{"id":34364,"date":"2019-08-19T16:10:10","date_gmt":"2019-08-19T15:10:10","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34364"},"modified":"2023-09-16T22:00:23","modified_gmt":"2023-09-16T21:00:23","slug":"cours-en-ligne-variables-aleatoires-finies-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-variables-aleatoires-finies-ecs1\/","title":{"rendered":"Variables al\u00e9atoires finies en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Variables al\u00e9atoires finies en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Variables al\u00e9atoires finies<\/h2>\n

M\u00e9thode 1 : D\u00e9terminer la loi d’une variable al\u00e9atoire finie.<\/b><\/p>\n

D\u00e9terminer la loi d’une variable al\u00e9atoire finie \"X\", c’est :<\/p>\n

\"\bullet\" donner les valeurs prises par la variable al\u00e9atoire, c’est-\u00e0-dire d\u00e9terminer \"X \left( \Omega \right),\"<\/p>\n

\"\bullet\" pour \"x \in X \left( \Omega \right),\" calculer \"\mathbb{P} \left( X = x \right).\"<\/p>\n

Pour d\u00e9montrer qu’un \u00e9nonc\u00e9 d\u00e9termine la loi d’une variable al\u00e9atoire \"X,\" on v\u00e9rifie que pour tout \"x \in X \left( \Omega \right),\" \"\mathbb{P} \left( X = x \right) \ge 0\" et que<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathbb{P} \left( X = x \right) = 1.\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Remarque :\u00a0<\/i>\"\bullet\" Il est conseill\u00e9 de v\u00e9rifier que \"\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathbb{P} \left( X = x \right) = 1.\"<\/p>\n

\"\bullet\" On retiendra que \"\left( \left( X = x \right) \right)_{x \in X \left( \Omega \right)}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

Exemple<\/b> : Soit \"n \in \mathbb{N}^*.\" Une urne contient \"2\" boules blanches et \"n - 2\" boules rouges. On effectue des tirages sans remise de cette urne. On appelle \"X\" le rang de sortie de la premi\u00e8re boule blanche et \"Y\" le nombre de boules rouges restant dans l’urne \u00e0 ce moment.<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0Donner la loi de \"X.\"<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0Exprimer \"Y\" en fonction<\/a> de \"X.\" En d\u00e9duire la loi de \"Y.\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : 1)<\/strong> On doit tirer au moins une boule pour avoir une boule blanche, ainsi \"X\" prend des valeurs sup\u00e9rieures \u00e0 \"1.\" Et on doit tirer au plus \"n- 1\" boules avant d’avoir la premi\u00e8re boule blanche, cela correspond en particulier o\u00f9 l’on tire d’abord les \"n - 2\" boules rouges puis une boule blanche. Ainsi \"X \left( \Omega \right) \subset [\![ 1 , n - 1 ]\!].\" De plus chaque \u00e9v\u00e9nement \"\left( X= k \right)\" avec \"k \in [\![ 1 , n - 1 ]\!]\" est bien un \u00e9v\u00e9nement non vide, d’o\u00f9 \"X \left( \Omega \right) = [\![ 1 , n - 1 ]\!].\"<\/p>\n

Calculons \"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" pour \"k \in [\![ 1 , n - 1 ]\!].\"<\/div>\n
<\/div>\n
On note \"R_i\" : \u00ab\u00a0on tire une boule rouge au \"i\"-i\u00e8me tirage\u00a0\u00bb et \"B_i\" : \u00ab\u00a0on tire une boule blanche au \"i\"-i\u00e8me tirage\u00a0\u00bb, ainsi<\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= \mathbb{P} \left( R_1 \cap R_2 \cap \cdots \cap R_{k - 1} \cap B_k \right).\"
\nLa formule des probabilit\u00e9s<\/a> compos\u00e9es, on a<\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= \mathbb{P} \left( R_1 \right) \mathbb{P}_{R_1} \left( R_2 \right) \mathbb{P}_{R_1 \cap R_2} \left( R_3 \right)\" \"\cdots \mathbb{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{k - 2} } \left( R_{k - 1} \right) \mathbb{P}_{R_1 \cap\" \"\cdots \cap R_{k - 1}} \left( B_k \right),\"<\/div>\n
avec \"\mathbb{P} \left( R_1 \right)\" \"= \dfrac{n - 2}{n}, \mathbb{P}_{R_1} \left( R_2 \right)\" \"= \dfrac{n - 3}{n - 1}\" et de mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale \"\mathbb{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{i - 1} } \left( R_i \right)\" \"= \dfrac{n - 2 - \left( i - 1 \right)}{n - \left( i - 1 \right)}\" \"= \dfrac{ n - i - 1}{n - i + 1}\" (car on a tir\u00e9 \"i - 1\" boules rouges) et \"\mathbb{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{k - 1}} \left( B_k \right)\" \"= \dfrac{2}{n - \left( k - 1 \right)}\" \"= \dfrac{2}{n - k + 1}.\" Ainsi<\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= \dfrac{n - 2}{n} \times \dfrac{n - 3}{n -1} \times \cdots \times \dfrac{n - k + 1}{n - k + 3}\" \"\times \dfrac{n - k}{n - k + 2} \times \dfrac{2}{n - k + 1}\" \"= \dfrac{2 \left( n - k \right)}{n \left( n - 1 \right)}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/strong> \"Y\" est \u00e9gal au nombre de boules rouges diminu\u00e9s du nombre \"X\" de boules tir\u00e9es soit \"Y = n - 1 - Y.\" On a \"Y \left( \Omega \right) = [\![ 0 , n - 2 ]\!].\"<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\n

Pour tout \"j \in [\![ 0 , n - 2 ]\!],\" calculons \"\mathbb{P} \left( Y = j \right).\" En utilisant l’expression de \"Y\" \u00e0 l’aide de \"X,\" on a :<\/p>\n

<\/div>\n
\"\mathbb{P} \left( Y = j \right)\" \"= \mathbb{P} \left( n - 1 - X = j \right)\"
\n\"= \mathbb{P} \left( X = n - 1 - j \right)\"
\n\"= \dfrac{2 \left( n - n + 1 + j \right)}{n \left( n - 1 \right)}\"
\n\"= \dfrac{2 \left( j + 1 \right)}{n \left( n - 1 \right)}\".<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n
Pour r\u00e9ussir les m\u00e9thodes des variables al\u00e9atoire retrouver nos cours de soutien de maths<\/a> pour les \u00e9tudiants en ECG1.<\/div>\n
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M\u00e9thode 2 :<\/b> Savoir calculer l’esp\u00e9rance d’une variable al\u00e9atoire finie.<\/b><\/div>\n
1)\u00a0<\/b>On rappelle qu’une variable al\u00e9atoire \"X\" prenant un nombre fini de valeurs admet une esp\u00e9rance donn\u00e9e par :<\/div>\n
\"\mathbb{E} \left( X \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} k \mathrm{P} \left( X = k \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/b> Nous rappelons aussi que l’esp\u00e9rance est lin\u00e9aire ; c’est-\u00e0-dire que si \"X\" et \"Y\" sont des variables al\u00e9atoires finies et si \"\lambda, \mu \in \mathbb{R},\" alors la variable al\u00e9atoire \"\lambda X + \mu Y\" admet une esp\u00e9rance et<\/div>\n
\"\mathbb{E} \left( \lambda X + \mu Y \right)\" \"= \lambda \mathbb{E} \left( X \right) + \mu \mathbb{E} \left( Y \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
En particulier si \"X\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle finie et \"a,b\" deux r\u00e9els, on a<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{E} \left( a X + b \right) = a \mathbb{E} \left( X \right) + b.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
3)<\/b> Si \"X\" et \"Y\" sont deux variables al\u00e9atoires finies ind\u00e9pendantes, alors \"XY\" est une variable al\u00e9atoire finie et<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{E} \left( X Y \right) = \mathbb{E} \left( X \right) \times \mathbb{E} \left( Y \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
Exemple : <\/strong>Soit \"n \in \mathbb{N}^*.\" On jette \"n\" fois une pi\u00e8ce truqu\u00e9e dont la probabilit\u00e9 d’obtenir Pile est \"p \in \left] 0 , 1 \right[.\" Soit \"X\" la variable al\u00e9atoire \u00e9gale au num\u00e9ro du premier lancer qui donne Pile et qui vaut \"0\" si l’on obtient aucun Pile lors des \"n\" lancers.<\/div>\n
<\/div>\n
1)<\/b> D\u00e9terminer la loi de \"X\" et v\u00e9rifier que \"\displaystyle\sum_{k=0}^n \mathrm{P} \left( X = k \right) = 1.\"<\/div>\n
2)<\/b> Calculer \"\mathbb{E} \left( X \right).\"<\/div>\n
R\u00e9ponse :<\/strong> 1)<\/strong> On a \"X \left( \Omega \right) = [\![ 0 , n ]\!].\" Pour \"k \in [\![ 1 , n ]\!],\" on note \"P_k\" (respectivement \"F_k\") l’\u00e9v\u00e9nement : \u00ab\u00a0on obtient Pile (respectivement Face) au \"k\"-i\u00e8me lancer\u00a0\u00bb.<\/div>\n
On commence par traiter le cas o\u00f9 \"k=0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( X = 0\right) = F_1 \cap F_2 \cap \cdots \cap F_n.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

La probabilit\u00e9 d’obtenir Face est de \"1-p\" et les lancers sont ind\u00e9pendants, on a<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{P} \left( X = 0 \right) = \left( 1 - p \right)^n.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

Soit \"k \in [\![ 1 , n ]\!],\" on a<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( X = k \right) = F_1 \cap \cdots \cap F_{k - 1} \cap P_k\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
et par ind\u00e9pendance des lancers<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{P} \left( X = k \right) = \left( 1 - p \right)^{k - 1} p.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

De plus, \"\displaystyle\sum_{k=0}^n \mathrm{P} \left( X = k \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X = 0 \right)\" \"+ \displaystyle\sum_{k =1}^n \mathrm{P} \left( X = k \right)\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"= \left( 1- p \right)^n + p \displaystyle\sum_{k =1}^n \left( 1- p \right)^{k - 1}\"<\/div>\n
\"\underset{\text{on pose} \, i = k-1}{=} \left( 1 - p \right)^n + p \displaystyle\sum_{i=0}^{n - 1} \left( 1 - p \right)^i\"<\/div>\n
\"= \left( 1- p \right)^n + p \dfrac{1 - \left( 1 - p \right)^n}{1 - \left( 1 - p \right) }\"<\/div>\n
\"= 1\".<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/strong> \"X\" \u00e9tant une variable al\u00e9atoire prenant un nombre fini de valeurs, elle admet une esp\u00e9rance donn\u00e9e par<\/span><\/div>\n
\"\mathbb{E} \left( X \right) = \displaystyle\sum_{k = 0}^n k \mathrm{P} \left( X = k \right).\" On \u00e9crit donc :<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathbb{E} \left( X \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k = 0}^n k \mathrm{P} \left( X = k \right)\"<\/div>\n
\"= 0 \times \mathrm{P} \left( X = 0 \right)\" \"+ p \displaystyle\sum_{k = 1}^n k \left( 1 - p \right)^{k - 1}\"<\/div>\n
\"= p \displaystyle\sum_{k = 1}^n k \left( 1 - p \right)^{k - 1}\"<\/div>\n
\"= p \, \dfrac{1 - \left( n + 1 \right) \left( 1 - p \right)^n \left( 1 - \left( 1 - p \right) \right)}{\left( 1 - \left( 1 - p \right) \right)^2}\" \"+</div><\/div>\n
\"= \dfrac{1 - \left( n + 1\right) p \left( 1- p \right)^n + \left( 1- p \right)^{n + 1}}{p}\".<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 3 : Savoir utiliser le th\u00e9or\u00e8me de transfert.<\/b><\/div>\n
Soyons clair, vous utilisez souvent le th\u00e9or\u00e8me de transfert sans en avoir conscience, mais il est des cas o\u00f9 il est indispensable d’y recourir en pleine conscience !<\/div>\n
<\/div>\n
Etant donn\u00e9es une variable al\u00e9atoire finie \"X\" et \"f : X \left( \Omega \right) \to \mathbb{R}\" une fonction alors \"f \left( X \right)\" admet une esp\u00e9rance et<\/div>\n
\"\mathbb{E} \left( f \left( X \right) \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} f \left( k \right) \mathrm{P} \left( X = k \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
On en d\u00e9duit en particulier que si \"\left( a , b \right) \in \mathbb{R}^2,\"<\/div>\n
\"\mathbb{E}\left( a X + b \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} \left( a k + b \right) \mathrm{P} \left( X = k \right)\" \"= a \mathbb{E} \left( X \right) + b\"<\/div>\n
<\/div>\n
et \"\mathbb{E} \left( X^2 \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} k^2 \mathrm{P} \left( X = k \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Remarque :<\/i> Il est donc inutile de conna\u00eetre la loi de \"f \left( X \right)\" pour calculer son esp\u00e9rance.<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple : <\/strong>Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire de loi \"\mathcal B \left( n , p \right)\" avec \"p \in \left] 0 , 1 \right[\" (voir ci-dessous pour la d\u00e9finition de cette loi). Calculer :<\/div>\n
<\/div>\n
1)<\/b> \"\mathbb{E} \left( 2^X \right),\"<\/div>\n
2)<\/b> \"\mathbb{E} \left( \dfrac{1}{X + 1} \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ponse :<\/strong><\/div>\n
1)<\/strong> Le th\u00e9or\u00e8me du transfert s’applique avec \"f \left( x \right) = 2^x.\" Ainsi<\/div>\n
\"= \displaystyle\sum_{k = 0}^n 2^k \binom{n}{k} p^k \left( 1- p \right)^{n - k}\"<\/div>\n
\"= \displaystyle\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} \left( 2 p \right)^k \left( 1- p \right)^{n - k}\"<\/div>\n
\"\underset{\text{formule du binome de Newton}}{=} \left( 2p + 1 - p \right)^n\"<\/div>\n
\"= \left( p + 1 \right)^n\".<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/strong> Le th\u00e9or\u00e8me du transfert s’applique avec \"g \left( x \right) = \dfrac{1}{x + 1}.\" Ainsi<\/div>\n
\"\mathbb{E} \left( \dfrac{1}{X + 1} \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k=0}^n g \left( k \right) \mathrm{P} \left( X = k \right)\"<\/div>\n
\"= \displaystyle\sum_{k = 0}^n \dfrac{1}{k + 1} \binom{n}{k} p^k \left( 1- p \right)^{n - k}\"<\/div>\n
\"\underset{ \dfrac{1}{k + 1} \binom{n}{k} = \dfrac{1}{n + 1} \binom{n + 1}{k + 1} }{=} \displaystyle\sum_{k = 0}^n \dfrac{1}{n + 1} \binom{n + 1}{k+ 1} p^k \left( 1- p \right)^{n - k}\"<\/div>\n
\"\underset{\text{on pose} \, i = k + 1}{=} \dfrac{1}{n + 1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n + 1} \binom{n + 1}{i } p^{i - 1} \left( 1 - p \right)^{n - i + 1}\"<\/div>\n
\"= \dfrac{1}{ p \left( n + 1 \right)} \displaystyle\sum_{i=1}^{n + 1} \binom{n + 1}{i } p^{i} \left( 1 - p \right)^{n + 1 - i}\"<\/div>\n
\"= \dfrac{1}{ p \left( n + 1 \right)} \left( \displaystyle\sum_{i=0}^{n + 1} \binom{n + 1}{i } p^{i} \left( 1 - p \right)^{n + 1 - i} - \left( 1 - p \right)^{n + 1} \right)\"<\/div>\n
\"= \dfrac{1}{ p \left( n + 1 \right)} \left( \left( p + 1 - p \right)^{n + 1} - \left( 1 - p \right)^{n + 1} \right)\"<\/div>\n
\"= \dfrac{ 1 - \left( 1 - p \right)^{n + 1}}{ p \left( n + 1 \right)}\".<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 4 : Calculer la variance d’une variable al\u00e9atoire finie.<\/b><\/div>\n
Une variable al\u00e9atoire finie admet une variance donn\u00e9e par :<\/div>\n
\"V \left( X \right)\" \"= \mathbb{E} \left( \left( X - \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2 \right).\"<\/div>\n
La formule de K\u00f6nig-Huygens montre que \"V \left( X \right)\" \"= \mathbb{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2.\" Ainsi, on a :<\/div>\n
\"V \left( X \right)\" \"= \mathbb{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2\"<\/div>\n
\"= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} k^2 \mathrm{P} \left( X = k \right)\" \"- \left( \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} k \mathrm{P} \left( X = k \right) \right)^2\".<\/div>\n
A ce sujet, on rappelle une formule tr\u00e8s utile : si \"X\" est une variable al\u00e9atoire finie (la formule est vraie tout le temps,<\/div>\n
sous r\u00e9serve d’existence de la variance) et si \"a, b \in \mathbb{R},\" alors \"a X + b\" admet une variance et :<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[V \left( a X + b \right) = a^2 V \left( X \right).\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
Si \"X\" et \"Y\" sont deux variables finies al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes, alors<\/div>\n
\"V \left( X + Y \right)\" \"= V \left( X \right) + V \left( Y \right).\"<\/div>\n
Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire ayant une variance non nulle, alors on peut poser \"X^* = \dfrac{X - \mathbb{E} \left( X \right)}{\sqrt{V \left( X \right)}}.\" La variable al\u00e9atoire \"X^*\" est appel\u00e9e variable al\u00e9atoire centr\u00e9e r\u00e9duite associ\u00e9e \u00e0 \"X\" : son esp\u00e9rance vaut \"0\" et sa variance vaut \"1\" (faites les v\u00e9rifications !).<\/div>\n
<\/div>\n
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<\/div>\n
M\u00e9thode 5 : Savoir calculer et utiliser la fonction de r\u00e9partition d’une variable al\u00e9atoire finie.<\/b><\/div>\n
Disons le clairement, la fonction de r\u00e9partition ne sert pas beaucoup pour les variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes<\/a> mais plus pour les variables continues. Nous les introduisons n\u00e9anmoins pour les manipuler. <\/span>Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire finie, on d\u00e9finit la fonction de r\u00e9partition \"F_X\" sur \"\mathbb{R}\" par \"F_X \left( t \right) = \mathrm{P} \left( X \le t \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Cette fonction a quelques propri\u00e9t\u00e9s qu’il est bon de conna\u00eetre :<\/div>\n
\"\bullet\" \"F_X\" est croissante sur \"\mathbb{R},\"<\/div>\n
\"\bullet\" \"\lim_{t \to +\infty} F_X \left( t \right) = 1\" et \"\lim_{t \to -\infty} F_X \left( t \right) = 0.\"<\/div>\n
\"\bullet\" \"F_X\" caract\u00e9rise la loi, c’est-\u00e0-dire que deux variables al\u00e9atoires \"X\" et \"Y\" suivent la m\u00eame loi \\textbf{si et seulement si} \"F_X = F_Y.\"<\/div>\n
\"\bullet\" Lorsque \"X \left( \Omega \right)\" \"= \left\{ a_1 , a_2 , \cdots , a_n \right\}\" avec \"a_1 < a_2 < \cdots < a_n,\" on montre facilement que :<\/div>\n
\"\qquad\" \"\star\" si \"t < a_1,\" alors \"F_X \left( t \right)= 0,\"<\/div>\n
\"\qquad\" \"\star\" si \"1 \le k < n\" et \"t \in \left[ a_k , a_{k + 1} \right[,\" alors \"F_X \left( t \right)\" \"= a_1 + \cdots + a_k,\"<\/div>\n
\"\qquad\" \"\star\" si \"t \ge a_n,\" alors \"F_X \left( t \right) = 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 6 : Reconna\u00eetre une loi de Bernoulli.<\/b><\/div>\n
Une variable al\u00e9atoire de Bernoulli ne prend que deux valeurs \"0\" ou \"1.\" On les rencontre dans les situations o\u00f9 il<\/div>\n
n’y a que deux issues possibles : succ\u00e8s (not\u00e9 \"1\") et \u00e9chec (not\u00e9 \"0\").<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple : <\/b>1)<\/b> Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire de Bernoulli de param\u00e8tre \"p.\"<\/div>\n
Donner la loi des variables al\u00e9atoires : \"1 - X, X^2\" et \"\max \left\{ X , \dfrac{X}{1 + X} \right\}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/b> Soient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoires de Bernoulli, ind\u00e9pendantes, de param\u00e8tre \"p\" et \"q\" respectivement.<\/div>\n
D\u00e9terminer la loi de \"Z= \max \left\{ X , Y \right\}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ponse<\/strong> :<\/div>\n
1)<\/strong> \"\bullet\" \"\left( 1 - X \right) \left( \Omega \right)\" \"= \left\{ 0 , 1 \right\}\" et \"\mathrm{P} \left( 1 - X = 1 \right)\" \"=</div> \"= 1- p,\" \"\mathrm{P} \left( 1- X = 0 \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X = 1 \right)\" \"=p.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Ainsi \"1 - X\" suit une loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"1- p.\"<\/div>\n
\"\bullet\" \"X^2 \left( \Omega \right)\" \"= \left\{ 0 , 1 \right\}\" et \"\mathrm{P} \left( X^2 = 1 \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X = 1</div> \"= p,\" \"\mathrm{P} \left( X^2 = 0 \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X = 0 \right)\" \"= 1 - p.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Ainsi \"X^2\" suit une loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"p.\"<\/div>\n
\"\bullet\" Soit \"Y = \max \left\{ X , \dfrac{X}{1 + X} \right\}.\" Si \"X \left( \omega \right) = 0,\" \"Y \left( \omega \right)\" \"=</div> et si \"X \left( \omega \right)= 1,\" \"Y \left( \omega \right)\" \"= \max \left\{ 1, \dfrac12 \right\}\" \"=</div><\/div>\n
<\/div>\n
Donc \"Y= X\" suit une loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"p.\"<\/div>\n
<\/div>\n
2)<\/strong> Comme \"X\" et \"Y\" sont des variables de Bernoulli, elles ne prennent que deux valeurs : \"0\" ou \"1.\" Ainsi \"Z = \max \left\{ X , Y \right\}\" ne prend que les valeurs \"0\" ou \"1\" et \"Z \left( \Omega \right) = \left\{ 0 , 1 \right\}.\" Calculons<\/span><\/div>\n
\"\mathrm{P} \left( Z = 0 \right).\" Pour cela, on \u00e9crit :<\/span><\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{P} \left( Z = 0 \right)= \mathrm{P} \left( \max \left\{ X , Y \right\} = 0 \right)\]\"<\/p>\n<\/div>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \mathrm{P} \left( \left( X = 0 \right) \cap \left( Y = 0 \right) \right)\]\"<\/p>\n<\/div>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\underset{\text{par independance de $X$ et $Y$}}{=} \mathrm{P} \left( X = 0 \right) \times \mathrm{P} \left( Y = 0 \right)\]\"<\/p>\n<\/div>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \left( 1 - p \right) \left( 1 - q \right)\]\"<\/p>\n

.<\/p><\/div>\n

On a donc \"\mathrm{P} \left( Z = 1 \right)\" \"= 1 - \mathrm{P} \left( Z =0 \right)\" \"= p + q -pq\" et \"Z\" suit une loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"p + q -pq.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Remarque :<\/i> Une variable al\u00e9atoire de Bernoulli prend pour valeurs \"0\" ou \"1\". Mais lorsque qu’une variable al\u00e9atoire prend deux valeurs, on peut l’exprimer \u00e0 l’aide d’une variable al\u00e9atoire de Bernoulli.<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 7 :<\/b> Reconna\u00eetre une loi binomiale.<\/b><\/div>\n
On obtient une variable al\u00e9atoire \"X\" de loi binomiale de param\u00e8tres \"n\" et \"p\" lorsque l’on compte le nombre de \u00ab\u00a0succ\u00e8s\u00a0\u00bb en r\u00e9p\u00e9tant \"n\" \u00e9preuves de Bernoulli identiques (donnant chacune un succ\u00e8s de probabilit\u00e9 \"p\" et un \u00e9chec avec une probabilit\u00e9 \"1- p\") et ind\u00e9pendantes.<\/div>\n
<\/div>\n
Au programme de deuxi\u00e8me ann\u00e9e, on peut aussi dire que \"X\" suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"n\" et \"p\" lorsque l’on peut \u00e9crire \"X = X_1 + \cdots + X_n\" o\u00f9 les variables \"X_1 , \cdots, X_n\" sont ind\u00e9pendantes de m\u00eame loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"p.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple\u00a0<\/b>: Ecrire la matrice<\/a> de passage de \"\mathcal{B}\" \u00e0 \"\mathcal{B'}\" quand \"\mathcal{B}=(e_{1},e_{2})\" et \"\mathcal{B}'=(2e_{1}+3e_{2}, -e_{1}+e_{2})\". La matrice de passage est ?<\/div>\n
R\u00e9ponse<\/strong> : \"P_{\mathcal{B},\mathcal{B'}}=\begin{pmatrix} 2& -1\\3& 1\end{pmatrix}\"<\/div>\n
<\/div>\n
M\u00e9thode 8 :<\/b> Reconna\u00eetre une loi uniforme.<\/b><\/div>\n
Le tableau ci-dessus caract\u00e9rise la loi uniforme sur \"[\![ 1 , n ]\!].\"<\/div>\n
Soient \"a \le b\" deux entiers relatifs, on dit que la variable al\u00e9atoire \"X\" suit la loi uniforme sur \"[\![ a, b ]\!]\" lorsque \"X</div> et pour tout \"k \in [\![ a, b ]\!],\" \"\mathrm{P} \left( X = k \right)\" \"= \dfrac{1}{ b - a + 1}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple :<\/strong> Soit \"a, b \in \mathbb{Z}\" tels que \"a < b.\" On consid\u00e8re une variable al\u00e9atoire \"X\" suivant la loi uniforme sur \"[\![ a, b ]\!]\" c’est-\u00e0-dire \"X \left( \Omega \right) = [\![ a, b ]\!]\" et pour tout \"k \in [\![ a, b ]\!],\" on a \"\mathrm{P} \left( X = k \right)\" \"= \dfrac{1}{b - a}.\" En s’aidant du tableau, donner l’esp\u00e9rance et la variance de \"X.\"<\/div>\n
<\/div>\n
R\u00e9ponse : <\/strong>Si l’on pose \"n = b - a + 1\" (nombre d’\u00e9l\u00e9ments de \"[\![ a, b ]\!]\") et si \"Y\" est une variable al\u00e9atoire suivant la loi uniforme sur \"[\![ 1 ,n ]\!],\" alors remarquons que \"X = Y + \left( a - 1 \right).\" En effet, le support de la variable al\u00e9atoire \"Y + \left( a - 1 \right)\" est bien \"[\![ a, b ]\!]\" et si \"k \in [\![ a, b ]\!]\" alors \"\mathrm{P} \left( X = k \right)\" \"= \mathrm{P} \left( Y = k - a + 1 \right)\" \"= \dfrac1n.\" \u00e0 partir de l\u00e0, il est ais\u00e9 de calculer l’esp\u00e9rance et la variance de \"X.\"<\/div>\n
On a<\/div>\n
\"E \left( X \right)\" \"= \E \left( Y + a - 1 \right)\"<\/div>\n
\"= \E \left( Y \right) + \left( a - 1 \right)\"<\/div>\n
\"= \E \left( Y \right) + \left( a - 1 \right)\"<\/div>\n
\"= \dfrac{n + 1}{2} + \left( a - 1 \right)\"<\/div>\n
\"= \dfrac{b - a + 2}{2} + \left( a - 1 \right)\"<\/div>\n
\"= \dfrac{a + b}{2}\".<\/div>\n
Et pour la variance :<\/div>\n
\"V \left( X \right)\" \"= V \left( Y + \left( a - 1 \right) \right)\"<\/div>\n
\"= V \left( Y \right)\"<\/div>\n
\"= \dfrac{n^2 - 1}{12}\"<\/div>\n
\"= \dfrac{\left( b - a + 1 \right)^2 - 1}{12}\"<\/div>\n
\"= \dfrac{\left( b - a \right) \left( b - a + 2 \right)}{12}\".<\/div>\n
<\/div>\n
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Tous les chapitres de maths au programme d’ECG1 sont consultables gratuitement sur notre site, r\u00e9visez par exemple :<\/div>\n