{"id":34503,"date":"2019-08-20T10:48:33","date_gmt":"2019-08-20T09:48:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34503"},"modified":"2023-09-16T22:03:28","modified_gmt":"2023-09-16T21:03:28","slug":"cours-en-ligne-convergences-approximations-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-convergences-approximations-ecs1\/","title":{"rendered":"Convergences et approximations en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Convergences et approximations en ECG1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a>\u00a0<\/p>\r\n

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M\u00e9thodes – In\u00e9galit\u00e9s & convergences de suites de variables al\u00e9atoires<\/h2>\r\n

M\u00e9thode 1 : Savoir utiliser l’in\u00e9galit\u00e9 de Markov.
<\/b><\/p>\r\n

On rappelle l’in\u00e9galit\u00e9 de Markov : si \"X\" est une variable al\u00e9atoire positive ayant une esp\u00e9rance, alors pour tout \"a > 0,\" on a<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( X \ge a \right)\" \"\le \dfrac{ \mathbb{E} \left( X \right) }{a}.\"
L’in\u00e9galit\u00e9 de Markov sert souvent \u00e0 \u00e9tablir des in\u00e9galit\u00e9s \u00e0 condition de reconna\u00eetre la loi d’une variable al\u00e9atoire classique \u00e0 valeurs positives.<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : Soit \"\lambda > 0.\" Montrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}^*,\"<\/p>\r\n

\"\displaystyle\displaystyle\sum_{k=n}^{+ \infty} \dfrac{\lambda^k}{k!}\" \"\le \dfrac{\lambda e^{\lambda}}{n}.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

On introduit \"X\" une variable al\u00e9atoire suivant une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda.\" \"X\" est \u00e0 valeurs positives et admet une esp\u00e9rance \u00e9gale \u00e0 \"\lambda.\"<\/p>\r\n

En utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 de Markov, pour tout \"n \in \mathbb{N}^*,\" \"\mathbb{P} \left( X \ge n \right)\" \"\le \dfrac{\mathbb{E} \left( X \right)}{n}\" soit \"\displaystyle\sum_{k=n}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( X = k \right)\" \"\le \dfrac{\lambda}{n}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
On obtient : \"\displaystyle\sum_{k=n}^{+ \infty} e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^k}{k!} \le \dfrac{\lambda}{n},\" il suffit de multiplier par \"e^{\lambda} > 0\" pour obtenir l’in\u00e9galit\u00e9 souhait\u00e9e.<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
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\r\n

 <\/p>\r\n

M\u00e9thode 2 : Savoir utiliser l’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev.<\/b><\/p>\r\n<\/div>\r\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire ayant une variance. Alors, pour tout \"\mathbb{E}psilon > 0,\"<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( \left| X - \mathbb{E} \left( X \right) \right| \ge \epsilon \right)\" \"\le \dfrac{V \left( X \right)}{\epsilon^2}.\"
Cette in\u00e9galit\u00e9 servira notamment dans les m\u00e9thodes suivantes lorsque l’on parlera de convergence de suites de variables al\u00e9atoires.<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire d’esp\u00e9rance \"\mu\" et de variance \"\sigma^2.\" Montrer que, pour tout \"\alpha > 0,\"<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( \mu - \alpha \sigma < X < \mu + \alpha \sigma \right)\" \"\le 1 - \dfrac{1}{\alpha^2}.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On applique l’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev \u00e0 \"X,\" cela donne :<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( \left| X - \mu \right| \ge \alpha \sigma \right)\" \"\le \dfrac{\sigma^2}{ \left( \alpha \sigma \right)^2}\" \"= \dfrac{1}{\alpha^2}.\"
On conclut en passant \u00e0 l’\u00e9v\u00e9nement compl\u00e9mentaire.<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\t\t
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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\u00a0<\/div>\r\n

M\u00e9thode 3 : Sur la convergence en probabilit\u00e9.<\/b><\/div>\r\n

On rappelle qu’une suite de variables al\u00e9atoires \"\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge en probabilit\u00e9 vers une variable al\u00e9atoire \"X\" si : pour tout \"\mathbb{E}psilon > 0\"<\/p>\r\n

\"\lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \left| X_n - X \right| > \mathbb{E}psilon \right)\" \"= 0.\"
On \u00e9crit \"X_n \overset{\mathbb{P}}{\to} X.\"<\/p>\r\n

Les in\u00e9galit\u00e9s de Markov et de Bienaym\u00e9-Tchebychev sont tr\u00e8s utiles pour montrer la convergence en probabilit\u00e9.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 : Sur la convergence en loi.<\/b><\/p>\r\n

On suppose que pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"X_n\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle d\u00e9finie sur \"\left( \Omega, \mathcal A , \mathbb{P} \right)\" de fonction de r\u00e9partition \"F_{X_n}\" et que \"X\" une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle d\u00e9finie sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9<\/a> dont on note \"F_X\" la fonction de r\u00e9partition.<\/p>\r\n

On dit que la suite de variables al\u00e9atoires \"\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge vers \"X\" en loi si\u00a0<\/p>\r\n

\"\lim_{n \to + \infty} F_{X_n} \left( a \right)\" \"= F_X \left( a \right),\"
en tout point \"a\" o\u00f9 \"F_X\" est continue. On \u00e9crit \"X_n \overset{\mathcal L}{\to} X.\"<\/p>\r\n

Dans le cas o\u00f9 les variables al\u00e9atoires \"X_n\" et \"X\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N},\" il est plus simple d’utiliser la caract\u00e9risation suivante : la suite de variables al\u00e9atoires \"\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" converge en loi vers \"X\" si et seulement si,\u00a0<\/p>\r\n

pour tout \"k \in \mathbb{N},\" \"\lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( X_n = k \right)\" \"= \mathbb{P} \left( X = k \right).\"<\/p>\r\n

On retiendra le r\u00e9sultat suivant au programme :<\/p>\r\n

Soit \"\lambda > 0\" et \"\left( p_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" une suite de r\u00e9els<\/a> de \"\left] 0 , 1 \right[\" telle que \"\lim_{n \to + \infty} n p_n\" \"= \lambda.\" On suppose que tout \"n \in \mathbb{N}^*,\" \"X_n\" suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"n\" et \"p_n.\"<\/p>\r\n

Alors \"\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\" converge en loi vers une variable al\u00e9atoire de loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda.\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 5 : Utiliser le th\u00e9or\u00e8me central limite pour des variables al\u00e9atoires binomiales ou de loi de Poisson.
<\/b><\/p>\r\n

On rappelle l’\u00e9nonc\u00e9 :<\/p>\r\n

Si \"\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\" est une suite de variables al\u00e9atoires telle que \"X_n\" suit une loi binomiale \"\mathcal B \left( n , p \right)\" (respectivement \"X_n\" de loi \"\mathcal P \left( n \lambda \right)\"), alors la suite de variables al\u00e9atoires centr\u00e9es r\u00e9duites \"\left( X_n^* \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\" converge en loi vers une variable al\u00e9atoire suivant la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite.<\/p>\r\n

On rappelle que \"X_n^* = \dfrac{X_n - \mathbb{E} \left( X_n \right)}{\sqrt{ V \left( X_n \right) }}.\"<\/p>\r\n

Le th\u00e9or\u00e8me dit que\u00a0<\/p>\r\n

\"\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \dfrac{X_n - \mathbb{E} \left( X_n \right)}{\sqrt{ V \left( X_n \right) }} \le x \right)\" \"= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x e^{- t^2 / 2} dt.\"<\/p>\r\n

Si \"X_n\" suit une loi \"\mathcal B \left( n , p \right),\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \dfrac{X_n - np}{\sqrt{ np q }} \le x \right)\" \"= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x e^{- t^2 / 2} dt.\"<\/p>\r\n

Si \"X_n\" suit une loi \"\mathcal P \left( n \lambda \right),\" on a\u00a0<\/p>\r\n

\"\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \dfrac{X_n - n \lambda}{\sqrt{ n \lambda }} \le x \right)\" \"= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x e^{- t^2 / 2} dt.\"<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>Dans un stade, il y a \"20 \, 000\" supporters. On estime qu’un supporter mange un sandwich avec une probabilit\u00e9 de \"\dfrac{4}{10}\" et le choix de manger un sandwich ou non ne d\u00e9pend pas de ce que font les autres supporters.<\/p>\r\n

Combien le club doit-il acheter de sandwichs pour que la probabilit\u00e9 qu’il y ait rupture de stock soit inf\u00e9rieur \u00e0 \"\dfrac{5}{100}\" ?<\/p>\r\n

Indications :\u00a0<\/i><\/p>\r\n

\"\bullet\" On admettra que l’on peut approcher une loi binomiale de param\u00e8tres \"n\" et \"p\" par une loi normale \"\mathcal N \left( np , \sqrt{ np \left( 1 - p \right) } \right)\" lorsque \"n \ge 30,\" \"np \ge 5\" et \"n \left( 1 - p \right) \ge 5.\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\" On utilisera le fait suivant : si \"Z\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite et \"x \in \mathbb{R}\",\u00a0<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( Z \ge x \right)\" \"\le \dfrac{5}{100} \Leftrightarrow x \ge 1,645.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

Soit \"X\" le nombre de sandwichs demand\u00e9s par les supporters. \"X\" suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"n = 20\,000\" et \"p = \dfrac{4}{10}.\"<\/p>\r\n

Comme l’\u00e9v\u00e9nement \"\left( X > m \right)\" signifie que le stade est en rupture de stock de sandwichs (les supporters ont demand\u00e9 plus de sandwichs qu’il y en a de disponibles), l’\u00e9nonc\u00e9 demande de trouver le nombre de sandwichs \"m\" que le stade ach\u00e8te pour que \"\mathbb{P} \left( X > m \right) \ge \dfrac{5}{100}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Comme \"n= 20 \,000 \ge 30,\" \"np = 8 \, 000 \ge 5\" et \"n \left( 1 - p \right) = 12 \,000 \ge 5,\" d’apr\u00e8s l’indication, on peut approcher \"X\" par la loi normale \"\mathcal N \left( 8 \, 000 , 40 \sqrt{3} \right).\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Ainsi \"\mathbb{P} \left( X > m \right) \approx \mathbb{P} \left( Y > m \right)\" o\u00f9 \"Y\" suit la loi normale \"\mathcal N \left( 8 \, 000 , 40 \sqrt{3} \right).\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Finalement, si \"Z\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite, on a :<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( X > m \right)\" \"\approx \mathbb{P} \left( Z > \dfrac{m - 8 \, 000}{40 \sqrt{3}} \right).\"
Ainsi, il suffit de trouver \"m\" tel que \"\mathbb{P} \left( Z > \dfrac{m - 8 \, 000}{40 \sqrt{3}} \right)\" \"\le \dfrac{5}{100}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
D’apr\u00e8s une indication de l’\u00e9nonc\u00e9, on a donc : \"\dfrac{m - 8 \,000}{40 \sqrt{3}} \ge 1,645\" soit \"m \ge 8 \,114.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n

Il suffit que le stade ach\u00e8te environ \"8 \,114\" sandwichs.\u00a0<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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De multiples autres chapitres de maths en ECG1 peuvent \u00eatre revus et travaill\u00e9s depuis chez vous avec nos diff\u00e9rents cours en ligne au programme d’ECG1 :<\/p>\r\n