{"id":34752,"date":"2019-08-24T20:22:39","date_gmt":"2019-08-24T19:22:39","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34752"},"modified":"2023-09-15T17:52:09","modified_gmt":"2023-09-15T16:52:09","slug":"cours-en-ligne-complexes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-complexes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Nombres complexes – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n
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Cours : Nombres complexes en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\r\n

<\/p>\r\n

Ce cours en ligne sur les nombres complexes en pr\u00e9pa scientifique vous accompagnera tout au long de votre parcours en CPGE. Il est primordial de bien assimiler ce chapitre et de le comprendre de mani\u00e8re approfondie. N’h\u00e9sitez pas demander de l’aide en cours de soutien de maths<\/a> si vous trouvez des points bloquants.<\/p>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – racines n-i\u00e8me de 1, forme exponentielle<\/h2>\r\n

1. Pour traduire<\/h3>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b> Pour traduire que \"Z\" est un r\u00e9el, on \u00e9crit : \"Z\" est r\u00e9el ssi \"Z = \overline{Z}\" .
M1B.<\/b>\u00a0Pour traduire que \"Z\" est un r\u00e9el non nul, on peut aussi \u00e9crire :
\"Z\" est un r\u00e9el non nul ssi il existe \"k \in \mathbb{Z}\" tel que \"\textrm{Arg }Z = k \, \pi\".<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Pour traduire que \"Z\" est un imaginaire pur,\u00a0 on \u00e9crit :\u00a0
\"Z\" est imaginaire pur ssi \"Z +\overline{Z} = 0\".
M2B.\u00a0<\/b>Pour traduire que \"Z\" est un imaginaire pur non nul, on peut aussi \u00e9crire :
\"Z\" est un imaginaire pur non nul ssi il existe \"k \in \mathbb{Z}\" tel que \"\textrm{Arg }Z = \displaystyle \frac {\pi}2 + k \, \pi\"<\/p>\r\n

👍 Dans les deux cas, il est pr\u00e9f\u00e9rable pour ne pas alourdir les calculs de remplacer les complexes par leur forme cart\u00e9sienne le plus tard possible (et m\u00eame d’\u00e9viter si c’est possible d’introduire cette forme cart\u00e9sienne).<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Pour traduire que \"Z\" est un complexe de module 1, le plus simple\u00a0 en g\u00e9n\u00e9ral est d’\u00e9crire qu’il existe un r\u00e9el \"t\" tel que \"Z = \textrm{e} ^{\textrm{i } t }\".\u00a0
Mais il peut \u00eatre utile d’utiliser : si \"Z\" est un complexe de module 1 , \"\displaystyle \frac 1 Z = \overline{Z}\".<\/p>\r\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\r\n

2. Utiliser les modules<\/b><\/h3>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b> Les complexes \"z\", \"- z\" et \"\overline{\,z\,}\" ont m\u00eame module.
\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b> Le module d’un produit de complexes est \u00e9gal au produit des modules, le module d’un quotient de complexes est \u00e9gal au quotient des modules.
\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> Un complexe \"z\" est de module 1 si, et seulement si, \"\displaystyle \frac 1 z = \overline{\,z\,}\".
\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b> Si \"z\" est un complexe, \"\quad \vert \mathcal{R}\textrm {e}(z)\vert \leq \vert z \vert\" et \"\vert \mathcal{I}\textrm {m}(z)\vert \leq \vert z \vert\".
\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0In\u00e9galit\u00e9 triangulaire :\u00a0
si \"(z , \, z') \in \mathbb{C}^2, \, \vert z + z' \vert \leq \vert z \vert + \vert z' \vert\".
Il y a \u00e9galit\u00e9 ssi \"z = 0\" ou il existe \"\lambda \in \mathbb{R}^+ ,\, z' = \lambda \, z\".\u00a0
\"\bullet\"\u00a0M6.<\/b>\u00a0Cons\u00e9quence de l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire :\u00a0
si \"(z , \, z') \in \mathbb{C}^2, \, \vert \, \vert z \vert - \vert z' \vert \, \vert \leq \vert z - z' \vert\".
\"\bullet\"\u00a0M7.<\/b> Pour tout complexe \"z\" de module 1, il existe un r\u00e9el \"t\" (unique modulo \"2 \, \pi\") tel que \"z = \cos t + \, \textrm{i} \, \sin t\".
\"\bullet\"\u00a0M8.<\/b>\u00a0L’ensemble<\/a> \"U\" des nombres complexes de module \"1\" v\u00e9rifie :
\"\quad \ast\" \"1 \in U\",\u00a0
\"\quad \ast\" si \"(z , \, z') \in U^2, z \, z' \in U\"
\"\quad \ast\" si \"z \in U, z^{-1}\in U\".
On dit que \"(U , \ast)\" est un\u00a0groupe<\/i>.<\/p>\r\n

3. Pour calculer la forme trigonom\u00e9trique d’un complexe<\/h3>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Lorsque l’on a obtenu \"Z = r \, \textrm{e} ^{\textrm{i } t }\", ⚠️ ne pas conclure h\u00e2tivement :\u00a0
\"\ast\" si \"r\" = 0, \"Z\" = 0, \"Z\" a un module nul, n’a pas d’argument,
\"\ast\" si \"r > 0\", \"\vert Z \vert = r\" et \"\quad \textrm{Arg }Z \equiv t \; [2 \pi]\".\u00a0
\"\ast\" si \"r < 0\", \"\vert Z \vert = - r\" et \"\quad \textrm{Arg }Z \equiv \pi + t \; [2 \pi]\".\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On peut faire le calcul de \"\vert Z \vert = \sqrt{Z \, \overline{Z} }\", puis \u00e9crire \"Z = \vert Z \vert (u + \textrm{i}\, v)\" , alors il reste \u00e0 trouver un r\u00e9el \"t\" tel que \"u + \textrm{i}\, v = \textrm{e} ^{\textrm{i } t }\" , c’est-\u00e0-dire \u00e0 trouver un r\u00e9el \"t\" tel que \"\cos t = u\" et \"\sin t = v\".<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"Z = x + \textrm{i}\, y\" n’est pas r\u00e9el, on peut faire le calcul de \"\vert Z \vert = \sqrt{Z \, \overline{Z} }\" et dire qu’un argument de \"Z\" est \"t\" o\u00f9\u00a0
\"\quad \ast\" \"t = \textrm{Arctan} \left ( \displaystyle \frac y x \right )\" si \"x > 0\"\u00a0
\"\quad \ast\" \"t = \pi + \textrm{Arctan} \left ( \displaystyle \frac y x \right )\" si \"x < 0\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Lorsque \"Z\" est un produit ou un quotient de deux complexes, il est souvent plus simple de calculer module et argument des deux facteurs du produit ou du quotient et d’appliquer les r\u00e8gles sur les modules et arguments des produits<\/a> ou des quotients.<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0<\/b>Lorsque \"Z = \textrm{e} ^{\textrm{i } t } \pm \textrm{e} ^{\textrm{i } t' }\", appliquer la transformation indiqu\u00e9e en M1 du \u00a74 et la m\u00e9thode d\u00e9crite en M1 de ce paragraphe.<\/p>\r\n

4. Pour simplifier<\/h3>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Pour simplifier lorsque \"t\" et \"t'\" sont r\u00e9els, \"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } + \textrm{e} ^{\textrm{i } t' }\" ou \"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } - \textrm{e} ^{\textrm{i } t' }\",\u00a0
\"\ast\" 👍 on met en facteur \u00a0\u00bb e puissance la demi- somme des exposants \u00ab\u00a0,
ce qui donne :\u00a0
\"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } \pm \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } =\" \"\quad \quad \quad \quad \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2} \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t - t')/2} \pm \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, (t - t')/2} \right )\"
\"\ast\" ou l’on conna\u00eet par coeur les r\u00e9sultats : \"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } + \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } = \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac {t - t'} 2 \right ) \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2}\"\u00a0
\"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } - \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } = \displaystyle 2\, \textrm{i}\, \sin \left ( \frac {t - t'} 2 \right ) \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2}\"
\"\ast\" En particulier, il est conseill\u00e9 de retenir les formule tr\u00e8s utilis\u00e9es :\u00a0
\u00a0\"\quad 1 + \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac t 2 \right ) \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t /2}\"\u00a0
\u00a0\"\quad 1 - \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = \displaystyle - 2 \, \textrm{i} \sin \left ( \frac t 2 \right ) \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t /2}\".\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Soient \"x\" et \"y\" deux r\u00e9els tels que \"y\" ne soit pas un multiple de \"2 \, \pi\".
Pour simplifier \"C = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \cos(x + k \, y)\" ou \"S = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \sin(x + k \, y)\",\u00a0on introduit \"T = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \textrm{e} ^{\textrm{i}\, (x + k \, y)}\", on \u00e9crit que\u00a0
\"\quad \quad C = \mathcal{R}\textrm {e}(T)\" et \"S = \mathcal{I}\textrm {m}(T)\".
On calcule \"T\" en \u00e9crivant\u00a0
\"\quad \quad \quad T =\textrm{e} ^{\textrm{i}\, x} \displaystyle \sum_{k = 0 }^n \left (\textrm{e} ^{\textrm{i}\, y} \right ) ^k\".
En notant \"q = \textrm{e} ^{\textrm{i}\, y}\neq 1\", on utilise \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n q^k = \frac {1 - q^{n + 1}} {1 - q}\".On simplifie cette somme<\/a> en utilisant la transformation d\u00e9crite en M1.\u00a0<\/p>\r\n

5. Pour calculer les racines carr\u00e9es d’un complexe \"Z\" non nul<\/h3>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Si l’on sait calculer la forme trigonom\u00e9trique<\/a> du complexe \"Z\", \"Z = r \; \textrm{e} ^{\textrm {i} \, t}\" o\u00f9 \"r > 0\", les racines carr\u00e9es de \"Z\" sont les deux complexes : \"\quad \quad u = \sqrt{r} \; \textrm{e} ^{\textrm {i} \, t/ 2}\" et \"v = - u\".<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Si l’on ne sait pas calculer la valeur d’un argument de \"Z\", on calcule les racines carr\u00e9es sous forme cart\u00e9sienne, en cherchant \"u\" racine carr\u00e9e de \"Z = a + \textrm{i} \, b\" sous la forme \"u = x + \textrm {i} \, y\" avec \"(x , \,y) \in \mathbb{R }^2\" solution du syst\u00e8me<\/a> :
\"\quad \quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&a \\ 2 \, x \, y &=&b\\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{a^2 + b ^2} \end{matrix} \right.\"
👍 la derni\u00e8re \u00e9quation \u00e9tant obtenue en \u00e9crivant que \"\vert u ^2 \vert = \vert u \vert ^2 = \vert Z \vert\".<\/p>\r\n

Un cas simple : les racines carr\u00e9es de \"a\" o\u00f9 \"a < 0\" sont \"\textrm{i } \sqrt{ - a}\" et\"- \textrm{i } \sqrt{ - a}\".<\/p>\r\n

⚠️ Important : la notation \"\sqrt{x}\" est r\u00e9serv\u00e9e aux \"x\" \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{R} ^+\", il n’y a pas de notation pour les racines carr\u00e9es du complexe \"Z\" non nul. Mais on peut dire que l’on note \"u \in \mathbb{C}\" tel que \"Z = u^2\" pour signifier que \"u\" est une racine carr\u00e9e de \"Z\".<\/p>\r\n

👍 Les racines carr\u00e9es de \"a + \textrm {i} \, b\" sont \"u_1 = \displaystyle \sqrt { \frac {a }2 + \frac 1 2 \, \sqrt{a^2 + b^2}}\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad + \varepsilon \, \textrm{i}\, \sqrt { - \frac {a }2 + \frac 1 2 \, \sqrt{a^2 + b^2} }\"\u00a0
et \"-u_1\"\u00a0
avec \"\varepsilon = 1\" si \"b \geq 0\" et \"\varepsilon = - 1\" si \"b < 0\".<\/p>\r\n

6. Pour calculer les racines \"n\"-i\u00e8mes d’un complexe non nul<\/h3>\r\n

Dans ce paragraphe, on suppose que \"n \geq 2\".
⚠️ Important : un complexe non nul a toujours \"n\" racines \"n\"-i\u00e8mes distinctes.
Il n’y a pas de notation pour les racines \"n\"-i\u00e8mes d’un complexe.
Lorsque \"n\" est pair, la notation \"\sqrt[n \,]x\" est r\u00e9serv\u00e9e aux r\u00e9els<\/a> \"x\" positifs ou nuls et lorsque \"n\" est impair, la notation \"\sqrt[n \,]x\" est r\u00e9serv\u00e9e aux r\u00e9els \"x\".\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0 On introduit la forme trigonom\u00e9trique du complexe \"Z\" : \"Z = r \, \textrm{e} ^{\textrm{i}\, t }\" et on applique le r\u00e9sultat du cours :\u00a0
\"Z\" admet \"n\" racines \"n\"-i\u00e8mes distinctes donn\u00e9es par \"z_k =\sqrt[n \,]r \; \textrm{e} ^{\textrm{i}\, (t / n + 2 \, k \, \pi/n ) }\" pour \"k \in [\! [0 , \, n - 1]\!]\" ( mais on peut aussi prendre \"n\" valeurs cons\u00e9cutives enti\u00e8res de \"k\" comme \"k \in [\! [1 , \, n]\!]\" ).<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.B.\u00a0<\/b>Dans le cas des racines \"n\"-i\u00e8mes de 1, il faut savoir que \"z_k = \omega^k\" avec \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/n }\" o\u00f9 \"k \in [\! [0 , \, n - 1]\!]\".
L’ensemble des racines \"n\"-i\u00e8mes de \"1\" est not\u00e9 \"\mathbb{U}_n\,\".\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>\u00a0On conna\u00eet une racine \"n\"-i\u00e8me du complexe \"Z\" soit par exemple \"u\" tel que \"u^n = Z\", alors les racines \"n\"-i\u00e8mes de \"Z\" sont obtenues en multipliant \"u\" par les racines \"n\"-i\u00e8mes de \"1\" soit \"z_k = u \, \omega ^k\" avec \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/n }\" et \"k \in [\! [0 , \, n - 1]\!]\".
exemples d’application<\/i>\u00a0
M2.1.<\/b>\u00a0Si \"n\" est impair, une racine \"n\" -i\u00e8me de \"-1\" est \"-1\", donc les racines \"n\"-i\u00e8mes de \"-1\" sont\u00a0
\"\quad \quad z_k = -\, \omega ^k\" avec \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/n }\"\u00a0
\"\quad \quad\" et \"k \in [\! [0 , \, n - 1]\!]\".
M2.2.\u00a0<\/b>Si \"Z \in \mathbb{R}^*\" , les trois racines cubiques de \"Z\" dans \"\mathbb {C}\" sont \"\quad \sqrt[3\, ]{Z},\, \sqrt[3\, ]{Z}\, \textrm{j},\,\sqrt[3\, ]{Z}\, \textrm{j}^2\" avec \"\textrm{j} = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/3 }\".<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0L’ensemble \"\mathbb{U}_n\" des racines \"n\"-i\u00e8mes de \"1\" v\u00e9rifie :
\"\quad \ast\" \"1 \in \mathbb{U}_n\,\"\u00a0
\"\quad \ast\" si \"(z , \, z') \in U_n^2, z \, z' \in \mathbb{U}_n\"
\"\quad \ast\" si \"z \in \mathbb{U}_n , z^{-1}\in \mathbb{U}_n\, \".
On dit que \"(\mathbb{U}_n\, , \, \ast)\" est un\u00a0groupe<\/i>.<\/p>\r\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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7. Utilisation des racines \"n\"-i\u00e8mes de 1<\/h3>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Cas des racines cubiques de 1 :
\"\quad 1\", \"\textrm{j} = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/3 }\", \"\textrm{j} ^2 = \textrm{e} ^{4 \, \textrm{i} \, \pi/3 } = \overline {\, \textrm{j}\, }\,\".
Et bien s\u00fbr \"\textrm{j}^3 = 1\".
\"1 + \textrm{j} + \textrm{j}^2 = 0\", donc \"\textrm{j}\" et \"\textrm{j}^2\" sont les racines de l’\u00e9quation \"x^2 + x + 1 = 0\".<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Si \"z_0\, ,\, z_1\, , \, \cdots\, , \, z_{n - 1}\" sont les racines \"n\"-i\u00e8mes de \"1\", il faut savoir et savoir red\u00e9montrer que :
Si \"p \in \mathbb{Z}, \, S_p = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} z_k ^p\;\",\u00a0
\"\ast\" \"S_p = n\" si \"p\" est un multiple de \"n\"\u00a0
\"\ast\" \"S_p = 0\" si \"p\" n’est pas un multiple de \"n\"<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Pour r\u00e9soudre une \u00e9quation du type \"A^n = \alpha \, B^n\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geq 2\" :
\"\ast\" a) on examine le cas o\u00f9 \"B\" s’annule, \"A\" s’annule-t-il en m\u00eame temps?
\"\ast\" b) puis on se place dans le cas o\u00f9 \"B\" ne s’annule pas, l’\u00e9quation est alors \u00e9quivalente \u00e0 \"\displaystyle \frac {A ^n} {B ^n} = \alpha\" , soit \u00e0 \"\displaystyle \frac A B\" est une racine \"n\"-i\u00e8me de \"\alpha\" .\u00a0
On r\u00e9sout donc les \"n\" \u00e9quations<\/a> obtenues \"A = z_k \, B\" o\u00f9 \"z_k\" est une racine \"n\"– i\u00e8me de \"\alpha\".<\/p>\r\n

8. \u00e9quation du second degr\u00e9 \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{C}\"<\/h3>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>R\u00e9solution de \"a\, z^2 + b\, z + c = 0\" dans \"\mathbb{C}\", les coefficients \"a , \, b\" et \"c\" \u00e9tant complexes et \"a \neq 0\".\u00a0
\"\ast\" On calcule \"\Delta = b ^2 - 4 \, a \, c\".
Mais il est alors hors de question(sauf si \"\Delta \in \mathbb{R}^+\") d’introduire la notation \"\sqrt{\Delta}\"
On note \"\delta\" une des racines carr\u00e9es de \"\Delta\", soit \"\delta ^2 = \Delta\", \"\delta\" se calcule en utilisant les m\u00e9thodes indiqu\u00e9es en \u00a74.<\/p>\r\n

\"\ast\" Les racines de l’\u00e9quation sont alors \"\quad z_1 = \displaystyle \frac {- b + \delta} {2 \, a}\" et \"z_2 = \displaystyle \frac {- b - \delta} {2 \, a}\".\u00a0
Elles sont distinctes ssi \"\Delta \neq 0\".<\/p>\r\n

\"\ast\" On a \"z_1 + z_2 = \displaystyle \frac {- b} a\" et \"z_1 \, z_2 = \displaystyle \frac {c} a\".<\/p>\r\n

👍\u00a0formules r\u00e9duites<\/i>\u00a0:\u00a0
Dans le cas o\u00f9 \"b = 2\, b'\", on peut utiliser les formules du \"\Delta\" r\u00e9duit :\u00a0
On calcule \"\Delta ' = b'^2 - a \, c\", puis \"\delta'\" tel que \"\delta'^ 2 =\Delta '\", et les racines s’obtiennent par les formules :
\"\quad z_1 = \displaystyle \frac {- b' + \delta'} { a}\" et \"z_2 = \displaystyle \frac {- b' - \delta'} { a}\".\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0\"z^2 - 2\, \cos t \, z + 1 = 0\" est une \u00e9quation qu’il vaut mieux savoir r\u00e9soudre tr\u00e8s vite : elle admet pour racines \"\textrm{e}^{ \textrm{i}\, t}\" et \"\textrm{e}^{ - \textrm{i}\, t}\".\u00a0
Les racines sont confondues ssi il existe \"k \in \mathbb {Z}\" tel que \"t = k \, \pi\". Dans ce cas, elles sont r\u00e9elles.\u00a0
Sinon, les racines sont complexes conjugu\u00e9es.<\/p>\r\n

9. Utilisation de la fonction exponentielle complexe<\/h3>\r\n
\r\n

\"\bullet\"\u00a0La d\u00e9finition<\/b>\u00a0:\u00a0
si \"z = x + \textrm{i} \, y\" o\u00f9 \"(x , y) \in \mathbb{R}^2\"
\"\textrm{e} ^z = \textrm{e} ^x \left ( \cos(y) + \textrm{i} \, \sin(y) \right ) = \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y}\"
\"\textrm{e} ^z\" est un complexe non nul, de module \"\textrm{e } ^x\" et d’argument \"y\" (modulo \"2 \, \pi\").<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\textrm{e} ^z = \textrm{e} ^{z'}\" ssi \"\exists \, k \in \mathbb{Z}, z - z' = 2 \, \textrm{i} \, k \pi\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"(z , \, z') \in \mathbb{C} ^2\" ,
\"\quad \ast\" \"\textrm{e} ^z \, \textrm{e} ^{z'} = \textrm{e} ^{z + z'}\"\u00a0
\"\quad \ast\" \"\displaystyle \frac 1 {\textrm{e} ^z } = \textrm{e} ^{- z}\"
\"\quad \ast\" \"\displaystyle \frac {\textrm{e} ^z} {\textrm{e} ^{z'} } = \textrm{e} ^{z - z'}\"\u00a0
\"\quad \ast\" si \"n \in \mathbb{Z}\", \"\left ( \textrm{e} ^z \right )^n = \textrm{e} ^{n \, z}\".<\/p>\r\n

Formules de Moivre<\/b>\u00a0: Si \"t \in \mathbb{R}\",\u00a0
\"\quad \quad \cos(t) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} + \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} \right )\"
\"\quad \quad \sin(t) = \displaystyle \frac 1 {2 \, \textrm{i}} \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} - \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} \right )\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0
Si \"a \in \mathbb{C}^*\", l’ensemble des solutions de \"\textrm{e} ^{z} = a\" est l’ensemble des complexes\u00a0
\"\quad\quad \quad \ln(\vert a \vert) + \textrm{i} \, (t + 2 k \, \pi)\"\u00a0
o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\" et \"t\" est un argument de \"a\".\u00a0
(ce r\u00e9sultat peut \u00eatre retrouv\u00e9 sans difficult\u00e9) .<\/p>\r\n

10. Plan complexe et g\u00e9om\u00e9trie<\/h3>\r\n

10.1. Plan complexe<\/b>
On appelle plan complexe \"\mathcal{P}\" un plan muni d’un rep\u00e8re orthonormal direct \"\mathcal{R}(O , \vec{i} \, , \vec{j} )\".<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0\u00c0 tout complexe \"z = x + \textrm{i}\, y\", on associe le point \"M\" de \"\mathcal{P}\" tel que \"\overrightarrow{OM} = x \, \vec{i} + y \,\vec {j}\" . On dit que \"M\" est l’image<\/i>\u00a0du complexe \"z = x + \textrm{i}\, y\" et \"z\" est l’affixe<\/i>\u00a0du point\u00a0<\/i>\"M\".
\u00c0\u00a0tout complexe \"z = x + \textrm{i}\, y\", on peut associer le vecteur \"\overrightarrow{u} = x \, \vec{i} + y \,\vec {j}\" .\u00a0
On dit que \"z\" est l’affixe du vecteu<\/i>r \"\overrightarrow{u}\" .<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"A\" est l’image de \"z\" et \"B\" est l’image de \"z'\",\u00a0
\"\ast\" l’image \"C\" de \"z + z'\" v\u00e9rifie \"\quad \quad \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\"\u00a0
(\"(O, A , C , B)\" est un parall\u00e9logramme)
\"\ast\" l’image \"D\" de \"z - z'\" v\u00e9rifie \"\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB}\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"z\" est l’affixe de \"M\", \"\vert z\vert = OM\" et si \"a\" est l’affixe de \"A\", \"\vert z - a\vert = AM\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"a \in \mathbb{C}\" et \"r > 0\", l’ensemble des points \"M\" d’affixe \"z\" tels que \"\vert z - a\vert = r\" est le cercle de centre \"A\" d’affixe \"a\" et de rayon \"r\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"z\" est un complexe non nul \u00e9crit sous la forme \"z = \vert z \vert (\cos \theta + \textrm{i} \, \sin \theta)\", \"\theta\" est une mesure modulo \"2 \, \pi\" de l’angle orient\u00e9 de vecteurs \"(\overrightarrow{i} , \, \overrightarrow{OM})\".<\/p>\r\n

10.2. Alignement et orthogonalit\u00e9<\/b>
\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Si \"A\" a pour affixe \"a\", \"B\" a pour affixe \"b\" et \"M\" a pour affixe \"z\",\u00a0
si \"Z = \displaystyle \frac {z - a} {z - b}\",\u00a0\"\vert Z \vert = \displaystyle \frac {A M} {B M}\"
\"\textrm{Arg} (Z) \equiv \textrm{mes} (\overrightarrow{BM}\, , \, \overrightarrow{A M} ) \quad [2 \, \pi]\".\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Soient \"A, B\" et \"C\" trois points 2 \u00e0 2 distincts et \"a, b, c\" leurs affixes respectives,\u00a0
\"\ast\"\u00a0M2.1.<\/b>\u00a0\"A, B\" et \"C\" sont align\u00e9s\u00a0
ssi \"\textrm{mes} (\overrightarrow{BC}\, , \, \overrightarrow{A C} ) \equiv 0\quad [\pi]\"
ssi \"\displaystyle \frac {c - a} {c - b} \in \mathbb{R}^*\".<\/p>\r\n

\"\ast\"\u00a0M2.2.\u00a0<\/b>\"(A C) \perp (B C)\"\u00a0
\u00a0ssi \"\textrm{mes} (\overrightarrow{BC}\, , \, \overrightarrow{A C} ) \equiv \displaystyle \frac {\pi} 2 \quad [ \pi]\"
ssi \"\displaystyle \frac {c - a} {c - b}\" est un imaginaire pur (non nul).\u00a0<\/p>\r\n

10.3. Transformations usuelles\u00a0<\/b>
\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Soit \"b \in \mathbb{C}\", l’application \"t\", de \"\mathcal{P}\" dans \"\mathcal{P}\", qui au point \"m\" d’affixe \"z\" associe le point \"M\" d’affixe \"z + b\", est la\u00a0translation<\/i>\u00a0de vecteur \"\overrightarrow{u}\" d’affixe \"b\" soit \"\overrightarrow{m M } = \overrightarrow{u}\".\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M2. L<\/b>‘application \"s\", de \"\mathcal{P}\" dans \"\mathcal{P}\", qui au point \"m\" d’affixe \"z\" associe le point \"M\" d’affixe \"\overline {\, z \, }\", est la sym\u00e9trie orthogonale par rapport \u00e0 l’axe \"Ox\"\u00a0
Les points \"m\" est \"M\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 \"Ox\".<\/p>\r\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"a \in \mathbb{C} \setminus \{0 , 1 \}\" et \"b \in \mathbb{C}\",\u00a0
\"\ast\" l’\u00e9quation \"z = a\, z + b\" admet une unique solution \"\omega\" .\u00a0
\"\ast\" L’application \"s\", de \"\mathcal{P}\" dans \"\mathcal{P}\", qui au point \"m\" d’affixe \"z\" associe le point \"M\" d’affixe \"Z = a z + b\" est une\u00a0similitude directe<\/i>\u00a0de centre \"\Omega(\omega)\", de rapport \"k = \vert a \vert\" et d’angle de mesure \"t \equiv \textrm{Arg} (a) \quad [2 \, \pi]\",\u00a0
c’est \u00e0 dire\u00a0
\"\ast\" \"s(\omega) = \omega\"\u00a0
\"\ast\" si \"m \neq \omega\",\u00a0\"M = s(m)\" est d\u00e9fini par :\u00a0
\"\quad \quad \Omega \, m = k \, \Omega \, M\"\u00a0
\"\quad\" et \"\textrm{mes}(\overrightarrow{\Omega \,m }, \, \overrightarrow{\Omega \, M}) \equiv t \quad [2 \, \pi]\".\u00a0<\/p>\r\n

Cas particuliers :\u00a0<\/i>
1.<\/b>\u00a0\"a\" est un r\u00e9el non nul et diff\u00e9rent de \"1\" \"s\" est une homoth\u00e9tie de centre \"\Omega\" et de rapport \"a\" soit \"\overrightarrow{\Omega M } = a \, \overrightarrow{\Omega m }\".
2.\u00a0<\/b>Si \"a = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t}\", \"s\" est une rotation de centre \"\Omega\" et d’angle \"t\".\u00a0<\/p>\r\n

👍 La\u00a0rotation<\/i> de centre \"\omega\" et d’angle \"t\" se traduit par \"m (z) \mapsto M(Z)\" avec \"Z - \omega = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t}( z - \omega)\".\u00a0<\/p>\r\n<\/div>\r\n

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R\u00e9visez les chapitres \u00e0 venir au programme de pr\u00e9pa en MPSI, PCSI et PTSI :\u00a0<\/p>\r\n