{"id":34510,"date":"2019-08-20T11:07:30","date_gmt":"2019-08-20T10:07:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34510"},"modified":"2022-07-20T11:49:36","modified_gmt":"2022-07-20T10:49:36","slug":"cours-en-ligne-corriges-convergences-approximations-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-convergences-approximations-ecs1\/","title":{"rendered":"Convergences et approximations en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s – Convergences et approximations en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

In\u00e9galit\u00e9s classiques, convergences de suites de variables al\u00e9atoires<\/h2>\n

Exercice :<\/b><\/p>\n

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1)<\/b>\u00a0a) <\/b>\"x^{3 / 2} g_n \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{\sim} \left( x + 1 \right)^{3 / 2} \dfrac{\left( \ln \left( 1 +x \right) \right)^n}{\left( x + 1 \right)^2}\" \"\underset{x \to + \infty}{\sim} \dfrac{\left( \ln \left( 1 +x \right) \right)^n}{\left( x + 1 \right)^{1 / 2}}.\"<\/p>\n

Donc \"\lim_{x \to + \infty} x^{3 / 2} g_n \left( x \right) = 0\" par croissance compar\u00e9e, soit<\/div>\n
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\"g_n \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^{3 / 2}} \right).\"<\/div>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0b)<\/b> La fonction \"g_n\" est continue sur \"\left[ 0 , + \infty \right[\" \u00e0 valeurs positives et \"g_n \left( x \right) \underset{x \to +\infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^{3 / 2}} \right)\" ; comme l’int\u00e9grale \"\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{x^{3 / 2}} dx\" converge, on en d\u00e9duit que l’int\u00e9grale \"I_n = \int_0^{+ \infty} g_n \left( t \right) dt\" est convergente.<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0c)<\/b> On a \"I_0 = \int_0^{+ \infty} \dfrac{1}{\left( 1 +x \right)^2}\" \"= \lim_{x \to + \infty} \left[ - \dfrac{1}{1 + t } \right]_0^x = 1.\"<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0d) <\/b>Soit \"A > 0.\" On fait une int\u00e9gration par parties<\/a> sur \"\left[ 0 , A \right]\" en utilisant les fonctions de classe \"C^1\" \"u :x \mapsto- \dfrac{1}{1 +x}\" et \"v : x \mapsto \left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^n.\" On a<\/p>\n

\"\int_1^A \dfrac{\left( \ln \left( 1 +x \right) \right)^{n + 1} }{\left( 1 + x \right)^2} dx\" \"= \left[ \dfrac{- \left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^{n + 1}}{1 + t} \right]_0^x\" \"+ \left( n + 1 \right) \int_0^x \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^n}{\left( 1 + x \right)^2} dx.\"
\nPuis si \"A\" tend vers \"+ \infty,\" comme \"\lim_{A \to + \infty} \left( \dfrac{\left( \ln \left( 1 + A \right) \right)^{n + 1}}{1 + A} \right) = 0,\" on obtient \"I_{n + 1} = \left( n + 1 \right) I_n.\"<\/div>\n
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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On montre facilement par r\u00e9currence que \"I_n = n!\" (on rappelle que \"I_0 =1\").<\/div>\n

2)\u00a0<\/b>a) <\/b>\"f_n\" est continue sur \"\mathbb{R}\" (on v\u00e9rifie qu’elle est bien continue en \"0\" car les limites \u00e0 droite et \u00e0 gauche de \"f_n\" sont \u00e9gales \u00e0 \"f_n \left( 0 \right)\"), \"f_n\" est \u00e0 valeurs positives, l’int\u00e9grale \"\int_{-\infty}^{+ \infty} f_n \left( t \right) dt\" converge et est \u00e9gale \u00e0 \"\dfrac{1}{n!} \int_{- \infty}^{+ \infty} g_n \left( t \right) dt\" \"= \dfrac{1}{n!} I_n = 1.\"<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"f_n\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9<\/a>.<\/div>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0b) <\/b>La fonction \"x \mapsto x f_n \left( x \right)\" est continue sur \"\left[ 0 , + \infty \right[.\"<\/p>\n

Pour \"x \ge 1,\" \"x f_n \left( x \right)\" \"\ge \dfrac{x \left( \ln \left( 2 \right) \right)^n}{\left( 1 +x \right)^2},\" l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} \dfrac{x}{\left( 1 + x \right)^2} dx\" diverge car \"\dfrac{x}{\left( 1 +x \right)^2} \underset{x \to 0}{\sim} \dfrac1x\" donc l’int\u00e9grale \"\int_{- \infty}^{+ \infty} t f_n \left( t \right) dt\" diverge. La variable \"X_n\" n’a pas d’esp\u00e9rance.<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0c) <\/b>Comme \"f_n\" est nulle sur \"\left] - \infty , 0 \right[,\" pour \"x < 0,\" \"F_n \left( x \right) = 0.\"<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0d)<\/b> Pour \"x \ge 0,\" \"F_0 \left( x \right)\" \"= \int_{- \infty}^x f_0 \left( t \right) dt\" \"= \int_0^x \dfrac{1}{\left( 1 + t \right)^2} dt\" \"= \left[ - \dfrac{1}{1 + t } \right]_0^x\" \"= \dfrac{x}{x + 1}.\"<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0e) <\/b>Soit \"x \ge 0\" et \"k \in \mathbb{N}^*,\" en int\u00e9grant par parties en utilisant les fonctions \"C^1\" sur \"\left[ 0 , x \right],\" \"u : t \mapsto - \dfrac{1}{1 + t}\" et \"v : t \mapsto \left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^k\" avec \"v' : t \mapsto k \dfrac{\left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^{k -1}}{1 + t}.\"<\/p>\n

\"F_k \left( x \right)\" \"= \int_0^x f_k \left( t \right) dt\" \"= \int_0^x \dfrac{ \left(\ln \left( 1 + t \right) \right)^k}{k! \left( 1 + t \right)^2} dt\" \"= \left[ - \dfrac{\left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^k}{k! \left( 1 + t \right)} \right]_0^x\" \"+ \dfrac{k}{k!} \int_0^x \dfrac{\left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^{k - 1}}{\left( 1 + t \right)^2} dt.\"
\nOn obtient alors \"F_k \left( x \right) - F_{k - 1} \left( x \right)\" \"= - \dfrac{1}{k!} \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{1 + x}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
Puis si \"n \in \mathbb{N}^*,\" par sommation puis t\u00e9lescopage :
\n\"\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( F_k \left( x \right) - F_{k - 1} \left( x \right) \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k=1}^n - \dfrac{1}{k!} \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{1 + x},\"
\nsoit \"F_n \left( x \right) - F_0 \left( x \right)\" \"= - \dfrac{1}{1 + x} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{k!}.\" Or \"F_0 \left( x \right)\" \"= 1 - \dfrac{1}{1 + x},\" \"- \dfrac{1}{1 + x}\" est le terme pour \"k=0\" de la somme situ\u00e9e \u00e0 droite, on en d\u00e9duit que si \"n \ge 1\" et \"x \ge 0,\"<\/div>\n
<\/div>\n
\"F_n \left( x \right)\" \"= 1 - \dfrac{1}{1 + x } \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{k!}.\"<\/div>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0f) <\/b>Pour \"x \in \left[ 0 , + \infty \right[,\" on reconna\u00eet une somme partielle d’une s\u00e9rie exponentielle<\/a>, donc \"\lim_{n \to + \infty} \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{k!}\" \"= e^{\ln \left( 1 + x \right)}\" \"= 1 + x\" et \"\lim_{n \to + \infty} F_n \left( x \right) = 0.\"<\/p>\n

Si \"x < 0,\" on a aussi \"\lim_{n \to + \infty} F_n \left( x \right) = 0.\"<\/div>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0g)<\/b> La limite de la suite de fonctions<\/a> de r\u00e9partitions \"\left( F_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" n’est pas une fonction de r\u00e9partition, donc la suite de variables al\u00e9atoires \"\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" ne converge pas en loi.<\/p>\n

3)<\/b>\u00a0a)<\/b> \"X_n\" est une variable al\u00e9atoire \u00e0 valeurs dans \"\left[ 0 , + \infty \right[,\" donc on peut d\u00e9finir la variable al\u00e9atoire \"Y_n\" et \"Y_n\" est \u00e0 valeurs positives.<\/p>\n

b) <\/b>Si \"x \in \mathbb{R},\" \"H_n \left( x \right)\" \"= \mathbb{P} \left( Y_n \le x \right)\" \"= \mathbb{P} \left( \ln \left( 1 + X_n \right) \le x \right).\"<\/p>\n

Par croissance de la fonction exponentielle, \"H_n \left( x \right)\" \"= \mathbb{P} \left( 1 + X_n \le e^x \right)\" \"= \mathbb{P} \left( X_n \le e^x - 1 \right)\" \"= F_n \left( e^x - 1 \right).\"<\/div>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0c) <\/b>On a montr\u00e9 que la fonction \"F_n\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" de d\u00e9riv\u00e9e \u00e9gale \u00e0 \"f_n\" (la fonction \"f_n\" est continue sur \"\mathbb{R}\"), donc par compos\u00e9e, la fonction \"H_n\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R},\" \"Y_n\" admet une densit\u00e9 \"h_n = H_n'.\"<\/p>\n

Pour tout \"x \in \mathbb{R},\" \"h_n \left( x \right)\" \"= e^x f_n \left( e^x - 1 \right).\"<\/div>\n
<\/div>\n
Si \"x \ge 0,\" \"e^x - 1 \ge 0\" et \"f_n \left( e^x - 1 \right)\" \"= \dfrac{\left( \ln \left( 1 + e^x - 1 \right) \right)^n}{n! \left( 1 + e^x - 1 \right)^2}\" \"= \dfrac{x^n}{n! e^{2x}}.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On en d\u00e9duit que pour tout \"x \in \mathbb{R},\" \"h_n \left( x \right)\" \"= \dfrac{x^n}{n! e^{2x}}\" si \"x \ge 0\" et \"h_n \left( x \right) = 0\" si \"x < 0.\"<\/div>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0d) <\/b>La fonction \"\varphi_n x : \mapsto x h_n \left( x \right)\" est continue sur \"\mathbb{R},\" nulle sur \"\left] - \infty , 0 \right[\" \u00e0 valeurs positives et v\u00e9rifie \"\varphi_n \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^2} \right),\" donc l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} x h_n \left( x \right) dx\" est absolument convergente.<\/p>\n

\"Y_n\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E} \left( Y_n \right)\" \"= \int_0^{+ \infty} x h_n \left( x \right) dx\" \"= \left( n + 1 \right) \int_0^{+ \infty} h_{n + 1} \left( x \right) dx\" \"= n+ 1\" car \"h_{n + 1}\" est une densit\u00e9 d’une variable al\u00e9atoire<\/a> \u00e0 valeurs dans \"\left[ 0 , + \infty \right[.\"<\/div>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0e) <\/b>On montre de m\u00eame que l’int\u00e9grale \"\int_0^{+ \infty} x^2 h_n \left( x \right) dx\" est convergente et que<\/p>\n

\"\mathbb{E} \left( X_n^2 \right)\" \"= \int_0^{+ \infty} x^2 h_n \left( x \right) dx\" \"= \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) \int_0^{+ \infty} h_{n + 2} \left( x \right) dx\" \"= \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right).\"
\nAlors \"V \left( X_n \right)\" \"= \mathbb{E} \left( X_n^2 \right)\" \"- \left( \mathbb{E} \left( X_n \right) \right)^2\" \"= \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) - \left( n + 1 \right)^2\" \"= n + 1.\"<\/div>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0f) <\/b>\"Y_0\" suit une loi exponentielle de param\u00e8tre \"1.\" Pour tout \"k \in \mathbb{N}^*,\" on a<\/p>\n

\"\int_0^{+ \infty} x^k h_0 \left( x \right) dx\" \"= k! \int_0^{+ \infty} h_0 \left( x \right) dx\" \"= k!.\"<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0g) <\/b>\"\mathbb{E} \left( Z_n \right)\" \"= \dfrac{1}{n + 1} \mathbb{E} \left( Y_n \right)\" \"= 1\" et \"V \left( Z_n \right)\" \"= \dfrac{1}{\left( n + 1 \right)^2} V \left( Y_n \right)\" \"= \dfrac{1}{n + 1}.\"<\/p>\n

Par application de Bienaym\u00e9 Tchebychev,<\/div>\n
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\"\mathbb{P} \left( \left| Z_n - \mathbb{E} \left( Z_n \right) \right| \ge \epsilon \right)\" \"\le \dfrac{V \left( Z_n \right)}{\epsilon^2}.\"
\nPar encadrement, \"\lim_{n \to + \infty } \mathbb{P} \left( \left| Z_n - \mathbb{E} \left( Z_n \right) \right| \ge \epsilon \right) = 0.\"<\/div>\n
<\/div>\n
\n

La suite de terme g\u00e9n\u00e9ral<\/a> \"Z_n = \dfrac{Y_n}{n + 1}\" converge en probabilit\u00e9 vers une variable al\u00e9atoire constante \u00e9gale \u00e0 \"1.\"<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Gr\u00e2ce \u00e0 ces exercices et \u00e0 ces corrig\u00e9s d’exercices, vos points forts et vos points faibles en maths en ECG1 se feront vite conna\u00eetre. Profitez-en pour cibler vos r\u00e9visons et vos entra\u00eenements sur les notions qui sont le plus difficiles pour vous. Les cours suivants doivent \u00e9galement \u00eatre bien ma\u00eetris\u00e9s :<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n