{"id":34527,"date":"2019-08-20T12:00:01","date_gmt":"2019-08-20T11:00:01","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34527"},"modified":"2023-09-16T21:54:37","modified_gmt":"2023-09-16T20:54:37","slug":"cours-en-ligne-espace-probabilise-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-espace-probabilise-ecs1\/","title":{"rendered":"Espace probabilis\u00e9 et nouveaux r\u00e9sultats en ECG1 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Espace probabilis\u00e9 et nouveaux r\u00e9sultats en ECG1<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\r\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Espace probabilis\u00e9 et nouveaux r\u00e9sultats<\/h2>\r\n

M\u00e9thode 1 : Montrer qu’un ensemble est un \u00e9v\u00e9nement.
<\/b><\/p>\r\n

L’ensemble<\/a> des \u00e9v\u00e9nements sur l’univers \"\Omega\" est une tribu not\u00e9e \"\mathcal A\" (c’est une partie de \"\mathcal P \left( \Omega \right),\" contenant \"\Omega,\" stable par compl\u00e9mentaire et par r\u00e9union finie et d\u00e9nombrable, donc par intersection finie et d\u00e9nombrable).<\/p>\r\n

Pour montrer qu’un ensemble est un \u00e9v\u00e9nement, il suffit de r\u00e9ussir \u00e0 l’\u00e9crire comme une r\u00e9union\/intersection\/compl\u00e9mentaire d’\u00e9v\u00e9nements i.e. d’\u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal A,\" en consid\u00e9rant si n\u00e9cessaire des r\u00e9unions ou intersections d\u00e9nombrables d’\u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal A.\"<\/p>\r\n

Dans le cas o\u00f9 \"\Omega\" est fini ou d\u00e9nombrable, on choisit \"\mathcal A\" \"= \mathcal P \left( \Omega \right).\"<\/p>\r\n

Cette m\u00e9thode est d\u00e9licate, et rarement pos\u00e9e en pratique, ce qui ne vous dispense pas de savoir \u00e9crire correctement les \u00e9v\u00e9nements \u00e9tudi\u00e9s en fonction<\/a> d’\u00e9v\u00e9nements plus simples. Si vous souhaitez maitriser les m\u00e9thodes sur l’espace probabilis\u00e9 nos profs particuliers de maths<\/a> peuvent vous aider.<\/p>\r\n

Exemple<\/b> : On lance une infinit\u00e9 de fois une pi\u00e8ce avec un c\u00f4t\u00e9 Pile et un c\u00f4t\u00e9 Face.<\/p>\r\n

1)<\/b>\u00a0D\u00e9crire \"\Omega.\"<\/p>\r\n

Pour tout \"k \in \mathbb{N}^*,\" on pose \"P_k\" : \u00ab\u00a0obtenir Pile au \"k\"-i\u00e8me lancer\u00a0\u00bb et \"F_k\" : \u00ab\u00a0obtenir Face au \"k\"-i\u00e8me lancer\u00a0\u00bb.<\/p>\r\n

On suppose qu’il existe une tribu \"\mathcal A\" sur \"\Omega\" telle que pour tout \"k \in \mathbb{N}^*,\" \"F_k\" est un \u00e9v\u00e9nement.<\/p>\r\n

2)\u00a0<\/b>Soit \"A\" l’ensemble des lancers donnant une infinit\u00e9 de Piles et une infinit\u00e9 de Faces. Montrer que \"A\" est un \u00e9v\u00e9nement.<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

1)<\/strong> \"\Omega = \left\{ P , F \right\}^{\mathbb{N}}\" est l’ensemble des possibilit\u00e9s.<\/p>\r\n

2)<\/strong> On \u00e9crit \"A= B \cap C\" avec \"B\" (resp. C) \u00ab\u00a0obtenir une infinit\u00e9 de Piles (resp. de Faces)\u00a0\u00bb.<\/p>\r\n

On commence par traduire \"B\" :<\/p>\r\n

\"B\" est r\u00e9alis\u00e9 si, et seulement si, pour tout \"n \in \mathbb{N},\" il existe \"m > n\" tel qu’il y ait un Pile au rang \"m,\" ce qui revient \u00e0 dire que pour tout \"n \in \mathbb{N},\" il existe \"m > n\" tel que \"P_m\" soit r\u00e9alis\u00e9 soit pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"\displaystyle\bigcup_{n = m + 1}^{+ \infty} P_m\" est r\u00e9alis\u00e9.<\/p>\r\n

Donc \"B=\displaystyle\bigcap_{n=0}^{+ \infty} \left( \displaystyle\bigcup_{n=m + 1}^{+ \infty} P_m \right).\"<\/p>\r\n

Pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"\displaystyle\bigcup_{n = m + 1}^{+ \infty} P_m \in \mathcal A\" (r\u00e9union d\u00e9nombrable d’\u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal A\"), puis comme intersection d\u00e9nombrable d’\u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal A,\" \"B \in \mathcal A.\"<\/p>\r\n

Par sym\u00e9trie, \"C =\bigcap_{n=0}^{+ \infty} \left( \displaystyle\bigcup_{n=m + 1}^{+ \infty} F_m \right),\" et on d\u00e9montre que \"C \in \mathcal A.\"<\/p>\r\n

Finalement \"A \in \mathcal A\" comme intersection de deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal A.\"<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

M\u00e9thode 2 : Savoir utiliser les relations fondamentales de probabilit\u00e9.<\/b><\/p>\r\n

On suppose que \"\left( \Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right)\" est un espace probabilis\u00e9.<\/p>\r\n

Mais on a les propri\u00e9t\u00e9s suppl\u00e9mentaires :<\/p>\r\n

\"\bullet\" si pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"A_n \in \mathcal A\" et si \"A_i \cap A_j = \emptyset\" pour \"i \neq j,\" alors \"\mathbb{P} \left( \bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n \right)\" \"= \sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right).\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" pour une suite croissante<\/a> d’\u00e9v\u00e9nements : si pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"A_n \in \mathcal A\" et \"A_n \subset A_{n + 1},\" \"\mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n \right)\" \"= \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right).\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" pour une suite d\u00e9croissante d’\u00e9v\u00e9nements : si pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"A_n \in \mathcal A\" et \"A_{n + 1} \subset A_{n },\" \"\mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcap_{n=0}^{+ \infty} A_n \right)\" \"= \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right).\"<\/p>\r\n

On d\u00e9finit encore l’ind\u00e9pendance de \"2,\" de \"n\" \u00e9v\u00e9nements que l’on compl\u00e8te par la notion de suite d’\u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants :<\/p>\r\n

La suite \"\left( A_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est une suite d’\u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants si, et seulement si, pour tout \"n \in \mathbb{N}^*,\" les \u00e9v\u00e9nements \"\left( A_0 , A_1 , \cdots , A_n \right)\" sont mutuellement ind\u00e9pendants.<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>On lance une infinit\u00e9 de fois une pi\u00e8ce donnant Pile avec la probabilit\u00e9 \"p\" et Face avec la probabilit\u00e9<\/a> \"q= 1- p.\"<\/p>\r\n

On note \"P_k\" : \u00ab\u00a0obtenir Pile au \"k\"-i\u00e8me lancer\u00a0\u00bb et \"F_k\" : \u00ab\u00a0obtenir Face au \"k\"-i\u00e8me lancer\u00a0\u00bb.<\/p>\r\n

On admet l’existence d’un espace probabilis\u00e9 \"\left( \Omega , \mathcal A , \mathbb{P} \right)\" associ\u00e9 \u00e0 cette \u00e9preuve pour lequel pour tout \"k \in \mathbb{N}^*,\" \"P_k\" est un \u00e9v\u00e9nement, la suite \"\left( P_n \right)_{n \ge 1}\" \u00e9tant une suite d’\u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants.<\/p>\r\n

1)<\/b>\u00a0Quelle est la probabilit\u00e9 d’obtenir une suite de faces suivie de deux Piles ?<\/p>\r\n

2)\u00a0<\/b>D\u00e9terminer le probabilit\u00e9 de l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0les \"n\" premiers jets ont donn\u00e9 \"n\" Faces\u00a0\u00bb si \"n \in \mathbb{N}^*.\" Quelle est la probabilit\u00e9 de n’obtenir aucun Pile ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : 1)<\/strong> On rappelle que \"F_k\" est le compl\u00e9mentaire de \"P_k,\" donc \"F_k \in \mathcal A.\"<\/p>\r\n

Soit si \"n \in \mathbb{N}^*,\" \"A_n\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on obtient \"n\" Faces suivies de \"2\" Piles\u00a0\u00bb, alors \"A_n = F_1 \cap \cdots \cap F_{n - 1} \cap F_n \cap P_{n + 1} \cap P_{n + 2}.\" Ainsi \"A\" : \u00ab\u00a0obtenir une suite de Faces se terminant par deux Piles\u00a0\u00bb s’\u00e9crit \"A= \displaystyle\bigcup_{n=1}^{+ \infty} A_n.\"<\/p>\r\n

Les \u00e9v\u00e9nements \"F_1 , \cdots , F_{n - 1} , F_n , P_{n + 1} , P_{n + 2}\" \u00e9tant ind\u00e9pendants :<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( A_n \right)\" \"= \mathbb{P} \left( F_1 \right) \times \cdots \times \mathbb{P} \left( F_{n - 1} \right)\" \"\times \mathbb{P} \left( F_n \right)\" \"\times \mathbb{P} \left( P_{n + 1} \right)\" \"\times \mathbb{P} \left( P_{n + 2} \right)\" \"=q^n p^2.\"<\/p>\r\n

Les \u00e9v\u00e9nements \"A_n\" sont deux \u00e0 deux incompatibles,<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( A \right)\" \"= \displaystyle\sum_{n = 1}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right)\" \"= \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} p^2 q^n \underset{i=n - 1}{=}\displaystyle\sum_{i=0}^{+ \infty} p^2 q^{i + 1}.\"<\/p>\r\n

Ainsi \"\mathbb{P} \left( A \right)\" \"= p^2 q \displaystyle\sum_{i=0}^{+ \infty} q^i\" \"= \dfrac{p^2q}{1 - q}\" \"=pq.\"<\/p>\r\n

2)<\/strong> On note \"B_n\" l’\u00e9v\u00e9nement : \u00ab\u00a0les \"n\" premiers jets ont donn\u00e9 \"n\" Faces\u00a0\u00bb, ainsi \"B_n = F_1 \cap \cdots \cap F_{n - 1} \cap F_n\" ; comme ci-dessus,\u00a0<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( B_n \right)\" \"= \mathbb{P} \left( F_1 \cap \cdots \cap F_{n - 1} \cap F_n \right)\" \"= q^n.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Et \"B\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0ne jamais obtenir de Pile\u00a0\u00bb, \"B = \displaystyle\bigcap_{n =1}^{+ \infty} B_n.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
Puis comme \"B_{n + 1} \subset B_n,\" par propri\u00e9t\u00e9 de monotonie d\u00e9croissante\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( \displaystyle \bigcap_{n=1}^{+ \infty} B_n \right)\" \"= \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( B_n \right)\" \"= 0.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\u00a0<\/div>\r\n

\u00a0<\/p>\r\n

M\u00e9thode 3 : Lorsque \"\Omega\" est d\u00e9nombrable, caract\u00e9riser une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)\".<\/b><\/p>\r\n

Dans la suite \"\Omega = \left\{ \omega_{n} , n \in \mathbb{N} \right\}.\"<\/p>\r\n

Une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)\" est une application \"\mathbb{P}\" d\u00e9finie sur \"\mathcal P \left( \Omega \right)\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}_+\" telle que :<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P} \left( \Omega \right) = 1,\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P}\" est \"\sigma\"-additive : pour toute suite d’\u00e9v\u00e9nements \"\left( A_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" deux \u00e0 deux incompatibles, on a :<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( \bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n \right)\" \"= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right).\"<\/p>\r\n

En particulier, la s\u00e9rie<\/a> de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\mathbb{P} \left( \left\{ \omega_n \right\} \right)\" converge et \"\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( \left\{ \omega_n \right\} \right) = 1.\"<\/p>\r\n

Dans ce cas pour tout \"A \in \mathcal P \left( \Omega \right),\" \"\mathbb{P} \left( A \right)\" \"= \displaystyle\sum_{\omega \in A} \mathbb{P} \left( \left\{ \omega \right\} \right).\"<\/p>\r\n

Exemple : <\/b>On admet que \"\displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{n^2}= \dfrac{\pi^2}{6}.\"<\/p>\r\n

1)<\/b>\u00a0Montrer qu’il existe \"\alpha \in \mathbb{R}\" tel que l’application \"\mathbb{P}\" d\u00e9finie sur \"\left( \mathbb{N}, \mathcal P \left( \mathbb{N} \right) \right)\" par : pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"\mathbb{P} \left( \left\{ n \right\} \right)\" \"= \dfrac{\alpha}{\left( n + 1 \right)^2},\" est une probabilit\u00e9 sur \"\left( \mathbb{N} , \mathcal P \left( \mathbb{N} \right) \right).\"<\/p>\r\n

2)<\/b>\u00a0On note \"B\" l’ensemble des entiers pairs, donner \"\mathbb{P} \left( B \right).\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

1)<\/strong> Pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"\dfrac{\alpha}{\left( n + 1 \right)^2} \ge 0\" si et seulement si \"\alpha \ge 0.\" La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\ converge par comparaison par \u00e9quivalence avec une s\u00e9rie de Riemann convergente<\/a>. Or<\/p>\r\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( \left\{ n \right\} \right)\" \"= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{\alpha}{\left( n + 1 \right)^2}\" \"= \alpha \displaystyle\sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{1}{n^2}\" \"= \alpha \dfrac{\pi^2}{6}.\"
Finalement\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( \left\{ n \right\} \right)\" \"= 1 \Leftrightarrow \alpha\" \"= \dfrac{6}{\pi^2}.\"
On a montr\u00e9 que \"\mathbb{P}\" est une probabilit\u00e9 sur \"\left( \mathbb{N} , \mathcal P \left( \mathbb{N} \right) \right)\" si et seulement si \"\alpha = \dfrac{6}{\pi^2}.\"<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
2)<\/strong> Il est plus simple de calculer la probabilit\u00e9 du compl\u00e9mentaire de \"B,\" \"\overline{B}\" est l’ensemble des nombres impairs.<\/span><\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
\"\mathbb{P} \left( \overline{B} \right)\" \"= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( \left\{ 2 n + 1 \right\} \right)\" \"= \alpha \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{\left( 2 n + 2 \right)^2}.\" Si l’on pose \"p = n + 1,\" on a \"\mathbb{P} \left( \overline{B} \right)\" \"= \dfrac{\alpha}{4} \displaystyle\sum_{p=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{p^2}\" \"= \frac{\alpha}{4} \times \dfrac{\pi^2}{6}\" \"= \dfrac14,\" donc \"\mathbb{P} \left( B \right)\" \"= 1 - \mathbb{P} \left( \overline{B} \right)\" \"= \dfrac34.\"\u00a0<\/div>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n
M\u00e9thode 4 : Utiliser la formule des probabilit\u00e9s conditionnelles, des probabilit\u00e9s compos\u00e9es, des probabilit\u00e9s totales et de Bay\u00e8s.<\/b><\/div>\r\n
\r\n

On suppose que \"\left( \Omega, \mathcal A , \mathbb{P} \right)\" est un espace probabilis\u00e9.<\/p>\r\n

On dit que \"B\" est un \u00e9v\u00e9nement presque impossible lorsque \"\mathbb{P} \left( B \right) = 0\" et presque certain lorsque \"\mathbb{P} \left( B \right)=1.\"<\/p>\r\n

1) Probabilit\u00e9 conditionnelle :<\/b><\/p>\r\n

si \"A\" n’est pas un \u00e9v\u00e9nement presque impossible (i.e. \"\mathbb{P} \left( A \right) \neq 0\"), on d\u00e9finit \"\mathbb{P}_A \left( B \right)\" \"= \frac{\mathbb{P} \left( A \cap B \right)}{\mathbb{P} \left( A \right)}.\"<\/p>\r\n

Cette formule sert aussi sous la forme \"\mathbb{P} \left( A \cap B \right)\" \"= \mathbb{P}_A \left( B \right)\" \"\times \mathbb{P} \left( B \right).\"<\/p>\r\n

On retiendra que \"\mathbb{P}_A : \begin{cases} \mathcal A \to \mathbb{R} \\ B \mapsto \mathbb{P}_A \left( B \right) \end{cases}\" d\u00e9finit une probabilit\u00e9 sur \"\left( \Omega, \mathcal A \right).\"<\/p>\r\n

2) La formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es est la m\u00eame.<\/b><\/p>\r\n

3) Formule des probabilit\u00e9s totales<\/b>\u00a0avec un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements d\u00e9nombrable (elle reste bien s\u00fbr valable pour un syst\u00e8me complet fini) ou un syst\u00e8me quasi-complet d’\u00e9v\u00e9nements (elle reste bien s\u00fbr valable pour un syst\u00e8me complet fini) :<\/p>\r\n

On suppose que l’on a une suite d’\u00e9v\u00e9nements deux \u00e0 deux incompatibles tels que \"\displaystyle\bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n = \Omega\" (syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements) ou \"\bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n\" est quasi-certain (syst\u00e8me quasi-complet d’\u00e9v\u00e9nements), pour tout \"B \in \mathcal A\"<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( B \right)\" \"= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( B \cap A_n \right).\"<\/p>\r\n

De plus, si pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"\mathbb{P} \left( A_n \right) > 0,\" on peut \u00e9crire :\u00a0<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} \left( B \right)\" \"= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P}_{A_n} \left( B \right) \times \mathbb{P} \left( A_n \right).\"<\/p>\r\n

4) Formule de Bay\u00e8s<\/b>, avec les hypoth\u00e8ses d\u00e9velopp\u00e9es au point 3), on peut \u00e9crire lorsque \"\mathbb{P} \left( A_j \right) > 0,\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}_{ A_j } \left( B \right)\" \"= \dfrac{\mathbb{P}_{A_j} \left( B \right)}{\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( B \cap A_n \right)}.\"\u00a0<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n

D’autres cours en ligne de math\u00e9matiques au programme d’ECG1 sont \u00e9galement accessibles, dont :<\/p>\r\n