{"id":34461,"date":"2019-08-20T09:46:43","date_gmt":"2019-08-20T08:46:43","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34461"},"modified":"2022-07-20T11:44:04","modified_gmt":"2022-07-20T10:44:04","slug":"cours-en-ligne-corriges-variables-aleatoires-discretes-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-variables-aleatoires-discretes-ecs1\/","title":{"rendered":"Variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes<\/h2>\n

Exercice :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/strong> \"X\" suit une loi binomiale \"\mathcal B \left( n , q \right).\" En effet, \"X\" compte le nombre de transmissions de messages contraires qui est une r\u00e9p\u00e9tition de \"n\" d’\u00e9preuves ind\u00e9pendantes ayant \"2\" issues possibles : le message transmis est le contraire du message pr\u00e9c\u00e9dent avec une probabilit\u00e9<\/a> \"q\" et co\u00efncide avec le message re\u00e7u avec une probabilit\u00e9 \"p.\"<\/p>\n

2) a)<\/strong> Comme la variable al\u00e9atoire \"X\" est \u00e0 valeurs enti\u00e8res, si \"\omega \in \Omega,\" \"X \left( \omega \right)\" est un entier naturel pair ou impair donc, on a \"E = \overline{F}.\" Ainsi<\/p>\n

\"\mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( F \right)\" \"= \mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( \overline{E} \right)\" \"= 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
b)<\/strong> On a <\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\n

\"\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)\" \"= \mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcup_{k=0 \atop k \, \text{pair}}^n \left( X = k \right) \right)\" \"- \mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcup_{k=0 \atop k \, \text{impair}}^n \left( X = k \right) \right).\"<\/p>\n

Les \u00e9v\u00e9nements sont deux \u00e0 deux incompatibles, on r\u00e9cup\u00e8re
\n\"\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)\" \"=\displaystyle\sum_{k=0 \atop k \, \text{pair}}^n \mathbb{P} \left( X = k \right) - \displaystyle\sum_{k=0 \atop k \, \text{impair}}^n \mathbb{P} \left( X = k \right).\"
\nCela donne les calculs suivants :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k \in [\![ 0, n ]\!] \atop k \; \text{pair}} \binom{n}{k} q^{k} p^{n - k}\" \"- \displaystyle\sum_{k \in [\![ 0, n ]\!] \atop k \; \text{impair}} \binom{n}{k} q^k p^{n - k}\"<\/div>\n
\"= \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} q^{2k} p^{n - 2k}\" \"- \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} q^{2k + 1} p^{n - \left( 2k + 1 \right)}\"
\n\"= \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} \left( - 1 \right)^{2k} q^{2k} p^{n - 2k} + \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} \left( - 1 \right)^{2 k + 1} q^{2k + 1}\" \"\times p^{n - \left( 2k + 1 \right)}\"
\n\"= \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} \left( - q \right)^{2k} p^{n - 2k}\" \"+ \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} \left( - q \right)^{2 k + 1} p^{n - \left( 2k + 1 \right)}\"
\n\"= \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( - q \right)^k p^{n - k }\"<\/div>\n
<\/div>\n
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c)<\/strong> On reconna\u00eet la formule du bin\u00f4me de Newton dans cette derni\u00e8re expression, ainsi \"\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)\" \"= \left( - q + p \right)^n.\" Or \"p= 1 - q\" donc<\/span><\/p>\n

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\"\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)\" \"= \left( 1 - 2 q \right)^n.\"
\nPour calculer \"\mathbb{P} \left( E \right),\" il faut remarquer que l’on a \u00e9tabli le syst\u00e8me d’\u00e9quations suivant portant sur \"\mathbb{P} \left( E \right)\" et \"\mathbb{P} \left( F \right)\" :<\/div>\n
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  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} \mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( F \right) & = 1 \\ \mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right) & = \left( 1 - 2 q \right)^n \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La r\u00e9solution de ce syst\u00e8me donne \"\mathbb{P} \left( E \right)\" \"= \dfrac{1 + \left( 1 - 2 q \right)^n}{2}.\"<\/div>\n

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3)<\/strong> Soit \"G\" l’\u00e9v\u00e9nement : \u00ab\u00a0la r\u00e9ponse de \"A\" est transmise \u00e0 \"B\"\u00ab\u00a0. Remarquons que \"G = E.\" Pour s’en convaincre, on remarque qu’un nombre impair de messages transmis de fa\u00e7on erron\u00e9e fournit \u00e0 la fin un message erron\u00e9, alors qu’un nombre pair de messages erron\u00e9s r\u00e9tablit la v\u00e9rit\u00e9 en fin de transmission.<\/div>\n
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4)<\/strong> Comme \"\left| 1 - 2 q \right| < 1,\" on a : \"\lim_{n \to +\infty} \left( 1 - 2 q \right)^n = 0\" donc \"\lim_{n \to +\infty} p_n = \dfrac12.\"<\/p>\n

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