{"id":34679,"date":"2019-08-26T12:53:05","date_gmt":"2019-08-26T11:53:05","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34679"},"modified":"2022-06-11T17:17:05","modified_gmt":"2022-06-11T16:17:05","slug":"annale-corrige-du-sujet-essec-maths-ecs-2016","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-essec-maths-ecs-2016\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet ESSEC Maths ECS 2016"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet ESSEC Maths ECS 2016<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\r\n

<\/p>\r\n

Partie I :\u00a0<\/h2>\r\n

1\/<\/strong> Soit \"x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\". Pour tout \"n\in\mathbb{N}\", \"n^2-x^2\neq 0\" et on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_n(x)\mathop{\sim}\limits_\infty \frac{2x}{n^2} \: \: \text{d'o\`u} \: \: |u_n(x)|\mathop{\sim}\limits_\infty\frac{2|x|}{n^2}\]\"<\/p><\/p>\r\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\frac{1}{n^2}\" est une s\u00e9rie de Riemann convergente. Donc la s\u00e9rie de tg \"\frac{2|x|}{n^2}\" est convergente. Par th\u00e9or\u00e8me de comparaison pour les s\u00e9ries \u00e0 terme positif, la s\u00e9rie de tg \"|u_n(x)|\" converge. La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n(x)\" est alors absolument convergente donc convergente.<\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> Pour tout \"x\in D\", \"-x\in D\". De plus, pour tout \"n\in\mathbb{N}^*\", \"u_n(-x)=-u_n(x)\".<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit \"\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(-x)=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\".<\/p>\r\n

Or, \"\varphi(x)=\frac{1}{x}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\". D’o\u00f9 \"\varphi(-x)=-\frac{1}{x}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=-\varphi(x)\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{La fonction $\varphi$ est alors impaire.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in D\" et \"n\in\mathbb{N}^*\",

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}=\frac{n+x-n+x}{(n-x)(n+x)}=\frac{2x}{n^2-x^2}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ c\/<\/strong> Soit \"x\in D\" et \"N\in\mathbb{N}^*\". D’apr\u00e8s l’\u00e9galit\u00e9 de la question 2.b,

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{n=1}^{N}u_n(x+1)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\sum\limits_{n=1}^{N}\left[\frac{1}{n-1-x}-\frac{1}{n+1+x}\right]\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n-1-x}-\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1+x}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On fait le changement d’indice \"k=n-1\" dans la premi\u00e8re somme et \"k=n+1\" dans la seconde. On obtient

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{n=1}^{N}u_n(x+1)=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\frac{1}{k-x}-\sum\limits_{k=2}^{N+1}\frac{1}{k+x}\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’o\u00f9, \"\sum\limits_{n=1}^{N}u_n(x+1)\"<\/p>\r\n

\"=-\frac{1}{x}+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\left(\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}\right)+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{N+x}-\frac{1}{N+1+x}\"<\/p>\r\n

Ainsi, \"\sum\limits_{n=1}^{N}u_n(x+1)\"<\/p>\r\n

\"=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\sum\limits_{n=1}^{N-1}u_n(x)-\frac{1}{N+x}-\frac{1}{N+1+x}\".<\/p>\r\n

On fait tendre \"N\" vers \"+\infty\" car tout converge dans cette \u00e9galit\u00e9. Il vient

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x+1)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par suite<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$\varphi(x+1)=\frac{1}{x+1}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x+1)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\frac{1}{x}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\varphi(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Soit \"x\in D\cup \{0,1\}\". Pour tout \"n\geq 2\", \"n^2-x^2\neq 0\" et \"\frac{2x}{n^2-x^2}=\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}\" d’apr\u00e8s la question 2.b qui reste encore valable pour \"x=0\" (de fa\u00e7on imm\u00e9diate) et pour \"x=1\" car \"\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=\frac{2x}{1-x^2}\".<\/p>\r\n

De m\u00eame qu’\u00e0 la question 1, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n(x)\" (pour \"n\geq 2\") est absolument convergente donc convergente. On en d\u00e9duit l’existence de \"g(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2x}{n^2-x^2}\" et on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$g(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2x}{n^2-x^2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}\right)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in D\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(x)=\frac{1}{x}-\frac{2x}{1-x^2}-g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}-g(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

car comme d\u00e9j\u00e0 v\u00e9rifi\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment, \"\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=\frac{2x}{1-x^2}\".<\/p>\r\n

3\/ c\/<\/strong> Soit \"h\in]{-\frac{1}{2}},{\frac{1}{2}}[\" et \"x\in[{0},{1}]\". Pour tout \"n\geq 2\",<\/p>\r\n

\"\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n-x-h}=-\frac{h}{(n-x)(n-x-h)}\" et \"\frac{1}{n+x}-\frac{1}{n+x+h}=\frac{h}{(n+x)(n+x+h)}\"<\/p>\r\n

D’o\u00f9,

  <\/span>   <\/span>\"\[\left(\frac{1}{n-x-h}-\frac{1}{n+x+h}\right)-\left(\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}\right)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=h\left(\frac{1}{(n-x)(n-x-h)}+\frac{1}{(n+x)(n+x+h)}\right)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour tout \"N\geq 2\", on a donc<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}\left|\sum\limits_{n=2}^{N}u_n(x+h)-\sum\limits_{n=2}^{N}u_n(x)\right|&\leq &\sum\limits_{n=2}^{N}|u_n(x+h)-u_n(x)|\\&\leq & |h|\sum\limits_{n=2}^{N}\left|\frac{1}{(n-x)(n-x-h)}+\frac{1}{(n+x)(n+x+h)}\right|\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, pour tout \"n\geq 2\", comme \"x\in[{0},{1}]\" et \"h\in]{-\frac{1}{2}},{\frac{1}{2}}[\",<\/p>\r\n

\"n+x\geq n-x\geq n-1>0\" et \"n+x+h\geq n-x-h\geq n-\frac{3}{2}>0\"<\/p>\r\n

D\u00e8s lors, \"0<\frac{1}{(n-x)(n-x-h)}+\frac{1}{(n+x)(n+x+h)}<\frac{2}{(n-1)(n-\frac{3}{2})}\" \"\:\" et<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left|\sum\limits_{n=2}^{N}u_n(x+h)-\sum\limits_{n=2}^{N}u_n(x)\right|\leq |h|\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{2}{(n-1)(n-\frac{3}{2})}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\frac{2}{(n-1)(n-\frac{3}{2})}\mathop{\sim}\limits_\infty\frac{2}{n^2}\".<\/p>\r\n

La s\u00e9rie de tg \"\frac{2}{n^2}\" est le multiple du terme g\u00e9n\u00e9ral d’une s\u00e9rie de Riemann convergente.<\/p>\r\n

Par th\u00e9or\u00e8me de convergence pour s\u00e9ries \u00e0 termes positifs, on en d\u00e9duit que la s\u00e9rie de tg \"\frac{2}{(n-1)(n-\frac{3}{2})}\" converge. On peut alors faire tendre \"N\" vers \"\infty\" dans l’in\u00e9galit\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente car toutes les quantit\u00e9s convergent. On obtient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[|g(x+h)-g(x)|\leq |h|\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{2}{(n-1)(n-\frac{3}{2})}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a donc bien<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\forall x\in[{0},{1}] \: \:f |g(x+h)-g(x)|\leq C|h|$ avec $C=\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{2}{(n-1)(n-\frac{3}{2})}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ d\/<\/strong> Soit \"x_0\in[{0},{1}]\". D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, pour tout \"h\in]{-\frac{1}{2}},{\frac{1}{2}}[\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[|g(x_0+h)-g(x_0)|\leq C|h|\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"C|h|\underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0\". Par th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, \"g(x_0+h)\underset{h\to 0}{\longrightarrow} g(x_0)\" d’o\u00f9 \"g(x)\underset{x\to x_0}{\longrightarrow}g(x_0)\". La fonction \"g\" est donc continue en \"x_0\". Cette propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout \"x_0\" de \"[{0},{1}]\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{La fonction $g$ est donc continue sur $[{0},{1}]$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’apr\u00e8s la question 3.b, pour tout \"x\in]{0},{1}[\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}-g(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Les fonctions \"x\mapsto\frac{1}{x}\", \"x\mapsto\frac{1}{1-x}\" et \"x\mapsto \frac{1}{1-x}\" sont continues sur \"]{0},{1}[\" ainsi que la fonction \"g\". Par somme, on en d\u00e9duit que la fonction \"\varphi\" est continue sur \"]{0},{1}[\".<\/p>\r\n

Or, la fonction \"\varphi\" est p\u00e9riodique de p\u00e9riode 1. Par suite,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{La fonction $\varphi$ est continue sur $D$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> D’apr\u00e8s la question 3.b, pour tout \"x\in D\", \"\varphi(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}-g(x)\". Donc pour tout \"x\in D\", \"x\varphi(x)=1-\frac{x}{1-x}+\frac{x}{1+x}-xg(x)\".<\/p>\r\n

D’apr\u00e8s la question 3.d, \"xg(x)\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow} 0 g(0)\" donc \"xg(x)\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow} 0\". De plus, \"\frac{x}{1-x}\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\" \"\:\" et \"\:\" \"\frac{x}{1+x} \underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\". Par th\u00e9or\u00e8me d’op\u00e9rations,

  <\/span>   <\/span>\"\[x\varphi(x)\underset{x\to 1^+}{\longrightarrow} 1\]\"<\/p><\/p>\r\n

De plus, pour tout \"x\in]{-1},{0}[\", \"x\varphi(x)=-x\varphi(-x)\" car \"\varphi\" est impaire (d’apr\u00e8s la question I.2.a). Or, d’apr\u00e8s le calcul pr\u00e9c\u00e9dent, \"-x\varphi(-x)\underset{x\to 0^-}{\longrightarrow}1\". D’o\u00f9

  <\/span>   <\/span>\"\[x\varphi(x)\underset{x\to 0^-}{\longrightarrow} 1\]\"<\/p><\/p>\r\n

On en d\u00e9duit \"x\varphi(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow}1\" puis<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\varphi(x)\mathop{\sim}\limits_0 \frac{1}{x}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour tout \"x\in D\", \"\varphi(x)-\frac{1}{x}=-\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}-g(x)\". On en d\u00e9duit par th\u00e9or\u00e8me d’op\u00e9ration et par continuit\u00e9 de \"g\" sur \"[{0},{1}]\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(x)-\frac{1}{x}\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow} -1+1-g(0)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, \"g(0)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2\times 0}{n^2-0^2}=0\" et \"-1+1=0\". D’o\u00f9<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(x)-\frac{1}{x}\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow} 0\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour tout \"x\in]{0},{1}[\", on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(x)-\frac{1}{x}=-\left(\varphi(-x)-\frac{1}{-x}\right)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or si \"x<0\", \"-x>0\" donc \"\varphi(-x)-\frac{1}{-x}\underset{x\to 0^-}{\longrightarrow} 0\". D’o\u00f9 \"\varphi(x)-\frac{1}{x}\underset{x\to 0^-}{\longrightarrow} 0\". On a donc<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\varphi(x)-\frac{1}{x} \underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> Pour tout \"x\in D\", \"\varphi(x)=\varphi(x-1)\". Or, \"x-1\underset{x\to 1}{\longrightarrow} 0\". Donc d’apr\u00e8s les r\u00e9sultats de la question pr\u00e9c\u00e9dente, \"\varphi(x-1)\mathop{\sim}\limits_1 \frac{1}{x-1}\" d’o\u00f9<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\varphi(x)\mathop{\sim}\limits_{1} \frac{1}{x-1}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a \u00e9galement d’apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de, pour \"x\in D\", \"\varphi(x)-\frac{1}{x-1}=\varphi(x-1)-\frac{1}{x-1}\underset{x\to 1}{\longrightarrow} 0\". Ainsi,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\left(\varphi(x)-\frac{1}{x-1}\right)\underset{x\to 1}{\longrightarrow} 0$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

 <\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\u00a0<\/div>\r\n

Partie II :\u00a0<\/h2>\r\n

5\/<\/strong> Soit \"f \in E\". Pour tout \"x\in[{0},{1}]\", \"\frac{x}{2}\in[{0},{1}]\" et \"\frac{x+1}{2}\in[{0},{1}]\". Par composition, la fonction \"x\mapsto f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)\" est encore continue sur \"[{0},{1}]\" et \u00e0 valeurs r\u00e9elles. Donc \"T(f)\in E\".<\/p>\r\n

Soit \"(f,g)\in E^2\" et \"\lm\in \mathbb{R}\". Pour tout \"x\in[{0},{1}]\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} [T(\lm f+g)](x)&=&(\lm f+g)\left(\frac{x}{2}\right)+(\lm f+g)\left(\frac{x+1}{2}\right)\\<\/p><\/p>\r\n

On a donc \"T(\lm f+g)=\lm T(f)+T(g)\" et<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$T$ est un endomorphisme de $E$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/ a\/<\/strong> Soit \"k\in[{0},{n}]\". Pour tout \"x\in [{0},{1}]\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[[T(e_k)](x)=\frac{x^k}{2^k}+\frac{(x+1)^k}{2^k}=\frac{1}{2^k}\left(2x^k+\sum\limits_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j}x^j\right)\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a donc \"T(e_k)=\frac{1}{2^k}\sum\limits_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j}e_j+\frac{1}{2^{k-1}}e_k\in F_n\".
Par lin\u00e9arit\u00e9 de l’endomorphisme \"T\", la famille \"(e_k)_{0\leq k\leq n}\" \u00e9tant une base de \"F_n\", on en d\u00e9duit<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\forall f\in F_n \: \: T(f)\in F_n$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/ b\/<\/strong> On reprend les calculs de la question pr\u00e9c\u00e9dente :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k\in [\![{0},{n}]\!], \: T(e_k)=\frac{1}{2^k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}e_j+\frac{1}{2^{k-1}}e_k\]\"<\/p><\/p>\r\n

La matrice de \"T_n\" dans \"B_n\" est donc triangulaire sup\u00e9rieure et<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{${\rm Mat}_{B_n}(T_n)=\begin{pmatrix}2&1/2&\cdots& 1/2^k&\cdots& 1/2^n\\0&1& \cdots& k/2^k& \cdots& n/2^n\\\vdots&\vdots& \ddots& \vdots& \vdots& \vdots\\\vdots&\vdots& \vdots& 1/2^{k-1}&\cdots& \binom{n}{k}/2^n\\\vdots&\vdots& \ddots& \vdots& \ddots& \vdots\\0 & \cdots& \cdots& \cdots& 0 & 1/2^{n-1}\\\end{pmatrix}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/ c\/<\/strong> La matrice de \"T_n\" dans la base \"B_n\" est triangulaire sup\u00e9rieure. On en d\u00e9duit directement les valeurs propres de \"T_n\" qui sont les \u00e9l\u00e9ments diagonaux. Les valeurs propres de \"T_n\" sont donc les

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\{1/2^{k-1},0\leq k\leq n\}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"T_n\" est un endomorphisme de \"F_n\" qui est de dimension \"n+1\". De plus, \"T_n\" a \"n+1\" valeurs propres distinctes deux \u00e0 deux. On en d\u00e9duit que<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$T_n$ est diagonalisable.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ a\/<\/strong> D’apr\u00e8s la question 6, on a \"T(e_0)=2e_0\" donc \"(T-2\operatorname{id_E})(e_0)=0_E\". Par cons\u00e9quent,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\Ker(T-2\operatorname{id_E})$ n'est pas r\'eduit \`a $\{0_E\}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ b\/<\/strong> Comme \"f\" est dans \"\Ker(T-2\operatorname{id_E})\", pour tout \"x\in[{0},{1}]\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)=2f(x)\qquad \qquad (\star)\]\"<\/p><\/p>\r\n

En appliquant cette \u00e9galit\u00e9 \u00e0 \"x_0\", on obtient<\/p>\r\n

\"f\left(\frac{x_0}{2}\right)+f\left(\frac{x_0+1}{2}\right)=2m\" d’o\u00f9 \"f\left(\frac{x_0}{2}\right)=2m-f\left(\frac{x_0+1}{2}\right)\"<\/p>\r\n

Or \"m\" \u00e9tant le minimum de \"f\" sur \"[{0},{1}]\", on a \"f\left(\frac{x_0+1}{2}\right)\geq m\" d’o\u00f9<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f\left(\frac{x_0}{2}\right)\leq m\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"m\leq f\left(\frac{x_0}{2}\right)\". On en d\u00e9duit

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$f\left(\frac{x_0}{2}\right)=m$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ c\/<\/strong> Montrons par r\u00e9currence que pour tout \"n\in\mathbb{N}\", \"f\left(\frac{x_0}{2^n}\right)=m\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" L’\u00e9galit\u00e9 est imm\u00e9diate par d\u00e9finition pour \"n=0\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"n\in\mathbb{N}\". Supposons \"f\left(\frac{x_0}{2^n}\right)=m\". On applique alors le r\u00e9sultat de la question 7.b \u00e0 \"\frac{x_0}{2^n}\" qui v\u00e9rifie bien l’\u00e9galit\u00e9 demand\u00e9e. On obtient ainsi<\/p>\r\n

\"f\left(\frac{\frac{x_0}{2^n}}{2}\right)=m\" d’o\u00f9 \"f\left(\frac{x_0}{2^{n+1}}\right)=m\"<\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent,

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\forall n\in\mathbb{N} \: \: f\left(\frac{x_0}{2^n}\right)=m$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ d\/<\/strong> La fonction \"f\" est continue sur \"[{0},{1}]\" et \"\:\" \"\frac{x_0}{2^n} \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\". En passant \u00e0 la limite dans l’\u00e9galit\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e \u00e0 la question 7.c, on obtient

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$m=f(0)$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ e\/<\/strong> On applique ici l’\u00e9galit\u00e9 \"(\star)\" \u00e0 \"x_1\". On obtient<\/p>\r\n

\"f\left(\frac{x_1}{2}\right)+f\left(\frac{x_1+1}{2}\right)=2M\" d’o\u00f9 \"f\left(\frac{x_1}{2}\right)=2M-f\left(\frac{x_1+1}{2}\right)\"<\/p>\r\n

Or \"M\" \u00e9tant le maximum de \"f\" sur \"[{0},{1}]\", on a \"f\left(\frac{x_1+1}{2}\right)\leq M\" d’o\u00f9<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f\left(\frac{x_1}{2}\right)\geq M\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"M\geq f\left(\frac{x_1}{2}\right)\". On en d\u00e9duit

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$f\left(\frac{x_1}{2}\right)=M$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par une r\u00e9currence du m\u00eame type que celle r\u00e9alis\u00e9e \u00e0 la question 7.c, on montre alors que pour tout \"n\in\mathbb{N}\", \"f\left(\frac{x_1}{2^n}\right)=M\". Par continuit\u00e9 de \"f\" en passant \u00e0 la limite dans cette \u00e9galit\u00e9, on obtient

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$f(0)=M$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ f\/<\/strong> On a d\u00e9montr\u00e9e aux questions 7.d et 7.e que \"m=M=f(0)\". Or \"{\displaystyle m=\min_{x\in[{0},{1}]}f(x)}\" et \"{\displaystyle M=\max_{x\in[{0},{1}]}f(x)}\". On en d\u00e9duit<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{La fonction $f$ est constante sur $[{0},{1}]$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

8\/ a\/<\/strong> On note \"D_{\rm{cot}}\" l’ensemble de d\u00e9finition de la fonction \"{\rm cot}\". On a pour \"x\in\mathbb{R}\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x\in D_{\rm{cot}} \Leftrightarrow \sin(\pi x) \neq 0 \Leftrightarrow \forall k\in\mathbb{Z},\; \pi x\neq \pi k \Leftrightarrow \forall k\in\mathbb{Z},\; x\neq k\SSI x\in D\]\"<\/p><\/p>\r\n

La fonction \"{\rm cot}\" est donc d\u00e9finie sur \"D\". Elle y est continue comme quotient de fonctions continues dont le d\u00e9nominateur ne s’annule pas.<\/p>\r\n

Pour tout \"x\in D\", \"-x\in D\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[{\rm cot}(-x)=\pi\frac{\cos(-\pi x)}{\sin(-\pi x)}=-\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}=-{\rm cot}(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

La fonction \"{\rm cot}\" est donc impaire.<\/p>\r\n

Pour tout \"x\in D\", \"x+1\in D\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[{\rm cot}(x+1)=\pi\frac{\cos(\pi x+\pi)}{\sin(\pi x+\pi)}=\pi\frac{-\cos(\pi x)}{-\sin(\pi x)}={\rm cot}(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

La fonction \"{\rm cot}\" est donc p\u00e9riodique de p\u00e9riode \"1\".<\/p>\r\n

8\/ b\/<\/strong> \"\cos(\pi x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow}1\" donc \"\cos(\pi x)\mathop{\sim}\limits_0 1\". Comme \"\pi x\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\", alors \"\sin(\pi x)\mathop{\sim}\limits_0 \pi x\".<\/p>\r\n

D’o\u00f9, \"{\rm cot}(x)\mathop{\sim}\limits_0 \frac{\pi}{\pi x}\" puis<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{${\rm cot}(x)\mathop{\sim}\limits_0 \frac{1}{x}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De plus, pour tout \"x\neq 0\", \"{\rm cot}(x)-\frac{1}{x}=\frac{x\pi\cos(\pi)x-\sin(\pi x)}{x\sin(\pi x)}\". On a \"x\sin(\pi x)\mathop{\sim}\limits_0\pi x^2\". De plus, au voisinage de \"0\",
\"\cos(\pi x)=1-\frac{\pi^2x^2}{2}+o(x^2)\" et \"\sin(\pi x)=\pi x-\frac{\pi^3 x^3}{6}+\text{o}(x^3)\". D’o\u00f9,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x\pi\cos(\pi)x-\sin(\pi x)=\pi x-\frac{\pi^3 x^3}{2}-\pi x+\frac{\pi^3 x^3}{6}+\text{o}(x^3)\mathop{\sim}\limits_0-\frac{\pi^3x^3}{3}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Ainsi,

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{${\rm cot}(x)-\frac{1}{x}\mathop{\sim}\limits_0 -\frac{\pi^2 x}3$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

8\/ c\/<\/strong> \"{\rm cot}(x)={\rm cot}(x-1)\mathop{\sim}\limits_0 \frac{1}{x-1}\" car \"x-1\underset{x\to 1}{\longrightarrow} 0\".<\/p>\r\n

On a \u00e9galement, \"{\rm cot}(x)-\frac{1}{x-1}\mathop{\sim}\limits_0 -\frac{\pi^2}{3}(x-1)\".<\/p>\r\n

8\/ d\/<\/strong> Soit \"x\in D\". Si \"x/2\notin D\", alors \"x=2p\" avec \"p\in \mathbb{Z}\" d’o\u00f9 \"x\notin D\" et c’est absurde. De m\u00eame si \"\frac{x+1}{2}\notin D\", alors il existe \"p'\in \mathbb{Z}\" tel que \"x=2p'-1\" et \"x\notin D\", ce qui est absurde. D\u00e8s lors, \"\frac{x}{2}\in D\" et \"\frac{x+1}{2}\in D\". Et, pour tout \"x\in D\"

  <\/span>   <\/span>\"\[{\rm cot}\left(\frac{x}{2}\right)+{\rm cot}\left(\frac{x+1}{2}\right)=\pi\frac{\cos\left(\pi\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\pi\frac{x}{2}\right)}+\pi\frac{\cos\left(\pi\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\pi\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}=\pi\frac{\cos\left(\pi\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\pi\frac{x}{2}\right)}-\pi\frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Ainsi, \"{\rm cot}\left(\frac{x}{2}\right)+{\rm cot}\left(\frac{x+1}{2}\right)=\pi\frac{\cos\left(\pi\frac{x}{2}\right)^2-\sin\left(\pi\frac{x}{2}\right)^2}{\sin\left(\pi\frac{x}{2}\right)\cos\left(\pi\frac{x}{2}\right)}\"
D’o\u00f9, \"{\rm cot}\left(\frac{x}{2}\right)+{\rm cot}\left(\frac{x+1}{2}\right)=2\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}=2{\rm cot}(x)\"<\/p>\r\n

\u00e0 l’aide des formules de duplication.<\/p>\r\n

9\/ a\/<\/strong> Soit \"x\in D\". Soit \"N\geq 2\". On calcule<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}I_N&=&\sum\limits_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-\frac{x}{2}}-\frac{1}{n+\frac{x}{2}}\right)+\sum\limits_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-\frac{x+1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{x+1}{2}}\right)\\[3mm]&=&2\left(\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{1}{2n-x}+\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{1}{2n-1-x}-\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{1}{2n+x}-\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{1}{2n+1+x}\right)\\[3mm]&=&2\left(\sum\limits_{k=3}^{2N}\frac{1}{k-x}-\sum\limits_{k=4}^{2N+1}\frac{1}{k+x}\right)\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

en regroupant les termes d’indices pair et impair dans les sommes. Alors,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[I_N=2\left(\sum\limits_{k=3}^{2N}\frac{1}{k-x}-\sum\limits_{k=3}^{2N}\frac{1}{k+x}\right)+\frac{2}{3+x}-\frac{2}{2N+1+x}\]\"<\/p><\/p>\r\n

En faisant tendre \"N\" vers \"+\infty\" dans cette expression, il vient

  <\/span>   <\/span>\"\[g\left(\frac{x}{2}\right)+g\left(\frac{x+1}{2}\right)=2g(x)+\frac{2}{3+x}-\frac{2}{2-x}+\frac{2}{2+x}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De plus,

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{\frac{x}{2}}-\frac{1}{1-\frac{x}{2}}+\frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\frac{2}{x}-\frac{2}{2-x}+\frac{2}{2+x}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Et, \"\frac{1}{\frac{x+1}{2}}-\frac{1}{1-\frac{x+1}{2}}+\frac{1}{1+\frac{x+1}{2}}=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{1-x}+\frac{2}{3+x}\"<\/p>\r\n

Avec la formule de la question 3.b., on trouve alors<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\varphi\left(\frac{x}{2}\right)+\varphi\left(\frac{x+1}{2}\right)=\frac{2}{x}-\frac{2}{1-x}+\frac{2}{x+1}-2g(x)=2\varphi(x)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

9\/ b\/<\/strong> La fonction \"\varphi-{\rm cot}\" est continue sur \"]{0},{1}[\" et p\u00e9riodique.<\/p>\r\n

Pour \"x\in D\", \"\varphi(x)-{\rm cot}(x)=\varphi(x)-\frac{1}{x}-\left({\rm cot}(x)-\frac{1}{x}\right)\". Or, d’apr\u00e8s la question 8.b, \"{\rm cot}(x)-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\" et \"\varphi(x)-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\" d’apr\u00e8s la question 4.a. On en d\u00e9duit que \"\varphi(x)-{\rm cot}(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\" et on prolonge \"\varphi-{\rm cot}\" par continuit\u00e9 en \"0\" en posant \"(\varphi-{\rm cot})(0)=0\"<\/p>\r\n

Pour \"x\in D\", \"\varphi(x)-{\rm cot}(x)=\varphi(x)-\frac{1}{x-1}-\left({\rm cot}(x)-\frac{1}{x-1}\right)\". Or, d’apr\u00e8s la question 8.b, \"{\rm cot}(x)-\frac{1}{x-1}\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\" et \"\varphi(x)-\frac{1}{x-1}\underset{x\to 1}{\longrightarrow} 0\" d’apr\u00e8s la question 4.a. On en d\u00e9duit que \"\varphi(x)-{\rm cot}(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\" et on prolonge \"\varphi-{\rm cot}\" par continuit\u00e9 en \"1\" en posant \"(\varphi-{\rm cot})(1)=0\". On conclut<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{La fonction $\varphi-{\rm cot}$ se prolonge par continuit\'e sur $[{0},{1}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

9\/ c\/<\/strong> La fonction \"\varphi-{\rm cot}\" est donc continue sur \"[{0},{1}]\". De plus, d’apr\u00e8s les question 8.d et 9.a, \"T(\varphi-{\rm cot})=2(\varphi-{\rm cot})\" donc \"\varphi-{\rm cot}\in\Ker(T-\operatorname{id_E})\". D’apr\u00e8s la question 7.f, la fonction \"\varphi-{\rm cot}\" est alors constante sur \"[{0},{1}]\". Comme elle vaut \"0\" en \"0\", on a pour tout \"x\in]{0},{1}[\", \"\varphi(x)={\rm cot}(x)\". La deux fonctions \u00e9tant p\u00e9riodiques de p\u00e9riode 1, on conclut :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\forall x\in D \: \: \varphi(x)={\rm cot}(x)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

10\/ a\/<\/strong> Pour tout \"x\in D\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1-x{\rm cot}(x)}{2x^2}=\frac{\frac{1}{x}-{\rm cot}(x)}{2x}\mathop{\sim}\limits_0 \frac{\pi^2 x}{6x}\mathop{\sim}\limits_0 \frac{\pi^2}{6}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Ainsi,

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\frac{1-x{\rm cot}(x)}{2x^2}\underset{x\to 0}{\longrightarrow}\frac{\pi^2}{6}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

10\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in]{0},{1}[\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\delta(x)-\frac{x^2}{1-x^2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-x^2}-\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}-1+\frac{1}{1-x^2}-\frac{x^2}{1-x^2}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, \"-1+\frac{1}{1-x^2}-\frac{x^2}{1-x^2}=\frac{-1+x^2+1-x^2}{1-x^2}=0\" d’o\u00f9<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\delta(x)-\frac{x^2}{1-x^2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2-x^2}-\frac{1}{n^2}\right)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{x^2}{n^2(n^2-x^2)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour tout \"x\in ]{0},{1}[\" et pour tout \"n\geq 2\", \"n^2-x^2\geq n^2-1>0\" donc \"0<\frac{x^2}{n^2(n^2-x^2)}\leq \frac{x^2}{n^2(n^2-1)}\". On en d\u00e9duit<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\left|\delta(x)-\frac{x^2}{1-x^2}\right|=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{x^2}{n^2(n^2-x^2)}\leq x^2\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2(n^2-1)}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

10\/ c\/<\/strong> La fonction \"x\mapsto \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-x^2}\" \u00e9tant paire, il suffit de calculer la limite pour \"x\to 0^+\". On utilise l’in\u00e9galit\u00e9 \u00e9tablie \u00e0 la question 10.b.<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x^2\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2(n^2-1)}\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow} 0\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, on a ainsi \"\delta (x)-\frac{x^2}{1-x^2}\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow}0\". Or, pour \"x\in]{0},{1}[\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\delta(x)=\delta(x)-\frac{x^2}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^2}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Et, \"\frac{x^2}{1-x^2}\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow} 0\". D’o\u00f9, par th\u00e9or\u00e8me d’op\u00e9rations, \"\delta(x)\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow} 0\". On en d\u00e9duit<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\lim_{x \longrightarrow 0^+} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-x^2}=\lim_{x \longrightarrow 0} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-x^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$}}\]\"<\/p>\u00a0<\/p>\r\n

10\/ d\/<\/strong> Pour \"x\in D\",

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-x^2}=\frac{1}{2x}\left(\frac{1}{x}-\varphi(x)\right)=\frac{1-x\varphi(x)}{2x^2}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, \"\varphi(x)=\cot(x)\" d’o\u00f9 \"\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-x^2}=\frac{1-x{\rm cot}(x)}{2x^2}\". D’apr\u00e8s la formule \u00e9tablie \u00e0 la question 10.a, on en d\u00e9duit

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x \longrightarrow 0} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-x^2}=\lim_{x \longrightarrow 0} \frac{1-x{\rm cot}(x)}{2x^2}=\frac{\pi^2}{6}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par unicit\u00e9 de la limite<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$}}\]\"<\/p>*<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Partie III : D\u00e9veloppement eul\u00e9rien de la fonction sinus<\/h2>\r\n

11\/<\/strong> Soit \"x\in [{0},{1}[\". \"x^2/n^2 \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\". Alors \"|\alpha_n(x)|\mathop{\sim}\limits_\infty\frac{x^2}{n^2}\". Par comparaison avec le tg positif \"x^2/n^2\" d’une s\u00e9rie convergente, on en d\u00e9duit que la s\u00e9rie \"\sum\limits_{}{}\alpha_n(x)\" est absolument convergente, donc convergente.<\/p>\r\n

12\/ a\/<\/strong> Soit \"N\in\mathbb{N}^*\". Par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}{\displaystyle \int_{0}^{x}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{-2t}{n^2-t^2}\right) dt}&=&\sum\limits_{n=1}^{N}{\displaystyle \int_0^x\frac{-2t}{n^2-t^2}dt}\\&=&\sum\limits_{n=1}^{N}\left[\ln(n^2-t^2)\right]_0^x\\&=&\sum\limits_{n=1}^{N}\ln\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc,

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{${\displaystyle \int_{0}^{x}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{-2t}{n^2-t^2}\right) dt}=\beta_N(x)$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

12\/ b\/<\/strong> La fonction \"t\mapsto \varphi(t)-\frac{1}{t}\" est continue sur \"]{0},{1}[\" d’apr\u00e8s la partie I, d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me d’op\u00e9rations. De plus, d’apr\u00e8s la question I.4.a, la fonction \"t\mapsto \varphi(t)-\frac{1}{t}\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"0\". On en d\u00e9duit que pour \"x\in]{0},{1}[\", l’int\u00e9grale \"{\displaystyle\int_0^x\left(\varphi(t)-\frac{1}{t}\right)dt}\" converge.<\/p>\r\n

12\/ c\/<\/strong> Soit \"x\in]{0},{1}[\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\left|{\displaystyle \int_0^x\left(\varphi(t)-\frac{1}{t}\right)dt}-{\ds \int_0^x\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{-2t}{n^2-t^2}\right)dt}\right|&=&\left|{\ds \int_0^x \sum\limits_{n=N+1}^{\infty}\frac{-2t}{n^2-t^2}dt}\right|\\&\leq& {\ds \int_0^x \sum\limits_{n=N+1}{\infty}\frac{2t}{n^2-t^2}dt}\\\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Or, pour tout \"t\in[{0},{x}]\", \"0\leq t^2\leq x^2\leq 1\" donc pour tout \"n\geq N+1\", \"0<n^2-1\leq n^2-t^2\" d’o\u00f9 \"0<\frac{1}{n^2-t^2}\leq \frac{1}{n^2-1}\". D’o\u00f9,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left|{\displaystyle \int_0^x\left(\varphi(t)-\frac{1}{t}\right)dt}-{\ds \int_0^x\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{-2t}{n^2-t^2}\right)dt}\right| \leq \sum\limits_{n=N+1}{\infty}\frac{{\ds \int_{0}^{x}2t \, dt}}{n^2-1}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, \"0\leq {\ds \int_{0}^{x} 2t\, dt}=x^2\leq 1\". On en d\u00e9duit<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\left|{\displaystyle \int_0^x\left(\varphi(t)-\frac{1}{t}\right)dt}-{\ds \int_0^x\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{-2t}{n^2-t^2}\right)dt}\right| \leq \sum\limits_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

12\/ d\/<\/strong> Soit \"x\in]{0},{1}[\". D’apr\u00e8s les questions pr\u00e9c\u00e9dentes, on en d\u00e9duit pour tout \"N\geq 1\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left|{\ds \int_0^x\left(\varphi(t)-\frac{1}{t}\right)dt}-\beta_N(x)\right|\leq \sum\limits_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}\]\"<\/p><\/p>\r\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\frac{1}{n^2-1}\" \u00e9tant convergente, \"\sum\limits_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}\underset{N\to \infty}{\longrightarrow} 0\". De plus, \"\beta_N(x)\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \beta(x)\". On en d\u00e9duit d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement et l’unicit\u00e9 de la limite<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\beta(x)={\ds \int_0^x\left(\varphi(t)-\frac{1}{t}\right) dt}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

12\/ e\/<\/strong> Soit \"x\in]{0},{1}[\". D’apr\u00e8s la question II.9, on a pour tout \"y\in]{0},{x}[\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}{\ds \int_{y}^x\left(\varphi(t)-\frac{1}{t}\right) dt}&=&{\ds \int_{y}^{x}\pi \frac{\cos(\pi t)}{\sin(\pi t)} dt}-{\ds \int_y^x\frac{1}{t} dt}\\[3mm]&=&\left[\ln(\sin(\pi t))\right]_y^x-[\ln (\pi t)]_y^x\\[3mm]&=&\ln\left(\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\right)-\ln\left(\frac{\sin(\pi y)}{\pi y}\right)\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, \"\frac{\sin(\pi y)}{\pi y}\underset{y\to 0}{\longrightarrow} 1\" d’o\u00f9 \"\ln\left(\frac{\sin(\pi y)}{\pi y}\right)\underset{y\to 0}{\longrightarrow} 0\". En passant \u00e0 la limite dans l’expression pr\u00e9c\u00e9dente, on en d\u00e9duit :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\beta(x)={\ds \int_{0}^{x}\left(\varphi(t)-\frac{1}{t}\right) dt}=\ln\left(\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\right)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

13\/ a\/<\/strong> Soit \"x\in\intfo{0}{1}\". Pour tout \"n\geq 1\" et pour tout \"k\geq 1\", \"1-x^2/k^2>0\" donc \"P_n(x)>0\", d’o\u00f9 \"\ln(P_n(x))=\ln(\pi x)+\sum\limits_{k=1}{n}\ln\left(1-\frac{x^2}{k^2}\right)=\ln(\pi x)+\beta_n(x)\". La suite \"(\beta_n(x))\" convergeant, on en d\u00e9duit par somme que la suite \"(\ln(P_n(x)))\" converge. On en d\u00e9duit que la suite \"(P_n(x))_{n\geq 1}\" est convergente.<\/p>\r\n

13\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in\intof{0}{1}\". La fonction \"\ln\" \u00e9tant continue sur \"]{0},{\infty}[\", en passant \u00e0 la limite dans l’\u00e9galit\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente, il vient

  <\/span>   <\/span>\"\[\ln(P(x))=\ln(\pi x)+\beta(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’o\u00f9,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$P(x)=\pi x\exp(\beta(x))=\sin(\pi x)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

13\/ c\/<\/strong> Soit \"x\in\mathbb{R}\". Il existe \"n_0\in\mathbb{N}\" tel que pour tout \"k\geq n_0\", \"0\leq \frac{x^2}{k^2}<1\" d’o\u00f9 \"1-\frac{x^2}{k^2}>0\". De la m\u00eame mani\u00e8re qu’\u00e0 la question 11\/, on montre que la s\u00e9rie \"\sum\limits_{k\geq n_0}{}\ln\left(1-\frac{x^2}{k^2}\right)\" converge. D\u00e8s lors la suite \"\left({\ds \prod_{k=n_0}^{N}\left(1-\frac{x^2}{k^2}\right)}\right)_{N\geq n_0}\" converge. En la multipliant par un nombre fini de termes, il vient que la suite \"(P_n(x))_{n\geq 1}\" converge.<\/p>\r\n

13\/ d\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\" et \"x\in]{-n},{n}[\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}P_n(x+1)&=&\pi(x+1){\ds \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{(x+1)^2}{k^2}\right)}\\&=&\frac{\pi(x+1)}{\ds \prod_{k=1}^nk^2}\times{\ds \prod_{k=1}^n(k-1-x)\prod_{k=1}^n(k+1+x)}\\&=&\frac{\pi(x+1)}{\ds \prod_{k=1}^nk^2}\times(-x){\ds \prod_{k=1}^{n-1}(k-x)\prod_{k=2}^{n+1}(k+x)}\\&=&\frac{\pi(x+n+1)(-x)}{(n-x)}{\ds \prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{x^2}{k^2}\right)}\\&=&-\frac{(x+n+1)}{(n-x)}P_n(x)\\\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

13\/ e\/<\/strong> Soit \"x\in\mathbb{R}\". D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, pour tout \"n\geq |x|+1\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P_n(x+1)=-\frac{(x+n+1)}{(n-x)}P_n(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\frac{(x+n+1)}{(n-x)}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 1\". En passant \u00e0 la limite dans l’expression pr\u00e9c\u00e9dente, on obtient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$P(x+1)=-P(x)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour tout \"x\in\mathbb{R}\",

  <\/span>   <\/span>\"\[P(x+2)=-P(x+1)=P(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

La fonction \"P\" est alors \"2\"-p\u00e9riodique sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

13\/ f\/<\/strong> Soit \"x\in [{-1},{0}[\", alors \"x+1\in [{0}{1}[\". Donc \"P(x+1)=\sin(\pi(x+1))=-\sin(\pi x)\" d’apr\u00e8s la question 13.b. De plus, d’apr\u00e8s la question 13.f, \"P(x)=-P(x+1)=\sin(\pi x)\". On a donc montr\u00e9 que pour tout \"x\in [{-1},{1}[\", \"P(x)=\sin(\pi x)\". La fonction \"P\" est \"2\"-p\u00e9riodique sur \"\mathbb{R}\" tout comme la fonction \"x\mapsto \sin(\pi x)\". On en d\u00e9duit alors<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $P(x)=\sin(\pi x)$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie IV : Un autre d\u00e9veloppement du sinus<\/h2>\r\n

14\/<\/strong> Soit \"x\in D\cup \{0\}\". Pour tout \"n\geq 1\", \"n^2-x^2\neq 0\" donc \"\nu_n(x)\" existe. De plus, \"|\nu_n(x)|\mathop{\sim}\limits_\infty\frac{|x|}{n^2}\". Par comparaison avec le multiple d’une s\u00e9rie de Riemann convergente, la s\u00e9rie de tg \"\nu_n(x)\" est absolument convergente, donc convergente.<\/p>\r\n

15\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\". Soit \"x\in D\cup\{0\}\".
Les fonctions \"t\mapsto \cos (xt)\" et \"t\mapsto \frac{\sin(nt)}{n}\" sont de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"[{0},{\pi}]\". Par int\u00e9gration par parties, il vient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lambda_n(x)=\left[\cos(xt)\frac{\sin(nt)}{n}\right]_0^{\pi}+{\ds \int_{0}^{\pi}\frac{x}{n}\sin(xt)\sin(nt) dt}=\frac{x}{n}{\ds \int_{0}^{\pi}\sin(xt)\sin(nt) dt}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Les fonctions \"t\mapsto \sin (xt)\" et \"t\mapsto -\frac{\cos(nt)}{n}\" sont de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"[{0},{\pi}]\". Par int\u00e9gration par parties, il vient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lambda_n(x)=\frac{x}{n}\left[-\sin(xt)\frac{\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi}+\frac{x}{n}{\ds \int_0^{\pi}\frac{x}{n}\cos(xt)\cos(nt) dt}=-\sin(\pi x)(-1)^n\frac{x}{n^2}+\frac{x^2}{n^2}\lm_n(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

D\u00e8s lors,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\lambda_n(x)=\frac{\sin(\pi )(-1)^{n-1}x}{n^2-x^2}=\sin(\pi x)\nu_n(x)$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

En utilisant la formule indiqu\u00e9e dans l’\u00e9nonc\u00e9, on pouvait proc\u00e9der autrement.<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}\lambda_n(x)&=&\frac{1}{2}{\ds \int_0^{\pi}\cos((x+n)t) dt}+\frac{1}{2}{\ds \int_0^{\pi}\cos((x-n)t) dt}\\[3mm]&=&\frac{1}{2}\left[\frac{\sin((x+n)t)}{x+n}\right]_0^{\pi}+\frac{1}{2}\left[\frac{\sin((x-n)t)}{x-n}\right]_0^{\pi}\\[3mm]&=&(-1)^n\frac{\sin(x\pi)}{2(x+n)}+(-1)^n\frac{\sin(x\pi)}{2(x-n)}\\[3mm]&=&(-1)^n\frac{\sin(\pi x)}{2(x^2-n^2)}(x-n+x+n)\\[3mm]&=&\frac{(-1)^{n-1}x\sin(\pi x)}{n^2-x^2}\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

16\/<\/strong> Soit \"t\in\mathbb{R}\" et \"n\in\mathbb{N}^*\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> \"C_n(t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}{n}e^{ikt}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}{n}e^{-ikt}\". Pour \"t\neq 2p\pi\" avec \"p\in \mathbb{Z}\", \"e^{it}\neq 1\" et \"e^{-it}\neq 1\", d’o\u00f9<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}C_n(t)&=&\frac{1}{2}e^{it}\frac{e^{nit}-1}{e^{it}-1}+\frac{1}{2}e^{-it}\frac{e^{-nit}-1}{e^{-it}-1}\\[4mm]&=&\frac{1}{2}e^{i(n+1)t/2}\frac{\sin(nt/2)}{\sin(t/2)}+\frac{1}{2}e^{-i(n+1)t/2}\frac{\sin(nt/2)}{\sin(t/2)}\\<\/p><\/p>\r\n

De plus,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}\sin((2n+1)t/2)-\sin(t/2)&=&\sin((n+1)t/2)\cos(nt/2)+\cos((n+1)t/2)\sin(nt/2)\\&-&\sin((n+1)t/2)\cos(nt/2)+\sin(nt/2)\cos((n+1)t/2)\\&=&2\cos((n+1)t/2)\sin(nt/2)\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$C_n(t)=\frac{1}{2}\frac{\sin((2n+1)t/2))}{\sin(t/2)}-\frac{1}{2}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

16\/ b\/<\/strong> Si \"t=2p\pi\" avec \"p\in Z\", pour tout \"k\in\mathbb{N}^*\", \"\cos(kt)=1\" donc \"C_n(t)=n\".<\/p>\r\n

16\/ c\/<\/strong> Par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[I_n=\sum\limits_{k=1}{n}{\ds \int_0^{\pi}\cos(kt) dt}=\sum\limits_{k=1}{n}\left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^{\pi}=0\]\"<\/p><\/p>\r\n

17\/<\/strong> Les fonctions \"F\" et \"t\mapsto -\frac{\cos((2n+1)t/2)}{(2n+1)/2}\" \u00e9tant de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"[{0},{\pi}]\", en int\u00e9grant par parties, on obtient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[{\ds \int_0^{\pi}F(t)\sin\left((2n+1)t/2\right) dt}=-\left[F(t)\frac{\cos((2n+1)t/2)}{(2n+1)/2}\right]_0^{\pi}+\frac{1}{n+1/2}{\ds \int_0^{\pi}F'(t)\cos((2n+1)t/2) dt}\]\"<\/p><\/p>\r\n

La fonction \"F\" \u00e9tant de classe \"\mathcal{C}^1\", elle est born\u00e9e sur \"[{0},{\pi}]\" par un r\u00e9el \"M>0\" de m\u00eame que sa d\u00e9riv\u00e9e \"F'\" par \"M'>0\" et que la fonction \"t\mapsto \cos((2n+1)t/2)\" qui est born\u00e9e par \"1\". On a donc<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left|{\ds \int_0^{\pi}F(t)\sin\left((2n+1)t/2\right) dt}\right|\leq \frac{2M+\pi M'}{n+\frac{1}{2}}\]\"<\/p>
Or, \"\frac{2M+\pi M'}{n+\frac{1}{2}}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\". D’o\u00f9, d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{${\ds \int_0^{\pi}F(t)\sin\left((2n+1)t/2\right) dt}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

18\/<\/strong> a\/<\/strong> La fonction \"\Phi_x\" est de classe \"C^1\" sur \"\intof{0}{\pi}\" comme quotient de deux fonctions de classe \"C^1\" dont le d\u00e9nominateur ne s’annule pas.<\/p>\r\n

Au voisinage de \"0^+\", comme \"xt \underset{t\to 0}{\longrightarrow} 0\" et \"t/2\underset{t\to 0}{\longrightarrow} 0\", on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi_x(t)\mathop{\sim}\limits_{t \to 0^+} \frac{\frac{-x^2t^2}{2}}{\frac{t}{2}}\mathop{\sim}\limits_{t \to 0^+} -x^2t \underset{t\to 0}{\longrightarrow} 0\]\"<\/p><\/p>\r\n

On en d\u00e9duit au voisinage de \"0^+\" \"\Phi_x(t)=-x^2t+o(t)\". Or, \"\Phi_x(0)=0\", on en d\u00e9duit que \"\Phi_x\" est continue en \"0\" et d\u00e9rivable en \"0\" avec \"\Phi_x'(0)=-x^2\".<\/p>\r\n

Or, pour tout \"t\in [{0},{\pi}[\",

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi_x'(t)=\frac{-x\sin(t/2)\sin(xt)-1/2\cos(t/2)(\cos(xt)-1)}{\sin^2(t/2)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On d\u00e9termine un \u00e9quivalent de cette expression en consid\u00e9rant des d\u00e9veloppements limit\u00e9s d’ordre 2 du num\u00e9rateur et du d\u00e9nominateur. On obtient au voisinage de \"0^+\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[-x\sin(t/2)\sin(xt)-1/2\cos(t/2)(\cos(xt)-1)=-\frac{x^2t}{2}+\frac{x^2t^2}{4}+o(t^2)=-\frac{x^2t^2}{4}+o(t^2)\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’o\u00f9, \"\Phi_x'(t)\Sim_{t\to 0}\frac{-\frac{x^2t^2}{4}}{\frac{t^2}{4}}\Sim_{t\to 0}-x^2\underset{t\to 0}{\longrightarrow}-x^2=\Phi_x'(0)\". La fonction \"\Phi_x'\" est donc continue en \"0\" et on en d\u00e9duit que<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{La fonction $\Phi_x'$ est de classe $C^1$ sur $[{0},{\pi}]$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\u00a0<\/div>\r\n

18\/ b\/<\/strong> Soit \"t\in\intof{0}{\pi}\". D’apr\u00e8s la question 16.a, on a directement<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}C_n(t)(\cos(xt)-1)&=&-\frac{1}{2}(\cos(xt)-1)+\frac{1}{2}\Phi_x(t)\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De plus, d’apr\u00e8s la question 16.b, \"C_n(0)=n\" donc \"C_n(0)(\cos(x\times 0)-1)=0\". De plus,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[-\frac{1}{2}(\cos(x\times 0)-1)+\frac{1}{2}\Phi_x(0)\sin\left((2n+1)\frac{0}{2}\right)=0\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a donc le r\u00e9sultat voulu aussi pour \"t=0\".<\/p>\r\n

18\/ c\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\" et soit \"x\in D\". Par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{k=1}{n}\lm_k(x)={\ds \int_0^{\pi}\cos(xt)C_n(t) dt}\]\"<\/p><\/p>\r\n

En utilisant la quantit\u00e9 \"I_n\", on a encore avec la question 18.b<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\sum\limits_{k=1}{n}\lm_k(x)&=&{\ds \int_0^{\pi}C_n(t)(\cos(xt)-1) dt}+I_n\\&=&-\frac{1}{2}{\ds \int_0^{\pi}(\cos(xt)-1) dt}+\frac{1}{2}{\ds \int_0^{\pi}\Phi_x(t)\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)dt}+I_n\\&=&-\frac{\sin(\pi x)}{2x}+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}{\ds \int_0^{\pi}\Phi_x(t)\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)dt}+I_n\\\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

19\/ a\/<\/strong> Soit \"x\in D\". Partons de l’expression \u00e9tablie \u00e0 la question 18.c. Pour tout \"n\in\mathbb{N}^*\", \"I_n=0\". De plus, la fonction \"\Phi_x\" \u00e9tant de classe \"C^1\" sur \"[{0},{\pi}]\", on en d\u00e9duit d’apr\u00e8s la question 17 que<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[{\ds \int_0^{\pi}\Phi_x(t)\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)dt}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\]\"<\/p><\/p>\r\n

De plus, d’apr\u00e8s la question 15, pour tout \"n\in\mathbb{N}^*\",<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{k=1}^{n}\lm_k(x)=\sin(\pi x)\sum\limits_{k=1}{n}\nu_k(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, \"\sum\limits_{k=1}{n}\nu_k(x) \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \psi(x)\". D\u00e8s lors en passant \u00e0 la limite dans l’expression \u00e9tablie \u00e0 la question 18.c, on obtient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\psi(x)\sin(\pi x)=-\frac{\sin(\pi x)}{2x}+\frac{\pi}{2}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

19\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in D\". On a donc \"\sin(\pi x)\neq 0\". En divisant l’expression de la question pr\u00e9c\u00e9dente par \"\frac{\sin(\pi x)}{2}\", on obtient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[2\psi(x)=-\frac{1}{x}+\frac{\pi}{\sin(\pi x)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’o\u00f9,

  <\/span>   <\/span>\"\[\fbox{\text{$\frac{\pi}{\sin(\pi x)}=\frac{1}{x}+2x\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2-x^2}$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

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\u00a0 Corrig\u00e9 du sujet ESSEC Maths ECS 2016 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Partie I :\u00a0 1\/ Soit . Pour tout , et on a     La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral est une s\u00e9rie de Riemann convergente. Donc la s\u00e9rie de tg est convergente. 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