{"id":34754,"date":"2019-08-24T20:38:55","date_gmt":"2019-08-24T19:38:55","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34754"},"modified":"2022-07-12T12:17:19","modified_gmt":"2022-07-12T11:17:19","slug":"cours-en-ligne-exercices-complexes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-complexes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Nombres complexes – Exercices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Exercices : Nombres complexes en MPSI, PCSI, PTSI<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\r\n\r\n

Exercices – nombres complexes en MPSI, PCSI, PTSI<\/h2>\r\n

1. Modules et arguments<\/h3>\r\nQuestion 1 (Vrai\/faux)<\/b>\r\nLe complexe non nul \"a(\cos b + \textrm{i} \, \sin b)\" a pour argument \"b\"\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\na\/ <\/b>Red\u00e9montrer l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire et examiner le cas d’\u00e9galit\u00e9 .\r\n\r\nb\/<\/strong> Si \"z\" et \"z'\" sont des complexes,\u00a0 \"\quad \quad \quad \vert \, \vert z \vert - \vert z'\vert \, \vert \leq \vert z - z' \vert\"\r\n\r\nc\/<\/strong> Pour tout \"(a , b) \in \mathbb{C}^2\", montrer que\u00a0 \"\quad \quad \vert a \vert + \vert b \vert \leq \vert a + b \vert + \vert a - b \vert\".\r\nPr\u00e9ciser les cas d’\u00e9galit\u00e9\r\n\r\nQuestion 3<\/b>\r\n\"z\" est un imaginaire pur si, et seulement si,\r\na.\u00a0<\/b>\"\displaystyle \textrm{Arg} z \equiv \frac {\pi} 2 \quad [2\, \pi]\".\r\nb.\u00a0<\/b>\"z^2\" est un r\u00e9el<\/a> n\u00e9gatif ou nul.\r\n\r\nQuestion 4<\/b>\r\nSi \"z \in \mathbb{C}^*\", \"z\" et \"\displaystyle \frac 1 z\" ont m\u00eame partie r\u00e9elle ssi \"\vert z \vert = 1\".\r\n\r\nQuestion 5<\/b>\r\nSi \"a, b\" et \"c\" sont trois complexes de module \"1\", \"\vert a b + a c + b c \vert = \vert a + b + c \vert\".\r\n

2. Sur la fonction exponentielle<\/h3>\r\nQuestion 1<\/b>\r\nSi \"x\" est r\u00e9el, \"\overline {e ^{\textrm{i} \, x} } = e ^{ - \textrm{i} \, x}\"\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nSi \"z\" est complexe, \"\vert \textrm{e} ^{z} \vert = \textrm{e} ^{ \vert z \vert }\".\r\n\r\nQuestion 3<\/b>\r\nSi \"z\" est complexe, \"\vert \textrm{e} ^{z} \vert \leq \textrm{e} ^{ \vert z \vert }\".\r\n\r\nQuestion 4\u00a0<\/b>\r\nSi \"Z\" est un complexe non nul, les images des solutions de l’\u00e9quation \"\textrm{e}^z = Z\" sont align\u00e9es.\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. Sur les racines \"n\"-i\u00e8mes<\/b><\/h3>\r\nQuestion 1<\/b>\r\nLes racines \"2n\"– i\u00e8mes de \"1\" sont les complexes \"\textrm{e}^{\textrm {i} \, k \, \pi/n}\" o\u00f9\r\na)<\/b>\u00a0 \"k \in [\![0 , \, n - 1]\!]\"\r\nb)<\/b>\u00a0 \"k \in [\![0 , \, 2 \, n]\!]\"\r\nc)\u00a0\u00a0<\/b>\"k \in [\![- n + 1 , \, n]\!]\"\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nSi \"\vert \omega \vert = 1\", il existe \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\omega \in \mathbb{U}_n\,\".\r\n\r\nQuestion 3\u00a0<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"\omega \in \mathbb{U}_n\,\".\r\n\"\{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \} = \mathbb{U}_n \,\".\r\n\r\nQuestion 4<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}^* \,\", \"\mathbb{U}_n = \{ \overline {z} \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}\".\r\n\r\nQuestion 5<\/b>\r\nSoient \"(m , n) \in \mathbb{N}^*\".\r\n\"\mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n\" ssi \"m\" divise \"n\".\r\n\r\nQuestion 6<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\". Il existe une bijection de \"\mathbb{U}_n\" sur l’ensemble<\/a> \"V_n\" des racines \"n\"-i\u00e8mes de \"- 1\"\r\n\r\nQuestion 7<\/b>\r\nSi \"n\" est impair, \"\mathbb{U}_n = \{ z ^2 \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}\".\r\n\r\nQuestion 8<\/b>\r\nLes images \"M_k\" des racines \"n\"-i\u00e8mes de 1 sont les sommets d’un polygone r\u00e9gulier \u00e0 \"n\" c\u00f4t\u00e9s inscrit dans le cercle unit\u00e9.\r\n

3. Manipulation de complexes<\/h3>\r\nExercice 1<\/b>\r\nCalculer les racines cubiques de \"\displaystyle \frac {1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}}\". Les \u00e9crire sous forme cart\u00e9sienne et en d\u00e9duire la valeur de \"\cos(\pi/12)\" et \"\sin(\pi/12)\".\r\n\r\nExercice 2<\/b>\r\nSi \"a\" et \"b\" sont deux complexes distincts de module 1,\r\n\"u = \displaystyle \frac {z + a\, b \, \, \overline {z} - a - b } {b - a}\"\u00a0\u00a0\u00a0v\u00e9rifie \"u ^2 \leq 0\"\r\n\r\nExercice 3<\/b>\r\nR\u00e9soudre le syst\u00e8me<\/a> \"\vert z - 1 \vert = \vert z - 2\vert\" et \"\textrm{Arg} (z + \textrm{i}) \equiv \textrm{Arg} (z - 1) \; \; [2 \pi]\".\r\n\r\nExercice 4\r\nQuestion 1\u00a0<\/b>\r\nSoient deux complexes \"z\" et \"z'\".\r\n\"\vert z + z' \vert ^2 + \vert z - z' \vert ^2 = a \left ( \vert z \vert ^2 + \vert z' \vert ^2 \right )\"\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nInterpr\u00e9tation g\u00e9om\u00e9trique du r\u00e9sultat de la question 1 lorsque \"z\" et \"z'\" sont non nuls.\r\n\r\nQuestion 3<\/b>\r\nOn suppose que \"z\, z ' \neq 0\" et on note \"u\" une racine carr\u00e9e de \"z\, z'\" .\r\n\"\displaystyle \left \vert \frac {z + z'} 2 + u \right \vert + \left \vert \frac {z + z'} 2 - u \right \vert\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = a \left ( \vert z \vert + \vert z' \vert \right )\"\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t
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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n \r\n

4. Modules et arguments de trigonom\u00e9trie<\/h3>\r\nExercice 1<\/b>\r\na)<\/b>\u00a0Trouver la forme trigonom\u00e9trique du\u00a0 complexe :\r\n\"\quad \displaystyle Z = \left ( \frac {1 + \sqrt{2} + \textrm{i}} {1 - \sqrt{2} - \textrm{i}} \right ) ^n\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}^*\".\r\n\r\nTrouver la forme trigonom\u00e9trique<\/a> du complexe\r\n\"\quad \quad Z' = ( 1 + \cos t - \textrm{i} \, \sin t ) ^n\"\r\nsi \"n \in \mathbb{N}^*\"\u00a0 et\u00a0\"t \in [0 , 2 \pi[\".\r\n\r\nExercice 2<\/b>\r\nSoit \"a\" un r\u00e9el.\r\nOn note \"p = \sin(a) + \textrm{i} \, \cos(a)\".\r\nOn note \"Z_1\" et \"Z_2\" les racines de l’\u00e9quation \"Z ^2 - 2 \, p \, Z + 1 = 0\".\r\n\r\nQuestion 1<\/b>\r\nSans calculer explicitement \"Z_1\" et \"Z_2\" , comparer leurs modules et leurs arguments.\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nD\u00e9terminer \"a\" pour que \"Z_1\" et \"Z_2\" soient r\u00e9els, puis pour qu’ils soient imaginai- res purs.\r\n\r\nQuestion 3\u00a0<\/b>\r\nCalculer les modules et arguments de \"Z _ 1 - p\" et \"Z_2 - p\".\r\n\r\nQuestion 4<\/b>\r\nSi \"\cos a < 0\",\u00a0 \"Z_1 + \textrm{i}\" et \"Z_2 + \textrm{i}\" ont m\u00eame module \u00e0 exprimer en fonction<\/a> de \"a\".\r\n

5. \u00c9quations<\/h3>\r\nExercice 1<\/b>\r\nR\u00e9soudre dans \"\mathbb{C}\" :\r\n\"\quad 2 \, z^2 - 2(2 +\, \textrm{i} ) z + 22 \, \textrm{i} - 3 = 0\".\r\n\r\nExercice 2<\/b>\r\nR\u00e9soudre \"\; \; z^4 + 2(1 - 4 \, \textrm{i}) z^2 +33 +56 \, \textrm{i} = 0\".\r\n\r\nExercice<\/b>\u00a03\r\nR\u00e9soudre lorsque \"z\" est un complexe, l’\u00e9quation<\/a>\r\n\"\quad \quad \textrm{e}^{ 4 z} + 3\, \textrm{e}^{ 3 z} + 8\, \textrm{e}^{ z} + 24 = 0\".\r\n\r\nExercice 4<\/b>\r\nR\u00e9soudre dans \"\mathbb{C}\" l’\u00e9quation\r\n\"\quad \quad Z^{2\, n} - 2\, Z^n \, \sin(t) + 1 = 0\",\r\no\u00f9 \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 2\".\r\n\r\nExercice 5<\/b>\r\nOral Mines Telecom MP 2018\r\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"z^3 + (1 + \textrm{i} ) z^2 + (4 - \, \textrm{i} ) z + 12 - 6 \, \textrm{i} = 0\" sachant qu’elle a une racine r\u00e9elle.\r\nQue dire du triangle form\u00e9 par les images des trois racines ?\r\n\r\nExercice 6<\/b>\r\nQuestion 1<\/b>\r\nQuel est l’ensemble des nombres complexes \"z\" tels que \"\quad \quad \quad \quad \vert z -1\vert = \vert \overline{z} +1\vert\" ?\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nPour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", l’\u00e9quation\u00a0\"(z - 1) ^n = (\overline{z} + 1) ^n\" n’a pas de\u00a0 solution.\r\n\r\nExercice 7<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}\" , \"n \geq 2\" et \"a \in [0 , \, 2 \pi[\"\r\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"(E)\" : \"\quad \quad (1 + z)^n = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} (1 - z) ^n\".\r\n
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