{"id":34469,"date":"2019-08-20T10:14:37","date_gmt":"2019-08-20T09:14:37","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34469"},"modified":"2023-05-04T14:01:02","modified_gmt":"2023-05-04T13:01:02","slug":"cours-en-ligne-variables-aleatoires-densite-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-variables-aleatoires-densite-ecs1\/","title":{"rendered":"Variables al\u00e9atoires \u00e0 densit\u00e9 en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Variables al\u00e9atoires \u00e0 densit\u00e9 en ECG 1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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Ce r\u00e9sum\u00e9 de cours et de m\u00e9thodes propos\u00e9 gratuitement vous fournit toutes les notions \u00e0 maitriser et des exemples pr\u00e9cis sur les variables al\u00e9atoires \u00e0 densit\u00e9 en pr\u00e9pa ECG. Pour aller plus loin, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 faire appel \u00e0 un professeur particulier de maths \u00e0 domicile<\/a> ou en ligne pour attaquer la deuxi\u00e8me ann\u00e9e de pr\u00e9pa ECG sereinement.<\/p>\r\n

1. G\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s sur les variables al\u00e9atoires \u00e0 densit\u00e9 en ECG<\/h2>\r\n

Dans ce paragraphe, \"\left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right)\" est un espace probabilis\u00e9.<\/p>\r\n

\\noindent Une application \"X\" de \"\Omega\" dans \"\R\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle lorsque pour tout \"x \in \R,\" \"\left( X \le x \right) \in \mathcal A.\"<\/p>\r\n

On suppose dans ce paragraphe que \"X \left( \Omega \right)\" n’est ni fini, ni en bijection avec \"\mathbb{N}.\"<\/p>\r\n

On d\u00e9finit la fonction de r\u00e9partition \"F_X\" par si \"t \in \mathbb{R},\" \"F_X \left( t \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X \le t \right).\"<\/p>\r\n

La fonction de r\u00e9partition \"F_X\" de \"X\" v\u00e9rifie les propri\u00e9t\u00e9s suivantes :<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"F_X\" est croissante sur \"\mathbb{R},\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\lim_{x \to - \infty} F_X \left( x \right) = 0\" et \"\lim_{x \to + \infty} F_X \left( x \right) = 1,\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"F_X\" est continue \u00e0 droite en tout point \"t\" et admet une limite \u00e0 gauche en \"t\" \u00e9gale \u00e0 \"\mathrm{P} \left( X < t \right),\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"a < b,\" \"\mathrm{P} \left( a < X \le b \right)\" \"= F_X \left( b \right) - F_X \left( a \right),\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"F_X\" caract\u00e9rise la loi, c’est-\u00e0-dire que deux variables al\u00e9atoires \"X\" et \"Y\" suivent la m\u00eame loi si et seulement si \"F_X = F_Y.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Lorsque \"F_X\" est continue, pour tout \"a \in \mathbb{R},\" \"\mathrm{P} \left( X = a \right) = 0,\" donc si \"a < b,\" \"\mathrm{P} \left( a \le X \le b \right)\" \"= F_X \left( b \right) - F_X \left( a \right)\" et \"\mathrm{P} \left( X < a \right)\" \"= F_X \left( a \right)\" et \"\mathrm{P} \left( X \ge b \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X > b \right)\" \"= 1 - F_X \left( b \right).\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Soient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoires d\u00e9finies sur \"\left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right)\" telles que ni \"X \left( \Omega \right)\" ni \"Y \left( \Omega \right)\" ne soit fini ou en bijection avec \"\mathbb{N}.\" On dit que \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes si pour tout \"t, t' \in \mathbb{R}\"<\/p>\r\n

\"\mathrm{P} \left( X \le t \cap Y \le t' \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X \le t \right) \mathrm{P} \left( Y \le t ' \right).\"
Cette d\u00e9finition se g\u00e9n\u00e9ralise \u00e0 \"n\" (\"n \in \mathbb{N},\" \"n \ge 2\") variables al\u00e9atoires.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 1 : Montrer qu’une fonction est une densit\u00e9.<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour montrer qu’une fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" est une densit\u00e9 sur \"\mathbb{R},\" il faut v\u00e9rifier les deux hypoth\u00e8ses suivantes :<\/p>\r\n

\"\star\" \"f\" est continue sur \"\mathbb{R},\" sauf \u00e9ventuellement en un nombre fini de points, et \u00e0 valeurs positives,<\/p>\r\n

\"\star\" l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge et est \u00e9gale \u00e0 \"1.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" On se souviendra aussi que la densit\u00e9 caract\u00e9rise la loi, c’est-\u00e0-dire que si deux variables al\u00e9atoires ayant respectivement \"f_X\" et \"f_Y\" pour densit\u00e9, si \"f_X\" et \"f_Y\" sont \u00e9gales sauf en un nombre fini de points, alors \"X\" et \"Y\" suivent une m\u00eame loi.<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Montrer que les fonctions suivantes sont des densit\u00e9s :<\/p>\r\n

1)<\/b>\u00a0\"f\" la fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" par \"f \left( x \right)\" \"= \dfrac12 e^{- \left| x \right|},\"<\/p>\r\n

2)<\/b>\u00a0Soit \"\lambda > 0,\" \"g\" d\u00e9finie par \"g \left( x \right) = \begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} & \text{si} \; x \ge 0 \\ 0 & \text{si} \; x < 0 \end{cases}.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0\u00a0<\/p>\r\n

1)<\/strong> V\u00e9rifions les deux conditions pour avoir une densit\u00e9.<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"f\" est clairement continue sur \"\mathbb{R}\" et \u00e0 valeurs positives.<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" On a l’int\u00e9grale de r\u00e9f\u00e9rence<\/a> \"\int_0^{+ \infty} e^{-x} dx\" \"= \lim_{y \to + \infty} \left[ - e^{-x} \right]_0^y = 1.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
On rappelle que si \"f\" est continue sur \"\mathbb{R},\" paire et si l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge, alors l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge et \"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" \"= 2 \int_{0}^{+ \infty} f \left( t \right) dt.\" On en d\u00e9duit que l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge et que\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" \"= 2 \int_{0}^{+ \infty} f \left( t \right) dt = 1.\"
\"f\" est une densit\u00e9.<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
2)<\/strong> V\u00e9rifions les deux conditions pour avoir une densit\u00e9.<\/span>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" \"f\" est clairement continue sur \"\mathbb{R}\" et \u00e0 valeurs positives.<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\bullet\" On a l’int\u00e9grale de r\u00e9f\u00e9rence \"\int_0^{+ \infty} e^{-x} dx\" \"= \lim_{y \to + \infty} \left[ - e^{-x} \right]_0^y = 1.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
On rappelle que si \"f\" est continue sur \"\mathbb{R},\" paire et si l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge, alors l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge et \"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" \"= 2 \int_{0}^{+ \infty} f \left( t \right) dt.\" On en d\u00e9duit que l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" converge et que\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt\" \"= 2 \int_{0}^{+ \infty} f \left( t \right) dt = 1.\"
\"f\" est une densit\u00e9.<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
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\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\r\n

M\u00e9thode 2 : Reconna\u00eetre une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 et en donner la loi.<\/b><\/h3>\r\n

Par d\u00e9finition, une variable \u00e0 densit\u00e9 \"X\" est une variable al\u00e9atoire telle qu’il existe une densit\u00e9 \"f_X\" telle que pour tout \"x \in \mathbb{R},\" \"F_X \left( x \right)\" \"= \int_{- \infty}^x f_X \left( t \right) dt.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Lorsque l’on conna\u00eet la fonction de r\u00e9partition de la variable \"X,\" pour montrer que \"X\" admet une densit\u00e9, on montre que \"F_X\" est continue sur \"\mathbb{R},\" de classe \"C^1\" sauf \u00e9ventuellement en un nombre fini de points.<\/p>\r\n

Si \"F_X\" est de classe \"C^1\" en \"t \in \mathbb{R},\" \"f_X \left( t \right)\" \"= F_X ' \left( t \right).\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" R\u00e9ciproquement si \"X\" est une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9, sa fonction de r\u00e9partition \"F_X\" est d\u00e9finie par\u00a0<\/p>\r\n

\"\text{pour tout } \; x \in \mathbb{R}, F_X \left( x \right)\" \"= \int_{- \infty}^x f_X \left( t \right) dt.\"
La fonction \"F_X\" est continue sur \"\mathbb{R},\" de classe \"C\" en tout point o\u00f9 \"f_X\" est continue, et en ces points \"F_X ' = f_X.\"<\/p>\r\n

Pour donner la loi d’une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9, il suffit au choix de donner<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" la fonction de r\u00e9partition de \"X\"<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" une densit\u00e9 \"f_X\" de \"X.\"<\/p>\r\n

Important :<\/b>\u00a0on retiendra que si \"X\" est une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9, pour tout \"x \in \mathbb{R},\" \"\mathrm{P} \left( X = x \right) = 0.\"<\/p>\r\n

Pi\u00e8ge :<\/b>\u00a0Si \"f_X\" est une densit\u00e9 de \"X,\" toute fonction \u00e0 valeurs positives \u00e9gale \u00e0 \"f_X\" sauf en un nombre fini de points est aussi une densit\u00e9 de \"X.\" On ne parle pas de la densit\u00e9 mais d’une<\/b>\u00a0densit\u00e9.<\/p>\r\n

Si \"F_X\" est de classe \"C^1,\" on choisira \"f_X = F_X',\" et on pourra commettre l’abus de langage de parler de la densit\u00e9 de \"X\" en choisissant cette densit\u00e9.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 3 : Calculer la fonction de r\u00e9partition d’une variable al\u00e9atoire \"X\".<\/b><\/h3>\r\n

Il y a deux m\u00e9thodes selon les donn\u00e9es de l’\u00e9nonc\u00e9 :<\/p>\r\n

\"\bullet\" si l’on conna\u00eet une densit\u00e9 \"f_X\" de \"X,\" on calcule la fonction de r\u00e9partition de \"X\" en utilisant \"F_X \left( x \right)\" \"= \int_{- \infty}^x f_X \left( t \right) dt.\"<\/p>\r\n

Lorsque l’expression de \"f\" est d\u00e9finie par raccord sur les intervalles d’extr\u00e9mit\u00e9s \"a_1 < a_2 < \cdots < a_p,\" on calcule \"F_X \left( x \right)\" en \u00e9tudiant les diff\u00e9rents cas :\u00a0<\/p>\r\n

\"x < a_1, x \in \left[ a_1 , a_2 \right[ , \cdots, x \in \left[ a_{p - 1} , a_p \right[ \; \text{et} \; x \ge a_p.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" sinon, on revient \u00e0 la d\u00e9finition : \"F_X \left( x \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X \le x \right).\" Il est souvent possible de prouver alors que \"X\" admet une densit\u00e9. Ce sera la m\u00e9thode \u00e0 adopter lorsque l’on d\u00e9finira \"Y = u \left( X \right),\" la fonction \"u\" \u00e9tant continue sur \"X \left( \Omega \right).\" On d\u00e9terminera la fonction de r\u00e9partition de \"Y\" en fonction de celle de \"X,\" puis on cherchera \u00e0 prouver que \"Y\" admet une densit\u00e9.<\/p>\r\n

Exemple :<\/b><\/p>\r\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire de fonction de r\u00e9partition \"F_X\" d\u00e9finie par \"F_X \left( x \right) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; x < 0 \\ \dfrac{2x}{\pi} & \text{si} \; 0 \le x < \dfrac{\pi}{2} \\ 1 & \text{si} \; x \ge \dfrac{\pi}{2} \end{cases}.\"<\/p>\r\n

On note \"Y = \tan^2 \left( X \right).\"<\/p>\r\n

Trouver la fonction de r\u00e9partition \"G\" de \"Y\" et montrer que \"Y\" admet une densit\u00e9 que l’on exprimera.<\/p>\r\n

R\u00e9ponse :<\/strong> La fonction \"F\" est continue sur \"\mathbb{R}\" (on v\u00e9rifie qu’elle est continue aux points de raccord \"0\" et \"\dfrac{\pi}{2}\"),\u00a0<\/p>\r\n

\"\text{donc pour tout} \; t \in \mathbb{R}, \; \mathrm{P} \left( X = t \right) = 0.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
On remarque que \"\mathrm{P} \left( 0 \le X < \dfrac{\pi}{2} \right)\" \"= F_X \left( \dfrac{\pi}{2} \right) - F_X \left( 0 \right)\" \"=1,\" on peut d\u00e9finir presque s\u00fbrement la variable \"Y.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"Y\" est \u00e0 valeurs positives, donc \"G \left( y \right) = 0\" si \"y < 0.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Si \"y \ge 0,\" \"G \left( y \right)\" \"= \mathrm{P} \left( Y \le y \right)\" \"= \mathrm{P} \left( \tan^2 \left( X \right) \le y \right)\" \"= \mathrm{P} \left( \tan \left( X \right) \le \sqrt{y} \right).\" \"G \left( y \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X \le \mathrm{Arctan} \left( \sqrt{ y} \right) \right),\" si bien que \"G \left( y \right)\" \"= \dfrac{2}{\pi} \mathrm{Arctan} \left( \sqrt{y} \right).\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
La fonction \"G\" est continue sur \"\R\" (elle est continue au point de raccord \"0\"), de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^*,\" donc \"Y\" admet une densit\u00e9 d\u00e9finie par \"g \left( y \right) = 0\" si \"y < 0\" et \"g \left( y \right)\" \"= \dfrac{1}{\pi \sqrt{y} \left( 1 + y \right)}.\" On pose, par exemple, \"g \left( 0 \right) = 0.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"Y\" admet une densit\u00e9 d\u00e9finie par \"g \left( y \right) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; y \le 0 \\ \dfrac{1}{\pi \sqrt{y} \left( 1 + y \right)} & \text{si} \; y > 0\end{cases}.\"<\/div>\r\n

 <\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 : Montrer qu’une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 admet une esp\u00e9rance.<\/b><\/h3>\r\n

1)<\/b>\u00a0Soit \"X\" une variable admettant une densit\u00e9 \"f_X\". Pour montrer que \"X\" admet une esp\u00e9rance, il faut montrer que l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} t f_X \left( t \right) dt\" converge absolument.<\/p>\r\n

Si c’est le cas, on pose \"\mathbb{E} \left( X \right)\" \"= \int_{- \infty}^{+ \infty} t f_X \left( t \right) dt.\"\u00a0<\/p>\r\n

2)<\/b>\u00a0Si \"X\" et \"Y\" sont deux variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes et \u00e0 densit\u00e9 ayant chacune une esp\u00e9rance, alors la variable al\u00e9atoire \"X Y\" admet une esp\u00e9rance et<\/p>\r\n

\"\mathbb{E} \left( X Y \right)\" \"= \mathbb{E} \left( X \right) \mathbb{E} \left( Y \right).\"<\/p>\r\n

Remarque :\u00a01)<\/i>\u00a0Lorsque \"X\" admet une densit\u00e9 \"f_X\" continue sur \"\left[ a , b \right]\" et nulle hors de \"\left[ a , b \right],\" alors \"X\" admet une esp\u00e9rance \u00e9gale \u00e0 \"\int_a^b t f_X \left( t \right) dt,\" puisque les int\u00e9grales \"\int_{- \infty}^a t f_X \left( t \right) dt\" et \"\int_{b}^{+ \infty} t f_X \left( t \right) dt\" sont absolument convergentes<\/a> et nulles.<\/p>\r\n

2)<\/i>\u00a0Si \"X\" est une variable \u00e0 densit\u00e9 admettant une esp\u00e9rance et si \"\left( a , b \right) \in \mathbb{R}^2,\" \"a X + b\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E} \left( a X + b \right) = a \mathbb{E} \left( X \right) + b.\"<\/p>\r\n

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 <\/p>\r\n

M\u00e9thode 5 : Montrer qu’une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 admet une variance.<\/b><\/h3>\r\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire admettant une densit\u00e9 \"f_X.\"<\/p>\r\n

Lorsque l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} t^2 f_X \left( t \right) dt\" converge (elle converge aussi absolument), alors \"X\" admet une esp\u00e9rance et une variance.<\/p>\r\n

On d\u00e9finit \"\mathbb{E} \left( X^2 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} t^2 f_X \left( t \right) dt\" et la variance de \"X\" par :\u00a0<\/p>\r\n

\"V \left( X \right)\" \"= \mathbb{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2.\"
On montre que \"V \left( X \right) \ge 0\" et on appelle \u00e9cart type de \"X,\" \"\sigma \left( X \right)\" \"= \sqrt{V \left( X \right)}.\"<\/p>\r\n

Remarque :\u00a01)<\/i>\u00a0Si \"X\" admet une densit\u00e9 continue sur un segment \"\left[ a , b \right]\" et nulle hors de \"\left[ a , b \right],\" alors \"X\" admet une variance car l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} t^2 f_X \left( t \right) dt\" est convergente, la fonction \"t \mapsto t^2 f_X \left( t \right)\" \u00e9tant nulle hors de \"\left[ a , b \right]\" et dans ce cas \"\mathbb{E} \left( X \right)\" \"= \int_a^b t f_X \left( t \right) dt\" et \"\mathbb{E} \left( X^2 \right)\" \"= \int_a^b t^2 f_X \left( t \right) dt.\"<\/p>\r\n

2)<\/i>\u00a0Si \"X\" est une variable \u00e0 densit\u00e9 admettant une variance et si \"\left( a , b \right) \in \mathbb{R}^2,\" \"a X + b\" admet une variance et \"V \left( a X + b \right)\" \"= a^2 V \left( X \right).\"<\/p>\r\n

2. Lois de variables \u00e0 densit\u00e9 usuelles en prepa ECG<\/b><\/h2>\r\n

M\u00e9thode 6 : Sur la loi normale.<\/b><\/h3>\r\n

La loi normale est une loi assez importante pour faire quelques rappels.\u00a0<\/p>\r\n

Soient \"\mu\" un r\u00e9el et \"\sigma\" un r\u00e9el strictement positif.<\/p>\r\n

1)<\/b>\u00a0On dit qu’une variable \u00e0 densit\u00e9 suit une loi normale de param\u00e8tres \"\mu\" et \"\sigma^2\" si elle admet une densit\u00e9 de la forme \"\varphi \left( x \right)\" \"= \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} } e^{- \left( \dfrac{x - \mu}{ \sqrt{2} \sigma} \right)^2}.\"\u00a0<\/p>\r\n

Dans ce cas, on a \"\mathbb{E} \left( X \right)\" \"= \mu\" et \"V \left( X \right)\" \"= \sigma^2.\"\u00a0<\/p>\r\n

2)<\/b>\u00a0Les calculs \u00e9tant plus simples pour la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite (avec \"\mu=0\" et \"\sigma = 1\"), il est bon de savoir que\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\" si \"X\" suit la loi normale de param\u00e8tres \"\mu\" et \"\sigma^2,\" alors \"Y = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\" suit la loi normale centr\u00e9e, r\u00e9duite.\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\" si \"U\" suit la loi normale centr\u00e9e, r\u00e9duite, et si \"\left( a, b \right) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R},\" \"X= a U + b\" suit une loi normale de param\u00e8tres \"b\" et \"a^2.\"<\/p>\r\n

3)<\/b>\u00a0Si \"\phi\" est la fonction de r\u00e9partition de \"U\" de loi normale de param\u00e8tres \"0\" et \"1,\" \"\phi \left( x \right)\" \"= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x e^{- t^2 / 2} dt,\" la fonction \"\phi\" ne s’exprime pas \u00e0 l’aide des fonctions usuelles<\/a>, mais on peut en calculer les valeurs approch\u00e9es en utilisant des tables de loi normale ou\u00a0Scilab<\/i>\u00a0et en utilisant les propri\u00e9t\u00e9s suivantes :<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" pour tout \"x \in \left[ 0 , + \infty \right[,\" \"\phi \left( - x \right)\" \"= 1 - \phi \left( x \right),\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\qquad\" \"\star\" \"\mathrm{P} \left( \left| U \right| \le x \right)\" \"= 2 \phi \left( x \right) - 1,\" \"\mathrm{P} \left( \left| U \right| \ge x \right)\" \"= 2 \left( 1 - \phi \left( x \right) \right).\"<\/p>\r\n

Si vous h\u00e9sitez, tracez le graphe de la densit\u00e9 \"\varphi : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \dfrac{x^2}{2}}\" et interpr\u00e9tez les probabilit\u00e9s<\/a> en termes d’aires de domaine compris entre le graphe de \"\varphi\" et l’axe \"x'Ox.\"<\/p>\r\n

\"\"<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n

M\u00e9thode 7 : Variable al\u00e9atoire et loi exponentielle.
<\/b><\/h3>\r\n

La fonction de r\u00e9partition, une densit\u00e9 de la loi exponentielle sont donn\u00e9es par le tableau ci-dessus. Il en est de m\u00eame de l’esp\u00e9rance et de la variance. Nous citons quelques propri\u00e9t\u00e9s qui sont importantes \u00e0 retenir :<\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"X\" est une variable al\u00e9atoire admettant une densit\u00e9. \"X\" est une variable al\u00e9atoire sans m\u00e9moire c’est-\u00e0-dire v\u00e9rifiant\u00a0
\"\forall s, t \ge 0, \; \mathrm{P}_{\left( X > t \right)} \left( X > s + t \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X > s \right)\" \"= \mathrm{P}_{X > t} \left( X > s + t \right)\" \"= \mathrm{P} \left( X > s \right)\"
si et seulement si \"X\" suit une loi exponentielle.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"\lambda > 0,\" \"\dfrac {1}{\lambda} X\" suit une loi exponentielle de param\u00e8tre \"1\" si et seulement si \"X\" suit une loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda.\"\u00a0<\/p>\r\n

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