{"id":34534,"date":"2019-08-20T12:17:29","date_gmt":"2019-08-20T11:17:29","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34534"},"modified":"2022-07-20T10:58:47","modified_gmt":"2022-07-20T09:58:47","slug":"cours-en-ligne-corriges-strategies-calcul-ecs1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-strategies-calcul-ecs1\/","title":{"rendered":"Strat\u00e9gies de calcul en ECG1 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires \u00e0 Densit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConvergence et Approximations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en ECG1<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECG1<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStrat\u00e9gie de Calcul<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspace Probabilis\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et Vocabulaire Ensembliste<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces Vectoriels et Applications Lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions R\u00e9elles \u00e0 Variables R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s (univers infini)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFormules de Taylor et D\u00e9veloppements Limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tExtrema et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries Num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Finies<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Strat\u00e9gies de calcul en ECG1<\/h1>\n<\/div>\n

Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG1<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Strat\u00e9gies de calcul<\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

Si l’on prouve que \"\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_k - 1\right)^2 = 0,\" comme somme de termes positifs, on en d\u00e9duit que pour tout \"k \in [\![ 1, n ]\!],\" \"\left( x_k - 1 \right)^2 = 0\" soit \"x_k = 1.\"<\/p>\n

L’introduction de \"\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_k - 1 \right)^2\" se justifie par la possibilit\u00e9 d’introduire les sommes donn\u00e9es par l’\u00e9nonc\u00e9 : \"\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2\" et \"\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k.\"<\/div>\n
<\/div>\n
On d\u00e9veloppe donc :<\/div>\n
<\/div>\n
\"\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_k - 1\right)^2\" \"= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_k^2 - 2x_k + 1 \right)\"
\n\"= \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2 - 2 \displaystyle\sum_{k=1 }^n x_k + \displaystyle\sum_{k=1}^n 1\"
\n\"\underset{\text{d'après l'énoncé}}{=}\" \"n - 2n + n\"
\n\"=0\".<\/div>\n

Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1)<\/b> Si pour tout \"k \in [\![ 1, n ]\!],\" \"y_k = 0,\" alors les deux membres de l’in\u00e9galit\u00e9 sont nuls, l’in\u00e9galit\u00e9 est donc claire.<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0a) <\/b>Pour d\u00e9montrer que \"f\" est un trin\u00f4me de degr\u00e9 \"2,\" d\u00e9veloppons \"f\" :<\/p>\n

\"f \left( t \right)\" \"= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_i + t y_i \right)^2\"
\n\"= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_i^2 + 2 x_i y_i t + t^2 y_i^2 \right)\"
\n\"= \displaystyle\sum_{k=1}^n x_i^2 + \left(2 \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right) t + \left( \displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) t^2\".<\/div>\n
Comme la suite<\/a> \"\left( y_i \right)_{i \in [\![ 1, n ]\!]}\" est constitu\u00e9e d’\u00e9l\u00e9ments non tous nuls, \"\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2 \neq 0\" donc \"f\" est bien un trin\u00f4me du second degr\u00e9 en \"t.\"<\/div>\n
Par d\u00e9finition de \"f,\" il est clair que \"f \left( t \right) \ge 0\" pour tout \"t \in \mathbb{R}.\"<\/div>\n

\u00a0 \u00a0b) <\/b>Si \"\Delta > 0,\" \"f\" s’annule en changeant de signe, ce qui contredit \"f \left( t \right) \ge 0\" pour tout \"t \in \R,\" donc \"\Delta \le 0.\"
\n\"\Delta\" \"= \left(2 \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 - 4 \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n x_i^2 \right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2 \right),\"
\nd’o\u00f9<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \le \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n x_i^2 \right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) .\]\"<\/p>\n

Et en passant \u00e0 la racine carr\u00e9e (attention \"\sqrt{\left( \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2} = \left| \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right|\"), on a bien l’in\u00e9galit\u00e9 voulue.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 3 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

1) <\/b>Il faut revenir \u00e0 la d\u00e9finition de \"\sqrt[3]{x}\" : c’est le <\/b>r\u00e9el qui, \u00e9lev\u00e9 au cube donne vaut \"x.\" On a<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( \sqrt[3]{xy} \right)^3 = xy, \qquad \text{par definition}.\]\"<\/p>\n

On a aussi<\/p><\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left( \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} \right)^3 = \sqrt[3]{x}^3 \times \sqrt[3]{y}^3 = xy.\]\"<\/p>\n

On a trouv\u00e9 deux nombres qui \u00e9lev\u00e9s au cube donnent \"xy,\" ils sont donc \u00e9gaux. Finalement<\/div>\n

<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}.\]\"<\/p>\n<\/div>\n

2)<\/b> Il suffit d’\u00e9crire \"\left( a + b \right)^3 = \left( a + b \right)^2 \left( a + b \right)\" et de d\u00e9velopper.<\/p>\n

3) <\/b>On a :<\/p>\n

\"S^3\" \"= \left( \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}} \right)^3\"
\n\"= 45 + 29 \sqrt{2}\" \"+ 3 \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}}^2 \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}\"\u00a0 \"+ 3 \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}^2\" \"+ 45 - 29 \sqrt{2}\"
\n\"= 90\" \"+ 3 \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}\" \"\times \left( \underbrace { \sqrt[3]{{45 + 29 \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}} }_{=S} \right)\".<\/div>\n
Or, un simple calcul donne<\/div>\n
\"\sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}\" \"\underset{\text{question 1}}{=}\" \"\sqrt[3]{\left( 45 + 29 \sqrt{2} \right) \left( 45-29 \sqrt{2} \right)}\"
\n\"= \sqrt[3]{343}\"
\n\"= 7\",<\/div>\n
d’o\u00f9<\/div>\n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[S^3 = 21S + 90 .\]\"<\/p>\n<\/div>\n

4) <\/b>\u00c9tudions la fonction<\/a> \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"f \left( x \right) = x^3 - 21 x - 90.\" Un simple calcul donne \"f ' \left( x \right) = 3x^2 - 21 = 3 \left( x^2 - 7 \right).\" Cela donne le tableau suivant :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

On a \"M = 14 \sqrt{7 } - 90 < 0\" et \"m = -14 \sqrt{7} - 90 < 0.\" Par le tableau de variation, \"f\" est n\u00e9gative sur \"\left]- \infty , \sqrt{7} \right]\" car \"f \left( - \sqrt{7} \right) < 0\" et \"f\" est continue et strictement croissante sur \"\left[ \sqrt{7} , +\infty \right[\" avec \"f \left( \sqrt{7} \right) < 0\" et \"\lim_{x \to + \infty} f \left( x \right) = + \infty.\"<\/div>\n
Par le th\u00e9or\u00e8me de la bijection, \"f\" s’annule une et une seule fois sur \"\left[ 7 , +\infty \right[.\"<\/div>\n

5) <\/b>En testant quelques entiers naturels sup\u00e9rieurs \u00e0 \"\sqrt{7},\" on remarque que \"f \left( 6 \right) = 0.\" Ainsi, par unicit\u00e9 du z\u00e9ro de \"f,\" on a \"S = 6.\"<\/p>\n

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