{"id":34446,"date":"2019-08-20T09:09:12","date_gmt":"2019-08-20T08:09:12","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34446"},"modified":"2022-07-20T11:41:35","modified_gmt":"2022-07-20T10:41:35","slug":"cours-en-ligne-corriges-variables-aleatoires-finies-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-variables-aleatoires-finies-ecs1\/","title":{"rendered":"Variables al\u00e9atoires finies en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Variables al\u00e9atoires finies en ECG1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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Corrig\u00e9s – Variables al\u00e9atoires finies<\/h2>\r\n

Exercice 1 :<\/h3>\r\n

1)<\/strong> Pour r\u00e9aliser \"\left( X = 2 \right),\" on doit avoir \"P_1 F_2.\" Ainsi \"\mathbb{P} \left( X = 2 \right) = \mathbb{P} \left( P_1 F_2 \right).\" Par ind\u00e9pendance des \u00e9v\u00e9nements, on a \"\mathbb{P} \left( P_1 F_2 \right)\" \"= \mathbb{P} \left( P_1 \right) \times \mathbb{P} \left( F_2 \right)\" \"= \dfrac14.\" Ainsi\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( X = 2 \right) = \dfrac14.\]\"<\/p><\/p>\r\n

2) a)<\/strong> Les deux derniers tirages sont \"P_2 F_3.\" Le premier tirage pouvant \u00eatre Pile ou Face, on a bien<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( X= 3 \right) = P_1 P_2 F_3 \cup F_1 P_2 F_3.\]\"<\/p>
Ainsi<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( X= 3 \right)\" \"= \mathbb{P} \left( P_1 P_2 F_3 \cup F_1 P_2 F_3 \right)\"
\"\text{les evenements etant disjoints}\" \"= \mathbb{P} \left( P_1 P_2 F_3 \right) + \mathbb{P} \left( F_1 P_2 F_3 \right)\"
\"\text{par independance}\" \"=\mathbb{P} \left( P_1 \right) \times \mathbb{P} \left( P_2 \right) \times \mathbb{P} \left( F_3 \right)\" \"+ \mathbb{P} \left( F_1 \right) \times \mathbb{P} \left( P_2 \right) \times \mathbb{P} \left( F_3 \right)\"
\"= \dfrac18 + \dfrac18\"
\"= \dfrac14\".<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
b)<\/strong> Les deux derniers lancers sont \"P_{k - 1} F_k.\" On s’int\u00e9resse aux \"k - 2\" premiers lancers. Deux possibilit\u00e9s :<\/span><\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

\"\star\" il n’y a pas de Pile lors des \"k - 2\" premiers lancers, auquel cas, le lancer est de la forme\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F_1 F_2 \cdots F_{k - 2} P_{k - 1} F_k.\]\"<\/p><\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
\"\star\" il y a au moins un Pile lors des \"k - 2\" premiers lancers. On appelle par \"k- 2 \ge j \ge 1\" le rang d’apparition du premier Pile. Ainsi, les \"j - 1\" premiers lancers sont Face. Remarquons que les lancers obtenus aux rangs \"j + 1, j + 2, \cdots , k- 2\" sont Pile.\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
En effet, si l’on avait un Face au cours de ces lancers. En notant \"l\" le rang d’apparition du premier Face au cours de ces lancers, on aurait un lancer du type<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F_1 \cdots F_{j - 1} P_j P_{j + 1} \cdots P_{l - 1} F_l \cdots P_{k - 1} F_k.\]\"<\/p>
Ainsi le rang d’apparition du premier groupement Pile puis Face serait en position \"l < k,\" ce qui n’est possible puisque l’on travaille sur l’\u00e9v\u00e9nement \"\left( X = k \right).\" Finalement, le lancer est de la forme<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F_1 F_2 \cdots F_{j - 1} P_j P_{j + 1} \cdots P_{k - 1} F_k.\]\"<\/p>
On a bien<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
\"\left( X= k \right)\" \"= \left( F_1 F_2 \cdots F_{k - 2} P_{k - 1} F_k \right)\" \"\cup (\displaystyle\bigcup_{j=1}^{k - 2} \left( F_1 \cdots F_{j - 1} P_j P_{j + 1} \cdots P_{k - 1} F_k \right) ).\"
Notons que ces \"k - 1\" \u00e9v\u00e9nements sont deux \u00e0 deux disjoints.<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
c)<\/strong> A la question pr\u00e9c\u00e9dente, nous avons \u00e9crit \"\left( X = k \right)\" comme r\u00e9union de \"k - 1\" \u00e9v\u00e9nements deux \u00e0 deux disjoints. Remarquons que, par ind\u00e9pendance des lancers, chacun de ces \u00e9v\u00e9nements est de probabilit\u00e9 \u00e9gale \u00e0 \"\left( \dfrac12 \right)^k.\" Les \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant disjoints, on a:<\/span>\r\n

 <\/p>\r\n

\u00a0<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= \left( k - 1 \right) \left( \dfrac12 \right)^k.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
d) Remarquons que \"X \left( \Omega \right) = \mathbb{N} \backslash \left\{ 1 \right\}.\" Ainsi<\/span>\r\n

 <\/p>\r\n

\u00a0<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( X = 0 \right)\" \"= 1 - \mathbb{P} \left( X \ge 2 \right)\"
\"= 1 - \displaystyle\sum_{k=2}^{+ \infty} \left( k - 1 \right) \left( \dfrac12 \right)^k\"
\"\underset{\text{on pose} \; l = k - 1}{=} 1 - \displaystyle\sum_{l=1}^{+ \infty} l \left( \dfrac12 \right)^{l + 1}\"
\"= 1 - \dfrac14 \displaystyle\sum_{l=1}^{+ \infty} l \left( \dfrac12 \right)^{l - 1}\"
\"= 1 - \dfrac14 \times \dfrac{1}{\left( 1 - \dfrac12 \right)^2}\"
\"= 0\".<\/p>\r\n

3) a)<\/strong> On suppose que le premier lancer est Pile.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"P_2 P_3 \cdots P_{k- 1} F_k\" se r\u00e9alise. Comme le premier lancer est Pile, \"P_1 P_2 \cdots P_{k - 1} F_k\" se r\u00e9alise. Ainsi, \"\left( X = k \right)\" se r\u00e9alise car le premier groupement Pile puis Face est en position \"k-1\" et \"k.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" R\u00e9ciproquement, supposons que \"\left( X = k \right)\" se r\u00e9alise. Montrons qu’il n’y a pas de Face lors dans lancers de rang \"2, 3 , \cdots, k - 2.\" S’il y en a un, on note par \"j < k\" le rang d’apparition du premier Face. Ainsi, on a \"P_1 P_2 \cdots P_{j - 1} F_j.\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Ici, on remarque que le rang d’apparition du premier groupement Pile puis Face est au rang \"j,\" ce qui est impossible car l’on travaille avec l’\u00e9v\u00e9nement \"\left( X = k \right).\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
b)<\/strong> Le famille \"\left\{ P_1 , F_1 \right\}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements. la formule des probabilit\u00e9s totales<\/a> assure que<\/span><\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= \mathbb{P}_{P_1} \left( X = k \right) \times \mathbb{P} \left( P_1 \right)\" \"+ \mathbb{P}_{F_1} \left( X = k \right) \times \mathbb{P} \left( F_1 \right).\"\r\n

 <\/p>\r\n

\u00a0<\/p>\r\n

Or, \u00e0 la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a montr\u00e9 que \"\mathbb{P}_{P_1} \left( X = k \right)\" \"= \mathbb{P} \left( P_2 P_3 \cdots P_{k - 1} F_k \right)\" \"= \dfrac{1}{2^{k - 1}}.\" remarquons aussi que l\u00e9v\u00e9nement \"\left( X = k \right)\" sachant \"F_1\" est \u00e9quivalent \u00e0 \"\left( X = k - 1 \right),\" ainsi<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= \dfrac{1}{2^{k - 1}} \times \mathbb{P} \left( P_1 \right)\" \"+ \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right) \times \mathbb{P} \left( F_1 \right)\"
\"= \dfrac{1}{2^k} + \dfrac12 \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right)\".<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
c)<\/strong> En multipliant la relation obtenue \u00e0 la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a:<\/span>\r\n

 <\/p>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
\"2^k \mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= 2^{k - 1} \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right) + 1,\"
soit\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_k = u_{k - 1} + 1.\]\"<\/p>
La suite<\/a> \"\left( u_k \right)_{k \ge 2}\" est arithm\u00e9tique de raison \"1.\" Pour tout \"k \ge 2,\" on a<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_k = u_2 + \left( k - 2 \right) r,\]\"<\/p>
d’o\u00f9 \"u_k = k -1\" et\u00a0<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= \dfrac{k - 1}{2^k}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
d)<\/strong> En multipliant la relation obtenue \u00e0 la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a:<\/span>\r\n

 <\/p>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
\"2^k \mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= 2^{k - 1} \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right) + 1,\"
soit\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_k = u_{k - 1} + 1.\]\"<\/p>
La suite \"\left( u_k \right)_{k \ge 2}\" est arithm\u00e9tique de raison \"1.\" Pour tout \"k \ge 2,\" on a<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_k = u_2 + \left( k - 2 \right) r,\]\"<\/p>
d’o\u00f9 \"u_k = k -1\" et\u00a0<\/div>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"= \dfrac{k - 1}{2^k}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
4)<\/strong> Pour montrer que \"X\" admet une esp\u00e9rance, montrons que la s\u00e9rie<\/a> \"\displaystyle\sum_{k \ge 2} k \mathbb{P} \left( X = k \right)\" converge<\/a> absolument.<\/span>\r\n

 <\/p>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n
Par croissance compar\u00e9e, on a \"\lim_{k \to + \infty} k^2 \times \dfrac{k - 1}{2^k} = 0.\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Ainsi \"\dfrac{k -1}{2^{k - 1}} \underset{k \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{k^2} \right).\" Comme la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle\sum_{k \ge 2} \dfrac{1}{k^2}\" converge (Riemann), la s\u00e9rie \"\displaystyle\sum_{k \ge 2} k \mathbb{P} \left( X = k \right)\" converge et \"X\" admet une esp\u00e9rance et<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{E} \left( X \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k=2}^{+ \infty} k \times \dfrac{k - 1}{2^k}\"
\"= \left( \dfrac12 \right)^2 \displaystyle\sum_{k=2}^{+ \infty} k \left( k - 1 \right) \left( \dfrac12 \right)^{k - 2}\"
\"= \dfrac14 \times \dfrac{2}{\left( 1 - \dfrac12 \right)^3}\"
\"= 4\".\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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