{"id":34743,"date":"2019-08-24T16:09:20","date_gmt":"2019-08-24T15:09:20","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34743"},"modified":"2023-09-15T09:32:27","modified_gmt":"2023-09-15T08:32:27","slug":"cours-en-ligne-sommes-produits-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-sommes-produits-maths-sup\/","title":{"rendered":"Sommes et produits – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Sommes et produits en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Ce r\u00e9capitulatif de cours sur les sommes et produits en maths sup est une ressource essentielle qui vous accompagnera tout au long de votre parcours en classes pr\u00e9paratoires. Il rev\u00eat une importance capitale de bien assimiler ces notions et de les ma\u00eetriser de mani\u00e8re approfondie. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 solliciter l’aide d’un prof particulier en maths<\/a> si vous \u00e9prouvez le moindre besoin.<\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – sommes et produits<\/h2>\n

1. Coefficients du bin\u00f4me<\/h3>\n

1. D\u00e9finition\u00a0<\/b>: Soit \"(k , n) \in \mathbb{N}^2\".
\nSi \"0 \leq k \leq n,\" \"\displaystyle \binom {n} {k}= \frac {n!} {k! \, (n - k)!}\"
\nse lit \"k\" parmi \"n\".
\nC’est le nombre de parties \u00e0 \"k\" \u00e9l\u00e9ments d’un ensemble<\/a> \"E\" contenant \"n\" \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

2. Valeurs particuli\u00e8res\u00a0<\/b>
\nPour \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 3\",\u00a0<\/b>
\n\"\displaystyle \binom {n} {1} =\binom {n} {n - 1} = n\", \"\displaystyle\binom {n} {2} = \binom {n} {n - 2 }= \frac {n(n - 1)} 2\", \"\displaystyle \binom {n} {3} = \binom {n} {n - 3 }= \frac {n(n - 1)(n - 2)} 6\".<\/p>\n

Dans la suite<\/a>, \"(k, n) \in \mathbb{N}^2\".<\/p>\n

3.\u00a0<\/b>Si \"0 \leq k \leq n\" , \"\displaystyle \binom {n} {k} = \binom {n} {n - k}\".
\n4.\u00a0<\/b>Si \"1 \leq k \leq n\", \"\displaystyle k \, \binom {n} {k} = n\, \binom {n - 1 } {k - 1}\".<\/p>\n

5. Formule du triangle de Pascal<\/b>
\nSi \"1 \leq k \leq n - 1\", \"\quad \quad \displaystyle \binom {n} {k} = \binom {n - 1 } {k - 1} + \binom {n - 1 } {k }\".<\/b><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Notations \"\sum\" et \"\prod\"<\/b><\/h3>\n

2.1. D\u00e9finitions\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0def<\/b>\u00a0: Soient \"m\" et \"n\" deux entiers tels que \"m \leq n\" et \"a_m\, , \, \cdots \, , a_n\" des complexes<\/a>, on note
\n\"a_m \, + a_{m +1}\, + \cdots \, + a_n = \displaystyle \sum _{k = m} ^n a_k\"
\n\"a_m \times a_{m +1} \times \cdots \times a_n = \displaystyle \prod _{k= m} ^n a_k\"<\/p>\n

👍 : l’indice de sommation (ou de produit) \"k\" peut \u00eatre remplac\u00e9 par un indice diff\u00e9rent de \"m\" et \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0def<\/b>\u00a0: Soient \"m\" , \"n\" et \"p\" deux entiers tels que \"m \leq n < p\" et \"(a_k)_{m \leq k \leq p}\" des complexes.
\n\"\displaystyle \sum _{k = m} ^n a_k + \sum _{k = n +1 } ^p a_k = \sum _{k m} ^p a_k\"
\n\"\displaystyle \prod _{k= m} ^n a_k \times \prod _{k= n + 1 } ^p a_k = \prod _{k= m} ^p a_k\"<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"m\" et \"n\" deux entiers tels que \"m \leq n\" et \"(a_k)_{m \leq k \leq n}\" et \"(b_k)_{m \leq k \leq n}\" deux familles de complexes
\n\"\ast\"\u00a0P1\u00a0<\/b>:
\n\"\quad \displaystyle \sum _{k = m} ^n (a_k + b_k) = \sum _{k = m} ^n a_k + \sum _{k = m} ^n b_k\"
\n\"\quad \displaystyle \prod _{k = m} ^n (a_k + b_k) = \prod _{k = m} ^n a_k \times \prod _{k = m} ^n b_k\"<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0P2<\/b>\u00a0: si \"\alpha \in \mathbb{C}\" et \"\beta \in \mathbb{C}\"
\n\"\displaystyle \sum _{k = m} ^n (\alpha\, a_k + \beta ) =\" \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \alpha \sum _{k = m} ^n a_k + (n - m + 1) \beta\".
\n\"\displaystyle \prod _{k = m} ^n (\alpha \, a_k ) = \alpha^{n - m + 1} \prod_{k = m} ^n a_k \,\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0P3\u00a0<\/b>:\u00a0 Si \"q \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle \prod _{k = m} ^n a_k^q = \left ( \prod_{k = m} ^n a_k \right ) ^q\"<\/p>\n

👍 Conseil : il faut savoir utiliser la notation \"\sum\" ou la notation \"\prod\" bien plus pr\u00e9cises que les notations utilisant des \u00a0\u00bb \"\, \cdots \,\" \u00ab\u00a0.<\/p>\n

2.2. Changement d’indices<\/b>
\nSi \"m\" et \"n\" deux entiers tels que \"m \leq n\" et si \"p \in \mathbb{Z}\", les \"(a_k)_{m \leq k \leq n}\" \u00e9tant des complexes
\n\"\bullet\" \"\displaystyle \sum _ {k = m} ^{n} a_{k + p} = \sum _ {q = m + p } ^{n + p } a_{q}\"
\n\"\quad \displaystyle \prod _ {k = m} ^{n} a_{k + p} = \prod _ {q = m + p } ^{n + p } a_{q}\"
\n(on a pos\u00e9 \"q = k + p\" ).<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \sum _ {k = m} ^{n} a_{ p - k} = \sum _ {q = p - n } ^{p - m } a_{q}\"
\n\"\quad \displaystyle \prod _ {k = m} ^{n} a_{ p - k} = \prod _ {q = p - n } ^{p - m } a_{q}\"
\n(on a pos\u00e9 \"q = p - k\").<\/p>\n

⚠️ : Les seuls changements d’indices possibles (\"k\" \u00e9tant l’ancien indice et \"q\" le nouvel indice) sont de la forme \"q = k + \textrm{Cste}\" ou \"q = \textrm{Cste} - k\" o\u00f9 \"\textrm{Cste}\" est un entier.<\/p>\n

2.3. T\u00e9lescopage<\/b>
\nQuand il s’agit de calculer
\n\"\quad \quad S = \displaystyle \sum _ {k = m} ^n \left ( a_{k + 1} - a_k \right )\",
\non \u00e9crit \"S = \displaystyle \sum _ {k = m} ^n a_{k + 1} - \sum _ {k = m} ^n a_k\"
\npuis en posant \"j = k + 1\" dans la premi\u00e8re somme :
\n\"S = \displaystyle \sum _ {j = m+1} ^{n + 1} a_{j} - \sum _ {k = m} ^n a_k = a_{n + 1} - a_ m\,\".<\/p>\n

⚠️ Il faut savoir faire de m\u00eame le calcul de \"T = \displaystyle \sum _ {k = m} ^n \left ( a_{k - 1 } - a_{k} \right )\"\u00a0qui donne \"T = a _{m - 1} - a_n\,\".<\/p>\n

2.4.Les sommes \u00e0 conna\u00eetre
\n<\/b>\"\bullet\"\u00a0Formule du<\/b>\u00a0bin\u00f4me de Newton.<\/b>
\nSi \"a , b \in \mathbb{C}\", \"\displaystyle (a + b) ^n = \sum _ {p = 0} ^n \binom {n } {p} a ^p \, b ^{n - p}\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0L’<\/b>identit\u00e9 de Bernoulli<\/b>
\nSi \"a\" et \"b\" sont complexes et \"n \in \mathbb{N }^*\"
\n\"\displaystyle a ^n - b ^n = (a - b) \, \sum _ {k = 0} ^{n - 1} a ^{n - 1 - k} \, b ^k\" \"a ^b - b^n = (a-b) \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1}a^k \, b ^{n - 1 - k}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Suite g\u00e9om\u00e9trique
\n<\/b>Si \"q \in \mathbb{C}\" et \"q \neq 1\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n q^k = \frac {1 - q^{n + 1}} {1 - q}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N} ^*\",
\n\"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k = \frac {n(n + 1)} 2\"
\n\"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^2 = \frac {n(n + 1)(2 n + 1) } 6\"
\n\"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^3 = \frac {n^2 (n + 1)^2 } 4\".<\/p>\n

D\u00e9monstrations :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On les \u00e9tablit par r\u00e9currence<\/a>
\n\"\bullet\" si \"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\quad \quad H_n\" : \"\displaystyle S _ n = \sum _ {k = 1} ^n k = \frac {n(n + 1)} 2\".
\n\"\displaystyle S _ 1 = \sum _ {k = 1} ^1 k = 1 = \frac {1(1 + 1)} 2\" donc \"H_1\" est vraie.
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie.
\n\"S_{n + 1} = S_n + n + 1 = \displaystyle (n + 1) \left( \frac n 2 + 1 \right )\"
\nsoit \"S_{n + 1} =\displaystyle \frac {(n + 1)(n + 2) } 2\".
\nOn a prouv\u00e9 \"H_{n + 1}\,\".
\nLa formule est vraie par r\u00e9currence.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"H_n\" : \"T _ n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^2 = \frac {n(n + 1)(2 n + 1) } 6\"
\n\"T _ 1 = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^1 k^2 = 1 = \frac {1(1 + 1)(2 + 1) } 6\" donc \"H_1\" est vraie.
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie.
\n\"T_{n + 1} = T_n + (n + 1)^2\" \"T_{n + 1} = \displaystyle (n + 1) \left( \frac {n(2\, n + 1)} 6 + n + 1 \right )\"
\nsoit \"T_{n + 1} =\displaystyle \frac {(n + 1) } 6 \left ( 2 \,n ^2 + n + 6 \,n + 6 \right )\"
\n\"2\, n ^2 + 7 \,n + 6 = (2 \, n + 3)(n + 2)\"
\non obtient :
\n\"T_{n + 1} = \displaystyle \frac {(n + 1)(n + 2)(2 \,n + 3)} 6\" ce qui prouve \"H_{n + 1}\,\".
\nLa formule est vraie par r\u00e9currence.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\quad H_n\" : \"U _ n =\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^3 = \frac {n^2 (n + 1)^2 } 4\"
\n\"U_ 1 = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^1 k^3 = 1 = \frac {1^2 (1 + 1)^2 } 4\" donc \"H_1\" est vraie.
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie.
\n\"U_{n + 1} = U_n + (n + 1)^3\" \" U_{n + 1} = \displaystyle (n + 1)^2 \left( \frac {n^2 } 4 + n + 1 \right )\"
\nsoit \"U_{n + 1} =\displaystyle \frac {(n + 1)^2 } 4 \left ( n ^2 + 4 \, n + 4 \right )\"
\n\"U_{n + 1} = \displaystyle \frac {(n + 1)^2 (n + 2)^2 } 4\" ce qui prouve \"H_{n + 1}\,\".
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence.<\/p>\n

Exercice\u00a0<\/b>:
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"x \neq 1\", calculer \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} k \, x ^{k }\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 :<\/strong><\/p>\n

On introduit si \"x \neq 1,\" \"f(x)= \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} x ^k = \frac {x^{n} - 1} {x - 1}\"
\nOn d\u00e9rive<\/a> :
\n\"f'(x)= \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{n - 1} k\, x ^{k - 1}\" \"f'(x) = \displaystyle \frac {n \, x^{n - 1 } } {x - 1} - \frac {x ^{n } - 1} {(x - 1) ^2}\"
\ndonc \"x \, f'(x) = \displaystyle \frac {n \, x^{n} } {x - 1} - \frac {x ^{n+1} - x} {(x - 1) ^2}\"
\net \"x \, \displaystyle f'(x) = \sum _ {k = 0} ^{n - 1} k \, x ^{k }\"
\ncar le terme pour \"k = 0\" est nul.
\nOn a prouv\u00e9 que
\n\"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} k \, x ^{k } = \frac {(n +1) \, x^{n+1 }- n\, x^n + x } {(x - 1) ^2} \;\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

3.4. Intervertir les signes sommes
\n<\/b>\"\bullet\"\u00a0les cas sans probl\u00e8mes\u00a0<\/i>
\nles bornes de sommation de la somme int\u00e9rieure ne d\u00e9pendent pas de l’indice \u00ab\u00a0ext\u00e9rieur\u00a0\u00bb :
\n\"\quad \displaystyle \sum_{k = n} ^{n'} \left ( \sum _ {i = p}^{p'} a_{i,k} \right ) = \sum_{i = p} ^{p'} \left ( \sum _ {k = n}^{n'} a_{i,k} \right )\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Les cas difficiles<\/i>
\nLes bornes de sommation de la somme int\u00e9rieure d\u00e9pendent de l’indice \u00ab\u00a0ext\u00e9rieur\u00a0\u00bb.
\na)<\/b>\u00a0\"A = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n} \left ( \sum _ {i = 0}^k a_{i,k} \right )\"
\nb)<\/b>\u00a0\"B = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n-1 } \left ( \sum _ {i = k + 1 }^n a_{i,k} \right )\".
\n👍 Il faut seulement retenir la m\u00e9thode de calcul.<\/p>\n

D\u00e9monstration du cas difficile :<\/p>\n

\n

👍 On rassemble les deux sommes en une seule somme en traduisant simultan\u00e9ment les conditions sur les indices.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re expression\u00a0<\/b>
\n\"A = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n} \left ( \sum _ {i = 0}^k a_{i,k} \right )\"
\n\"A = \displaystyle \sum _ {0 \leq i \leq k \leq n} a_{i,k}\"
\nPuis \"i\" \u00e9tant fix\u00e9 dans \"[\! [0 , n]\!]\" , \"k\" doit alors varier de \"i\" \u00e0 \"n\" :
\n\"\quad \quad A = \displaystyle \sum_{i = 0} ^{n} \left ( \sum _ {k = i}^n a_{i,k} \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Deuxi\u00e8me expression\u00a0<\/b>
\n\"B = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n-1 } \left ( \sum _ {i = k + 1 }^n a_{i,k} \right )\"
\n\"B = \displaystyle \sum _ {0 \leq k < i \leq n} a_{i,k}\"
\nPuis \"i\" \u00e9tant fix\u00e9 dans \"[\! [1 , n]\!]\" , \"k\" doit alors varier de \"0\" \u00e0 \"i - 1\" :
\n\"\quad \quad B = \displaystyle \sum_{i = 1} ^{n} \left ( \sum _ {k = 0}^{i - 1} a_{i,k} \right )\".<\/p>\n<\/div>\n

👍 Bien s\u00fbr, vous aurez peut-\u00eatre \u00e0 raisonner dans l’autre sens et \u00e0 transformer
\n\"\displaystyle \sum_{i = 0} ^{n} \left ( \sum _ {k = i}^n a_{i,k} \right )\"\u00a0\u00a0en\u00a0 \"\displaystyle \sum_{k = 0} ^{n} \left ( \sum _ {i = 0}^k a_{i,k} \right )\"
\n\"\displaystyle \sum_{i = 1} ^{n} \left ( \sum _ {k = 0}^{i - 1} a_{i,k} \right )\"\u00a0 en\u00a0 \"\displaystyle \sum_{k = 0} ^{n-1 } \left ( \sum _ {i = k + 1 }^n a_{i,k} \right )\"<\/p>\n

\n

N’h\u00e9sitez pas \u00e0 consulter les autres cours en ligne de maths au programme de MPSI, PCSI, PTSI, notamment les chapitres suivants :<\/p>\n