
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