{"id":34451,"date":"2019-08-20T09:32:51","date_gmt":"2019-08-20T08:32:51","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34451"},"modified":"2023-09-14T11:17:57","modified_gmt":"2023-09-14T10:17:57","slug":"cours-en-ligne-variables-aleatoires-discretes-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-variables-aleatoires-discretes-ecs1\/","title":{"rendered":"Variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes en ECG1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes<\/h2>\r\n

M\u00e9thode 1 : Donner la loi d’une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te.
<\/b><\/p>\r\n

Soit \"\left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right)\" un espace probabilis\u00e9<\/a>.<\/p>\r\n

1)<\/b>\u00a0Une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te sur \"\left( \Omega, \mathcal A, \mathrm{P} \right)\" est une application \"X\" de \"\Omega\" dans \"\mathbb{R}\" telle que \"X \left( \Omega \right)\" est fini ou d\u00e9nombrable et telle que pour tout \"x \in X \left( \Omega \right),\" \"\left( X = x \right) \in \mathcal A.\"<\/p>\r\n

Il est fondamental de retenir que si \"X\" est une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te sur \"\left( \Omega , \mathcal A , \mathrm{P} \right),\" la famille \"\left( \left( X = x \right) \right)_{x \in X \left( \Omega \right)}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\\’nements.<\/p>\r\n

2)<\/b>\u00a0Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te. Donner la loi de \"X,\" c’est donner :<\/p>\r\n

\"\bullet\" les valeurs prises par \"X\" : l’ensemble \"X \left( \Omega \right),\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" pour \"x \in X \left( \Omega \right),\" la valeur \"\mathrm{P} \left( X = x \right).\"<\/p>\r\n

En particulier, on a :<\/p>\r\n

\"\bullet\" si \"X \left( \Omega \right)\" est fini, \"\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right) } \mathrm{P} \left( X = x \right) = 1,\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" si \"X \left( \Omega \right)\" est une partie d\u00e9nombrable, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\mathrm{P} \left( X = x \right)\" converge et \"\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathrm{P} \left( X = x \right) =1.\"<\/p>\r\n

3)<\/b>\u00a0V\u00e9rifier que l’on a d\u00e9fini la loi d’une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te non finie, c’est s’assurer que<\/p>\r\n

\"\bullet\" l’on a pr\u00e9cis\u00e9 l’ensemble<\/a> d\u00e9nombrable \"X \left( \Omega \right)\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\" l’on a donn\u00e9 pour tout \"x \in X \left( \Omega \right),\" la valeur de \"\mathrm{P} \left( X = x \right)\" et montr\u00e9 que \"\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathrm{P} \left( X = x \right) = 1.\"<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Un sauteur en hauteur tente de franchir les hauteurs successives \"1, 2, 3, \cdots , n, \cdots\" Le sauteur est \u00e9limin\u00e9 \u00e0 son premier \u00e9chec. On suppose que, pour tout \"n \in \mathbb{N}^*,\" la probabilit\u00e9 de succ\u00e8s \u00e0 la hauteur \"n\" est \"\dfrac1n.\" On note \"X\" la variable al\u00e9atoire \u00e9gale au num\u00e9ro du dernier saut r\u00e9ussi.<\/p>\r\n

Donner la loi de \"X.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On a \"X \left( \Omega \right) = \mathbb{N}^*.\" En effet, le sauteur peut sauter un nombre arbitrairement \u00e9lev\u00e9 de barres. Pour \"n \in \mathbb{N}^*,\" calculons \"\mathrm{P} \left( X =n \right).\"\u00a0<\/p>\r\n

On note \"R_k\" : \u00ab\u00a0le sauteur franchit la hauteur \"k\"\u00a0\u00bb et \"E_k = \overline{R_k}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\left( X= n \right)\" signifie que le sauteur a r\u00e9ussi les \"n - 1\" premiers sauts et qu’il rate le \"n\"-i\u00e8me, ainsi \"\mathrm{P} \left( X= n \right)\" \"= \mathrm{P} \left( R_1 \cap \cdots \cap R_{n - 1} \cap E_n \right).\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
En utilisant la formule des probabilit\u00e9s<\/a> compos\u00e9es :<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathrm{P} \left( X= n \right)\" \"= \mathrm{P} \left( R_1 \right) \times \mathrm{P}_{R_1} \left( R_2 \right)\" \"\times \cdots \times \mathrm{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{n - 2}} \left( R_{n - 1} \right)\" \"\times \mathrm{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{n - 1}} \left( E_n \right).\"
Ainsi<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathrm{P} \left( X= n \right)\" \"= 1 \times \dfrac12 \times \dfrac13 \times \cdots \times \dfrac{1}{n - 1} \times \left( 1 - \dfrac1n \right)\" \"= \dfrac{1}{\left( n - 1 \right)!} \left( 1 - \dfrac1n \right)\" \"= \dfrac{n - 1}{n!}.</div>X\"admet une espérance.X\"est une variable aléatoire discrète sur\"\\left( \\Omega , \\mathcal A , \\mathrm{P} \\right)\".X\"admet une espérance si, et seulement si, la série de terme général\"x \\mathrm{P} \\left( X = x \\right)\"est absolument convergente, et on définit l'espérance de\"X\"par \\mathbb{E} \\left( X \\right)= \\displaystyle\\sum_{x \\in X \\left( \\Omega \\right)} x \\mathrm{P} \\left( X = x \\right).\"7\"est encore valable : si\"X\"et\" Y\"sont des variables aléatoires discrètes définies sur\"\\left( \\Omega, \\mathcal A, \\mathrm{P} \\right)\"admettant une espérance et si\"a\"et\"b\"sont des réels,\"a X + bY\"est une variable aléatoire sur\"\\left( \\Omega, \\mathcal A, \\mathrm{P} \\right)\"admettant une espérance et\\mathbb{E} \\left( a X + b Y \\right)= a \\mathbb{E} \\left( X \\right) + b \\mathbb{E} \\left( Y \\right).\"\\mathbb{E} \\left( a X + b \\right)= a \\mathbb{E} \\left( X \\right) + b.\"Il est indispensable de parfaitement connaître les <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-series-numeriques-ecs1/">séries usuelles</a>.p \\in \\left] 0 , 1 \\right[\"et soit\"X\"une variable aléatoire à valeurs dans\"\\mathbb{N}\"telle que \\mathrm{P} \\left( X = n \\right)= \\left( 1 – p \\right) p^n.\"X.\"X\"admet une espérance et la calculer.n \\in \\mathbb{N},\\mathrm{P} \\left( X = n \\right) \\ge 0.\"De plus, la série de terme général\"\\left( 1 – p \\right) p^n\"converge car c'est une série géométrique à une constante multiplicative près et \\displaystyle\\sum_{n=0}^{+ \\infty} \\mathrm{P} \\left( X = n \\right)= \\left( 1- p \\right) \\displaystyle\\sum_{n=0}^{+ \\infty} p^n= \\left( 1- p \\right) \\times \\dfrac{1}{1 – p}= 1.\"On a bien défini la loi d'une variable aléatoire\"X.\"</div>\\left( 1- p \\right) n p^n\"converge absolument car c'est une série géométrique dérivée d'ordre\"1\"à une constante multiplicative près, donc\"X\"admet une espérance et :</span>\\mathbb{E} \\left( X \\right)= \\displaystyle\\sum_{n=0}^{+ \\infty} n \\mathrm{P} \\left( X = n \\right) = \\left( 1- p \\right) \\displaystyle\\sum_{n=0}^{+ \\infty} n p^n = \\left( 1 – p \\right) \\displaystyle\\sum_{n= 1}^{+ \\infty} n p^n = p \\left( 1 – p \\right) \\displaystyle\\sum_{n=1}^{+ \\infty} n p^{n – 1} \\underset{\\text{somme de reference}}{=} p \\left( 1 – p \\right) \\times \\dfrac{1}{\\left( 1 – p \\right)^2} = \\dfrac{p}{1 – p}\".</div>X\"est une variable aléatoire discrète sur\"\\left( \\Omega, \\mathcal A , \\mathrm{P} \\right)\"et si\"g\"est une <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-fonctions-variables-reelles-ecs1/">fonction</a> de\"X \\left( \\Omega \\right)\"dans\" \\mathbb{R},g \\left( X \\right)\"est une variable aléatoire discrète sur\"\\left( \\Omega, \\mathcal A , \\mathrm{P} \\right).\"X\"est une variable aléatoire discrète sur\"\\left( \\Omega, \\mathcal A , \\mathrm{P} \\right).\" g\"une fonction de\"X \\left( \\Omega \\right)\"dans\"\\mathbb{R},g \\left( X \\right)\"admet une espérance si, et seulement si, la série de terme général\"g \\left( x \\right) \\mathrm{P} \\left( X = x \\right)\"converge absolument, et dans ce cas\"\\mathbb{E} \\left( g \\left( X \\right) \\right)= \\displaystyle\\sum_{x \\in X \\left( \\Omega \\right)} g \\left( x \\right) \\mathrm{P} \\left( X = x \\right).\"X\"admet une espérance et si l'on se donne\"a\"et\"b\"deux réels,\"aX + b\"admet une espérance et\"\\mathbb{E} \\left( a X + b \\right) = a \\mathbb{E} \\left( X \\right) + b.\"X\"une variable aléatoire à valeurs dans\"\\mathbb{N}\"telle que si\"n \\in \\mathbb{N},\"\\mathrm{P} \\left( X =n \\right)= e^{- \\lambda} \\dfrac{\\lambda^n}{n!}\"où\"\\lambda > 0.\"Montrer que la variable aléatoire\"Y = \\dfrac{1}{X + 1}\"admet une espérance et la calculer.g \\left( x \\right) = \\dfrac{1}{x + 1},g\"est définie sur\"\\mathbb{N}.\" Y\"admet une espérance, montrons que la série de terme général\"g \\left( k \\right) \\mathrm{P} \\left( X = k \\right) \"converge absolument. 0 \\le g \\left( k \\right) \\mathrm{P} \\left( X = k \\right)\\le \\mathrm{P} \\left( X = k \\right)\"et d'utiliser la convergence de la série de terme général\"\\mathrm{P} \\left( X = k \\right),\"pour affirmer la <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-convergences-approximations-ecs1/">convergence</a> absolue de la série de terme général\"g \\left( k \\right) \\mathrm{P} \\left( X = k \\right).\"\\mathbb{E} \\left( Y \\right)= \\displaystyle\\sum_{k=0}^{+ \\infty} g \\left( k \\right) \\mathrm{P} \\left( X = k \\right) = \\displaystyle\\sum_{k=0}^{+ \\infty} \\dfrac{1}{k + 1} e^{- \\lambda} \\dfrac{\\lambda^k}{k!} = \\displaystyle\\sum_{k=0}^{+\\infty} \\left( e^{-\\lambda} \\dfrac{\\lambda^k}{\\left( k + 1 \\right)!} \\right)
*** QuickLaTeX cannot compile formula:\n \n\n*** Error message:\nError: Nothing to show, formula is empty\n<\/pre>= \\dfrac{e^{- \\lambda}}{\\lambda} \\displaystyle\\sum_{k=0}^{+\\infty} \\dfrac{\\lambda^{k + 1}}{\\left( k + 1 \\right)!} = \\dfrac{e^{- \\lambda}}{\\lambda} \\displaystyle\\sum_{k=1}^{+\\infty} \\dfrac{\\lambda^{k }}{k!} = \\dfrac{e^{- \\lambda}}{\\lambda} \\left( e^{\\lambda} – 1 \\right)\".r\"et la variance d'une variable aléatoire discrète.</b>X\"est une variable aléatoire discrète sur\"\\left( \\Omega, \\mathcal A, \\mathrm{P} \\right)\"et que\"X \\left( \\Omega \\right)\"est infini. r \\in \\mathbb{N}^*,\"on dit que\"X\"admet un moment d'ordre\"r\"lorsque\"X^r\"admet une espérance ce qui revient à dire que la série de terme général\"x^r \\mathrm{P} \\left( X = x \\right)\"converge absolument et dans ce casm_r \\left( X \\right)= \\mathbb{E} \\left( X^r \\right)= \\displaystyle\\sum_{x \\in X \\left( \\Omega \\right)} x^r \\mathrm{P} \\left( X = x \\right).\"Si\"X\"admet un moment d'ordre\"r,X\"admet un moment d'ordre\"s\"pour tout\"s \\in [\\![ 1, r ]\\!].\"X\"admet un moment d'ordre\"2\"(soit si\"X^2\"admet une espérance),\"X\"admet une espérance et on définit la variance de\"X\"parV \\left( X \\right) = \\mathbb{E} \\left( \\left( X – \\mathbb{E} \\left( X \\right) \\right)^2 \\right).\"Comme\"V \\left( X \\right) \\ge 0,\"on définit l'écart-type de\"X\"par\"\\sqrt{V \\left( X \\right)}.\"V \\left( X \\right) = \\mathbb{E} \\left( X^2 \\right)- \\left( \\mathbb{E} \\left( X \\right) \\right)^2.\"X\"admet une variance et si\"a, b \\in \\mathbb{R},\"alors\"a X + b\"admet une variance et\"V \\left( a X + b \\right)= a^2 V \\left( X \\right).\"X\"admet une variance nulle si, et seulement si,\"\\mathrm{P} \\left( X = \\mathbb{E} \\left( X \\right) \\right)= 1,\"on dit que la variable aléatoire\"X\"est presque sûrement constante.X\"et\"Y\"deux variables aléatoires discrètes. Donner la loi du couple\"\\left( X, Y \\right),\"c'est :\\bullet\"donner les ensembles\"X \\left( \\Omega \\right)\"et\"Y \\left( \\Omega \\right),\"\\bullet\"pour\"\\left( x , y \\right) \\in X \\left( \\Omega \\right) \\times Y \\left( \\Omega \\right),\"calculer\"\\mathrm{P} \\left( \\left( X = x \\right) \\cap \\left( Y = y \\right) \\right).\" \\left( X, Y \\right),\"on en déduit les lois marginales :x \\in X \\left( \\Omega \\right),\\mathrm{P} \\left( X = x \\right)= \\displaystyle\\sum_{y \\in Y \\left( \\Omega \\right)} \\mathrm{P} \\left( \\left( X = x \\right) \\cap \\left( Y= y\\right) \\right)\"y \\in Y \\left( \\Omega \\right),\\mathrm{P} \\left( Y = y \\right)= \\displaystyle\\sum_{x \\in X \\left( \\Omega \\right)} \\mathrm{P} \\left( \\left( X = x \\right) \\cap \\left( Y= y \\right) \\right).\"\\left( x , y \\right) \\in X \\left( \\Omega \\right) \\times Y \\left( \\Omega \\right),\"\\mathrm{P} \\left( \\left( X = x \\right) \\cap \\left( Y = y \\right) \\right)= \\mathrm{P} \\left( X = x \\right) \\mathrm{P} \\left( Y = y \\right).\"x , y \\in \\mathbb{R},\"les événements\"\\left( X \\le x \\right)\"et\"\\left( Y \\le y \\right)\"sont indépendants.X\"et\"Y\"sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes admettant chacune une variance, alors la variable aléatoire\"X + Y\"est une variable aléatoire discrète ayant une variance et\"V \\left( X + Y \\right)= V \\left( X \\right) + V \\left( Y \\right).\"X\"et\"Y\"sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes admettant chacune une espérance, alors la variable aléatoire\"X Y\"est une variable aléatoire discrète ayant une espérance et\\mathbb{E} \\left( X Y \\right)= \\mathbb{E} \\left( X \\right) \\mathbb{E} \\left( Y \\right).\"\\mathbb{N}.\"</b>X\"est une variable aléatoire sur\"\\left( \\Omega, \\mathcal A , \\mathrm{P} \\right)\"à valeurs dans\"\\mathbb{N},\"pour tout réel\"t,\\left( X \\le t \\right) \\in \\mathcal A,\"la fonction de répartition de\"X\"est définie sur\"\\mathbb{R}\"par\"F_X \\left( t \\right)= \\mathrm{P} \\left( X \\le t \\right).\"X\"vérifie les propriétés suivantes :\\bulletF_X\"est croissante sur\"\\mathbb{R},\"\\bullet\\lim_{x \\to – \\infty} F_X \\left( x \\right) = 0\"et\"\\lim_{x \\to + \\infty} F_X \\left( x \\right) = 1,\"\\bulletF_X\"est continue à droite en tout point\"t\"et admet une limite à gauche en\"t\"ègale à\"\\mathrm{P} \\left( X < t \\right),\"elle est continue en tout\"t\"tel que\"\\mathrm{P} \\left( X = t \\right)= 0.\"\\bullet \"Pour tout\"n \\in \\mathbb{N}^*,\\mathrm{P} \\left( X = n \\right)= F_X \\left( n \\right) – F_X \\left( n – 1 \\right)\"et\"\\mathrm{P} \\left( X = 0 \\right)= F_X \\left( 0 \\right).\"\\bulletF_X\"caractérise la loi, c'est-à-dire que deux variables aléatoires\"X\"et\"Y\"suivent la même loi si et seulement si\"F_X = F_Y.\"\\lfloor x \\rfloor\"est l'unique entier tel que\"\\lfloor x \\rfloor \\le x < \\lfloor x \\rfloor + 1.\"F\"définie par\"F \\left( x \\right) = \\begin{cases} = 0 & \\text{si} \\; x < 0 \\\\ \\dfrac{\\lfloor x \\rfloor}{\\lfloor x \\rfloor + 1} & \\text{si} \\; x \\ge 0 \\end{cases}\"est la fonction de répartition d'une variable aléatoire\"X\"telle que\"X \\left( \\Omega \\right) = \\mathbb{N}^*.\"X\"admet-elle une espérance ?X\"telle que\"X \\left( \\Omega \\right) = \\mathbb{N}^*\"de fonction de répartition égale à\"F,\"alors pour tout\"n \\in \\mathbb{N},\\mathrm{P} \\left( X \\le n \\right)= F \\left( n \\right)= \\dfrac{n}{n + 1}.\"</div>n \\in \\mathbb{N}^*,\\left( X \\le n \\right)= \\left( X =n \\right) \\cup \\left( X \\le n – 1 \\right)\"et\"\\mathrm{P} \\left( X \\le n \\right)= \\mathrm{P} \\left( X =n \\right) + \\mathrm{P} \\left( X \\le n – 1 \\right)\\mathrm{P} \\left( X = n \\right)= \\mathrm{P} \\left( X \\le n \\right) – \\mathrm{P} \\left( X \\le n – 1 \\right)= \\dfrac{n}{n + 1} – \\dfrac{n – 1}{n}= \\dfrac{1}{n \\left( n + 1 \\right)}.\"</div>X \\left( \\Omega \\right) = \\mathbb{N}^*\"et si\"n \\in \\mathbb{N}^*,\\mathrm{P} \\left( X = n \\right)= \\dfrac{1}{n \\left( n + 1 \\right)}\"définissent la loi d'une variable aléatoire car la série de terme général\"\\dfrac{1}{n \\left( n + 1 \\right)} \\underset{n \\to + \\infty}{\\sim} \\dfrac{1}{n^2}\"est convergente et\"\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\dfrac{1}{k \\left( k + 1 \\right)}= \\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\left( \\dfrac{1}{k} – \\dfrac{1}{k + 1} \\right)= 1 – \\dfrac{1}{n + 1}\"par télescopage.</div>n\"tend vers\"+ \\infty\":\"\\displaystyle\\sum_{n=1}^{+ \\infty} \\dfrac{1}{n \\left( n + 1 \\right)}= 1.\"</div>X.\"</div>x < 1,\\mathrm{P} \\left( X \\le x \\right)= \\mathrm{P} \\left( \\emptyset \\right) = 0.\"</div>x \\ge 1,\"on note\"n = \\lfloor x \\rfloor,\"alors\"\\mathrm{P} \\left( X \\le x \\right)= \\mathrm{P} \\left( X \\le n \\right)= \\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\mathrm{P} \\left( X= k \\right)= \\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\dfrac{1}{k \\left( k + 1 \\right)}.\"Grâce au calcul précédent,\"F \\left( x \\right)= \\dfrac{n}{n + 1}= \\dfrac{\\lfloor x \\rfloor}{\\lfloor x \\rfloor + 1},\"la formule reste vraie pour\"x \\in \\left[ 0 , 1 \\right[.\"</div>F\"est bien la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète.</div>n \\mathrm{P} \\left( X = n \\right)= \\dfrac{1}{n + 1}\"est divergente, donc\"X\"n'a pas d'espérance.</div>p\"et l'échec de probabilité\"q = 1 – p.\"X\"le rang du premier succès,\"X\"est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre\"p.\"A\"et\"B\"lancent chacun une pièce donnant Pile est\"\\dfrac13\"jusqu'à l'obtention d'un Pile. X_A\"(respectivement\"X_B\") le nombre de lancers nécessaires au joueur\"A\"(respectivement au joueur\"B\").X_A\"et\"X_B\"ainsi que leur espérance et leur variance.\\mathrm{P} \\left( X_A = X_B \\right).\"A\"effectue une série d'épreuves indépendantes, ayant deux issues possibles. On s'intéresse au premier succès,\"X_A\"suit dont une loi géométrique de paramètre\"\\dfrac13.\"Il en va de même pour le joueur\"B.\"\\mathbb{E} \\left( X_A \\right)= \\mathbb{E} \\left( X_B \\right) = 3\"et\"V \\left( X_A \\right)= V \\left( X_B \\right) = 6.\"</div>\\left( X_A = X_B \\right)= \\displaystyle\\bigcup_{n=1}^{+ \\infty} \\left( X_A = n \\cup X_B = n \\right).\"</span>\\mathrm{P} \\left( X_A = X_B \\right)= \\mathrm{P} \\left( \\displaystyle\\bigcup_{n=1}^{+ \\infty} \\left( X_A = n \\cup X_B = n \\right) \\right)= \\displaystyle\\sum_{n=1}^{+ \\infty} \\mathrm{P} \\left( X_A = n \\cap X_B = n \\right).\" Comme\"X_A\"et\"X_B\"sont indépendantes, on a</div>\\mathrm{P} \\left( X_A = X_B \\right)= \\displaystyle\\sum_{n=1}^{+ \\infty} \\mathrm{P} \\left( X_A = n \\right) \\mathrm{P} \\left( X_B = n \\right),\"puis</div>\\mathrm{P} \\left( X_A = X_B \\right)= \\displaystyle\\sum_{n=1}^{+ \\infty} \\left( \\left( \\dfrac23 \\right)^{n – 1} \\times \\dfrac13 \\right)^2 = \\dfrac19 \\displaystyle\\sum_{n=1}^{+ \\infty} \\left( \\dfrac49 \\right)^{n – 1} = \\dfrac19 \\times \\dfrac{1}{1 – \\dfrac49} = \\dfrac15$.\r\n
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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