{"id":34723,"date":"2019-08-24T14:08:09","date_gmt":"2019-08-24T13:08:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34723"},"modified":"2023-09-14T12:42:36","modified_gmt":"2023-09-14T11:42:36","slug":"cours-en-ligne-recurrence-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-recurrence-maths-sup\/","title":{"rendered":"Raisonnement et r\u00e9currence – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Raisonnement et r\u00e9currence en maths sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Ce r\u00e9sum\u00e9 de cours et de m\u00e9thodes sur les r\u00e9currences et raisonnements de d\u00e9but d’ann\u00e9e vous servira tout au long de vos ann\u00e9es de CPGE. Il est primordial de maitriser ces raisonnements et de les comprendre en profondeur. Faites appel \u00e0 un enseignant \u00e0 domicile en maths<\/a> si vous en ressentez le besoin.<\/p>\n

1. Assertions et op\u00e9rations en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI<\/h2>\n

Une\u00a0assertion\u00a0<\/i>ou proposition math\u00e9matique est une phrase qui est soit vraie soit fausse.<\/p>\n

Par exemple, l’assertion<\/p>\n

\u00a0\u00bb la fonction \"x \mapsto x^2\" est croissante sur \"\mathbb{R}\" \u00a0\u00bb est fausse ; mais l’assertion \u00a0\u00bb pour tout r\u00e9el \"x, \vert x \vert \geq 0\" \u00a0\u00bb est vraie.<\/p>\n

1.1 Quantificateurs math\u00e9matiques en maths sup<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Notations :<\/p>\n

\"\quad \forall\" :\u00a0 quelque soit, pour tout<\/p>\n

\"\quad \exists\" : il existe (au moins un)<\/p>\n

\"\quad \exists\, !\" :\u00a0 il existe un unique.<\/p>\n

Ces quantificateurs sont des symboles math\u00e9matiques, donc\u00a0\u00e0 n’utiliser que dans le langage math\u00e9matique<\/b> :\u00a0ils ne doivent pas s’utiliser comme des abr\u00e9viations dans des phrases en fran\u00e7ais.<\/p>\n

Par exemple<\/i>\u00a0: soit vous \u00e9crivez en toutes lettres \u00a0\u00bb pour tout r\u00e9el \"x\", \"\vert x\vert \" est positif \u00a0\u00bb ; soit vous \u00e9crivez en langage math\u00e9matique \u00a0\u00bb \"\forall\, x \in \mathbb{R} , \, \vert x \vert \geq 0\" \u00ab\u00a0.<\/p>\n

\"\bullet\" Il est possible d’utiliser successivement plusieurs quantificateurs, \u00e0 condition qu’ils concernent des variables<\/a> diff\u00e9rentes. Dans ce cas, il est important de choisir l’ordre dans lequel vous introduisez vos variables.<\/p>\n

Comparez<\/p>\n

\"(1) \quad : \forall \, x \in \mathbb{R}, \, \exists\, n \in \mathbb{Z}, n \geq x\"<\/p>\n

\"(2) \quad : \exists \, n \in \mathbb{Z}, \, \forall\, x \in \mathbb{R} , \, n \leq x\"<\/p>\n

(1) est vraie et (2) est fausse.<\/p>\n

Dans (1), \"n\" est choisi apr\u00e8s \"x\" donc il d\u00e9pend de l’\u00e9l\u00e9ment quelconque \"x\" que l’on se donne.<\/p>\n

En revanche dans (2), \"n\" est choisi avant les r\u00e9els<\/a> \"x\" donc doit \u00eatre le m\u00eame pour tous les \"x\". Un tel entier n’existe pas.<\/p>\n

Les quantificateurs doivent se trouver avant la propri\u00e9t\u00e9 et non apr\u00e8s !<\/p>\n

On peut intervertir deux \u00a0\u00bb \"\forall\" \u00a0\u00bb ou deux \u00a0\u00bb \"\exists\" \u00a0\u00bb cons\u00e9cutifs<\/p>\n

c’est \u00e0 dire si \"P(x , y)\" est une propri\u00e9t\u00e9 d\u00e9finie pour \"x \in E\" et \"y \in F\",<\/p>\n

\"\quad \ast\" \"\forall\, x \in E,\, \forall \, y \in F, \, P(x \, , \, y)\"<\/p>\n

peut s’\u00e9crire<\/p>\n

\"\quad \quad \forall\, y \in F,\, \forall \, x \in E, \, P(x \, , \, y)\"<\/p>\n

\"\quad \ast\" \"\exists \, x \in E,\, \exists \, y \in F, \, P(x \, , \, y)\"<\/p>\n

peut s’\u00e9crire<\/p>\n

\"\quad \quad \exists \, y \in F,\, \exists \, x \in E, \, P(x \, , \, y)\".<\/p>\n

Pour pouvoir intervertir un \u00a0\u00bb \"\forall\" \u00a0\u00bb et un \u00ab\u00a0\"\exists\" \u00a0\u00bb un raisonnement pr\u00e9cis est indispensable et en g\u00e9n\u00e9ral non \u00e9vident !<\/p>\n

1.2 Op\u00e9rations et, ou, non sur les assertions.\u00a0<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"P\" et \"Q\" sont deux assertions, on peut d\u00e9finir les assertions<\/p>\n

\"\quad \ast\" \"P \textrm{ et } Q\" qui est vraie lorsque les deux sont vraies et fausse sinon.<\/p>\n

\"\quad \ast\" \"P \textrm{ ou } Q\" qui est vraie d\u00e8s que l’une au moins est vraie (les deux peuvent \u00eatre vraies : on dit que le \u00ab\u00a0ou\u00a0\u00bb est inclusif). Elle est donc fausse si les deux sont fausses.<\/p>\n

\"\bullet\" L’assertion\u00a0 non \"P\" est vraie si \"P\" est fausse, et fausse si \"P\" est vraie.<\/p>\n

exemple<\/i>\u00a0: si l’assertion \"P\" est \"x < 2\", l’assertion non \"P\" est \"x \geq 2\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"P(x)\" est une assertion d\u00e9pendant de \"x \in E\"<\/p>\n

… la n\u00e9gation de \"\forall \, x \in E, \, P(x)\"<\/p>\n

est \"\exists \, x\, \in E, \, \textrm{non } P(x)\".<\/p>\n

… la n\u00e9gation de \"\exists \, x \in E, \, P(x)\"<\/p>\n

est \"\forall \, x\, \in E, \, \textrm{non } P(x)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"P\" et \"Q\" sont deux assertions,<\/p>\n

… \"\textrm{non }(P \textrm{ ou } Q)\" est<\/p>\n

\"\quad \quad \quad (\textrm{non }P) \textrm{ et } (\textrm{non } Q )\"<\/p>\n

… \"\textrm{non }(P \textrm{ et } Q)\" est \"\quad \quad \quad (\textrm{non } P) \textrm{ ou } (\textrm{non } Q)\".<\/p>\n

aux d\u00e9placements de parenth\u00e8ses<\/p>\n

(\"\forall \, x \in E, \, P(x) \textrm{ ou } Q(x)\")<\/p>\n

n’est pas \u00e9quivalent \u00e0<\/p>\n

\"(\forall \, x \in E, \, P(x) )\" ou \"(\forall\, x \in E, \, Q(x))\".<\/p>\n

Par exemple<\/i><\/p>\n

L’assertion<\/p>\n

\"\quad\" (\"\forall\, n \in \mathbb{N},\, n\" est pair ou impair) est vraie\u00a0 alors que l’assertion<\/p>\n

\"\quad \quad\"(\"\forall\, n \in \mathbb{N},\, n\" est pair)<\/p>\n

\"\quad \quad\" ou \"(\forall\, n \in \mathbb{N},\, n\" est impair) est fausse.<\/p>\n

1.3. Connecteurs logiques
\n<\/b><\/p>\n

Soient \"P\" et \"Q\" deux assertions.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Implication<\/b> \"P \Rightarrow Q\"<\/p>\n

C’est l’assertion (\"\textrm{non } P\" ou \"Q\").<\/p>\n

Elle signifie que \u00ab\u00a0si \"P\" est vraie, alors \"Q\" est vraie\u00a0\u00bb.<\/p>\n

On peut lire \"P \Rightarrow Q\" par<\/p>\n

\"\ast\" pour que \"Q\" soit vraie, il suffit que \"P\" soit vraie.<\/p>\n

\"P\" est une\u00a0condition suffisante<\/i> pour que \"Q\" soit vraie.<\/p>\n

\"\ast\" il est n\u00e9cessaire que \"Q\" soit vraie pour que \"P\" soit vraie.<\/p>\n

\"Q\" est une\u00a0condition n\u00e9cessaire<\/i> pour que \"P\" soit vraie.<\/p>\n

\"\ast\" et plus rapidement, \u00a0\u00bb si \"P\", alors \"Q\" \u00ab\u00a0.<\/p>\n

dire que l’implication \"P \Rightarrow Q\" est vraie n’implique pas que \"Q\" soit vraie, mais si \"P\" est vraie et \"P \Rightarrow Q\" est vraie alors \"Q\" est vraie.<\/p>\n

Pour prouver que \"Q\" est vraie, il suffit de prouver que les assertions \"P\" et \"(P \Rightarrow Q)\" sont vraies.<\/p>\n

\"\bullet\" On dit que les assertions \"P\" et \"Q\" sont\u00a0\u00e9quivalentes<\/b> (et on \u00e9crit \"P \Leftrightarrow Q\") ssi les assertions \"P \Rightarrow Q\" et \"Q \Rightarrow P\" sont vraies.<\/p>\n

Dans ce cas, les assertions \"P\" et \"Q\" sont vraies en m\u00eame temps et fausses en m\u00eame temps.<\/p>\n

On dit alors que \"Q\" est une\u00a0condition n\u00e9cessaire et suffisante\u00a0<\/i>de \"P\".<\/p>\n

\"\bullet\" La\u00a0contrapos\u00e9e<\/b> de l’implication \"P \Rightarrow Q\" est l’implication \"\quad \quad \quad \textrm{non } Q \Rightarrow \textrm{non } P\".<\/p>\n

L’implication \"P \Rightarrow Q\" et sa contrapos\u00e9e \"\textrm{non } Q \Rightarrow \textrm{non } P\" sont \u00e9quivalentes.<\/p>\n

\"\bullet\" La\u00a0n\u00e9gation<\/b>\u00a0de l’implication\u00a0<\/b>\"P \Rightarrow Q\" est l’assertion (\"P \textrm{ et } \textrm{non } Q\").<\/p>\n

Par exemple, si \"n \in \mathbb{N}\",\u00a0 la n\u00e9gation de \"\quad \quad n \geq N \Rightarrow \vert u_n - L \vert \leq \varepsilon\"<\/p>\n

est\u00a0\"\; \exists\, n \geq N\" et \"\vert u_n - L \vert >\varepsilon\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Raisonnement par r\u00e9currence en maths sup<\/b><\/h2>\n

Soit \u00e0 d\u00e9montrer : \"\forall \, n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq n_0\" \"P(n)\" o\u00f9 \"P(n)\" est une propri\u00e9t\u00e9 d\u00e9pendant de l’entier naturel \"n\".<\/p>\n

2.1. R\u00e9currence simple<\/b><\/p>\n

On introduit<\/p>\n

si \"n \geq n _ 0\" , \"H_n :\" l’\u00e9nonc\u00e9 de la propri\u00e9t\u00e9 \u00e0 d\u00e9montrer.<\/p>\n

La d\u00e9monstration par r\u00e9currence consiste \u00e0 :<\/p>\n

1. v\u00e9rifier que la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour la valeur \"n_0\,\". C’est l’initialisation<\/i> de la r\u00e9currence.<\/p>\n

2. puis \u00e0 v\u00e9rifier que si la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour un certain entier \"n \geq n_0\" fix\u00e9 quelconque, alors la propri\u00e9t\u00e9 est vraie au rang suivant \"n + 1\".<\/p>\n

La\u00a0propri\u00e9t\u00e9<\/i>\u00a0est dite\u00a0h\u00e9r\u00e9ditaire<\/i>.<\/p>\n

Alors, on peut conclure que pour tout \"n \geq n_0\,\", la propri\u00e9t\u00e9 \"H_n\" est vraie.<\/p>\n

Exemple <\/i><\/strong><\/p>\n

On d\u00e9montre, par r\u00e9currence sur \"n \in \mathbb{N }^*\", la propri\u00e9t\u00e9 \"H_n\" : \"n < 2 ^n\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"1 < 2\", donc \"H_1\" est vraie.<\/p>\n

On suppose \"H_n\" vraie o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}^*\" est donn\u00e9.<\/p>\n

\"n + 1 \leq 2 \ n < 2 \,.\, 2 ^n\", ce qui prouve la propri\u00e9t\u00e9 au rang \"n + 1\".<\/p>\n

Le r\u00e9sultat est \u00e9tabli par r\u00e9currence.<\/p>\n<\/div>\n

2.2. La r\u00e9currence double\u00a0<\/b><\/p>\n

Elle est introduite sous la forme :<\/p>\n

Si \"n \geq n _ 0\", \"H_n : \left \{ \begin{matrix} P(n) \\ P(n + 1) \end{matrix} \right.\" .<\/p>\n

La d\u00e9monstration par r\u00e9currence double (ou d’ordre 2) consiste \u00e0 :<\/p>\n

1. v\u00e9rifier que la propri\u00e9t\u00e9 \"P\" est vraie pour les deux premiers rangs \"n_0\" et \"n_0 + 1\"<\/p>\n

2. puis v\u00e9rifier que si \"n \geq n_0\" est un entier quelconque tel que la propri\u00e9t\u00e9 \"H_n\" est vraie, alors la propri\u00e9t\u00e9 \"P(n + 2)\" est vraie.<\/p>\n

Ce qui prouve que \"H_{n + 1}\" est vraie.<\/p>\n

Alors la propri\u00e9t\u00e9 \"H_n\" est vraie pour tout \"n \geq n_0\" donc \"P(n)\" est vraie.<\/p>\n

Exemple<\/i> <\/strong><\/p>\n

Si \"u_0 = u_1 = 1\" et \"\forall\, n \in \mathbb{N}\",\"u_{n + 2} = 5 \, u_{n + 1} - 6 \, u_{n} +2\, n - 1\",<\/p>\n

montrer que\u00a0 \"\quad \forall\, n\in \mathbb{N},\, u_n = 2 ^n - 3 ^n + n + 1\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

On note si \"n \in \mathbb{N}\" , \"H_n : \left \{ \begin{matrix}u_n = 2 ^n - 3 ^n + n + 1 \\ u_{n + 1} = 2 ^{n + 1} - 3 ^{ n + 1} + n + 2 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\ast\" Pour \"n = 0\", \"2 ^n - 3 ^n + n + 1= 1 - 1 + 1 = u_0\"<\/p>\n

et \"2 ^{n + 1} - 3 ^{ n + 1} + n + 2 = 2 - 3 + 2 = u_1\"<\/p>\n

donc \"H_0\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est vraie.<\/p>\n

\"u_{n + 2} = 5 \, u_{n + 1} - 6 \, u_{n} +2\, n - 1\"<\/p>\n

\"u_{n + 2} = 5 . 2 ^{n + 1} - 5 . 3 ^{ n + 1} +5 \, n + 10\" \"\quad \quad \quad - \, 6 . 2 ^{n} + 6 . 3 ^{ n } - 6 \, n - 6 + 2\, n - 1\"<\/p>\n

\"\; \; = (10 - 6) . 2 ^{n} - (15 - 6) . 3 ^{ n } + n + 3\"<\/p>\n

\"u_{n + 2} = 2 ^2 . 2 ^{n} - 3 ^2 . 3 ^{ n } + n + 3\".<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est vraie au rang \"n + 2\" donc \"H_{n + 1}\" est vraie et la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout \"n \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

\n
\n

2.3. La r\u00e9currence forte<\/b><\/p>\n

Elle est introduite sous la forme :<\/p>\n

si \"n \geq n _ 0\" , \"H_n : \forall \, k \in [\![n_0\, , \, n]\!], \, P(k)\"<\/p>\n

La d\u00e9monstration par r\u00e9currence forte consiste \u00e0 :<\/p>\n

1. v\u00e9rifier que la propri\u00e9t\u00e9 \"H_{n _0}\" soit \"P(n_0)\" est vraie<\/p>\n

2. puis \u00e0 v\u00e9rifier que si \"n \geq n_0\" est un entier quelconque tel que \"H_n\" est vraie, alors \"P(n + 1)\" est elle est vraie.<\/p>\n

c’est \u00e0 dire que si \"P(n_0)\, , P(n_0 + 1)\, , \, \cdots \,, P(n - 1) \, ,\, P(n)\" sont vraies, \"P(n + 1)\" l’est aussi.<\/p>\n

Alors la propri\u00e9t\u00e9 \"H_n\" donc \"P(n)\" est vraie pour tout \"n \geq n_0\,\" .<\/p>\n

Comment choisir ?<\/p>\n

\"\ast\" La relation au rang \"n + 1\" ne d\u00e9pend que du rang \"n\", choisir une r\u00e9currence simple<\/p>\n

\"\ast\" La relation au rang \"n + 1\" d\u00e9pend que du rang \"n\" et \"n - 1\", choisir une r\u00e9currence double<\/p>\n

\"\ast\" La connaissance des r\u00e9sultats \u00e0 tous les rangs pr\u00e9c\u00e9dents est indispensable pour \u00e9tudier le rang \"n + 1\", utiliser une r\u00e9currence forte.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: \u00a0<\/i><\/p>\n

D\u00e9montrer que tout entier \"n \in \mathbb{N}^*\" peut s’\u00e9crire de fa\u00e7on unique sous la forme \"n=2 ^p (2\, q+1)\" o\u00f9 \"(p,q)\in \mathbb{N}^2\".<\/p>\n

R\u00e9ponse <\/b>:<\/p>\n

\"\bullet\" On va prouver l’existence\u00a0<\/b>par r\u00e9currence forte.<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on note \"H_n\" : si \"1 \leq k \leq n\", \"k\" s’\u00e9crit sous la forme \"2 ^p (2\, q+1)\" o\u00f9 \"(p\, ,\, q)\in \mathbb{N}^2\".<\/p>\n

Le r\u00e9sultat est en effet vrai pour \"n=1\" avec \"p = q = 0\".<\/p>\n

On suppose maintenant que \"n\" est un entier non nul tel que \"H_n\" soit vraie.<\/p>\n

On d\u00e9montre que la propri\u00e9t\u00e9 est encore vraie pour \"n + 1\".<\/p>\n

On distingue alors deux cas :<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n + 1\" est pair, on \u00e9crit \"n + 1 = 2\, N\" avec \"1 \leq N < n\".<\/p>\n

On peut lui appliquer l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence, et donc \"N\" s’\u00e9crit \"\quad \quad N =2^a(2\, b+1)\", avec \"(a,\,b)\in \mathbb{N}^2\".<\/p>\n

Mais alors \"n = 2 ^{a + 1} (2 \, b + 1)\" et donc l’existence est d\u00e9montr\u00e9e avec \"p=a+1\" et \"q=b\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n + 1\" est impair, on \u00e9crit \"\quad n + 1 = 2\, q + 1 = 2 ^0(2 \, q + 1)\"<\/p>\n

et la proposition est d\u00e9montr\u00e9e avec \"p=0\" et \"q\".<\/p>\n

Ainsi, l’existence de la d\u00e9composition est \u00e9tablie pour tout entier \"n\in \mathbb{N}^*\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

3. Autres types de raisonnements en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI<\/b><\/h2>\n

3.1. Raisonnement par \u00e9quivalence
\n<\/b><\/p>\n

Il remplace la d\u00e9monstration des deux implications successives \"P \Rightarrow Q\" et \"Q \Rightarrow P\".<\/p>\n

Il est indispensable dans les situations suivantes :<\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9solution d’une \u00e9quation<\/a> \"P(x) = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9solution d’une in\u00e9quation<\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9solution d’un syst\u00e8me<\/a> d’\u00e9quations ou d’in\u00e9quations<\/p>\n

\"\bullet\" Recherche du domaine de d\u00e9finition \"\mathcal{D}\" d’une fonction \"f\".<\/p>\n

\u00e0 ne pas vous limiter \u00e0 un raisonne- ment du type \u00a0\u00bb si \"f(x)\" est d\u00e9fini, alors \"x \in \mathcal{S}\" \u00a0\u00bb ce qui ne donne qu’une inclusion \"\mathcal{S} \subset \mathcal{D}\".<\/p>\n

Dans chacun des cas, il est pr\u00e9f\u00e9rable de raisonner par \u00e9quivalen- ce, en les mettant bien en \u00e9vidence.<\/p>\n

Si ce n’est pas possible, ayant obtenu des conditions n\u00e9cessaires du type \"x \in \mathcal{S}\", il faut penser \u00e0 \u00e9tablir la r\u00e9ciproque, soit \u00e0 voir si tout \u00e9l\u00e9ment de \"\mathcal{S}\" est bien solution du probl\u00e8me initial.<\/p>\n

Conseils<\/p>\n

\"\ast\" Il faut faire attention aux diff\u00e9rentes \u00e9tapes du raisonnement et bien v\u00e9rifier que l’on a conserv\u00e9 l’\u00e9quivalence (attention en particulier au passage au carr\u00e9).<\/p>\n

\"\ast\" Si l’une des assertions contient un \u00a0\u00bb il existe \u00a0\u00bb , il est fortement conseill\u00e9 de raisonner par double implication.<\/p>\n

Pour prouver l’\u00e9quivalence de \"n\geq 3\" propri\u00e9t\u00e9s not\u00e9es \"P_1\,, \, P_2 \, , \cdots \,, \, P_n\,\", on se limite<\/a> \u00e0 faire une d\u00e9monstration \u00ab\u00a0en boucle\u00a0\u00bb :<\/p>\n

\"\quad \quad P_1 \, \Rightarrow P_2 \, \Rightarrow \, \cdots \, \Rightarrow P_n \, \Rightarrow \, P_1 \,\".<\/p>\n

Faites confiance \u00e0 l’\u00e9nonc\u00e9, les assertions devraient avoir \u00e9t\u00e9 rang\u00e9es dans l’ordre le plus simple de justification.<\/p>\n

N’en modifiez pas l’ordre !<\/p>\n

3.2. Le raisonnement par contrapos\u00e9e<\/b><\/p>\n

Pour d\u00e9montrer l’implication \"P \Rightarrow Q\", il est \u00e9quivalent de prouver la contrapos\u00e9e \"\textrm{non } Q \Rightarrow \textrm{non } P\".<\/p>\n

Exemple <\/i><\/strong><\/p>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}, n ^2 \textrm{ pair } \Rightarrow n \textrm{ pair}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

On d\u00e9montre la contrapos\u00e9e \u00e0 savoir si \"n \in \mathbb{N}\", \"n\" impair\u00a0 \"\Rightarrow n^2\" impair.<\/p>\n

Si \"n\" est impair, il existe \"p \in \mathbb{N}\" tel que \"n = 2 \, p + 1\", donc \"n ^2 = 4 \, p ^2 + 4 \, p + 1\" est impair.<\/p>\n

3.3. Le raisonnement par l’absurde <\/b><\/p>\n

On raisonne par l’absurde dans les deux situations suivantes :<\/p>\n

\"\bullet\" : Pour d\u00e9montrer que la propri\u00e9t\u00e9 \"Q\" est vraie, on peut supposer que non \"Q\" est vraie et aboutir \u00e0 une contradiction.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que l’implication \"P \Rightarrow Q\" est vraie, on peut supposer que \"P\" et non(\"Q\") sont vraies en m\u00eame temps et aboutir \u00e0 une contradiction<\/p>\n

exemple 1\u00a0<\/i>
\n\"\sqrt{2}\" est irrationnel.<\/p>\n

D\u00e9monstration :<\/p>\n

On raisonne par l’absurde en supposant que \"\sqrt{2}\" est rationnel.<\/p>\n

On \u00e9crit \"\sqrt{2} = \displaystyle \frac {u} {v}\" o\u00f9 \"(u , v) \in (\mathbb{N}^*)^2\".<\/p>\n

Puis, en utilisant l’exercice de 2.3.,\u00a0 on \u00e9crit \"u = 2 ^p (2 \, q + 1)\" et \"v = 2 ^z (2 \, s + 1)\" o\u00f9 \"p,\, q , \, z , \, s \in \mathbb{Z}\".<\/p>\n

En simplifiant par \"2 ^p\" si \"p \geq z\" et \"2 ^z\" si \"z < p\", on peut se ramener au cas o\u00f9 \"u\" et \"v\" ne sont pas tous les deux pairs.<\/p>\n

On a alors \"2 \, v^2 = u^2\".<\/p>\n

2 divise \"u^2\" donc \"u\" est pair, on \u00e9crit \"u = 2\, u'\" o\u00f9 \"u' \in \mathbb{N}^*\".<\/p>\n

\"\quad \quad 2 \, v^2 = u^2 \Rightarrow v ^2 = 2 \, (u')^2\",<\/p>\n

\"v ^2\" \u00e9tant pair, \"v\" est pair.<\/p>\n

On a obtenu \"u\" et \"v\" pairs, ce qui est contradictoire avec \"u\" et \"v\" non tous les deux pairs.<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"\sqrt{2}\" est irrationnel.<\/p>\n

On peut d\u00e9montrer de m\u00eame que \"\sqrt{3}\" est irrationnel apr\u00e8s avoir prouv\u00e9 que tout entier non nul \"n\" s’\u00e9crit \"n = 3 ^p (3\, q + k)\" avec \"(p ,\, q) \in \mathbb{N}^2\" et \"k \in \{1 , 2\}\".<\/p>\n

Exemple <\/i>2<\/strong><\/p>\n

Si \"n \in \mathbb {N}^*\", \"\sqrt{n ^2 + 1} \notin \mathbb{N}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

\n

On suppose que<\/p>\n

\"\quad n \in \mathbb{N}^*\" et \"p = \sqrt{n ^2 + 1} \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

Alors \"p^2 = n ^2 + 1\" donc \"\quad \quad \quad 1 = (p - n) (p + n)\"<\/p>\n

\"p + n \geq 1 \Rightarrow p - n > 0\".<\/p>\n

\"p - n \in \mathbb{N}^*\Rightarrow p - n \geq 1 \Rightarrow p \geq n + 1 \geq 2\"<\/p>\n

\"p + n \geq 3\" et \"p - q \geq 2\" donnent \"(p - n)(p + n) > 1\", on aboutit \u00e0 une contradiction.<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"\sqrt{n ^2 + 1} \notin \mathbb{N}\".<\/p>\n

Remarque : on a prouv\u00e9 qu’il n’existe pas deux entiers successifs strictement positifs qui soient des carr\u00e9s d’entiers.<\/p>\n

Sauriez-vous d\u00e9montrer que<\/p>\n

si \"n \in \mathbb{N}^*, \sqrt{n ^2 + 4} \notin \mathbb{N}\" ?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

3.4. Le raisonnement par disjonction des cas
\n<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"E\" un ensemble et \"A\" une partie de \"E\". Soit \"x \in E\".<\/p>\n

Pour prouver l’\u00e9quivalence\u00a0 : \"P(x\") est vraie si, et seulement si, \"x \in A\", on peut d\u00e9montrer :<\/p>\n

\"\; \; \ast\" si \"x \in A\", \"P(x)\" est vraie<\/p>\n

\"\; \; \ast\" si \"x \notin A, \, P(x)\" est fausse.<\/p>\n

On a raisonn\u00e9 par disjonction des cas.<\/p>\n

\"\bullet\" On raisonne aussi par disjonction des cas pour prouver qu’une propri\u00e9t\u00e9 \"P\" est valable sur \"E\", en \u00e9crivant que \"E = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\" et en prouvant que pour tout \"k \in [\![1 \, , _, n]\!]\", la propri\u00e9t\u00e9 \"P(x)\" est v\u00e9rifi\u00e9e pour tout \"x \in A_k\" .<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, les ensembles<\/a> \"A_i\,\" sont deux \u00e0 deux disjoints.<\/p>\n

exemple <\/i><\/p>\n

Pour tout entier naturel \"n\", \"n ^3 + 2 n\" est divisible par 3.<\/p>\n

D\u00e9monstration :<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n = 3 \, k\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{N}\",<\/p>\n

\"n ^3 + 2 \, n = 3 \, k( n ^2 + 2)\" est un multiple de \"3\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n = 3 \, k + 1\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{N}\",<\/p>\n

\"n ^3 + 2 \, n = n (9\, k ^2 + 6 \, k + 3)\" \"n ^3 + 2 \, n = 3\, n (3\, k ^2 + 2\, k + 1)\" est un multiple de \"3\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n = 3 \, k + 2\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{N}\",<\/p>\n

\"n ^3 + 2 \, n = n (9\, k ^2 + 12\, k + 6)\" \"n ^3 + 3 \, n = 3 \, n (3 \, k ^2 + 4\, k + 2)\" est un multiple de \"3\".<\/p>\n

Par disjonction des cas, \"n ^3 + 2 \, n\" est un multiple de 3.<\/p>\n

Pour cette d\u00e9monstration, on a utlis\u00e9<\/p>\n

\"A_1 = \{3\, k , \, k \in \mathbb{N}\}\", \"A_2 = \{3\, k + 1 , \, k \in \mathbb{N}\}\"<\/p>\n

et \"A_3 = \{3\, k + 2 , \, k \in \mathbb{N}\}\".<\/p>\n

<\/div>\n
\n

3.5. Raisonnement par analyse synth\u00e8se en maths sup<\/b><\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1<\/b> On peut raisonner par analyse synth\u00e8se lorsqu’il s’agit de trouver par exemple une fonction \"f\" v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 donn\u00e9e.<\/p>\n

On suppose que \"f\" existe, on d\u00e9termine la (ou) les valeurs n\u00e9cessaires de \"f\".<\/p>\n

C’est la partie appel\u00e9e analyse.<\/i><\/p>\n

Puis dans la partie\u00a0synth\u00e8se<\/i>, on v\u00e9rifie si la ou les \u00e9l\u00e9ments \"f\" obtenu(s) est (sont) bien solution(s).<\/p>\n

Ce type de raisonnement est souvent utilis\u00e9 en g\u00e9om\u00e9trie, lorsque l’on cherche l’ensemble des points \"M\" v\u00e9rifiant une condition.<\/p>\n

Exemple 1<\/i><\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer les fonctions<\/a> \"f\" telles que<\/p>\n

\"\forall\, (x \,,\, y) \in \mathbb{R}^2,\, f(x - f(y)) = 2 - x - y\"<\/p>\n<\/div>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Analyse<\/b><\/p>\n

Si \"f\" v\u00e9rifie la condition impos\u00e9e, en rempla\u00e7ant \"x\" par \"x + f(x)\" et \"y\" par \"x\", on obtient pour tout r\u00e9el \"x\",<\/p>\n

\"f(x + f(x) - f(x)) = 2 - x - f(x) - x\"<\/p>\n

soit \"f(x) = 2 - f(x) - 2\, x\" donc \"f(x) = 1 - x\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Synth\u00e8se<\/b><\/p>\n

Soit \"f : x \mapsto 1 - x\,\".<\/p>\n

Si \"(x , \, y) \in \mathbb{R}^2\",<\/p>\n

\"f(x - f(y)) = 1 - x + f(y)\" \"f(x - f(y)) = 1 - x + (1 - y)\" donc \"f(x - f(y)) = 2 - x - y\,\".<\/p>\n

\"f\" est solution.<\/p>\n

Le probl\u00e8me admet une et une seule solution, \"x \mapsto 1 - x\,\".<\/p>\n

\n
\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>\u00a0Vous trouverez fr\u00e9quemment le raisonnement par analyse-synth\u00e8se en alg\u00e8bre lin\u00e9aire lorsqu’il s’agira de d\u00e9composer un \u00e9l\u00e9ment \"f\" comme somme<\/a> d’un \u00e9l\u00e9ment \"g\" v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"P\" et d’un \u00e9l\u00e9ment \"h\" v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"Q\".<\/p>\n

Dans la\u00a0partie analyse<\/i>, on suppose que la d\u00e9composition \"f = g + h\" existe .<\/p>\n

En utilisant les propri\u00e9t\u00e9s de \"g\" et de \"h\", on cherche \u00e0 trouver \"g\" et \"h\" (si l’un des \u00e9l\u00e9ments est connu, l’autre l’est aussi).<\/p>\n

Dans la\u00a0partie synth\u00e8se<\/i>, on introduit les \u00e9l\u00e9ments \"g\" et \"h\" obtenus dans la partie analyse, on v\u00e9rifie que \"f = g + h\" et que \"g\" et \"h\" v\u00e9rifient les conditions impos\u00e9es.<\/p>\n

Exemple 2<\/i><\/strong><\/p>\n

Toute une application \"f\" de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" est la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Analyse\u00a0<\/b><\/p>\n

Soit une application \"f\" de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" , on suppose qu’il existe \"g\" paire et \"h\" impaire d\u00e9finies de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" telles que \"\quad \quad \quad \quad f = g + h\".<\/p>\n

\"\forall \, x \in \mathbb{R}\", \"f(x) = g(x) + h(x)\quad (1)\"<\/p>\n

On remplace \"x\" par \"-x\" et on utilise les propri\u00e9t\u00e9s de parit\u00e9 de \"g\" et \"h\" :<\/p>\n

\"f(-x) = g(-x) + h(-x)\"<\/p>\n

\"f(-x) = g(x) - h(x) \quad (2)\"<\/p>\n

par demi-somme de (1) et (2) : \"g(x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(x) + f(-x)\right )\"<\/p>\n

par demi-diff\u00e9rence de (1) et (2) : \"h(x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(x) - f(-x)\right )\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Synth\u00e8se <\/b><\/p>\n

On d\u00e9finit pour tout r\u00e9el \"x\",<\/p>\n

\"\quad \quad g(x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(x) + f(-x)\right )\"<\/p>\n

\"\quad\" et \"h(x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(x) - f(-x)\right )\" .<\/p>\n

\"\ast\" \"g\" et \"h\" sont deux applications de \"\mathbb{R}\" dans lui-m\u00eame telles que<\/p>\n

\"\forall \, x \in \mathbb{R},\, g(x) + h(x) = f(x)\" soit \"f = g + h\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall\, x \in \mathbb{R}\",<\/p>\n

\"\; \; g(-x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(-x) + f(x)\right ) = g(x)\"<\/p>\n

\"g\" est paire.<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall\, x \in \mathbb{R}\",<\/p>\n

\"\; \; h(-x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(-x) - f(x)\right ) = - h(x)\"<\/p>\n

\"h\" est impaire.<\/p>\n

On a donc trouv\u00e9 une fonction paire \"g\" et une fonction impaire \"h\" telles que \"f = g + h\".<\/p>\n

On peut remarquer l’unicit\u00e9 de la d\u00e9composition obtenue dans la partie analyse, puisque l’on a trouv\u00e9 une unique solution pour \"g\" et \"h\".<\/p>\n

Exemple <\/b><\/p>\n

Si \"f : x \mapsto \textrm{e} ^x\"<\/p>\n

\"\displaystyle g : x \mapsto \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{ - x} \right)\"<\/p>\n

et \"\displaystyle h : x \mapsto \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{ - x} \right)\".<\/p>\n

On note \"g = \textrm{ch}\" (fonction cosinus hyperbolique)<\/p>\n

et \"h = \textrm{sh}\" (fonction sinus hyperbolique).<\/p>\n

3.6. Il est important de prendre le bon d\u00e9part !
\n<\/b><\/p>\n

Pour d\u00e9montrer que sous l’hypoth\u00e8se \"H\", l’implication \"Q \Rightarrow R\" est vraie.<\/p>\n

Partant de \"Q\", on cherche \u00e0 prouver \"R\", en utilisant en cours de raisonne- ment le fait que \"H\" est vraie.<\/p>\n

Inutile de manipuler dans tous les sens la propri\u00e9t\u00e9 \"H\", il n’en sortira pas par miracle la propri\u00e9t\u00e9 \"Q \Rightarrow R\" !<\/p>\n

Ce type de raisonnement est \u00e0 utiliser en particulier pour prouver que :<\/p>\n

\"\ast\" si la propri\u00e9t\u00e9 \"H\" est v\u00e9rifi\u00e9e, \"\quad \quad \quad ( x \in A \Rightarrow x \in B )\" :<\/p>\n

on part de \"x \in A\" et on doit arriver \u00e0 \"x \in B\".<\/p>\n

\"\ast\" si la propri\u00e9t\u00e9 \"H\" est v\u00e9rifi\u00e9e, \"\quad \quad ( u(x) = u(y) \Rightarrow x = y )\" :<\/p>\n

on part de \"u(x) = u(y)\" et on doit arriver \u00e0 \"x = y\".<\/p>\n

\"\ast\" si la propri\u00e9t\u00e9 \"H\" est v\u00e9rifi\u00e9e, \"\quad ( \forall\, y \in F ,\, \exists \, x \in E ,\, y = u(x) )\" :<\/p>\n

on part d’un \u00e9l\u00e9ment quelconque \"y \in F\" et on droit trouver \"x \in E\" tel que \"y = u(x)\".<\/p>\n

Dans chacun des cas, assurez vous de\u00a0 prendre le bon d\u00e9part !<\/p>\n

\n

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