{"id":34725,"date":"2019-08-24T14:32:09","date_gmt":"2019-08-24T13:32:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34725"},"modified":"2022-07-12T11:48:15","modified_gmt":"2022-07-12T10:48:15","slug":"cours-en-ligne-exercices-recurrence-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-recurrence-maths-sup\/","title":{"rendered":"Raisonnement et r\u00e9currence – QCM et exercices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices : Raisonnement et r\u00e9currence en maths sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Exercices – raisonnements et r\u00e9currence MPSI, PCSI<\/h2>\n

1. 1. Manipulation des assertions et quantificateurs<\/h3>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Traduire en termes de quantificateurs les phrases suivantes :<\/p>\n

1\/ <\/b>\"f\" est major\u00e9e.<\/p>\n

2\/ <\/b>\"f\" n’est pas minor\u00e9e<\/p>\n

3\/ <\/b>\"f\" est born\u00e9e.<\/p>\n

4\/ <\/b>\"f\" n’est ni paire ni impaire<\/p>\n

5\/ <\/b>\"f\" ne s’annule jamais<\/p>\n

6\/ <\/b>\"f\" est p\u00e9riodique<\/p>\n

7\/ <\/b>\"f\" est croissante<\/p>\n

8\/\u00a0 <\/b>\"f\" est strictement d\u00e9croissante<\/p>\n

9\/ <\/b>\"f\" n’est pas monotone<\/p>\n

10\/ <\/b>\"f\" n’est pas la fonction nulle<\/p>\n

11\/ <\/b>\"f\" ne prend pas deux fois la m\u00eame valeur<\/p>\n

12\/ <\/b>\"f\" atteint toutes les valeurs de \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSi \"A\" est une partie non vide de \"\mathbb{N}\", traduire en fran\u00e7ais les propri\u00e9t\u00e9s suivantes :
\nQuestion 1<\/b>
\n\"\forall\, (a , \, b) \in A ^2, \vert a - b \vert \neq 1\".<\/p>\n

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 <\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"A\" est une partie non vide de \"\mathbb{N}\" v\u00e9rifiant \"\forall \, n \in A , \, n + 1 \in A\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nQue dire de \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" v\u00e9rifiant
\na)<\/b>\u00a0\"\forall\, x \in \mathbb{R}, \exists \, y \in \mathbb{R} , y = f(x)\"
\nb)<\/b>\u00a0\"\exists \, y \in \mathbb{R}, \, \forall \, x \in \mathbb{R}, \, y = f(x)\"\u00a0 ?<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nQuelles sont les fonctions<\/a> \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" v\u00e9rifiant
\na)\u00a0<\/b>\"\exists \, a \in \mathbb{R}, \exists\, b \in \mathbb{R},\" \"\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \,f(x) = a\,x + b\"
\nb)<\/b>\u00a0\"\forall\, x \in \mathbb{R},\" \"\quad \exists \, a \in \mathbb{R}, \exists\, b \in \mathbb{R}, \, f(x) = a\, x + b\"<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}, n \geq 2\" et
\nTraduire avec des quantificateurs
\na)<\/b>\u00a0\"x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n\" sont \"n\" r\u00e9els<\/a> non nuls.
\nb)<\/b>\u00a0\"x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n\" sont \"n\" r\u00e9els non tous nuls
\nc)\u00a0<\/b>\"(x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n )\" est une famille de r\u00e9els contenant au moins un 0
\nd)<\/b>\u00a0\"(x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n)\" est une famille de r\u00e9els contenant un seul 0.<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nTraduire avec des quantificateurs :
\nQuestion 1<\/b>
\nCertains r\u00e9els sont strictement sup\u00e9rieurs \u00e0 leur carr\u00e9<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\u00c9tant donn\u00e9s trois r\u00e9els non nuls, il y en a au moins deux de m\u00eame signe<\/p>\n

Exercice 7\u00a0<\/b>
\nSoient \"P\" et \"Q\" deux propri\u00e9t\u00e9s d\u00e9finies sur un ensemble<\/a> \"E\".
\nLes assertions
\na)<\/b>\u00a0\"(\exists\, x \in E ,\, P(x)\" et \"Q(x)\")
\nb)<\/b>\u00a0(\"\exists \, x \in E ,\, P(x)\") et (\"\exists \, x \in E ,\,Q(x)\")
\nsont-elles \u00e9quivalentes ?<\/p>\n

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 <\/p>\n

2. Raisonnement par r\u00e9currence maths sup<\/b><\/h3>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>
\nMontrer que si \"n \in \mathbb{N }\", 3 divise \"2 ^{2 n} - 1\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\n\"u_ 0 = 0\" et si \"n \in \mathbb{N}\", \"u_{n + 1} = \displaystyle \frac 1 {2 - u_n}\".
\nConjecturer la valeur de \"u_n\" et le d\u00e9montrer<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\".
\nSi \"f\" est croissante de \"[\![1 ,\, n]\!]\" dans \"[\![1, \, n]\!]\" il existe \"k \in [\![1 ,\, n]\!]\" tel que \"f(k) = k\".<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSi \"x\" est un r\u00e9el non nul tel que \"x + \displaystyle \frac 1 x \in \mathbb{Z}\",\u00a0 alors \"x ^n + \displaystyle \frac 1 {x^n} \in \mathbb{Z}\".<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nTout entier \"n \geq 1\" peut s’\u00e9crire comme somme<\/a> de puissances de 2 toutes distinctes.<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nTrouver l’erreur dans le raisonnement par r\u00e9currence suivant.<\/p>\n

Soit si \"n \in \mathbb{N}^*\",\u00a0 \"H_n\" \u00a0\u00bb dans toute partie de \"n\" entiers, tous les \u00e9l\u00e9ments ont m\u00eame parit\u00e9. \u00a0\u00bb
\n\"\ast\" \"H_1\" est vraie de fa\u00e7on \u00e9vidente.
\n\"\ast\" Soit \"n\" tel que \"H_n\" soit vraie.
\nSoit \"A\" une partie de \"n + 1\" entiers que l’on range par ordre strictement croissant.
\nOn note \"A_1\" (resp \"A_2\") la partie de \"A\" form\u00e9e des \"n\" plus petits (resp. \"n\" plus grands) \u00e9l\u00e9ments de \"A\".
\nD’apr\u00e8s l’hypoth\u00e8se \"H_n\" , les \u00e9l\u00e9ments de \"A_1\" ont m\u00eame parit\u00e9 ainsi que les \u00e9l\u00e9ments de \"A_2\,\".
\nOr l’entier \"x\" num\u00e9ro \"n\" est \u00e0 la fois dans \"A_1\" et \"A_2\" , donc les \u00e9l\u00e9ments de \"A_1\" et de \"A_2\" ont la parit\u00e9 de \"x\", donc tous les \u00e9l\u00e9ments de \"A\" ont m\u00eame parit\u00e9.
\n\"\ast\" Par r\u00e9currence, toute partie finie non vide de \"\mathbb {N}\" est form\u00e9e d’\u00e9l\u00e9ments de m\u00eame parit\u00e9.<\/p>\n

Exercice 7<\/b>
\nSoit pour \"n \in \mathbb{N}\",\u00a0 \"H_n\" : 5 divise \"6 ^n + 1\"
\nQuestion 1<\/b>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 \"H\" est h\u00e9r\u00e9ditaire.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"H_n\" est vraie pour tout \"n \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

Exercice 8<\/b>
\nSoit \"\forall \, n \in \mathbb{N}^* ,\, u_{n + 1} = u_{n } - u_{n - 1}\"
\net \"u_0 = 0\".
\nOn note si \"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\quad \quad H_n\" : \"\forall \, k \in [\![0 , n]\!], \, u_k \in \mathbb{Q}\".
\nQuestion 1<\/b>
\n\"H\" est h\u00e9r\u00e9ditaire.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"u_0 = 0\", on a prouv\u00e9 par r\u00e9currence forte que \"u_n\" est rationnel pour tout \"n \in \mathbb{N}\"<\/p>\n

\n
\n

 <\/p>\n

3. Sur la suite de Fibonacci<\/b><\/h3>\n

On consid\u00e8re la suite<\/a> \"(u_n)_n\" (suite de Fibonacci) d\u00e9finie par \"u_0=u_1=1\" et, pour tout \"n\in \mathbb{N},\, u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\,\".
\nQuestion 1<\/b>
\nLa suite \"(u_n)_n\" v\u00e9rifie :
\n\"\quad \quad \forall\, n\in \mathbb{N}^* ,\, n \geq 2, \, u_n \geq n - 1\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nLa suite \"(u_n)_n\" v\u00e9rifie :
\n\"\; \; \forall\, n\in \mathbb{N}, \, u_n\, u_{n+2} - u_{n + 1} ^2 =(-1)^n\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nLa suite \"(u_n)_n\" v\u00e9rifie pour tout \"(p \, , \, q) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}\",
\n\"\quad \quad \, u_p \, u_{q + 1} + u_{p - 1} \, u_q = u_{p + q}\,\".<\/p>\n

Question 4\u00a0<\/b>
\nOn note \"\varphi = \displaystyle \frac {1 + \sqrt{5}} 2\" et \"\varphi ' = \displaystyle \frac {1 - \sqrt{5}} 2\".
\n\"\forall\, n \in \mathbb{N}, \,\displaystyle u_n = \frac 1 {\sqrt{5}} \left ( \varphi ^n - {\varphi'}^n \right )\".<\/p>\n

4. Autres types de raisonnements<\/b><\/b><\/h3>\n

Exercice 1<\/b>
\nD\u00e9montrer que si \"n\" est la somme de deux carr\u00e9s d’entiers, alors le reste de la division euclidienne<\/a> de \"n\" par 4 est toujours diff\u00e9rent de 3.<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nPour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"n(n + 1)(2 \, n + 1)\" est divisible par 6<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSi \"x\" et \"y\" sont r\u00e9els,
\n\"\; \; \max (x , \, y) = \displaystyle \frac 1 2 \left (x + y + \vert x - y \vert \right )\"
\n\"\; \; \min(x ,\, y) = \displaystyle \frac 1 2 \left (x + y - \vert x - y \vert \right )\".<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nD\u00e9terminer l’ensemble des fonctions \"f\" de \"\mathbb{N}\" dans \"\mathbb{N}\" telles que \"\forall\, (m , n) \in \mathbb{N} ^2\" , \"f( m+n ) = f(m) \, f(n)\".<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nD\u00e9terminer les fonctions \"f\" telles que pour tout r\u00e9el \"x\", \"\quad \quad f(x) + x f(1 - x) = 1 + x\"<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nD\u00e9terminer toutes les fonctions \"f\, :\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" telles que,
\n\"\forall\, (x \, , \, y) \in \mathbb{R}^2 ,\" \"\quad \quad f(x). f(y) - f(x \, y)=x+y\".<\/p>\n<\/div>\n

\n

 <\/p>\n

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