{"id":34745,"date":"2019-08-24T16:30:43","date_gmt":"2019-08-24T15:30:43","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34745"},"modified":"2022-07-12T12:01:23","modified_gmt":"2022-07-12T11:01:23","slug":"cours-en-ligne-exercices-sommes-produits-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-sommes-produits-maths-sup\/","title":{"rendered":"Sommes et produits – Exercices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices: Sommes et produits<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Exercices – sommes et produits MPSI, PCSI<\/h2>\n

1. QCM – Vrai\/Faux<\/h3>\n

Les relations suivantes sont- elles vraies ? Les corriger lorsqu’elles sont fausses.<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nSi \"n\in \mathbb{N}\", \"\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k (- 1) ^k = 0\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"n\in \mathbb{N}\", \"\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k = 2 ^n\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\". \"\displaystyle \sum _{k = 0} ^{\lfloor n /2 \rfloor } \binom n {2 k + 1} = 2 ^{n - 1}\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}\". \"\displaystyle \sum _{k = 0} ^{n}2 ^k = 2 ^{n + 1} - 1\".<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\" et \"\textrm{j} =\textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi /3}\,\",\u00a0 \u00a0\"\displaystyle \sum _{k = 0} ^{3\,n + 2 } j ^k = 0\".<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nSoient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"(a_k)_{1 \leq k \leq n}\" une famille de complexes<\/a>.
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \sum _{k = 1} ^{n } a_k = \sum _{p = 1} ^{n } a_{n + 1 - p} \,\".<\/p>\n

Question 7<\/b>
\nSoient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"(u_k)_k\" une suite<\/a> r\u00e9elle ou complexe.
\n\"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \left ( u_k - 2 u_{k + 1} + u_{k + 2} \right ) =\" \"\quad \quad \quad \quad \quad u_1 + u_2 - u_n - u_{n + 2}\,\".<\/p>\n

Question 8<\/b>
\nSoient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"(u_k)_k\" une suite r\u00e9elle ou complexe.
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {k =0} ^n u_{2 k} = \sum _ {k = 0} ^{2 \,n} u_p \,\".<\/p>\n

Question 9<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\".\u00a0\"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k ^3 = \left ( \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k \right ) ^2\".<\/p>\n

Question 10<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\" ,\"\quad\displaystyle \sum_{k = 0 }^{2 n + 1} a_k = \sum_{k =0 }^n a_{2 k} + \sum_{k =1 }^n a_{2 k - 1}\"<\/p>\n

Question 11<\/b>
\nSoient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"(a_k)_{1 \leq k \leq n}\" , \"(b_k)_{1 \leq k \leq n}\" deux familles r\u00e9elles ou complexes
\n\"\quad \displaystyle \left (\sum _ {k = 1} ^n a_k \right ) \, \left (\sum _ {k = 1} ^n b_k \right ) =\sum _ {k = 1} ^n a_k \, b_k\,\".<\/p>\n

Question 12<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\",\u00a0\u00a0\"\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \sum _{j = k} ^n 1 = \frac {n \, (n + 1)} 2\"<\/p>\n

Question 13<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*,\displaystyle \sum_{k = - n }^n \frac 1 {k ^2 +1} = 2 \sum_{k =0 }^n \frac 1 {k ^2 +1}\"<\/p>\n

Question 14<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\".
\nSi \"x \in \mathbb{R}^+, \, f(x) = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac 1 {k + x}\".
\na)\u00a0<\/b>Si \"k \in [\![1, \, n]\!]\", \"\displaystyle f(k) = \sum_{k = 1} ^n \frac 1 {2 \, k}\".<\/p>\n

\u00a0b)<\/b>\u00a0\"f(-2 n) + f(n) = \displaystyle \frac 1 {2 n}\".<\/p>\n

Question 15<\/b>
\nSoient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"(a_{i , j})_{0\leq i , j \leq n}\" une famille r\u00e9elle ou complexe.
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 0}^n \sum _ {j = i} ^n a_{i ,j} = \sum _ {j = i}^n \sum _ {i = 0} ^n a_{i ,j}\, \".<\/p>\n

Question 16<\/b>
\nSoient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"x\" et \"y\" des complexes
\n\"x ^{2 n + 1} + y ^{2 n + 1} =\" \"\quad\quad \quad \quad (x + y) \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{2 \, n} (- 1) ^k \, x^{k} y ^{2 n - k}\".<\/p>\n

Question 17<\/b>
\nSoient \"p\" et \"n\" des entiers tels que\u00a0 \"1 \leq p < n\",\u00a0\"\displaystyle \prod _{k = p} ^{n} k = \frac {n!} {p!}\"<\/p>\n

Question 18<\/b>
\nSoient \"p\" et \"n\" des entiers tels que \"0 \leq p < n\", \"a \in \mathbb{C}^*\" et\"(b_k)_k\"\u00a0 une famille de complexes.
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \prod _{k = p} ^{n} (a \, b_k) = a \prod _{k = p} ^{n} b_k\,\".<\/p>\n

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2. Des sommes et des coefficients du bin\u00f4me<\/b><\/h3>\n

Exercice 1<\/b>
\nSi \"x \in \mathbb{R}\", calculer \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \binom {n} {k} \, k \, x^{k - 1}\"
\net \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} {k} \, \frac {x^{k + 1}} {k + 1}\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nAppliquer la formule du triangle de Pascal pour calculer \"\displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p}\" lorsque \"1 \leq p \leq n\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nD\u00e9montrer par r\u00e9currence<\/a> que si \"0\leq p \leq n\", \"\displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p} = \binom {n + 1 } {p+ 1}\".<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nUtiliser \"\displaystyle \sum _{k = p} ^ n \binom {k}{p} = \binom {n + 1}{p+ 1}\" pour calculer\"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k\", \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k ^2\" et \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^3\".<\/p>\n

3. Des calculs de sommes<\/h3>\n

Exercice 1<\/b>
\nSi \"n > 1\", \"\displaystyle \sum _ {k = n + 1} ^{2 n} \frac 1 k \geq \frac {7} {12}\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\".
\n\"\displaystyle \sum _{k = 1} ^n (-1) ^{k + 1} k ^2 = (-1) ^n \, \frac {n(n + 1)} 2\"<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\".
\n\"\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {k ^2} {4 \, k ^ 2 - 1} = \frac {n(n + 1)} {2(2 \, n + 1)}\"<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\". Calculer \"S_n = \displaystyle \sum _{k = 1 } ^n \frac 1 {1 + 2 + \, \cdots \, + k} \,\".<\/p>\n

Exercice 5<\/b>\u00a0Formule de Vandermonde
\nSoit \"n\in \mathbb{N}^*\". \"\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k ^2 = \binom {2n} n\".<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nSoit \"n\in \mathbb{N}^*\". Calculer\u00a0\"\displaystyle \sum _{k = 0} ^n ( - 1) ^k \binom n k ^2\"<\/p>\n

Exercice 7\u00a0<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"(x_k)_{1 \leq k \leq n}\" une famille de r\u00e9els<\/a> telle que
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n x_k ^2 = \sum _ {k = 1} ^n x_k = n\",
\nalors \"\forall \, k \in [\! [1 , \, n]\!], x_ k = 1\"<\/p>\n

Exercice 8<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*, \displaystyle \sum _{k = 1}^n \binom n k \frac {(-1) ^k} k = \sum _{k = 1} ^n \frac 1 k\"<\/p>\n

Exercice 9\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", calculer \"S_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{n ^2 - 1} \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor\"<\/p>\n

Exercice 10<\/b>
\nCalculer si \"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1}^n \ln \left ( 1 + \frac 4 {k(k + 4)} \right )\".<\/p>\n

4. Calcul de produits<\/h3>\n

Exercice 1<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 2\", calculer
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \prod _ {k = 2} ^n \left ( 1 - \frac 1 {k ^2} \right )\".<\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nExprimer \u00e0 l’aide factorielles
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \prod _{k = 1} ^{n } (2\, k + 1)\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"x \in \mathbb{R}\"
\n\"\quad \quad P_n(x) = \displaystyle \prod_ {k = 1 }^n \left ( 1 + \frac {x} k \right)\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nExprimer \"P_n(x)\" en fonction<\/a> de \"x,\, n\" et \"P_n(x- 1)\" lorsque \"x \neq 0\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nExprimer si \"p \in \mathbb{N}^*\", \"P_n(p)\" \u00e0 l’aide de coefficients du bin\u00f4me.<\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>
\nSi \"n\in \mathbb{N}^*\", simplifier\u00a0\"\displaystyle \prod _{i = 1} ^{n }\; \prod _{j = 1} ^{n } i ^j\" .<\/p>\n

5. Sommes doubles<\/h3>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", calculer \"\displaystyle \sum _ {1 \leq i < j \leq n} i \, j\,\".<\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", calculer \"\displaystyle \sum _ {1 \leq i \leq j \leq n} i ^2\".<\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", calculer \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _{j = 1} ^n \min(i \, , \, j)\".<\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", calculer
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n \sum _{j = 0} ^n 2 ^{\min(i \, , \, j)}\; 3 ^{\max(i , j)}\".<\/p>\n

Exercice 5\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 2\", calculer
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n - 1} \sum _{j = i +1 } ^n \frac {i^2 } j\".<\/p>\n

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6. Formule d’inversion de Pascal<\/h3>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}\".
\nMontrer que pour tout \"i\in [\![0 \, , \, n]\!]\", \"\quad \displaystyle \sum _{k = i} ^n (-1) ^{n - k} \binom {n } k \binom {k} i = \binom n i \delta _{n , \, i}\"
\non note \"\delta_ {n , \, p} = 0\" si \"n \neq p\" et 1 si \"n = p\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoit \"N \in \mathbb{N}^*\" et \"(u_n)_{n \leq n \leq N}\" et \"(v_n)_{n \leq n \leq N}\" deux familles de r\u00e9els ou complexes.
\n\"\forall \, n \leq N ,\displaystyle u_n = \sum _{k = 0} ^n \binom n k v _k\"
\nssi \"\forall \, n \leq N ,\displaystyle v_n = \sum _{k = 0} ^n (-1) ^{n - k} \binom n k u _k \,\".<\/p>\n

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Pour aller plus loin dans les r\u00e9visions, d\u00e9couvrez de nombreux autres chapitres de Maths au programme de MPSI, PCSI et PTSI dont :<\/p>\n