{"id":34733,"date":"2019-08-24T14:58:08","date_gmt":"2019-08-24T13:58:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34733"},"modified":"2022-07-12T11:51:38","modified_gmt":"2022-07-12T10:51:38","slug":"cours-en-ligne-corriges-recurrence-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-recurrence-maths-sup\/","title":{"rendered":"Raisonnement et r\u00e9currence – corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s: Raisonnement et r\u00e9currence<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s- raisonnements et r\u00e9currence MPSI, PCSI<\/h2>\n

1. 1. Manipulation des assertions et quantificateurs<\/h3>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\".
\nTraduire en termes de quantificateurs les phrases suivantes :<\/p>\n

1\/ <\/b>\"f\" est major\u00e9e.<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" est major\u00e9e ssi
\n\"\quad \exists\, M \in \mathbb{R}\,, \, \forall \, x \in \mathbb{R},\, f(x) \leq M\".<\/p>\n

2\/ <\/b>\"f\" n’est pas minor\u00e9e<\/p>\n

Corrig\u00e9 :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" On \u00e9crit d’abord \u00ab\u00a0\"f\" est minor\u00e9e \u00a0\u00bb :
\n\"\exists \, m \in \mathbb{R}\, \, , \forall \, x \in \mathbb{R} , \, f(x) \geq m\"
\n\"\ast\" donc on obtient par n\u00e9gation :<\/div>\n
\"f\" n’est pas minor\u00e9e ssi
\n\"\forall \,m \in \mathbb{R},\, \exists \, x \in \, \mathbb{R} \,, \, f(x) < m\".<\/div>\n

3\/ <\/b>\"f\" est born\u00e9e.<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" est born\u00e9e ssi
\n\"\exists \, M \in \mathbb{R}^{+}, \, \forall\, x \in \mathbb{R}\, , \, \vert f(x) \vert \leq M\".<\/div>\n
<\/div>\n
👍 On retiendra que cetet \u00e9criture est plus simple et plus maniable que l’\u00e9criture
\n\"\exists \, (m ,\, M) \in \mathbb{R}^2, \, \forall \, x \in \mathbb{R}, \, m \leq f(x) \leq M\".<\/div>\n
<\/div>\n
4\/ <\/b>\"f\" n’est ni paire ni impaire<\/div>\n
<\/div>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" \"f\" paire se traduit par \"\forall \, x \in \mathbb{R} , \, f(x) = f( - x)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" impaire se traduit par \"\forall \, x \in \mathbb{R} , \, f(x) = - f( - x)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" n’est ni paire ni impaire se traduit par
\n\"\exists \, x \in \mathbb{R} \,, \, \vert f(x) \vert \neq \vert f(- x) \vert\".<\/p>\n

👍 cette affirmation est \u00e9quivalente et plus concise que
\nil existe \"x \in \mathbb{R }\" tel que \"f(x) \neq f( - x)\"
\nou
\nil existe \"x \in \mathbb{R}\" tel que \"f(x) \neq - f(-x)\".<\/p>\n

5\/ <\/b>\"f\" ne s’annule jamais<\/p>\n

Corrig\u00e9 :<\/strong><\/p>\n

\"f\" ne s’annule jamais se traduit par \"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, f(x) \neq 0\".<\/div>\n

6\/ <\/b>\"f\" est p\u00e9riodique<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" est p\u00e9riodique se traduit par \"\exists\, T \in \mathbb{R}^*, \forall\, x \in \mathbb{R}, f(x + T) = f(x)\".<\/div>\n

7\/ <\/b>\"f\" est croissante<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" est croissante se traduit par
\n\"\forall\, (x , y) \in \mathbb{R}^3\",\u00a0 (\"x < y \Rightarrow f(x) \leq f(y)\").<\/p>\n

8\/\u00a0 <\/b>\"f\" est strictement d\u00e9croissante<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" est strictement d\u00e9croissante se traduit par
\n\"\forall\, (x , y) \in \mathbb{R}^3\", (\"x < y \Rightarrow f(x) >f(y)\").<\/p>\n

9\/ <\/b>\"f\" n’est pas monotone<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" n’est pas monotone se traduit par
\n\"\exists\, (x , y , z) \in \mathbb{R}^3, x < y < z\", \"\quad (f(y) - f(x))(f(z) - f(y)) < 0\"
\nce qui traduit le fait que \"f(y) - f(x)\" et \"f(z) - f(y)\" ne sont pas de m\u00eame signe.
\nOn peut aussi \u00e9crire
\n\"\exists \,(x , y , z) \in \mathbb{R}^3, x < y < z\", \"\quad (f(y) - f(x))(f(z) - f(x)) < 0\".<\/p>\n

10\/ <\/b>\"f\" n’ est pas la fonction nulle<\/p>\n

Corrig\u00e9<\/strong> :<\/p>\n

\"f\" n’ est pas la fonction nulle se traduit par \"\exists \, a \in \mathbb{R}, \, f(a) \neq 0\".<\/div>\n

11\/ <\/b>\"f\" ne prend pas deux fois la m\u00eame valeur<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" ne prend pas deux fois la m\u00eame valeur
\nse traduit par :
\nsi \"(x , y) \in \mathbb{R}^2, \, (x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)\").<\/p>\n

👍 On dit que \"f\" est injective.<\/p>\n

12\/ <\/b>\"f\" atteint toutes les valeurs de \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" prend toutes les valeurs de \"\mathbb{N}\" se traduit par
\n\"\forall \, n \in \mathbb{N},\, \exists \, x \in \mathbb{R},\, f(x) = n\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSi \"A\" est une partie non vide de \"\mathbb{N}\", traduire en fran\u00e7ais les propri\u00e9t\u00e9s suivantes :
\nQuestion 1<\/b>
\n\"\forall\, (a , \, b) \in A ^2, \vert a - b \vert \neq 1\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"A\" ne contient pas deux \u00e9l\u00e9ments cons\u00e9cutifs.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"A\" est une partie non vide de \"\mathbb{N}\" v\u00e9rifiant \"\forall \, n \in A , \, n + 1 \in A\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"n \in A\", le suivant est dans \"A\" (ainsi que tous les entiers sup\u00e9rieurs \u00e0 \"n\").
\nAlors si \"a\" est le plus petit \u00e9l\u00e9ment de \"A\", \"A = \{ a + n , n \in \mathbb{N }\}\".<\/p>\n

(on admet que toute partie non vide de \"\mathbb{N}\" poss\u00e8de un plus petit \u00e9l\u00e9ment).<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nQue dire de \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" v\u00e9rifiant
\na)<\/b>\u00a0\"\forall\, x \in \mathbb{R}, \exists \, y \in \mathbb{R} , y = f(x)\"
\nb)<\/b>\u00a0\"\exists \, y \in \mathbb{R}, \, \forall \, x \in \mathbb{R}, \, y = f(x)\"\u00a0 ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On ne peut rien d\u00e9duire de l’affirmation \"a\" puisque toute fonction \"f\" v\u00e9rifie cette condition avec \"y = f(x)\".<\/p>\n

Si \"f\" v\u00e9rifie b), \"f\" est constante.<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nQuelles sont les fonctions \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" v\u00e9rifiant
\na)\u00a0<\/b>\"\exists \, a \in \mathbb{R}, \exists\, b \in \mathbb{R},\" \"\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \,f(x) = a\,x + b\"
\nb)<\/b>\u00a0\"\forall\, x \in \mathbb{R},\" \"\quad \exists \, a \in \mathbb{R}, \exists\, b \in \mathbb{R}, \, f(x) = a\, x + b\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Les fonctions \"f\" v\u00e9rifiant la condtion a) sont les fonctions<\/a> affines.
\nToute fonction \"f\" v\u00e9rifie la condition b)
\nil suffit de prendre \"a = 0\" et \"b = f(x)\".<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}, n \geq 2\" et
\nTraduire avec des quantificateurs
\na)<\/b>\u00a0\"x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n\" sont \"n\" r\u00e9els non nuls.
\nb)<\/b>\u00a0\"x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n\" sont \"n\" r\u00e9els<\/a> non tous nuls
\nc)\u00a0<\/b>\"(x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n )\" est une famille de r\u00e9els contenant au moins un 0
\nd)<\/b>\u00a0\"(x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n)\" est une famille de r\u00e9els contenant un seul 0.<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a)\u00a0<\/b>\"\forall \, k \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_k \in \mathbb{R}^*\".<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0\"\forall \, k \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_k \in \mathbb{R}\"
\net \"\exists\, p \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_p \in \mathbb{R}^*\".<\/p>\n

c)<\/b>\u00a0\"\forall \, k \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_k \in \mathbb{R}\"
\net \"\exists\, p \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_p = 0\"
\nou
\n\"\forall \, k \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_k \in \mathbb{R}\"\u00a0 et \"\displaystyle \prod_{k= 1} ^n x_k = 0\".<\/p>\n

d)\u00a0<\/b>\"\forall \, k \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_k \in \mathbb{R}\"
\net \"\exists\,! \, p \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_p = 0\,\".
\nou
\n\"\forall \, k \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_k \in \mathbb{R}\",\u00a0\"\exists \, p \in [\![1 ,\, n]\!], \, x_p = 0\"
\net \"\displaystyle \prod_{1 \leq k\leq n, k \neq p} x_k = 0\".<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nTraduire avec des quantificateurs :
\nQuestion 1<\/b>
\nCertains r\u00e9els sont strictement sup\u00e9rieurs \u00e0 leur carr\u00e9<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\exists \, x \in \mathbb{R}, \, x > x ^2\".
\n(c’est le cas pour les r\u00e9els v\u00e9rifiant \"x( 1 - x) > 0\" soit les r\u00e9els de \"]0 \,, \, 1 [\" ).<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\u00c9tant donn\u00e9s trois r\u00e9els non nuls, il y en a au moins deux de m\u00eame signe<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Il est plus simple de d\u00e9finir les trois r\u00e9els par la m\u00eame lettre \"x\" index\u00e9e.
\nSoient \"(x_1\, ,\, x_2 \, ,\, x_3 )\in (\mathbb{R}^*) ^3\",
\n\"\exists \, (i , j ) \in \{1, 2 , 3\}^2, i \neq j, x_i \, x_j > 0\".<\/p>\n

Exercice 7\u00a0<\/b>
\nSoient \"P\" et \"Q\" deux propri\u00e9t\u00e9s d\u00e9finies sur un ensemble \"E\".
\nLes assertions
\na)<\/b>\u00a0\"(\exists\, x \in E ,\, P(x)\" et \"Q(x)\")
\nb)<\/b>\u00a0(\"\exists \, x \in E ,\, P(x)\") et (\"\exists \, x \in E ,\,Q(x)\")
\nsont-elles \u00e9quivalentes ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Prendre \"E = \mathbb{N}\", \"P\" \u00ab\u00a0\u00eatre pair\u00a0\u00bb\u00a0 et \"Q\" \u00ab\u00a0\u00eatre impair \u00ab\u00a0.
\nL’affirmation
\n(\"\exists \, x \in E ,\, P(x)\") et (\"\exists \,x \in E ,\,Q(x)\")
\nest vraie.
\nPar contre l’affirmation
\n\"\quad (\exists \, x \in E ,\, P(x)\" et \"Q(x)\")
\nest fausse car aucun entier n’est \u00e0 la fois pair et impair.<\/p>\n

Les propri\u00e9t\u00e9s a) et b) ne sont pas \u00e9quivalentes. Mais la premi\u00e8re propri\u00e9t\u00e9 implique la deuxi\u00e8me.<\/p>\n

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\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

2. Raisonnement par r\u00e9currence en maths sup<\/b><\/h3>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>
\nMontrer que si \"n \in \mathbb{N }\", 3 divise \"2 ^{2 n} - 1\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On \u00e9tablit le r\u00e9sultat par r\u00e9currence sur \"n\". On note :
\n\"\quad\" si \"n \in \mathbb{N}\", \"H _n : 3\"\u00a0 divise \" 2 ^{2 n} - 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"H_0\" est vraie car \"2 ^{2 n} - 1 = 1 - 1 = 0\" est divisible par 3.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie
\n\"2 ^{2 n + 2} - 1 = 4 . 2^{2 n } - 1\" \"2 ^{2 n + 2} - 1 = 4 \left ( 2 ^{2 n} - 1 \right ) + 3\"
\nEn utilisant \"H_n\,\", il existe \"p \in \mathbb{N}\" tel que \"2 ^{2 n } -1 = 3 \, p\", on a donc prouv\u00e9 que
\n\"2 ^{2 n + 2} - 1 = 3 (p + 1)\" est divisible par 3.
\n\"H_{n + 1}\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" La propri\u00e9t\u00e9 est \u00e9tablie par r\u00e9currence.<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\n\"u_ 0 = 0\" et si \"n \in \mathbb{N}\", \"u_{n + 1} = \displaystyle \frac 1 {2 - u_n}\".
\nConjecturer la valeur de \"u_n\" et le d\u00e9montrer<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"u_1 = \displaystyle \frac 1 2\" , \"u_2 =\displaystyle \frac 2 3\" , \"u_3 = \displaystyle \frac 3 4\" et \"u_4 = \displaystyle\frac 4 5\"
\nCe qui doit suffire pour conjecturer !<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", on note \"H_n \,\" : \"u_n = \displaystyle \frac {n } {n + 1}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"H_0\" est vraie.
\n\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est vraie
\n\"u_{n + 1} = \displaystyle \frac 1 {2 - u_n} = \frac {n + 1} {2(n + 1) - n }\"
\n\"u_{n + 1} = \displaystyle \frac {n + 1} {n + 2}\" ce qui prouve \"H_{n + 1}\,\".<\/p>\n

\"\ast\" La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence sur \"n\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\".
\nSi \"f\" est croissante de \"[\![1 ,\, n]\!]\" dans \"[\![1, \, n]\!]\" il existe \"k \in [\![1 ,\, n]\!]\" tel que \"f(k) = k\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N }^*\", on note \"H_n\" : Si \"f\" est croissante de \"[\![1 \, , \, n]\!]\" dans \"[\![1 \,, \, n]\!]\", il existe \"k \in [\![1 \, n]\!]\" tel que \"f(k) = k\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n = 1\", \"f\" est une fonction croissante de \"\{1\}\" dans lui m\u00eame, donc \"f(1) = 1\" et \"H_1\" est prouv\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie.
\nSoit \"f\" croissante de \"[\![1 \, , \, n + 1 ]\!]\" dans \"[\![1 \,, \, n + 1 ]\!]\".
\n\"\ast\" Si \"f( n + 1) = n + 1\", le r\u00e9sultat est \u00e9tabli avec \"k = n + 1\".
\n\"\ast\" Si \"f(n + 1) < n\", \"f(n) \leq f(n + 1) \leq n\".
\nLa restriction \"g\" de \"f\" \u00e0 \"[\![1\, , \, n ]\!]\" est une fonction croissante de \"[\![1 \, , \, n ]\!]\" dans lui-m\u00eame, donc d’apr\u00e8s \"H_n\" , il existe \"k \in [\![1 \,, \, n ]\!]\" tel que \"g(k) = k\", donc \"f(k) = k\" avec \"k \in [\![1 \, , \, n ]\!]\".<\/p>\n

Par disjonction des cas, on a \u00e9tabli \"H_{n + 1}\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSi \"x\" est un r\u00e9el non nul tel que \"x + \displaystyle \frac 1 x \in \mathbb{Z}\",\u00a0 alors \"x ^n + \displaystyle \frac 1 {x^n} \in \mathbb{Z}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"x\" est un r\u00e9el non nul tel que \"x + \displaystyle \frac 1 x \in \mathbb{Z}\" et si \"n \in \mathbb{N}\", on note\u00a0 \"H_n : x ^n + \displaystyle \frac 1 {x^n} \in \mathbb{Z}\" et \"x ^{n + 1} + \displaystyle \frac 1 {x^{n + 1}}\in \mathbb{Z}\".
\n\"\ast\" \"H_0\" est v\u00e9rifi\u00e9e car : \"x ^0 + \displaystyle \frac 1 {x^0} = 2 \in \mathbb{Z}\" et \"x ^1 + \displaystyle \frac 1 {x^1} \in \mathbb{Z}\".<\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est vraie.
\nOn note \"y_k = \displaystyle x^k + \frac {1} {x ^k}\,\".
\n\"\displaystyle x ^{n + 2}+ \displaystyle \frac 1 {x^{n + 2}} \; =\" \"\displaystyle \left ( x ^{n + 1} + \displaystyle \frac 1 {x^{n + 1}} \right ) \left ( x + \frac 1 x \right ) -\frac 1 {x ^{n }} - x^{n}\"
\nsoit \"y_{n + 2} = y_{n + 1} \, y_1 - y _ n\"
\ncomme \"y_{n + 1} \,,\, y _ n \; ,\; y_1\" sont dans \"\mathbb{Z}\", \"y_{n + 1} \in \mathbb{Z}\".
\n\"H_{n + 1}\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nTout entier \"n \geq 1\" peut s’\u00e9crire comme somme de puissances de 2 toutes distinctes.<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On va proc\u00e9der par r\u00e9currence forte sur \"n\".
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", on note \"H_n\" : pour tout entier \"k\" tel que \"1 \leq k \leq n\", \"k\" est somme de puissances de 2 toutes distinctes.<\/p>\n

\"\bullet\" \"H_1\" est vraie car \"1 = 2 ^0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"n\geq 1\" tel que \"H_n\" soit vraie.
\n\"\ast\" Si \"n+1\" est pair, alors \"n +1 = 2\, m\" avec \"1 \leq m \leq n\" car \"2 \leq n + 1\", \"m\" s’\u00e9crit comme somme de puissances de 2 toutes distinctes,
\n\"\quad \quad \quad m = 2^{p_1} + \cdots \,+ \, 2 ^{p _ r}\"
\navec \"p_1 < \cdots \, < p_r\"
\ndonc \"n + 1 = 2^{p_1 + 1 } + \cdots \,+ \, 2 ^{p _ r + 1}\" est la somme<\/a> de puissances de 2 toutes distinctes.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n + 1\" est impair, alors \"n= 2 \, m\" avec \"1 \leq m \leq n\", \"m\" s’\u00e9crit comme somme de puissances de 2
\n\"\quad \quad \quad m = 2^{p_1} + \cdots \,+ \, 2 ^{p _ r}\"
\navec \"p_1 < \cdots \, < p_r\,\",
\n\"2 \, m = 2^{p_1 + 1 } + \cdots \,+ \, 2 ^{p _ r + 1}\"
\net \"n + 1 = 2 ^0 + 2^{p_1 + 1 } + \cdots \,+ \, 2 ^{p _ r + 1}\" est la somme de puissances de 2, 2 \u00e0 2 distinctes.
\nOn a prouv\u00e9 que \"H_{n + 1}\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nTrouver l’erreur dans le raisonnement par r\u00e9currence suivant.<\/p>\n

Soit si \"n \in \mathbb{N}^*\",\u00a0 \"H_n\" \u00a0\u00bb dans toute partie de \"n\" entiers, tous les \u00e9l\u00e9ments ont m\u00eame parit\u00e9. \u00a0\u00bb
\n\"\ast\" \"H_1\" est vraie de fa\u00e7on \u00e9vidente.
\n\"\ast\" Soit \"n\" tel que \"H_n\" soit vraie.
\nSoit \"A\" une partie de \"n + 1\" entiers que l’on range par ordre strictement croissant.
\nOn note \"A_1\" (resp \"A_2\") la partie de \"A\" form\u00e9e des \"n\" plus petits (resp. \"n\" plus grands) \u00e9l\u00e9ments de \"A\".
\nD’apr\u00e8s l’hypoth\u00e8se \"H_n\" , les \u00e9l\u00e9ments de \"A_1\" ont m\u00eame parit\u00e9 ainsi que les \u00e9l\u00e9ments de \"A_2\,\".
\nOr l’entier \"x\" num\u00e9ro \"n\" est \u00e0 la fois dans \"A_1\" et \"A_2\" , donc les \u00e9l\u00e9ments de \"A_1\" et de \"A_2\" ont la parit\u00e9 de \"x\", donc tous les \u00e9l\u00e9ments de \"A\" ont m\u00eame parit\u00e9.
\n\"\ast\" Par r\u00e9currence, toute partie finie non vide de \"\mathbb {N}\" est form\u00e9e d’\u00e9l\u00e9ments de m\u00eame parit\u00e9.<\/p>\n

Corrig\u00e9<\/strong> :<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est fausse car si \"n = 1\", les ensembles<\/a> \"A_1\" et \"A_2\" n’ont pas d’\u00e9l\u00e9ment commun, ce n’est que pour \"n \geq 2\", que l’on peut dire que le \"n\" -i\u00e8me \u00e9l\u00e9ment est \u00e0 la fois dans \"A_1\" et \"A _ 2\,\".<\/p>\n

Exercice 7<\/b>
\nSoit pour \"n \in \mathbb{N}\",\u00a0 \"H_n\" : 5 divise \"6 ^n + 1\"
\nQuestion 1<\/b>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 \"H\" est h\u00e9r\u00e9ditaire.<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"H_n\" est vraie.
\n\"6 ^{n + 1} + 1 = 6 \,. 6 ^n + 1\" \"6 ^{n + 1} + 1 = 6( 6^n + 1) - 6 + 1\"
\ncomme \"6 ^n + 1 = 5 \, N\" o\u00f9 \"N \in \mathbb{N}\",
\n\"6 ^{n + 1} + 1 = 30 \, N + 5 = 5 (6 \, N + 1)\" est divisible par 5.<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 \"H\" est h\u00e9r\u00e9ditaire.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"H_n\" est vraie pour tout \"n \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Pour \"n = 0\", 5 ne divise pas \"6^0 + 1 = 2\".
\nOn peut d\u00e9montrer que \"5\" ne divise jamais \"6 ^n +1\".
\nOn d\u00e9montre que le chiffre des unit\u00e9s de \"6^n + 1\" est \"7\" lorsque \"n \geq 1\".
\nSi \"n \geq 1\", on note \"H_n\" : il existe \"N \in \mathbb{N}\" tel que \"6^n + 1 = 10\, N + 7\".
\n\"H_1\" est vraie car \"6 ^1 + 1 = 7\"
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie, on \u00e9crit qu’il existe \"N \in \mathbb{N}\" tel que \"6^n + 1 = 10\, N + 7 \Rightarrow 6 ^n = 10\, N + 6\"
\n\"6 ^{n + 1} + 1 = 6 . 6 ^n + 1 = 6(10 \, N + 6) + 1\" \"6 ^{n + 1} + 1 = 10 \,(6\, N + 3 ) + 7\".<\/p>\n

Par r\u00e9currence, le chiffre des unit\u00e9s de \"6 ^n + 1\" est toujours un 7 ; donc \"6 ^n + 1\" n’est pas divisible par \"5\" pour tout \"n \geq 1\".<\/p>\n

⚠️ Il est important de ne pas oublier de v\u00e9rifier correctement l’initialisation de la r\u00e9currence !<\/p>\n

Exercice 8<\/b>
\nSoit \"\forall \, n \in \mathbb{N}^* ,\, u_{n + 1} = u_{n } - u_{n - 1}\"
\net \"u_0 = 0\".
\nOn note si \"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\quad \quad H_n\" : \"\forall \, k \in [\![0 , n]\!], \, u_k \in \mathbb{Q}\".
\nQuestion 1<\/b>
\n\"H\" est h\u00e9r\u00e9ditaire.<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"H_n\" est vraie avec \"n \geq 1\", alors \"u_n\" et \"u_{n - 1}\" sont des rationnels, donc \"u_{n + 1}\" est rationnel par somme de rationnels.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"u_0 = 0\", on a prouv\u00e9 par r\u00e9currence forte que \"u_n\" est rationnel pour tout \"n \in \mathbb{N}\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

En choisissant \"u_1 = \sqrt{2}\" , il est alors \u00e9vident que \"u_1\" n’est pas rationnel.
\nComme \"H_1\" est fausse, la propri\u00e9t\u00e9 n’est pas vraie par r\u00e9currence.<\/p>\n

Conclusion\u00a0<\/b>
\n⚠️ Il est conseill\u00e9 pour ne pas se faire pi\u00e9ger par une telle erreur, de d\u00e9montrer la propri\u00e9t\u00e9 par r\u00e9currence double et non par r\u00e9currence forte (ce qui risque l’oubli de la v\u00e9rification de\u00a0 la propri\u00e9t\u00e9 pour \"n = 1\").<\/p>\n

\n
\n

 <\/p>\n

3. Sur la suite de Fibonacci en maths sup<\/b><\/h3>\n

On consid\u00e8re la suite \"(u_n)_n\" (suite de Fibonacci) d\u00e9finie par \"u_0=u_1=1\" et, pour tout \"n\in \mathbb{N},\, u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\,\".
\nQuestion 1<\/b>
\nLa suite \"(u_n)_n\" v\u00e9rifie :
\n\"\quad \quad \forall\, n\in \mathbb{N}^* ,\, n \geq 2, \, u_n \geq n - 1\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 2\", on note \"\quad H_n : u_n \geq n, \, u_{n + 1} \geq n -1\".
\n\"u_0 = 0, u_1 = u _ 2 = 1 , u_3 = 2\".
\n\"\bullet\" \"u_2 = 1 \geq 2 - 1\" et \"u_3 = 2 \geq 3 - 1\", donc \"H_2\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}\" est fix\u00e9 et v\u00e9rifie \"n \geq 2\".
\n\"u_{n + 2} = u_{n } + u_{n + 1} \geq (n - 1) + n\"
\npuis \"(2\, n - 1) - (n + 1) = n - 2 \geq 0\", donc \"u_{n + 2} \geq 2\, n - 1 \geq n + 1\".
\nOn a \u00e9tabli \"H_{n + 1}\,\".<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence sur \"n\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nLa suite<\/a> \"(u_n)_n\" v\u00e9rifie :
\n\"\; \; \forall\, n\in \mathbb{N}, \, u_n\, u_{n+2} - u_{n + 1} ^2 =(-1)^n\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Pour tout \"n\in \mathbb{N},\" on note
\n\"H_n\" : \"\, u_n\, u_{n+2} - u_{n + 1} ^2 =(-1)^{n + 1}\".
\net on note \"v_n = u_n\, u_{n+2} - u_{n + 1} ^2\,\".<\/p>\n

Dans cette question, il est inutile d’utiliser une hypoth\u00e8se de r\u00e9currence double.
\n\"\bullet\" \"v_0 = u_0\, u_{2} - u_{1} ^2 = - 1 = (- 1) ^{0 + 1}\"
\ndonc \"H_0\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie
\n\"v_{n + 1} = u_{n + 1} \, u_{n+3} - u_{n + 2} ^2\"
\n\"v_{n + 1} = u_{n + 1} \left ( u_{n+2} + u_{n+1} \right ) - u_{n + 2} ^2\"
\n\"v_{n + 1} = u_{n + 1} ^2 - u_{n+2}\left ( u_{n+2} -u_{n + 1} \right )\"
\n\"v_{n + 1} = u_{n + 1} ^2 - u_{n+2}\, u_{n}\"
\n\"v_{n + 1} = - v_{n} = (-1) ^{n + 2}\" en utilisant \"H_n\,\".
\n\"H_{n + 1}\" est vraie, donc la propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nLa suite \"(u_n)_n\" v\u00e9rifie pour tout \"(p \, , \, q) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}\",
\n\"\quad \quad \, u_p \, u_{q + 1} + u_{p - 1} \, u_q = u_{p + q}\,\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On fixe \"p \in \mathbb{N}^*\" et on utilise une r\u00e9currence double sur l’entier \"q\".
\nSoit si \"q \in \mathbb{N}\" , \"H_q\" : \"u_p \, u_{q + 1} + u_{p - 1} \, u_q = u_{p + q}\,\" et \"u_p \, u_{q + 2} + u_{p - 1} \, u_{q + 1} = u_{p + q + 1}\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"q = 0\", (\"u_0 = 0, u_1 = 1\")
\n\"\ast\" \"u_p \, u_{q + 1} + u_{p - 1} \, u_q = u_p = u_{p + 0}\,\"
\n\"\ast\" \"u_p \, u_{q + 2} + u_{p - 1} \, u_{q + 1} = u_p + u_{p - 1}\"
\n\"u_p \, u_{q + 2} + u_{p - 1} \, u_{q + 1} = u_{p + 1}\"
\n\"u_p \, u_{q + 2} + u_{p - 1} \, u_{q + 1} = u_{p + q + 1}\"
\ndonc \"H_0\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_q\" est vraie.
\nPar somme des relations :
\n\"u_p \, u_{q + 1} + u_{p - 1} \, u_q = u_{p + q}\,\" et \"u_p \, u_{q + 2} + u_{p - 1} \, u_{q + 1} = u_{p + q + 1}\,\",
\non obtient
\n\"u_p ( u_{q + 1} + u_{q + 2}) + u_{p - 1} \,( u_q + u_{q + 1})\" \"\quad \quad \quad = u_{p + q} + u_{p + q + 1}\,\"
\nce qui donne
\n\"u_p \, u_{q + 3} + u_{p - 1} \, u_{q + 2} = u_{p + q + 2}\,\".
\nOn a prouv\u00e9 \"H_{q + 1}\".<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/p>\n

Question 4\u00a0<\/b>
\nOn note \"\varphi = \displaystyle \frac {1 + \sqrt{5}} 2\" et \"\varphi ' = \displaystyle \frac {1 - \sqrt{5}} 2\".
\n\"\forall\, n \in \mathbb{N}, \,\displaystyle u_n = \frac 1 {\sqrt{5}} \left ( \varphi ^n - {\varphi'}^n \right )\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\n

On note \"\varphi = \displaystyle \frac {1 + \sqrt{5}} 2\" et \"\varphi ' = \displaystyle \frac {1 - \sqrt{5}} 2\"
\n\"\forall\, n \in \mathbb{N},\" soit \"H_n\" : \"\displaystyle u_n = \frac 1 {\sqrt{5}} \left ( \varphi ^n - {\varphi'}^n \right )\"
\net \"\displaystyle u_{n + 1} = \frac 1 {\sqrt{5}} \left ( \varphi ^{n + 1} - {\varphi'}^{n + 1} \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n = 0\"
\n\"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{5}} \left ( \varphi ^0 - {\varphi'}^0 \right ) = 0 = u_0\"
\n\"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{5}} \left ( \varphi - {\varphi'} \right ) = \frac 1 {\sqrt{5}} \, \sqrt{5} = 1 = u_1 \,\".
\nOn a prouv\u00e9 que \"H_0\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie.
\nEn utilisant la somme des deux relations<\/p>\n<\/div>\n

\n

\"u_{n + 2} = u_{n} + u_{n + 1}\"
\n\"\sqrt{5}\; u_{n + 2} = \varphi ^n + \varphi ^{n + 1} -{\varphi'}^{n } - {\varphi'}^{n + 1}\"
\nPuis
\n\"\ast\" \"\varphi ^n + \varphi ^{n + 1} = \varphi ^n(1 + \varphi )\"
\n\"1 + \varphi = \displaystyle \frac {3 + \sqrt{5}} 2 =\frac {6 + 2\sqrt{5}} 4 = \varphi ^2\"
\ndonc \"\varphi ^n + \varphi ^{n + 1} = \varphi ^{n + 2}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"{\varphi'} ^n +{\varphi'}^{n + 1} = {\varphi'} ^n(1 + {\varphi'} )\"
\n\"1 + {\varphi'} = \displaystyle \frac {3 - \sqrt{5}} 2 =\frac {6 - 2\sqrt{5}} 4 = {\varphi '}^2\"
\n\"{\varphi'} ^n +{\varphi'}^{n + 1} = {\varphi'}^{n + 2}\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que
\n\"\quad \quad \sqrt{5}\, u_{n + 2} = \varphi ^{n + 2} -{\varphi'}^{n +2 }\".
\nOn a donc \u00e9tabli \"H_{n + 1}\,\".<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est \u00e9tablie par r\u00e9currence.<\/p>\n

 <\/p>\n<\/div>\n

4. Autres types de raisonnements<\/b><\/b><\/h3>\n

Exercice 1<\/b>
\nD\u00e9montrer que si \"n\" est la somme de deux carr\u00e9s d’entiers, alors le reste de la division euclidienne<\/a> de \"n\" par 4 est toujours diff\u00e9rent de 3.<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On \u00e9crit \"n = a ^2 + b ^2\" o\u00f9 \"(a,\, b) \in \mathbb{N}^2\", on raisonne par disjonction des cas.<\/p>\n

\"\bullet\" \"a\" et \"b\" sont pairs, soit \"a = 2\, a'\" et \"b = 2 \, b'\" o\u00f9 \"(a' , \, b') \in \mathbb{N}^2\".
\n\"n = 4 ({a'}^2 + {b'}^2)\".
\nLe reste de la division de \"n\" par 4 est nul.<\/p>\n

\"\bullet\" L’un est pair et l’autre impair.
\nPar sym\u00e9trie, on peut supposer que \"a\" est pair et \"b\" est impair\u00a0et \u00e9crire \"a = 2\, a'\", \"b = 2\, b' + 1\" o\u00f9 \"(a' ,\, b') \in \mathbb{N}^2\".
\n\"n = 4 \, {a'} ^2 + 4\, {b'}^2 + 4\, b' + 1\" \"n = 4 \left ( {a'} ^2 + {b'} ^2 + b'\right) + 1\".
\nLe reste de la division de \"n\" par 4 est \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

\"\bullet\" \"a\" et \"b\" sont impairs, soit \"a = 2\, a' + 1\" et \"b = 2 \, b' + 1\" o\u00f9 \"(a', \, b') \in \mathbb{N}^2\".
\n\"n = 4 ({a'}^2 + {b'}^2) + 4 (a' + b') + 2\"
\n\"n = 4 ({a'}^2 + {b'}^2 + a' + b') + 2\"
\nLe reste de la division de \"n\" par 4 est \u00e9gal \u00e0 2.<\/p>\n

Par disjonction des cas, le reste de la division de \"n\" par 4 n’est pas \u00e9gal \u00e0 3.<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nPour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"n(n + 1)(2 \, n + 1)\" est divisible par 6<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" On remarque que \"n\" et \"n + 1\" sont deux entiers cons\u00e9cutifs, l’un est pair et l’autre impair, donc \"n(n + 1)\" est pair, alors \"n (n + 1)(2\, n + 1)\" est divisible par 2.<\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9montre que \"N = n(n + 1)(2 n + 1)\" est divisible par 3
\n\"\ast\" si \"n = 3 \, p\" o\u00f9 \"p \in \mathbb{N}\", \"N\" est un multiple de \"n\", donc est divisible par 3.<\/p>\n

\"\ast\" \"n = 3 \, p + 1\" o\u00f9 \"p \in \mathbb{N}\",
\n\"2 \, n + 1 = 6\, p + 3\" est divisible par 3, donc \"N\" l’est aussi .<\/p>\n

\"\ast\" \"n = 3 \, p + 2\" o\u00f9 \"p \in \mathbb{N}\",
\n\"n + 1 = 3 \,p + 3\" est divisible par 3, donc \"N\" l’est aussi .<\/p>\n

Par disjonction des cas, \"N\" est divisible par 3.<\/p>\n

\"N\" est divisible par 2 et 3, donc divisible par 6.<\/p>\n

👍 Aviez vous pens\u00e9 \u00e0 d\u00e9montrer la divisibilit\u00e9 par 2 puis par 3 (ce qui est plus rapide que de d\u00e9montrer que la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par disjonction de 6 cas) ?<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSi \"x\" et \"y\" sont r\u00e9els,
\n\"\; \; \max (x , \, y) = \displaystyle \frac 1 2 \left (x + y + \vert x - y \vert \right )\"
\n\"\; \; \min(x ,\, y) = \displaystyle \frac 1 2 \left (x + y - \vert x - y \vert \right )\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On raisonne par disjonction des cas :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"x \geq y\" , \"\vert x - y \vert= x - y\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle x + y + \vert x - y \vert =x + y + x - y =2\, x\"
\nsoit \"\displaystyle \frac 1 2 \left (x + y + \vert x - y \vert \right ) = x = \max(x ,\, y)\".
\n\"\ast\" \"\displaystyle x + y - \vert x - y \vert =x + y - x + y =2 \, y\"
\nsoit \"\displaystyle \frac 1 2 \left (x + y - \vert x - y \vert \right ) = y = \min(x ,\, y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"x < y\" , \"\vert x - y \vert = y - x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle x + y + \vert x - y \vert =x + y + y - x =2\, y\"
\nsoit \"\displaystyle \frac 1 2 \left (x + y + \vert x - y \vert \right ) = y = \max(x ,\, y)\".
\n\"\ast\" \"\displaystyle x + y - \vert x - y \vert = x + y + x - y = 2 \,x\"
\nsoit \"\displaystyle \frac 1 2 \left (x + y - \vert x - y \vert \right ) = x = \min(x ,\, y)\".<\/p>\n

On a \u00e9tabli les relations par disjonction des cas.<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nD\u00e9terminer l’ensemble des fonctions \"f\" de \"\mathbb{N}\" dans \"\mathbb{N}\" telles que \"\forall\, (m , n) \in \mathbb{N} ^2\" , \"f( m+n ) = f(m) \, f(n)\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Analyse<\/b>
\nSi \"f\" est solution, en prenant \"m = n = 0\"
\n\"f(0) = f ^2(0)\" donc \"f(0) = 0\" ou \"f(0) = 1\".
\n\"\ast\" Si \"f(0) = 0\", \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, f(n ) = f(n + 0) = f(n) \, f(0) = 0\" donc \"f = 0\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"f(0) = 1\", \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, f(n ) = f(n + 0) = f(n) f(0)\" donc \"f(n) = 1\".
\nIl y a au plus deux solutions : les fonctions constantes \u00e9gales \u00e0 0 et \u00e0 1.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Synth\u00e8se\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Si \"f : m \mapsto 0\",
\n\"\forall\, (m , n) \in \mathbb{N} ^2\", \"\quad \quad \quad f( m+n )= 0 = f(m) \, f(n)\".
\n\"\ast\" Si \"f : m \mapsto 1\",
\n\"\forall\, (m , n) \in \mathbb{N} ^2\" , \"\quad \quad \quad f( m+n )= 1 = f(m) \, f(n)\".<\/p>\n

Le probl\u00e8me admet exactement deux solutions.<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nD\u00e9terminer les fonctions \"f\" telles que pour tout r\u00e9el \"x\", \"\quad \quad f(x) + x f(1 - x) = 1 + x\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"f\" est solution, en rempla\u00e7ant \"x\" par \"1 - x\",\u00a0pour tout r\u00e9el \"x\", \"f(1 - x) + (1 - x) f(x) = 2 - x\"
\nrelation que l’on multiplie par \"x\"
\n\"x \, f(1 - x) + x (1 - x) f(x) = 2\, x - x^2\"
\npuis en utilisant la d\u00e9finition de \"f\" : \"x f(1 - x) = 1 + x - f(x)\"
\non obtient \"1 + x - f(x) + x (1 - x) f(x) = 2\, x - x^2\"
\nen r\u00e9ordonnant \"(1 - x + x^2) \, f(x) = 1 - x + x^2\"
\nsachant que pour tout r\u00e9el \"x\", \"1 - x + x^2 \neq 0\", on obtient \"f(x) = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Synth\u00e8se\u00a0<\/b>Soit \"f : x \mapsto 1\".
\nPour tout r\u00e9el \"x\", \"\; \; f(x) + x\, f(1 - x) = 1 + x. 1 = 1 + x\"
\ndonc \"f\" est solution.<\/p>\n

Le probl\u00e8me admet une unique solution, la fonction constante \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nD\u00e9terminer toutes les fonctions \"f\, :\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" telles que,
\n\"\forall\, (x \, , \, y) \in \mathbb{R}^2 ,\" \"\quad \quad f(x). f(y) - f(x \, y)=x+y\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On va raisonner par analyse-synth\u00e8se en d\u00e9terminant des conditions n\u00e9cessaires sur \"f\" qui v\u00e9rifie cette \u00e9quation<\/a>, puis en v\u00e9rifiant que ces conditions sont suffisantes.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Analyse\u00a0<\/b>: soit \"f\" une fonction v\u00e9rifiant cette condition.
\n\"\ast\" En choisissant \"x=y=0\", on obtient \"f(0)^2 - f(0)=0\", ce qui entra\u00eene \"f(0)=0\" ou \"f(0)=1\".
\n\"\ast\" En choisissant ensuite \"x=1\" et \"y=0\", on a \"f(1)f(0)- f(0)=1\", ce qui interdit \"f(0)=0\". On a donc \"f(0)=1\" (et aussi \"f(1)=2\").
\n\"\ast\" Enfin, fixant \"y=0\", on obtient que pour tout \"x\in \mathbb{R}\", on a \"f(x)=x+1\".
\nOn a donc prouv\u00e9 que si \"f\" est solution de l’\u00e9quation, alors, pour tout r\u00e9el \"x\", \"f(x)=x+1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Synth\u00e8se\u00a0<\/b>: Soit \"f : x \mapsto x + 1\".
\nAlors, \"\forall\, (x \, , \, y) \in \mathbb{R}^2\" , on a
\n\"f(x)\, f(y)=(x+1)(y+1)\" \"f(x) \, f(y) = x\, y+x+y+1\"
\net \"f(x\, y)=x\, y+1\"
\nce qui prouve bien que \"f\" est solution de l’\u00e9quation.<\/p>\n

En conclusion, l’\u00e9quation admet une solution unique : la fonction \"f\" donn\u00e9e par\u00a0\u00a0\"f : x \mapsto x + 1\".<\/p>\n<\/div>\n

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