{"id":34489,"date":"2019-08-20T10:35:57","date_gmt":"2019-08-20T09:35:57","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34489"},"modified":"2022-07-20T11:46:56","modified_gmt":"2022-07-20T10:46:56","slug":"cours-en-ligne-corriges-variables-aleatoires-densite-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-variables-aleatoires-densite-ecs1\/","title":{"rendered":"Variables al\u00e9atoires \u00e0 densit\u00e9 en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Variables al\u00e9atoires \u00e0 densit\u00e9 en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Variables al\u00e9atoires \u00e0 densit\u00e9<\/h2>\n

Exercice :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1) a)<\/strong> Soit \"x > 0.\" par d\u00e9finition de \"F_Y,\" on a<\/p>\n

\"F_Y \left( x \right)\" \"= \mathbb{P} \left( Y \le x \right)\"
\n\"= \mathbb{P} \left( - x \le Y \le x \right)\"
\n\"= \phi \left( x \right) - \phi \left( - x \right)\"<\/div>\n
Comme \"\phi \left( - x \right) = 1 - \phi \left( x \right),\" on a<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F_Y \left( x \right) = 2 \phi \left( x \right) - 1.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

b)<\/strong> Comme \"Y\" prend des valeurs positives, on a \"F_Y \left( x \right) = 0\" si \"x < 0.\" On peut r\u00e9sumer la fonction de r\u00e9partition de \"Y\" de la fa\\c{c}on suivante :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F_Y \left( x \right) = \begin{cases} 2 \phi \left( x \right) - 1 & \text{si} \; x \ge 0 \\ 0 & \text{si} \; x < 0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n

La fonction \"F_Y\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R},\" sauf peut-\u00eatre en \"0.\" Ainsi \"Y\" admet une densit\u00e9 \"f_Y\" donn\u00e9e par \"f_Y = F_Y',\" soit<\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f_Y \left( x \right) = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} e^{- \dfrac{x^2}{2}} & \text{si} \; x > 0 \\ 0 & \text{si} \; x < 0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

c)<\/strong> Pour montrer que \"Y\" admet une esp\u00e9rance, montrons que \"\int_{- \infty}^{+ \infty} \left| t \right| f_Y \left( t \right) dt\" converge (convergence<\/a> absolue).<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
Comme \"f_Y\" est nulle sur \"\left] - \infty, 0 \right],\" il suffit de prouver la convergence de l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} t f_Y \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a \"\lim_{t \to + \infty} t^2 \left( t \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} e^{- \dfrac{-t^2}{2}} \right) = 0\" par croissance compar\u00e9e. Ainsi<\/div>\n
<\/div>\n
\"t f_Y \left( t \right) \underset{t \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{t^2} \right).\"
\nComme l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t^2} dt\" converge (int\u00e9grale de Riemann), par comaparaison par n\u00e9gligeabilit\u00e9, l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} t f_Y \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
Par somme, l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} t f_Y \left( t \right) dt\" converge. \"Y\" admet une esp\u00e9rance et<\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathbb{E} \left( Y \right)\" \"= \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_0^{+ \infty} t e^{- \dfrac{t^2}{2}} dt\"
\nSoit \"A \ge 0,\" on remarque que<\/div>\n
<\/div>\n
\"\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_0^{A} t e^{- \dfrac{t^2}{2}}dt\" \"= - \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_0^{A } \left( - t \right) e^{- \dfrac{t^2}{2}} dt\"
\n\"= - \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \left[ e^{- \dfrac{t^2}{2}} \right]_0^A\"
\n\"= - \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \left( e^{- \dfrac{A^2}{2}} - 1 \right)\".<\/div>\n
\n

Comme \"\lim_{A \to + \infty } - \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \left( e^{- \dfrac{A^2}{2}} - 1 \right) = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}},\" on a<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{E} \left( Y \right) = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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<\/div>\n
\n

d)<\/strong> Montrons que \"Y\" admet un moment d’ordre \"2,\" c’est-\u00e0-dire montrons que l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} x^2 f_Y \left( x \right) dx\" converge absolument.\u00a0<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
Comme \"f_Y\" est nulle sur \"\left] - \infty , 0 \right],\" il nous reste la convergence de l’int\u00e9grale \"\int_{0}^{+ \infty} x^2 f_Y \left( x \right) dx.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"x \mapsto x^2 f_Y \left( x \right)\" est continue sur \"\left[ 0 , + \infty \right[\" et par croissance compar\u00e9e \"\lim_{x \to +\infty} x^2 \left( x^2 e^{- \dfrac{x^2}{2}} \right ) = 0,\" ainsi \"x^2 f_Y \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^2 } \right).\" Comme l’int\u00e9grale de Riemann \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{x^2}dx,\" par comparaison par n\u00e9gligeabilit\u00e9, l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} x^2 f_Y \left( x \right) dx\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
Par somme, l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} x^2 f_Y \left( x \right) dx\" converge. \"Y\" admet un moment d’ordre \"2,\" donc une variance.<\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"A \ge 0,\" on fait une int\u00e9gration<\/a> par paties dans l’int\u00e9grale \"\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_0^A x^2 e^{- \dfrac{x^2}{2}} dx\" en posant \"u :x \mapsto x\" et \"v : x \mapsto - e^{- \dfrac{x^2}{2}}.\" Les fonctions \"u\" et \"v\" sont \"C^1\" sur l’intervalle sur \"\left[ 0 , A \right]\" donc<\/div>\n
<\/div>\n
\"\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_0^A x^2 e^{- \dfrac{x^2}{2}} dx\" \"= \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} ( \left[ -x e^{- \dfrac{x^2}{2}} \right]_0^A\" \"+ \int_0^A e^{- \dfrac{x^2}{2}} dx )\"
\n\"= -\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} A e^{- \dfrac{A^2}{2}}\" \"+ \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_0^A e^{- \dfrac{x^2}{2}} dx\"
\n\"= -\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} A e^{- \dfrac{A^2}{2}}\" \"+ 2 \times \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^A e^{- \dfrac{x^2}{2}} dx\".<\/div>\n
Par croissance compar\u00e9e \"\lim_{A \to + \infty} -\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} A e^{- \dfrac{A^2}{2}} = 0\" et \"\lim_{A \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^A e^{- \dfrac{x^2}{2}} dx\" \"= \dfrac12,\" on a montr\u00e9 que <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{E} \left( Y^2 \right) = 1.\]\"<\/p>\n

Finalement\"V \left( Y \right)\" \"= \mathbb{E} \left( Y^2 \right) - \left( \mathbb{E} \left( Y \right) \right)^2\" \"= 1 - \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}^2\" \"= \dfrac{\pi - 2}{\pi}.\"<\/div>\n

<\/div>\n
<\/div>\n
\n

2) a)<\/strong> \"\bullet\" Avant de proc\u00e9der au changement de variable, v\u00e9rifions que l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} g \left( t \right) dt\" converge.<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\"t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{ \sqrt{\pi t} }\" est continue sur \"\left] 0 , + \infty \right[.\" Montrons que les int\u00e9grales \"\int_0^1 g \left( t \right) dt\" et \"\int_1^{+ \infty} g \left( t \right) dt\" convergent.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\star\" Convergence de l’int\u00e9grale \"\int_0^1 g \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On a \"\dfrac{e^{-t}}{ \sqrt{\pi t} } \underset{t \to 0}{\sim} \dfrac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{t}}.\" Les fonctions \"t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{ \sqrt{\pi t} }\" et \"t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{t}}\" sont positives sur \"\left] 0 , 1 \right].\"<\/div>\n
<\/div>\n
Or l’int\u00e9grale \"\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{t}} dt\" converge car elle est proportionnelle \u00e0 une int\u00e9grale de Riemann, par comparaison par \u00e9quivalence, l’int\u00e9grale \"\int_0^1 g \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\star\" Convergence de l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} g \left( t \right) dt.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Par croissance compar\u00e9e, on a \"\lim_{t \to + \infty} t^2 g \left( t \right) = 0,\" ainsi \"g \left( t \right) \underset{t \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{t^2} \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Or l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t^2} dt\" converge car c’est une int\u00e9grale de Riemann, donc par comparaison par n\u00e9gligeabilit\u00e9, l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} g \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
On a bien montr\u00e9 que l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} g \left( t \right) dt\" converge.<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" Soit \"A \ge 0.\" La formule du changement de variable donne<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_0^A g \left( t \right) dt\" \"= \int_0^{\sqrt{2A}} \dfrac{e^{- \dfrac{u^2}{2}}}{\sqrt{\pi \times \dfrac{u^2}{2} }} u du\"
\n\"= \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_0^{A} e^{- \dfrac{u^2}{2}} du\".<\/div>\n
Lorsque \"A\" tend vers \"+ \infty,\" on r\u00e9cup\u00e8re<\/div>\n
<\/div>\n
\"\int_0^{+ \infty} g \left( t \right) dt\" \"= \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_0^{+ \infty} e^{- \dfrac{u^2}{2}} du.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

b)<\/strong> \"\bullet\" \"g\" est \u00e0 valeurs positives et continue sauf en \"0.\"<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\"\bullet\" Montrons que \"\int_{- \infty}^{+ \infty} g \left( t \right) dt = 1.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On rappelle que \"\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \dfrac{u^2}{2}} du =1,\" puis par parit\u00e9 de \"u \mapsto e^{- \dfrac{u^2}{2}},\" on a \"\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \dfrac{u^2}{2}} du\" \"= \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{2}\" \"= \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Ainsi, on a bien montr\u00e9 que<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{+ \infty} g \left( t \right) dt = 1.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

3) a)<\/strong> \"\bullet\" Soit \"x \in \mathbb{R}.\"<\/span><\/p>\n

<\/div>\n
\"\star\" On suppose \"x < 0.\" On a<\/div>\n
<\/div>\n
\"F_T \left( x \right)\" \"= \mathbb{P} \left( \sqrt{2Z} \le x \right)\" \"= 0\" \"= G \left( x \right)\"
\ncar \"g\" est nulle sur \"\left] - \infty , 0 \right].\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

\"\star\" On suppose \"x \ge 0.\" On a<\/p>\n

\"F_T \left( x \right)\" \"= \mathbb{P} \left( \sqrt{2Z} \le x \right)\" \"= \mathbb{P} \left( Z \le \dfrac{x^2}{2} \right)\" \"= G \left( \dfrac{x^2}{2} \right).\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
On a montr\u00e9 que pour<\/div>\n
<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F_T \left( x \right) = \begin{cases} G \left( x \right) & \text{si} \, x \le 0 \\ G \left( \dfrac{x^2}{2} \right) & \text{si} \, x >0 \end{cases}.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\"\bullet\" \"F_T\" est continue sur \"\mathbb{R}\" (on v\u00e9rifie que la limite de \"F_T\" \u00e0 gauche et \u00e0 droite de \"0\" sont les m\u00eames et valent \"0\"), \"F_T\" est \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" sauf peut-\u00eatre en \"0\" et<\/div>\n
<\/div>\n
\"f_T \left( x \right)\" \"= F_T ' \left( x \right) = \begin{cases} 0 & \text{si} \, x < 0 \\ x G' \left( \dfrac{x^2}{2} \right) \\= \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} e^{- \dfrac{x^2}{2}} & \text{si} \, x > 0 \end{cases}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On remarque que les fonctions<\/a> de densit\u00e9 de \"T\" et \"Y\" sont les m\u00eames sauf en un nombre fini de points, ainsi les variables al\u00e9atoires \"T\" et \"Y\" suivent la m\u00eame loi.<\/div>\n
<\/div>\n
b)<\/strong>\u00a0 La relation \"T = \sqrt{2 Z}\" donne \"Z = \dfrac12 T^2.\" Comme \"T\" et \"Y\" suivent la m\u00eame loi et comme \"Y\" admet un moment d’ordre \"2\" (question <\/span>1) d)<\/b>), il s’ensuit que \"Z\" admet une esp\u00e9rance et<\/span><\/div>\n
<\/div>\n
\u00a0\"\mathbb{E} \left( Z \right)\" \"= \mathbb{E} \left( \dfrac12 T^2 \right)\" \"= \dfrac12 \mathbb{E} \left( T^2 \right)\" \"= \dfrac12.\"<\/div>\n
<\/div>\n
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