{"id":34757,"date":"2019-08-24T21:04:51","date_gmt":"2019-08-24T20:04:51","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34757"},"modified":"2022-07-12T12:22:55","modified_gmt":"2022-07-12T11:22:55","slug":"cours-en-ligne-corriges-complexes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-complexes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Nombres complexes – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Corrig\u00e9s : Nombres complexes en MPSI, PCSI, PTSI<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\r\n\r\n

Corrig\u00e9s- nombres complexes en MPSI, PCSI, PTSI<\/h2>\r\n

1. Modules et arguments<\/h3>\r\nQuestion 1 (Vrai\/faux)<\/b>\r\nLe complexe non nul \"a(\cos b + \textrm{i} \, \sin b)\" a pour argument \"b\"\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nFaux. \"\ast\" Si \"a > 0\", \"z\" a un module \u00e9gal \u00e0 \"a\" et un argument congru \u00e0 \"b\",\r\n\"\ast\" Si \"a < 0\", le module de \"z\" est \u00e9gal \u00e0 \"- a\", et son argument est congru \u00e0 \"\pi + b\" modulo \"2 \pi\" car on \u00e9crit\r\n\"\quad \quad \quad z = ( - a) \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi} \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, b}\" .\r\n\r\n⚠️ \u00e0 ne pas r\u00e9pondre trop vite en oubliant la discussion sur le signe de \"a\".\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\na\/<\/strong> Si \"z\" et \"z'\" sont des complexes,\u00a0 \"\quad \quad \quad \vert \, \vert z \vert - \vert z'\vert \, \vert \leq \vert z - z' \vert\"\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. \"\ast\" En appliquant l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire : \"\vert z\vert = \vert z - z' + z'\vert\"\r\n\"\vert z\vert \leq \vert z - z'\vert + \vert z'\vert\"\r\ndonc \"\vert z\vert - \vert z'\vert \leq \vert z - z'\vert\" .\r\n\"\ast\" En \u00e9changeant \"z\" et \"z'\", \"\vert z'\vert - \vert z\vert \leq \vert z' - z\vert\"\r\net comme \"\vert z' - z\vert = \vert z - z'\vert\", \"\vert z'\vert - \vert z\vert \leq \vert z - z'\vert\"\r\nEn utilisant si \"a \leq b\" et \"- a \leq b\", \"\vert a \vert \leq b\", on a donc prouv\u00e9 l’in\u00e9galit\u00e9.\r\n\r\nb\/<\/strong> Pour tout \"(a , b) \in \mathbb{C}^2\", montrer que\u00a0 \"\quad \quad \vert a \vert + \vert b \vert \leq \vert a + b \vert + \vert a - b \vert\".\r\nPr\u00e9ciser les cas d’\u00e9galit\u00e9\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\bullet\"\u00a0D\u00e9monstration de l’in\u00e9galit\u00e9.<\/b>\r\n\"\ast\" On \u00e9crit \"\vert 2\, a\vert = \vert (a + b) + (a - b)\vert\",\r\ndonc \"2 \, \vert a \vert \leq \vert a + b \vert + \vert a - b\vert \quad (1)\"\r\n\r\n\"\ast\" En \u00e9changeant \"a\" et \"b\" et en utilisant \"\vert b - a \vert = \vert a- b \vert\", on obtient\r\n\"\quad 2 \, \vert b \vert \leq \vert a + b\vert + \vert a - b\vert \quad (2)\".\r\n\r\n\"\ast\" Par demi-somme des in\u00e9galit\u00e9s (1) et (2), on obtient :\r\n\"\quad\quad \vert a \vert + \vert b \vert \leq \vert a + b \vert + \vert a - b \vert\".\r\n\r\n\"\bullet\" Il y a \u00e9galit\u00e9 ssi (1) et (2) sont des \u00e9galit\u00e9s ssi\r\n(\"a + b = 0\" ou \"a - b = \lambda (a + b)\" avec \"\lambda \geq 0\")\r\nou (\"a + b = 0\" ou \"b - a =\mu (a + b)\" avec \"\mu \geq 0\")\r\nssi \"b = - a\" ou \"b - a = 0\" ssi \"b = \pm a\".\r\nI y a donc deux cas d’\u00e9galit\u00e9 si \"a \neq b\" et un seul si \"a = b\".\r\n\r\nQuestion 3<\/b>\r\n\"z\" est un imaginaire pur si, et seulement si,\r\na.\u00a0<\/b>\"\displaystyle \textrm{Arg} z \equiv \frac {\pi} 2 \quad [2\, \pi]\".\r\nb.\u00a0<\/b>\"z^2\" est un r\u00e9el n\u00e9gatif ou nul.\r\n\r\nCorrig\u00e9<\/strong> :\r\n
Seule l’affirmation b) est juste car \"0\" est un imaginaire pur qui n’a pas d’argument.<\/div>\r\nQuestion 4<\/b>\r\nSi \"z \in \mathbb{C}^*\", \"z\" et \"\displaystyle \frac 1 z\" ont m\u00eame partie r\u00e9elle ssi \"\vert z \vert = 1\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nFaux car si \"z = 2\, \textrm{i}\", les parties r\u00e9elles de \"z\" et \"\displaystyle \frac 1 z\" sont nulles et \"\vert z \vert = 2\".\r\nSi \"z = x + \textrm{i} \, y\" , \"\displaystyle\frac 1 z = \frac {\overline{z}} {\vert z \vert ^2} = \frac {x } {x ^2 + y ^2} - \textrm{i} \frac y {x^2 + y^2}\"\r\n\"z\" et \"\displaystyle \frac 1 z\" ont m\u00eame partie r\u00e9elle ssi \"x(x^2 + y ^2 - 1) = 0\" ssi \"x = 0\" ou \"\vert z \vert = 1\".\r\n\r\nQuestion 5<\/b>\r\nSi \"a, b\" et \"c\" sont trois complexes de module \"1\", \"\vert a b + a c + b c \vert = \vert a + b + c \vert\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. Les 3 complexes ont pour module 1 donc \"\overline {a} = \displaystyle \frac 1 a\", \"\overline {b} = \displaystyle \frac 1 b\" et \"\overline {c} = \displaystyle \frac 1 c\".\r\n\"\displaystyle \vert a + b + c \vert = \left \vert \; \overline {a + b + c} \; \right \vert\"\r\n\"\vert a + b + c \vert = \displaystyle \left \vert \frac 1 a + \frac 1 b + \frac 1 c \right \vert\"\r\nen r\u00e9duisant au m\u00eame d\u00e9nominateur\r\n\"\vert a + b + c \vert = \displaystyle \frac {\vert b\, c + a \, c + a\, b \vert } {\vert a\, b\, c \vert }\" \"\vert a + b + c \vert = \vert b \,c + a\, c + a\, b \vert\"\r\ncar le module de \"a\, b\, c\" est \u00e9gal \u00e0 1.\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n \r\n

2. Sur la fonction exponentielle<\/h3>\r\nQuestion 1<\/b>\r\nSi \"x\" est r\u00e9el, \"\overline {e ^{\textrm{i} \, x} } = e ^{ - \textrm{i} \, x}\"\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. \"e ^{ \textrm{i} \, x}= \cos(x) + \textrm{i} \, \sin(x)\"\r\n\"e ^{ - \textrm{i} \, x}= \cos(- x) + \textrm{i} \, \sin(-x)\"\r\n\"e ^{ - \textrm{i} \, x}= \cos(x) - \textrm{i} \, \sin(x)\" est le conjugu\u00e9 de \"e ^{ \textrm{i} \, x}\".\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nSi \"z\" est complexe, \"\vert \textrm{e} ^{z} \vert = \textrm{e} ^{ \vert z \vert }\".\r\n\r\nCorrig\u00e9<\/strong> :\r\n\r\nFaux. Prendre \"z = \textrm{i}\".\r\n\"\vert \textrm{e} ^{z} \vert = 1\" et \"\textrm{e} ^{ \vert z \vert } = \textrm{e}^1\"\r\ndonc \"\vert \textrm{e} ^{z} \vert \neq \textrm{e} ^{ \vert z \vert }\".\r\n\r\nQuestion 3<\/b>\r\nSi \"z\" est complexe, \"\vert \textrm{e} ^{z} \vert \leq \textrm{e} ^{ \vert z \vert }\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. On \u00e9crit \"z = x + \, \textrm{i} \, y\", \"\vert \textrm{e} ^{z} \vert = \textrm{e} ^{x}\".\r\nPuis on utilise \"x \leq \vert x \vert \leq \vert z \vert\" et la croissance de la fonction exponentielle<\/a> sur \"\mathbb{R}\" : \"\textrm{e} ^{x} \leq \textrm{e} ^{ \vert z \vert }\".\r\n\r\nQuestion 4\u00a0<\/b>\r\nSi \"Z\" est un complexe non nul, les images des solutions de l’\u00e9quation \"\textrm{e}^z = Z\" sont align\u00e9es.\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. On note \"Z = \rho \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, t}\" o\u00f9 \"\rho > 0\" et \"t \in \mathbb{R}\".\r\nOn \u00e9crit \"z = x + \textrm{i} \, y\" avec \"(x , y) \in \mathbb{R}^2\".\r\n\"\textrm{e}^z = Z\" ssi \"\textrm{e} ^x \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, y} = \rho \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, t}\"\r\nssi \"\textrm{e} ^x = \rho\" et \"\exists \, n \in \mathbb{Z}\, , \, y = t + 2\, n \, \pi\"\r\nssi \"x = \ln(\rho)\" et \"\exists \, n \in \mathbb{Z}\, , \, y = t +2 \, n \, \pi\,\".\r\n\r\nLes images des solutions sont align\u00e9es sur la droite d’\u00e9quation \"x = \ln(\rho)\".\r\n

2. Sur les racines \"n\"-i\u00e8mes<\/b><\/h3>\r\nQuestion 1<\/b>\r\nLes racines \"2n\"– i\u00e8mes de \"1\" sont les complexes \"\textrm{e}^{\textrm {i} \, k \, \pi/n}\" o\u00f9\r\na)<\/b>\u00a0 \"k \in [\![0 , \, n - 1]\!]\"\r\nb)<\/b>\u00a0 \"k \in [\![0 , \, 2 \, n]\!]\"\r\nc)\u00a0\u00a0<\/b>\"k \in [\![- n + 1 , \, n]\!]\"\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nLa bonne r\u00e9ponse est c. On calcule les racines \"2\, n\"– i\u00e8mes d’un complexe non nul en utilisant \"2\, n\" valeurs cons\u00e9cutives enti\u00e8res de \"k\".\r\nSeule la r\u00e9ponse c) donne \"2\, n\" valeurs enti\u00e8res cons\u00e9cutives de \"k\".\r\n\r\n👍 Remarque : en g\u00e9n\u00e9ral, on choisit les valeurs de \"k\" entre \"0\" et \"2\, n - 1\". Mais il est possible de choisir comme ici \"k\" entre \"-(n - 1)\" et \"n\", ce qui permet alors de remarquer que si l’on note \"z_ k = \textrm{e}^{\textrm {i} \, k \, \pi/n}\", \"z_0 = 1\",\u00a0 \"z_n = - 1\" et si \"k \in [\![1 , \, n - 1]\!]\" \"z_{ - k}\" et \"z_k\" sont conjugu\u00e9s.\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nSi \"\vert \omega \vert = 1\", il existe \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\omega \in \mathbb{U}_n\,\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nFaux. On note \"\omega = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \sqrt{2}\, \pi}\";\u00a0 \"\vert \omega \vert = 1\"\r\nS’il existait \"n \in \mathbb{N}^*\" tel que \"\omega \in \mathbb{U}_n\,\", on aurait \"\omega ^n = 1\" donc \"\textrm{e} ^{\textrm{i} \, n\, \sqrt{2}\, \pi} = 1\".\r\nIl existerait \"k \in \mathbb{Z}\" tel que \"n\, \sqrt{2}\, \pi = 2 \, k \, \pi\" alors \"\displaystyle\sqrt{2} = \frac {2 k} {n}\" donc \"\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\" ce qui est absurde.\r\n👍 On rappelle la d\u00e9monstration de \"\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\".\r\nSi l’on avait \"\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\", il existerait \"p\" et \"q\" dans \"\mathbb{N}^*\" tels que \"\displaystyle\sqrt{2} = \frac {p} {q}\".\r\nEn \u00e9crivant \"p = 2 ^{p'}\, (2\, p'' + 1)\" et \"q = 2 ^{q'}\, (2 \, q'' + 1)\" et en simplifiant par \"2 ^{\min (p' ,\, q')}\", on peut se ramener au cas o\u00f9 \"p\" et \"q\" ne sont pas tous les deux pairs ce que l’on suppose dans la suite.\r\nAlors \"\displaystyle 2 = \frac {p^2 } {q^2}\" , donc \"2 \, q^2 = p ^2\"\r\n\"p\" est pair (car \"p\" impair implique \"p ^2\" impair).\r\nOn \u00e9crit \"p = 2 \, p'\" et on simplifie par 2 :\r\n\"2\, q^2 = 4\, {p'} ^2 \Rightarrow q^2 = 2\, {p'} ^2\", donc \"q\" est pair, ce qui contredit l’hypoth\u00e8se sur \"p\" et \"q\".\r\nOn a prouv\u00e9 que \"\sqrt{2}\" est irrationnel.\r\n\r\nQuestion 3\u00a0<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"\omega \in \mathbb{U}_n\,\".\r\n\"\{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \} = \mathbb{U}_n \,\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nFaux. \"V = \{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \}\"\r\nLa propri\u00e9t\u00e9 est fausse : par exemple, en prenant \"\omega = 1\" , \"V\" ne contient qu’un \u00e9l\u00e9ment ou pour \"n = 2 \, p\" avec \"p > 2\" , \"\omega = - 1\" , \"V\" ne contient que 2 \u00e9l\u00e9ments.\r\n\r\n👍 Pour aller plus loin en MPSI\u00a0 (n\u00e9cessite le cours d’arithm\u00e9tique<\/a>) :\r\n\"\bullet\" Dans le cas o\u00f9 \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, p \, \pi/ n }\" avec \"p\" et \"n\" premiers entre eux, alors \"V = \mathbb{U}_n\,\".\r\nIl est \u00e9vident que \"V \subset \mathbb{U}_n \,\".\r\nPour prouver l’\u00e9galit\u00e9, on d\u00e9montre que \"V\" a \"n\" \u00e9l\u00e9ments.\r\n\r\nSoient \"( k , k ') \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] ^2\;\" tels que \"\omega ^k = \omega ^{k'}\",\u00a0\"\omega ^{k - k'} =1\"\r\nOn peut supposer par sym\u00e9trie que \"k \geq k'\".\r\nDonc il existe \"q \in \mathbb{Z}\" tel que \"\displaystyle \frac {2 \, p \, (k - k')\pi} n = 2 \, q \, \pi\" \"\Rightarrow \displaystyle \frac { p \, (k - k')} n = q \,\"\r\n
\r\n\r\ndonc \"p(k - k') = q \, n\".\r\n\"n\" divise \"p(k - k')\" et est premier avec \"p\", donc \"n\" divise \"k - k'\" par le lemme de Gauss.\r\nComme \"0 \leq k \leq n - 1\", \"0 \leq k' \leq n - 1\" et \"k \geq k'\", \"0 \leq k - k' < n\" et est un multiple de \"n\".\r\nOn en d\u00e9duit que \"k - k' = 0\".\r\nOn a donc prouv\u00e9 que \"V\" contient \"n\" \u00e9l\u00e9ments donc \"V = \mathbb{U}_n\,\".\r\n\r\n \r\n\r\n\"\bullet\" R\u00e9ciproquement si \"V = \mathbb{U}_n\,\" avec \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, p \, \pi/ n }\" , alors \"p\" et \"n\" sont premiers entre eux.\r\nEn effet si \"V = \mathbb{U}_n\,\", \"1 \in V\", donc il existe \"k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\" tel que \"\omega ^k = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/ n }\" soit \"\textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, p \, k \, \pi/ n } = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/ n }\".\r\nIl existe \"q \in \mathbb{Z}\" tel que \"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {2 \, p \, k \, \pi} n = \frac {2 \, \pi} n + 2 \, q \, \pi\"\r\nce qui donne \"p \, k - q \, n= 1\", donc par la relation de Bezout, \"n\" et \"p\" sont premiers entre eux.\r\n\r\nConclusion<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, p \, \pi/ n }\".\r\n\"\{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \} = \mathbb{U}_n \;\"\u00a0 ssi \"p\" et \"n\" sont premiers.\r\n\r\n<\/div>\r\nQuestion 4<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}^* \,\", \"\mathbb{U}_n = \{ \overline {z} \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. Soit \"V = \{ \overline {z} \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}\"\r\n\"\bullet\" Il est \u00e9vident que \"V \subset \mathbb{U}_n\,\".\r\n\"\bullet\" On note \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/ n }\".\r\nOn sait que \"\mathbb{U}_n = \{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \}\".\r\n\"V\" contient \"\{ \omega ^{- k} \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \}\"\r\nqui est l’ensemble<\/a> des racines \"n\" -i\u00e8mes de 1, car \"-k\" prend \"n\" valeurs cons\u00e9cutives enti\u00e8res.\r\nDonc \"\mathbb{U}_n \subset V\".\r\nPar double inclusion, \"\mathbb{U}_n = V\".\r\n\r\nQuestion 5<\/b>\r\nSoient \"(m , n) \in \mathbb{N}^*\".\r\n\"\mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n\" ssi \"m\" divise \"n\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. \"\bullet\" Si \"m\" divise \"n\", on \u00e9crit \"n = p \, m\" avec \"p \in \mathbb{N}^*\".\r\nSi \"z \in \mathbb{U}_m\" , \"z ^m = 1\", donc \"z ^n = (z ^m) ^p = 1 ^p = 1 \Rightarrow z \in \mathbb{U}_n\,\".\r\nOn a prouv\u00e9 que \"\mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n\,\".\r\n\r\n\"\bullet\" On suppose que \"\mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n\,\".\r\nOn note \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/ m } \in \mathbb{U}_m \,\"\r\nalors \"\omega ^n = 1\" donc \"\textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, n \, \pi/ m } = 1\",\u00a0il existe \"p \in \mathbb{Z}\" tel que \"\displaystyle \frac {2 \, \pi \, n } m = 2 \, \pi\, p\" donc \"n = m \, p\" et \"m\" divise \"p\".\r\n\r\nQuestion 6<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\". Il existe une bijection de \"\mathbb{U}_n\" sur l’ensemble \"V_n\" des racines \"n\"-i\u00e8mes de \"- 1\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. On note \"a = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi / n}\"\r\nil est \u00e9vident que \"a ^n = - 1\".\r\nAlors \"V_n = \{ a \, \omega ^k \,, \, k \, \in \, [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\}\",\r\no\u00f9 \"\omega = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \pi / n}\"\r\net \"U_n = \{\omega ^k \,, \, k \, \in \, [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\}\,\".\r\n\r\nL’application \"\varphi : \mathbb{U}_n \to V_n\" , \"\omega _ k \mapsto a \, \omega ^k\" est une bijection.\r\n\r\nQuestion 7<\/b>\r\nSi \"n\" est impair, \"\mathbb{U}_n = \{ z ^2 \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. On note \"V = \{ z ^2 \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}\"\r\nComme \"z ^n = 1\", \"(z^2) ^n = 1\", donc \"V \subset \mathbb{U}_n\,\".\r\nOn note \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi / n}\".\r\nOn sait que \"U_n = \{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\}\".\r\nAlors \"V= \{ \omega ^{2 \, k} \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\}\,\".\r\nSoient \"0 \leq k' \leq k \leq n - 1\",\r\n\"\omega ^{2 k} = \omega ^{2 k'}\" ssi \"\omega ^{2 k - 2 k'} = 1\"\r\nssi \"\exists\, q \in \mathbb{Z}, \, \displaystyle \frac {4 (k - k') \pi } {n} = 2 \, q \, \pi\"\r\nssi \"\exists \,q \in \mathbb{Z}, \, \displaystyle \frac {2 (k - k') } {n} = \, q\".\r\n\r\nComme \"0 \leq k' \leq k < n\", \"\quad \quad \quad \displaystyle 0 \leq \frac {2 (k - k') } {n} < 2\",\r\non en d\u00e9duit que \"q = 0\" ou \"q = 1\".\r\nSi l’on avait \"q = 1\", alors \"2 (k - k') = n\", donc \"n\" est pair ce qui est exclu.\r\nOn en d\u00e9duit que \"q= 0\" et donc \"k = k'\".\r\n\r\n\"V\" contient donc \"n\" \u00e9l\u00e9ments distincts et est inclus dans \"\mathbb{U}_n\" qui a aussi \"n\" \u00e9l\u00e9ments, alors \"V = \mathbb{U}_n\,\".\r\n\r\nQuestion 8<\/b>\r\nLes images \"M_k\" des racines \"n\"-i\u00e8mes de 1 sont les sommets d’un polygone r\u00e9gulier \u00e0 \"n\" c\u00f4t\u00e9s inscrit dans le cercle unit\u00e9.\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nVrai. On note \"z_k = \textrm{e} ^{2 \textrm{i} \, k \pi / n}\" o\u00f9 \"k \in [\![0 , \, n - 1] \!]\" l’affixe de \"M_k\,\".\r\nOn remarque que \"z_n = z_0\" et \"z_{k + 1} = \omega \, z_k\" o\u00f9 \"\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/n}\" .\r\nSi \"k \in [\![0 , \, n - 1] \!]\", \"\quad \vert z_{k + 1} - z_k \vert = \vert z_k \vert \, \vert \omega - 1 \vert = \vert \omega - 1 \vert\"\r\nComme \"M_k\, M_{k + 1}= \vert \omega - 1\vert\", les c\u00f4t\u00e9s du polygone ont m\u00eame longueur \u00e9gale \u00e0 \"2 \sin ( \pi / n)\", on obtient un polygone r\u00e9gulier et les sommets sont sur le cercle de centre \"O\" et de rayon \"1\".\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t
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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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3. Manipulation de complexes en maths sup<\/h3>\r\nExercice 1<\/b>\r\nCalculer les racines cubiques de \"\displaystyle \frac {1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}}\". Les \u00e9crire sous forme cart\u00e9sienne et en d\u00e9duire la valeur de \"\cos(\pi/12)\" et \"\sin(\pi/12)\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"u = \displaystyle \frac {1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}} = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/4}\" admet comme racines cubiques les complexes :\r\n\"v_1 = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/12}\"\r\n\"v_2 = \textrm{j}\, v_1 = \textrm{e} ^{3\, \textrm{i} \, \pi/4}\"\r\net \"v_3 = \textrm{j} ^2 \, v_1 = \textrm{e} ^{11 \, \textrm{i} \, \pi/12}\".\r\n\r\nComme \"v_2 = \displaystyle \frac {- 1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}}\", \"v_1 = \textrm{j} ^2 \, v_2 \,\".\r\n\"v_1 = \displaystyle \left ( \frac {- 1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}} \right ) \left ( \frac {- 1 - \textrm{i} \, \sqrt{3} } {2}\right )\"\r\nen \u00e9galant les parties r\u00e9elles et imaginaires :\r\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \frac {1 + \sqrt {3}} {2 \, \sqrt{2}}\" \"\quad \quad \textrm{et } \displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt {3} - 1 } {2 \, \sqrt{2}}\" .\r\n\r\nExercice 2<\/b>\r\nSi \"a\" et \"b\" sont deux complexes distincts de module 1,\r\n\"u = \displaystyle \frac {z + a\, b \, \, \overline {z} - a - b } {b - a}\"\u00a0\u00a0\u00a0v\u00e9rifie \"u ^2 \leq 0\"\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nOn introduit des r\u00e9els<\/a> \"\alpha\" et \"\beta\" tels que \"a = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \alpha}\" et \"b = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \beta}\" (le coefficient 2 permet de simplifier les calculs qui suivent en \u00e9vitant les facteurs \"1/2\") :\r\n\"b - a = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \beta} - \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \alpha}\"\r\n\"b - a = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, (\beta + \alpha) } \left ( \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, (\beta - \alpha) } - \textrm{e} ^{ -\textrm{i} \, (\beta - \alpha) } \right )\"\r\n\"b - a = 2\, \textrm{i} \, \sin(\beta - \alpha)\, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, (\beta + \alpha) }\"\r\net \"b + a = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \beta} + \, \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \alpha}\"\r\n\"b + a = \textrm{e} ^{ \, \textrm{i} \, (\beta + \alpha) } \left ( \textrm{e} ^{ \, \textrm{i} \, (\beta - \alpha) } + \,\textrm{e} ^{- \, \textrm{i} \, (\beta - \alpha) } \right )\"\r\n\"b + a = 2 \, \cos(\beta - \alpha)\, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, (\beta + \alpha) }\".\r\nOn note \"\gamma = \alpha + \beta\".\r\n\r\n\"v = z + a\, b \, \, \overline {z} - a - b\"\r\n\"v = z + \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \gamma} \, \overline {z} - 2 \cos(\beta - \alpha)\, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \,\gamma }\"\r\n\"v = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \gamma } \left ( z \;\textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \gamma } + \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \gamma } \; \overline {z} - 2\, \cos(\beta - \alpha) \right )\"\r\n\r\nOn note \"A = z \; \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \gamma }\". Alors\r\n\"v = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \,\gamma } \left ( A + \overline {A } - 2 \, \cos(\beta - \alpha) \right )\"\r\n\"v = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \gamma }\, r\" o\u00f9 \"r \in \mathbb{R}\".\r\n\r\nDonc \"u = \displaystyle \frac {r} {2 \, \textrm{i} \sin(\beta - \alpha)}\" est un imaginaire pur, son carr\u00e9 est n\u00e9gatif ou nul.\r\n\r\nExercice 3<\/b>\r\nR\u00e9soudre le syst\u00e8me<\/a> \"\vert z - 1 \vert = \vert z - 2\vert\" et \"\textrm{Arg} (z + \textrm{i}) \equiv \textrm{Arg} (z - 1) \; \; [2 \pi]\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\bullet\" R\u00e9solution de la premi\u00e8re \u00e9quation\r\nen notant \"z = x + \textrm{i} \, y\" :\r\n\"\vert z - 1 \vert = \vert z - 2 \vert \Leftrightarrow \vert z - 1 \vert^2 = \vert z - 2 \vert ^2\"\r\n\"\Leftrightarrow (x - 1) ^2 + y ^2 = (x - 2) ^2 + y ^2\"\r\n\"\Leftrightarrow -2\, x + 1 = - 4 \, x + 4 \Leftrightarrow 2\, x = 3\"\r\n\r\n\"\bullet\" R\u00e9solution de la deuxi\u00e8me \u00e9quation\r\nen notant \"z = x + \textrm{i} \, y\",\r\n\"\textrm{Arg} (z + \textrm{i}) \equiv \textrm{Arg} (z - 1) \; \; [2 \pi]\"\r\n\"\Leftrightarrow Z = \displaystyle \frac {z + \textrm{i}} {z - 1} \in \mathbb{R}^{+*}\"\r\n\"\displaystyle \Leftrightarrow Z = \frac {x + \textrm{i}\, (y - 1) } {x - 1 +\, \textrm{i}\, y } \in \mathbb{R}^{+*}\"\r\nen multipliant par la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e\r\n\"\Leftrightarrow (x + \textrm{i}\, (y + 1) )(x - 1 - \,\textrm{i}\, y) \in \mathbb{R}^{+*}\"\r\n\"\Leftrightarrow (x (x - 1) + y(y + 1) > 0\" \"\; \; \textrm{et } (x - 1) (y + 1) - x\, y = 0\"\r\n\"\Leftrightarrow x (x - 1) + y(y + 1) > 0\"\"\; \; \textrm{et } x - y - 1 = 0\".\r\n\r\nLa premi\u00e8re \u00e9quation donnait \"x = 3/2\".\r\nLa relation sur les arguments devient alors\r\n\"\displaystyle \frac 3 4 + y(y - 1) > 0\" et \"y = \displaystyle \frac 1 2\" \"\Leftrightarrow y = \displaystyle \frac 1 2\"\r\nLe syst\u00e8me admet une seule solution \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac {3 + \, \textrm{i}} 2\".\r\n\r\nExercice 4\r\nQuestion 1\u00a0<\/b>\r\nSoient deux complexes \"z\" et \"z'\".\r\n\"\vert z + z' \vert ^2 + \vert z - z' \vert ^2 = a \left ( \vert z \vert ^2 + \vert z' \vert ^2 \right )\"\r\n\r\nCorrig\u00e9<\/strong> :\r\n
\"a = \vert z + z' \vert ^2 + \vert z - z' \vert ^2\"\r\n\"a = (z + z') (\overline{z} + \overline {z'}) + (z - z') (\overline{z} - \overline {z'})\"\r\n\"a = 2 \, z \, \overline {z} + 2 \, z' \, \overline {z'}\"\r\nles termes \"z \, \overline {z'}\" et \"z' \, \overline {z}\" s’\u00e9liminant\r\n\"a = 2 \, \vert z \vert ^2 + 2 \, \vert z' \vert ^2\"\r\nce qui justifie la relation.<\/div>\r\nQuestion 2<\/b>\r\nInterpr\u00e9tation g\u00e9om\u00e9trique du r\u00e9sultat de la question 1 lorsque \"z\" et \"z'\" sont non nuls.\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nOn note \"A\" (resp. \"B\") le point d’affixe \"z\" (resp. \"z'\").\r\nLe point \"C\" d’affixe \"z + z'\" est tel que \"O\, A \,C \, B\" soit un parall\u00e9logramme.\r\nLe point \"D\" d’affixe \"z - z'\" est tel que \"\overrightarrow{OD}= \overrightarrow{BA}\".\r\nOn a \u00e9tabli que \"\quad \quad OC^2 + A B^2 = 2 \, OA^2 + 2 \, OB^2\"\r\nDans un parall\u00e9logramme, la somme des carr\u00e9s des longueurs des 4 c\u00f4t\u00e9s est \u00e9gale \u00e0 la somme<\/a> des carr\u00e9s des longueurs des deux diagonales.\r\n\r\nQuestion 3<\/b>\r\nOn suppose que \"z\, z ' \neq 0\" et on note \"u\" une racine carr\u00e9e de \"z\, z'\" .\r\n\"\displaystyle \left \vert \frac {z + z'} 2 + u \right \vert + \left \vert \frac {z + z'} 2 - u \right \vert\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = a \left ( \vert z \vert + \vert z' \vert \right )\"\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nOn note \"Z\" et \"Z'\" deux r\u00e9els tels que \"Z ^2 = z\" et \"Z'^2 = z'\", alors \"(Z \, Z') ^2 = u ^2\".\r\nOn peut supposer gr\u00e2ce \u00e0 la sym\u00e9trie du probl\u00e8me que \"Z \, Z' = u\".\r\n\"\displaystyle A = \left \vert \frac {z + z'} 2 + u \right \vert + \left \vert \frac {z + z'} 2 - u \right \vert\"\r\n\"2 A = \vert Z ^2 + {Z'} ^2 + 2 \, Z \, Z' \vert\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, \vert Z ^2 + {Z'} ^2 - 2\, Z \, Z' \vert\"\r\n\"2 A = \vert (Z + Z')^2 \vert + \vert (Z - Z')^2 \vert\"\r\n\"2 A = \vert Z + Z' \vert ^2 + \vert Z - Z' \vert ^2\"\r\n\"2 A = 2 \, \vert Z \vert ^2 + 2\, \vert {Z'} \vert ^2\"\r\nd’apr\u00e8s la question 1.\r\n\"A = \vert Z^2 \vert + \vert {Z'} ^2 \vert\"\r\n\"A = \vert z \vert + \vert {z'}\vert\".\r\nLa relation est v\u00e9rifi\u00e9e pour \"a = 1\".\r\n

5. Modules et arguments<\/h3>\r\nExercice 1<\/b>\r\na)<\/b>\u00a0Trouver la forme trigonom\u00e9trique du\u00a0 complexe :\r\n\"\quad \displaystyle Z = \left ( \frac {1 + \sqrt{2} + \textrm{i}} {1 - \sqrt{2} - \textrm{i}} \right ) ^n\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}^*\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\ast\" \"1 + \textrm{i} = \sqrt{2} \; \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi / 4}\"\r\ndonc \"Z _1 = 1 + \sqrt{2} + \textrm{i} = \sqrt{2} \left ( 1 + \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi / 4} \right )\"\r\nOn rappelle que \"\quad \quad \displaystyle 1 + \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = 2\, \cos \left (\frac t 2 \right )\, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t/ 2 }\".\r\n\"Z _1 = \displaystyle 2 \, \sqrt{2}\, \cos \left ( \frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi / 8}\".\r\n\r\n\"\ast\" \"1 - \textrm{i} = \sqrt{2} \; \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \pi / 4}\"\r\ndonc \"Z _2 = 1 - \sqrt{2} - \textrm{i} = \sqrt{2} \left ( 1 - \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \pi / 4} \right )\"\r\nOn rappelle que \"\quad \quad \displaystyle 1 - \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = - 2\textrm{i} \sin\left (\frac t 2 \right ) \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t/ 2 }\".\r\n\"Z _2 = \displaystyle 2 \, \sqrt{2}\, \sin \left ( \frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, \pi / 8}\".\r\n\r\n\"\ast\" On note \"\displaystyle \textrm{cotan} \left (\frac {\pi} 8 \right ) = \displaystyle \frac 1 {\tan {(\pi/8)}}\"\r\n\"\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \textrm{cotan}\left (\frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{i} \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/4}\" \"\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \textrm{cotan}\left (\frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{e} ^{3 \, \textrm{i} \, \pi/4}\"\r\n\"\displaystyle \left ( \frac {Z_1} {Z_2} \right ) ^n = \textrm{cotan}^n \left (\frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{e} ^{3 \, \textrm{i} \, n \, \pi/4}\"\r\n\r\n\"Z\" a pour module : \"\displaystyle \textrm{cotan}^n \left (\frac {\pi} 8 \right )\" et pour argument \"\displaystyle \frac {3 \, n \pi} 8\".\r\n\r\n\"\ast\" On calcule \"\displaystyle \textrm{cotan} \left (\frac {\pi} 8 \right )\".\r\n\"\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \frac {(1 + \sqrt{2} + \textrm{i})(1 - \sqrt{2} + \textrm{i})} {(1 - \sqrt{2})^2 + 1}\"\r\n\"\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \frac {1 - 2 - 1 + 2\, \, \textrm{i}} {1 + 2 - 2 \, \sqrt{2} + 1 }\"\r\n\"\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \frac { - 1 + \, \textrm{i}} {2 - \, \sqrt{2} }\"\r\n\"\displaystyle \left \vert \frac {Z_1} {Z_2} \right \vert = \frac { \sqrt{2}} {2 - \, \sqrt{2} } =\frac { 1} {\sqrt{2} - 1 }\"\r\ndonc \"\displaystyle \textrm{cotan} \left (\frac {\pi} 8 \right ) = {\sqrt{2} + 1 }\" en utilisant la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e.\r\n\r\n\"\ast\"\u00a0Autre m\u00e9thode<\/i>\u00a0:\r\nOn peut montrer que \"\displaystyle \tan \left (\frac {\pi} 8 \right ) = \sqrt{2} - 1\".\r\nEn notant \"t = \displaystyle \tan \left (\frac {\pi} 8 \right )\" et en utilisant \"\quad \quad \tan (2 \, x) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(x)} {1 - \tan^2(x)}\",\r\non obtient \"1 = \displaystyle \frac {2 \, t} {1 - t ^2}\" donc \"1 - t ^2 = 2 \, t\".\r\nL’\u00e9quation \"t ^2 + 2 \, t - 1 = 0\" admet deux racines dont une seule est positive : \"\sqrt{2 } - 1\".\r\n\"\displaystyle \textrm {cotan} \left (\frac {\pi} 8 \right ) = \frac 1{\sqrt{2 } - 1} = \sqrt{2} + 1\".\r\n\r\nb\/<\/strong> Trouver la forme trigonom\u00e9trique<\/a> du complexe\r\n\"\quad \quad Z' = ( 1 + \cos t - \textrm{i} \, \sin t ) ^n\"\r\nsi \"n \in \mathbb{N}^*\"\u00a0 et\u00a0\"t \in [0 , 2 \pi[\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n
\"1 + \cos t - \textrm{i} \, \sin t = 1 + \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, t}\"<\/div>\r\n
\r\n\r\n\"1 + \cos t - \textrm{i} \, \sin t = \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac t 2 \right ) \, \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, t/2 } \"\r\ndonc \"Z' = \displaystyle 2^n\, \cos^n \left ( \frac t 2 \right )\, \, \textrm{e} ^{ - n \, \textrm{i} \, t/2 } \"\r\n\r\n \r\n\r\n\"\ast\" si \"\displaystyle \cos \left ( \frac t 2 \right ) = 0\" soit si \"t = \pi\", \"Z' = 0\" n’a pas d’argument.\r\n\r\n\"\ast\" si \"t \in\, [0 , \, \pi[\", \"\displaystyle \cos \left ( \frac t 2 \right ) > 0\",\r\n\"Z'\" admet \"\displaystyle 2^n \cos^n \left ( \frac t 2 \right )\" pour module et \"\displaystyle \frac { - n \, t} 2\" pour argument.\r\n\r\n\"\ast\" si \"t \in\; ]\pi , \, 2 \, \pi[\", \"\displaystyle \cos \left ( \frac t 2 \right ) < 0\",\r\n… si \"n\" est pair, \"Z'\" admet \"\displaystyle 2^n \cos^n \left ( \frac t 2 \right )\"\r\npour module et \"\displaystyle \frac { - n \, t} 2\" pour argument.\r\n… si \"n\" est impair, le module de \"Z'\" est \"\displaystyle - 2^n \cos^n \left ( \frac t 2 \right )\"\u00a0et son argument est \"\displaystyle \pi - \frac { n \, t} 2\".\r\n\r\n<\/div>\r\nExercice 2<\/b>\r\nSoit \"a\" un r\u00e9el.\r\nOn note \"p = \sin(a) + \textrm{i} \, \cos(a)\".\r\nOn note \"Z_1\" et \"Z_2\" les racines de l’\u00e9quation \"Z ^2 - 2 \, p \, Z + 1 = 0\".\r\n\r\nQuestion 1<\/b>\r\nSans calculer explicitement \"Z_1\" et \"Z_2\" , comparer leurs modules et leurs arguments.\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nComme \"Z_1 \, Z_2 = 1\", alors \"\vert Z _ 1 \vert \; \vert Z_2 \vert = 1\" donc les modules sont inverses l’un de l’autre\r\npuis \"\textrm{Arg} (Z _ 1) + \textrm{Arg} (Z_2) \equiv 0 \; \; [2 \pi]\", les arguments sont oppos\u00e9s.\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nD\u00e9terminer \"a\" pour que \"Z_1\" et \"Z_2\" soient r\u00e9els, puis pour qu’ils soient imaginai- res purs.\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"Z_1\" et \"Z_2\" sont r\u00e9els, \"Z_1 + Z_2 = 2 \, p\" est r\u00e9el, donc \"\cos (a) = 0\", donc \"p = \pm 1\"\r\nR\u00e9ciproquement si \"p = 1\", l’\u00e9quation \"Z ^2 - 2\, p \, Z + 1 = 0\" admet une racine double \u00e9gale \u00e0 1, et si \"p = - 1\",\u00a0 elle a dune racine double \u00e9gale \u00e0 \"- 1\" .\r\nConclusion :<\/i>\r\nLes racines sont r\u00e9elles ssi \"\cos(a) = 0\".\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"Z_1\" et \"Z_2\" sont imaginaires purs , \"Z_1 + Z_2 = 2 \, p\" est imaginaire pur, donc \"\sin(a) = 0\", donc \"p = \pm\, \textrm{i}\".\r\nR\u00e9ciproquement\r\n\"\ast\" si \"p = \textrm{i}\", les racines de l’\u00e9quation \"\quad Z ^2 - 2\, p \, Z + 1 = (Z - \textrm{i} ) ^2 + 2 = 0\"\r\nsont \"\textrm{i}(\sqrt{2} + 1)\" et \"\textrm{i}(1 - \sqrt{2})\" et sont imaginaires pures\r\n\"\ast\" si \"p = - \textrm{i}\", les racines de l’\u00e9quation \"\quad Z ^2 - 2 \, p\, Z + 1 = (Z + \textrm{i} ) ^2 + 2 = 0\" sont \"\textrm{i}(\sqrt{2} - 1)\" et \"- \textrm{i}(1 + \sqrt{2})\" et sont imaginaires pures\r\nConclusion\u00a0<\/i>:\r\nLes racines sont imaginaires pures ssi \"p = \pm \,\textrm{i}\".\r\n\r\nQuestion 3\u00a0<\/b>\r\nCalculer les modules et arguments de \"Z _ 1 - p\" et \"Z_2 - p\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nOn \u00e9crit \"(Z - p) ^2 = p ^2 - 1\".\r\n\"p = - \textrm{i} \; \textrm{e}^{ - \textrm{i} \, a}\"\r\n\"p ^2 - 1 = - \textrm{e}^{ -2 \, \textrm{i} \, a} - 1\"\r\n\"p ^2 - 1 = - 2 \, \cos(a) \; \textrm{e}^{ - \, \textrm{i} \, a} \".\r\nOn est donc amen\u00e9 \u00e0 discuter selon le signe de \"- \cos a\".\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"\cos(a) = 0\", on a une racine double \u00e9gale \u00e0 \"p\" car \"p ^2 = \sin^2 a = 1\",\r\ndonc de module \u00e9gal \u00e0 1 et d’argument nul (resp . \u00e9gal \u00e0 \"\pi\") si \"p = 1\" (resp. \"p = - 1\").\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"\cos a < 0\", on se ram\u00e8ne au cas o\u00f9\r\n\"\quad \quad Z_1 - p = \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}\"\r\n\"\quad \textrm{et } Z_2 - p = - \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}\".\r\nLeur module commun est \"\sqrt{-\cos a}\", les arguments respectifs \"- \displaystyle \frac a 2\" et \"\pi - \displaystyle \frac a 2\".\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"\cos a > 0\", on se ram\u00e8ne au cas o\u00f9\r\n\"\quad \quad Z_1 - p = \sqrt{\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \,( a/2+\pi/2)}\"\r\n\"\quad \textrm{et } Z_2 - p = - \sqrt{\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \,( a/2+\pi/2)}\".\r\nLeur module commun est \"\sqrt{\cos a}\,\", les arguments respectifs \" \displaystyle \frac {- a - \pi} 2 \" et \"\displaystyle \frac { \pi - a } 2 \".\r\n\r\nQuestion 4<\/b>\r\nSi \"\cos a < 0\",\u00a0 \"Z_1 + \textrm{i}\" et \"Z_2 + \textrm{i}\" ont m\u00eame module \u00e0 exprimer en fonction de \"a\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nDans le cas o\u00f9 \"\cos a < 0\",\r\n\"Z_1 = p + \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}\"\r\net \"Z_2 = p - \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}\"\r\n\r\n\"Z_1 + \textrm{i} = p + \textrm{i} + \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}\"\r\n\r\nor \"p + \textrm{i} = \textrm{i} (1 + \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, a})\"\r\n\"p + \textrm{i} = 2 \, \textrm{i} \, \cos(a/2) \, \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, a/ 2 }\"\r\n\r\n\"Z_1 + \textrm{i} = \left ( \sqrt{-\cos a} + 2 \textrm{i} \cos(a/2) \right ) \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, a/ 2 }\"\r\net \"Z_2 + \textrm{i} = \left ( - \sqrt{-\cos a} + 2 \textrm{i} \cos(a/2) \right ) \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, a/ 2 }\"\r\ndonc \"\vert Z_1 + \textrm{i}\vert ^2 = \vert Z_2 + \textrm{i}\vert ^2\"\r\n\"\vert Z_1 + \textrm{i}\vert ^2 = - \cos(a) + 4 \cos^2(a / 2)\"\r\n\"\vert Z_1 + \textrm{i}\vert ^2 = - \cos(a) + 2 \cos(a) + 2\" \"\vert Z_1 + \textrm{i}\vert ^2 = \cos(a) + 2\"\r\n\"\vert Z_1 + \textrm{i}\vert = \sqrt{\cos(a) + 2}\".\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n \r\n

4. \u00c9quations<\/h3>\r\nExercice 1<\/b>\r\nR\u00e9soudre dans \"\mathbb{C}\" :\r\n\"\quad 2 \, z^2 - 2(2 +\, \textrm{i} ) z + 22 \, \textrm{i} - 3 = 0\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\bullet\" On calcule le discriminant de l’\u00e9quation\r\n\"\Delta = 4(2 + \, \textrm{i} )^2 - 8( 22 \, \textrm{i} - 3)\"\r\n\"\Delta = 4 (4 + 4 \, \textrm{i} - 1 - 44 \, \textrm{i} + 6)\"\r\n\"\Delta = 4 (9 - 4 0\, \textrm{i})\".\r\n\r\n\"\bullet\" Puis l’on d\u00e9termine les racines carr\u00e9es de \"9 - 4 0\, \textrm{i}\" en cherchant des r\u00e9els \"x\" et \"y\" tels que \"9 - 4 0\, \textrm{i} = (x + \, \textrm{i} \, y)^2\", pour cela on \u00e9gale les parties r\u00e9elles et imaginaires de cette relation, et en \u00e9crivant que le module de \"(x + \, \textrm{i} \, y)^2\" (soit le carr\u00e9 du module de \"x + \, \textrm{i}\, y\")\u00a0 est \u00e9gal au module de \"\Delta\", on obtient le syst\u00e8me:\r\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&9 \\ 2 \, x \, y &=&- 40\\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{81 + 1600} \end{matrix} \right.\"\r\n\"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&9 \\ 2 \, x \, y &=&- 40\\ x^2 + y ^2 &=& 41 \end{matrix} \right.\"\r\n\"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2 &=&25 \\ 2 \, x \, y &=&- 40\\y ^2 &=& 16 \end{matrix} \right.\"\r\nOn obtient \"(5 - 4 \, \textrm{i}) ^2 = 9 - 4 0\, \textrm{i}\"\r\ndonc \"\Delta = \delta^2\" avec \"\delta = 2(5 - 4 \, \textrm{i})\"\r\n\r\n\"\bullet\" Les racines de l’\u00e9quation sont \"\displaystyle z _ 1 = \frac {2 +\, \textrm{i} + 5 - 4 \, \textrm{i}} 2= \frac {7 - 3 \, \textrm{i}} 2\"\r\net \"\displaystyle z _ 2 = \frac {2 +\, \textrm{i} - 5 + 4 \, \textrm{i}} 2= \frac {-3 + 5 \, \textrm{i}} 2\".\r\n\r\nExercice 2<\/b>\r\nR\u00e9soudre \"\; \; z^4 + 2(1 - 4 \, \textrm{i}) z^2 +33 +56 \, \textrm{i} = 0\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\bullet\" On pose \"Z = z^2\" et on r\u00e9sout l’\u00e9quation du second degr\u00e9 (1)\r\n\"\quad 2\, Z^2 + 2(1 - 4 \, \textrm{i}) Z +33+56 \, \textrm{i} = 0\".\r\nSon discriminant r\u00e9duit est \u00e9gal \u00e0\r\n\"\Delta' = (1 - 4 \, \textrm{i})^2 - 33 - 56 \, \textrm{i}\"\r\n\"\Delta' = - 48 - 64 \, \textrm{i} = 16 ( - 3 - 4 \, \textrm{i})\"\r\non cherche les racines carr\u00e9es de \"\Delta'/ 16\" soit \"u = x + \textrm {i} \, y\" avec \"(x , \,y) \in \mathbb{R }^2\" tel que \"u ^2 = - 3 - 4 \, \textrm{i}\"\r\ndonc on r\u00e9sout le syst\u00e8me :\r\n\"\left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&- 3 \\ 2 \, x \, y &=&- 4 \\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{9+16} = 5 \end{matrix} \right.\"\r\nssi \"x^2 = 1, y ^2 = 4\" et \"x \, y < 0\"\r\nalors \"(1 - 2 \, \textrm{i}) ^2 = - 3 - 4 \, \textrm{i}\"\r\net \"\delta' = 4(1 - 2 \, \textrm{i})\" v\u00e9rifie \"\delta{ '} ^2 = \Delta'\"\r\n\r\nLes solutions de l’\u00e9quation (1) sont\r\n\"u_1 = - 1 + 4 \, \textrm{i} + 4(1 - 2 \, \textrm{i}) = 3 - 4 \, \textrm{i}\"\r\net \"u_2 = - 1 + 4 \, \textrm{i} - 4(1 - 2 \, \textrm{i}) = -5 +12 \, \textrm{i}\"\r\n\r\n\"\ast\" On r\u00e9sout \"z ^2 = u_1 = 3 - 4 \, \textrm{i}\" .\r\nEn posant \"z = x + \textrm{i} \, y\", on r\u00e9sout le syst\u00e8me\r\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&3 \\ 2 \, x \, y &=& - 4 \\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{9 + 16} = 5 \end{matrix} \right.\"\r\nssi \"x^2 = 4 , y ^2 = 1\" et \"x \, y <0\".\r\nOn obtient les deux premi\u00e8res racines \"2 - \textrm{i}\" et \"- 2 + \, \textrm{i}\".\r\n\r\n\"\ast\" On r\u00e9sout \"z ^2 = u_2 = - 5 +12 \, \textrm{i}\" .\r\nEn posant \"z = x + \textrm{i} \, y\", on r\u00e9sout le syst\u00e8me\r\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&- 5 \\ 2 \, x \, y &=&12 \\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{25 + 144} = 13 \end{matrix} \right.\"\r\nssi \"x^2 = 4 , y ^2 = 9\" et \"x \, y >0\".\r\nOn obtient les deux derni\u00e8res racines \"2 + 3 \, \textrm{i}\" et \"- 2 -3 \, \textrm{i}\".\r\n\r\nLes 4 racines de l’\u00e9quation sont\r\n\"\quad 2 - \, \textrm{i}, - 2 + \, \textrm{i}, 2 + 3 \, \textrm{i}\" et \"- 2 -3 \, \textrm{i}\".\r\n\r\nExercice<\/b>\u00a03<\/strong>\r\nR\u00e9soudre lorsque \"z\" est un complexe, l’\u00e9quation\r\n\"\quad \quad \textrm{e}^{ 4 z} + 3\, \textrm{e}^{ 3 z} + 8\, \textrm{e}^{ z} + 24 = 0\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\ast\" On pose \"X = \textrm{e}^{ z}\" et on r\u00e9sout l’\u00e9quation\r\n\"X^4 + 3 X + 8(X + 3) = 0\" dont on a une factorisation \u00e9vidente :\r\n\"(X + 3) (X ^3 + 8) = 0\" ssi \"X = - 3\" ou \"X^3 = - 8 = ( - 2)^3\".\r\nLes racines cubiques de \"(-2)^3\" sont donc \"- 2\" , \"- 2 \, \textrm{j}\" et \"- 2 \, \, \textrm{j} ^2\".\r\n\r\nIl reste 4 \u00e9quations<\/a> \u00e0 r\u00e9soudre\r\n\"\ast\" \"\textrm{e}^{ z} = - 3\" \"\Leftrightarrow \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 3 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi}\"\r\n\"\Leftrightarrow x = \ln(3) ,\, y = \pi + 2 \, k\, \pi\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\".\r\n\r\n\"\ast\" \"\textrm{e}^{ z} = - 2\" \"\Leftrightarrow \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 2 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi}\"\r\n\"\Leftrightarrow x = \ln(2) ,\, y = \pi + 2 \, k\, \pi\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\".\r\n\r\n\"\ast\" \"\textrm{e}^{ z} = - 2 \, \textrm{j}\" \"\Leftrightarrow \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 2 \, \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, \pi/3 }\"\r\n\"\Leftrightarrow x = \ln(2) ,\, y = \displaystyle \frac { - \pi} 3 + 2 \, k\, \pi\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\".\r\n\r\n\"\ast\" \"\textrm{e}^{ z} = - 2 \, \textrm{j}^2\" \"\Leftrightarrow \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 2 \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi/3 }\"\r\n\"\Leftrightarrow x = \ln(2) ,\, y = \displaystyle \frac { \pi} 3 + 2 \, k\, \pi\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\".\r\n\r\nLes solutions sont les complexes\r\n\"\ln(3) + \textrm{i} \, (\pi + 2 \, k_1\, \pi)\",\r\n\"\ln(2) + \textrm{i} \, (\pi + 2 \, k_2\, \pi)\",\r\n\"\displaystyle \ln(2) + \textrm{i} \, \left (- \frac {\pi} 3 + 2 \, k_3\, \pi \right )\",\r\n\"\displaystyle \ln(2) + \textrm{i} \, \left ( \frac {\pi} 3 + 2 \, k_4\, \pi \right )\",\r\no\u00f9 \"(k_1 \, , \, k_2 \, , \, k_3 \, , k _ 4) \in \mathbb{Z} ^4\".\r\n\r\nExercice 4<\/b>\r\nR\u00e9soudre dans \"\mathbb{C}\" l’\u00e9quation\r\n\"\quad \quad Z^{2\, n} - 2\, Z^n \, \sin(t) + 1 = 0\",\r\no\u00f9 \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 2\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n
\r\n\r\nOn pose \"Z^n = u\" et on commence par r\u00e9soudre l’\u00e9quation ainsi obtenue :\r\n(E’) \"u^2 - 2 \, u \, \sin(t) + 1 = 0\"\r\n\"\Delta = 4 (\sin^2(t) - 1) = - 4 \cos^2(t)\" \"\Delta = (2 \, \textrm{i} \, \cos(t)) ^ 2\".\r\n\r\n \r\n\r\nL’\u00e9quation (E’) a deux racines (\u00e9ventuellement confondues) :\r\n\"u_1 = \sin(t) + \textrm{i} \, \cos(t) = \textrm{i} (\cos(t) - \textrm{i} \, \sin(t))\"\r\n\"u_1 = \textrm{e}^{ \textrm{i} \, (\pi/2 - t)}\"\r\net \"u_2 = \sin(t) - \textrm{i} \, \cos(t) = - \textrm{i} (\cos(t) + \textrm{i} \, \sin(t))\"\r\n\"u_2 = \textrm{e}^{ \textrm{i} \, (- \pi/2 + t)}\"\r\n\r\nIl reste \u00e0 calculer les racines ni\u00e8mes de \"u_1\" et \"u_2\" en utilisant le r\u00e9sultat de cours.\r\nLes racines de l’\u00e9quation \"(E)\" sont donc \"Z_k = \textrm{e}^{ \textrm{i} \, (\pi/2 - t + 2 \, k \, \pi)/n }\" et \"Z'_k =\textrm{e}^{ \textrm{i} \, (- \pi/2 + t + 2 \, k\, \pi)/n }\" o\u00f9 \"k \in [\![0 , \, n - 1]\!]\".\r\n\r\n<\/div>\r\nExercice 5<\/b>\r\nOral Mines Telecom MP 2018\r\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"z^3 + (1 + \textrm{i} ) z^2 + (4 - \, \textrm{i} ) z + 12 - 6 \, \textrm{i} = 0\" sachant qu’elle a une racine r\u00e9elle.\r\nQue dire du triangle form\u00e9 par les images des trois racines ?\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\bullet\" On cherche une solution r\u00e9elle \"a\" en s\u00e9parant partie r\u00e9elle et partie imaginaire de l’\u00e9quation, on obtient les CNS :\r\n\"\quad \left \{\begin{matrix} a^3 + a^2 + 4\, a + 12 &=&0 \\a^2 - a - 6&=&0\end {matrix} \right.\"\r\n\"a^2 - a - 6 = (a + 2)(a - 3)\",\r\n3 n’est pas racine de la premi\u00e8re \u00e9quation, mais \"-2^3 + 4 - 8 + 12 = 0\", donc \"- 2\" est racine r\u00e9elle de l’\u00e9quation.\r\n\r\n\"\bullet\" On cherche des complexes \"b\" et \"c\" tels que\r\n\"P(z) =\" \" z^3 + (1 + \textrm{i} ) z^2 + (4 - \, \textrm{i} ) z + 12 - 6 \, \textrm{i}\"\r\ns’\u00e9crive \"P(z) = (z + 2)(z ^2 + b\, z + c)\"\r\n\"P(z) = z^3 + (2 + b)\, z^2 + (2\, b + c) + 2\, c\"\r\npar \u00e9galit\u00e9 de deux fonctions polyn\u00f4mes<\/a>, on obtient les CNS :\r\n\"\quad \quad \left \{\begin{matrix} 2 + b &=&1 + \textrm{i} \\2\, b + c &=&4 - \, \textrm{i}\\ 2 \, c &=& 12 - 6\, \textrm{i}\end {matrix} \right.\"\r\nce qui donne \"c = 6 - 3\, \textrm{i}\" et \"b = \textrm{i} - 1\".\r\n\r\n\"\bullet\" On r\u00e9sout \"z^2 + (\textrm{i} - 1) z + 6 - 3 \, \textrm{i} = 0\".\r\nOn calcule le discriminant :\r\n\"\Delta = (\textrm{i} - 1) ^2 - 24 + 12 \, \textrm{i} = - 24 + 10 \, \textrm{i}\".\r\n\r\nOn cherche \"x\" et \"y\" r\u00e9els tels que \"(x + \textrm{i} \, y) ^2 =\Delta = - 24 + 10 \, \textrm{i}\"\r\nce qui donne le syst\u00e8me :\r\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&- 24 \\ 2 \, x \, y &=&10 \\ x^2 + y ^2 &=& 2 \sqrt{144 + 25 } = 26 \end{matrix} \right.\"\r\non obtient \"x ^2 = 1\" , \"y^2 = 25\" et \"x \, y > 0\".\r\nDonc \"(1 + 5 \, \textrm{i}) ^2 = \Delta\".\r\n\r\nLes deux autres racines de l’\u00e9quation sont\r\n\"b = \displaystyle \frac {1 - \, \textrm{i} + 1 + 5 \, \textrm{i}} 2 = 1 + 2 \, \textrm{i}\"\r\net \"c = \displaystyle \frac {1 - \, \textrm{i} - 1 - 5 \, \textrm{i} } 2 = - 3 \, \textrm{i}\".\r\n\r\n\"\bullet\" On note \"a = - 2\",\u00a0\u00a0\"b - a= 3 + 2 \, \textrm{i}\" et \"c - a = 2 - 3 \, \textrm{i}= - \, \textrm{i}( b - a)\"\r\n\"\ast\"\u00a0donc \"\vert c - a \vert = \vert b - a \vert\" soit \"A \,C = B\, A\"\r\n\"\ast\" \"\textrm{mes} ( \overrightarrow{AB } , \, \overrightarrow{A C}) \equiv \displaystyle \frac { - \pi} 2 \; \; [2 \pi]\"\r\ndonc \"(A \,C) \perp (A \, B)\".\r\nLe triangle \"(A \, B \, C)\" est rectangle isoc\u00e8le en \"A\".\r\n\r\nExercice 6<\/b>\r\nQuestion 1<\/b>\r\nQuel est l’ensemble des nombres complexes \"z\" tels que \"\quad \quad \quad \quad \vert z -1\vert = \vert \overline{z} +1\vert\" ?\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\vert z - 1\vert = \vert \overline{z} + 1 \vert\"\r\nssi \"\vert z - 1\vert^2 = \vert \overline{z} + 1 \vert^2\"\r\nssi \"( z - 1)(\overline{z} - 1) = (\overline {z} + 1) (z +1)\"\r\nssi \"\vert z \vert ^2 - (z + \overline {z}) + 1 = \vert z \vert ^2 + ( z + \overline {z}) + 1\"\r\nssi \"z + \overline {z} = 0\"\r\nssi \"z\" est imaginaire pur.\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\r\nPour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", l’\u00e9quation\u00a0\"(z - 1) ^n = (\overline{z} + 1) ^n\" n’a pas de\u00a0 solution.\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\nSi \"z\" est solution de \"(z - 1) ^n = (\overline{z} + 1) ^n\" alors \"\vert z - 1\vert ^n = \vert \overline{z} + 1 \vert ^n\"\r\ndonc \"\vert z - 1\vert = \vert \overline{z} + 1 \vert\"\r\net alors \"z\" est imaginaire pur.\r\n\r\nL’\u00e9quation s’\u00e9crit\r\n\"z = \textrm{i} \, x\" o\u00f9\u00a0 \"x \in \mathbb{R}\" et \"(\textrm{i} \, x - 1) ^n = ( - \textrm{i} \, x + 1) ^n\"\r\nssi \"(\textrm{i} \, x - 1) ^n = (-1) ^n ( \textrm{i} \, x - 1) ^n\"\r\nssi \"(\textrm{i} \, x - 1) ^n \left ( 1 - (-1)^n \right ) = 0\"\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"n\" est pair, \"1 - (-1)^n = 0\" et tout \"x\" est solution.\r\nDonc l’ensemble des solutions est l’ensemble des imaginaires purs.\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"n\" est impair, l’\u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0 \"(\textrm{i} \, x - 1) ^n = 0\" ssi \"\textrm{i} \, x = 1\" ssi \"x = -\textrm{i}\" ce qui est impossible si \"x\in \mathbb{R}\"\r\nL’\u00e9quation n’admet pas de solution si \"n\" est impair.\r\n\r\nExercice 7<\/b>\r\nSoit \"n \in \mathbb{N}\" , \"n \geq 2\" et \"a \in [0 , \, 2 \pi[\"\r\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"(E)\" : \"\quad \quad (1 + z)^n = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} (1 - z) ^n\".\r\n\r\nCorrig\u00e9 :\u00a0<\/strong>\r\n\r\n\"\bullet\" 1 n’est pas racine de l’\u00e9quation \"(E)\", \"(E)\" est donc \u00e9quivalente par quotient \u00e0\r\n\"\displaystyle \left ( \frac {z + 1} {1 - z} \right ) ^n = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, a}\"\u00a0soit \u00e0 \"\displaystyle \frac {z + 1} {1 - z}\" est une racine \"n\" i\u00e8me de \"\textrm{e} ^{\textrm{i} \, a}\" c’est \u00e0 dire \u00e9gal \u00e0 l’un des complexes \"u_k = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t_k}\" o\u00f9 \"t_k = \displaystyle \frac {a + 2 k \pi} n\" avec \"k \in [\! [ 0 ,\, n - 1]\!]\" .\r\n\r\n\"\bullet\" Il reste donc \u00e0 r\u00e9soudre lorsque \"k \in [\! [ 0 ,\, n - 1]\!]\", l’\u00e9quation \"\displaystyle \frac {z + 1} {1 - z} = u_k\,\" qui est \u00e9quivalente \u00e0 \"z + 1 = u_k(1 - z)\" soit \u00e0 \"z(1 + u_k) = u_k - 1\".\r\n\r\n\"\bullet\" On examine ensuite s’il existe un entier \"k \in [\! [ 0 ,\, n - 1]\!]\" tel que \"1 + u_k = 0\" (dans ce cas, l’\u00e9quation pr\u00e9c\u00e9dente est impossible) :\r\n\"u_k = - 1\" \"\quad \Leftrightarrow \exists\, p\, \in \mathbb{Z}, \, \displaystyle \frac {a + 2 \, k\, \pi} n = (1 + 2\, p) \pi\".\r\nOn d\u00e9termine la valeur de \"p\" en remarquant que \"0 \leq a < 2 \pi\" et \"0 \leq k \leq n - 1\", donc \"0\leq a + 2\, k \,\pi < 2 \, \pi\".\r\nLe seul multiple impair de \"\pi\" dans cet intervalle est \"\pi\", donc \"p = 0\" et\r\n\"u_k= - 1 \Leftrightarrow a + 2\, k\, \pi = n\, \pi\"\r\n\"u_k = - 1 \Leftrightarrow a = (n - 2 k) \pi\".\r\n\r\nOn discute ensuite cette \u00e9quation :\r\n\"\ast\" si \"a \notin \{0 , \pi\}\", cette relation n’est pas v\u00e9rifi\u00e9e, donc \"u_k \neq - 1\" et toute valeur de \"k\" convient.\r\n\"\ast\" si \"a = 0\" et si \"n\" est impair, il est impossible d’avoir \"a = (n - 2 \, k) \pi\" et donc \"u_k \neq -1\" pour tout \"k\".\r\n\"\ast\" si \"a = 0\" et si \"n\" est pair (\"n = 2 N\"), lorsque \"k = N, \, u_k = - 1\" et cette valeur de \"k\" doit \u00eatre \u00e9cart\u00e9e.\r\n\"\ast\" si \"a = \pi\" et si \"n\" est pair, il est impossible d’avoir \"a = (n - 2 \, k) \pi\" et donc \"u_k \neq -1\" pour tout \"k\".\r\n\"\ast\" si \"a = \pi\" et si \"n\" est impair (on \u00e9crit \"n = 2 N + 1\"), lorsque \"k = N, \, u_k = - 1\" et cette valeur de \"k\" doit \u00eatre \u00e9cart\u00e9e.\r\n\r\nEn r\u00e9sum\u00e9, Si \"I = [\![0 , \, N - 1]\!]\"\r\non note\r\n\"\mathcal {C} = \left \{ \begin{matrix} I \textrm{ si } a \notin \{0 ,\pi \}\\ I \textrm{ si } a = 0 \textrm { et } n \textrm{ est impair} \\\r\n\r\n\"\bullet\" Dans la suite, on suppose que \"k \in \mathcal{C}\".\r\n\"z(1 + u_k) = u_k - 1 \Leftrightarrow z = \displaystyle \frac {u_k - 1 } {u_k + 1}\"\r\nOn rappelle que \"u_k = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t_k}\" o\u00f9 \"\quad \quad \quad \quad t_k = \displaystyle \frac {a + 2 \, k \, \pi} n\"\r\net que \"\textrm{e} ^{\textrm{i} \, t } + 1 = \displaystyle 2 \cos \frac t 2 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t/2 }\"\r\net \"\textrm{e} ^{\textrm{i} \, t } - 1 = \displaystyle 2 \, \textrm{i}\, \sin \frac t 2 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t/2 }\"\r\ndonc \"z = \displaystyle \textrm{i}\, \frac {\sin(t_k /2)} {\cos ( t_k\ 2)}\".\r\n\r\nConclusion<\/b>\u00a0:\r\nLes racines de \"(E)\" sont les complexes\r\n\"\quad z_k = \displaystyle \textrm{i} \, \tan \left ( \frac {a + 2 k \pi} {2 n} \right)\" o\u00f9 \"k \in \mathcal {C}\".\r\n
\r\n\r\nD’autres cours en ligne et exercices de Maths pour les MPSI, PCSI et PTSI sont \u00e9galement consultables :\r\n