{"id":34767,"date":"2019-08-24T22:02:03","date_gmt":"2019-08-24T21:02:03","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34767"},"modified":"2023-11-30T09:22:49","modified_gmt":"2023-11-30T08:22:49","slug":"cours-en-ligne-oscillateur-harmonique-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-oscillateur-harmonique-maths-sup\/","title":{"rendered":"Oscillateur harmonique – Cours"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Physique en Maths Sup<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tOscillateur harmonique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPropagation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuperposition<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tOptique g\u00e9om\u00e9trique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9lectricit\u00e9 (perm.\/transitoire)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9lectricit\u00e9 (sinuso\u00efdal forc\u00e9)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tM\u00e9canique du point<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tM\u00e9thodes \u00e9nerg\u00e9tiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi du moment cin\u00e9tique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tParticules charg\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tForces centrales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tThermodynamique descriptive<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t1er principe de la thermodynamique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t2e principe de la thermodynamique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMachines thermiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInduction<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Cours : Oscillateur harmonique en MPSI, PCSI, PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de physique en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Ce cours gratuit de physique chimie en pr\u00e9pa maths sup vous aidera pour travailler le cours de l’oscillateur harmonique en MPSI, PCSI, PTSI. Si vous d\u00e9sirez progresser, n\u2019h\u00e9sitez pas \u00e0 prendre nos cours particuliers en physique chimie<\/a>. Issus des meilleures fili\u00e8res scientifiques, nos 3000 professeurs particuliers bas\u00e9s dans toute la France, garantissant ainsi la qualit\u00e9 de l’enseignement. Form\u00e9s par notre \u00e9quipe, ces professeurs sont s\u00e9lectionn\u00e9s pour offrir le meilleur rapport qualit\u00e9-prix.<\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – vibrations<\/h2>\n

1. Oscillateur \u00e9lastique en maths sup<\/h3>\n

1. Mod\u00e9liser l’action d’un ressort.<\/b><\/p>\n

La force exerc\u00e9e par un ressort de constante de raideur \"k\", de longueur \u00e0 vide \"\ell_0\", sur un point mat\u00e9riel \"M\" accroch\u00e9 \u00e0 son extr\u00e9mit\u00e9 est dans la direction de ce ressort,<\/p>\n

* elle repousse \"M\" si le ressort est comprim\u00e9 (\"\ell<\ell_0\")<\/p>\n

* elle attire \"M\" si le ressort est tendu (\"\ell>\ell_0\").<\/p>\n

La loi est donc<\/p>\n

\"\displaystyle{\vec{F}=\pm k(\ell-\ell_0)\vec{u}}\"<\/p>\n

o\u00f9 \"\vec{u}\" est un vecteur unitaire dans la direction de l’axe du ressort.<\/p>\n

La longueur \"\ell\" du ressort doit en g\u00e9n\u00e9ral \u00eatre exprim\u00e9e en fonction des coordonn\u00e9es de \"M\"<\/p>\n

Le signe est ajust\u00e9 selon la r\u00e8gle pr\u00e9c\u00e9dente :<\/p>\n

* on fait un sch\u00e9ma sans ambigu\u00eft\u00e9 pour le caract\u00e8re comprim\u00e9 ou \u00e9tir\u00e9 du ressort<\/p>\n

* on lit sur la figure l’expression de la longueur \"\ell\"<\/p>\n

* on trace le vecteur force correspondant<\/p>\n

* on en d\u00e9duit le signe.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE PHYSIQUE CHIMIE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Gagner en autonomie avec les meilleurs profs<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Des cours de grande qualit\u00e9<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProf particulier physique chimie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

2. \u00c9crire l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle de l’oscillateur \u00e9lastique.
\n<\/b><\/p>\n

Pour obtenir l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle v\u00e9rifi\u00e9e par l’oscillateur \u00e9lastique, on applique le PFD \u00e0 l’objet \"M\" de masse \"m\" dans le r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en du laboratoire.
\nIl est soumis \u00e0 au moins une force de rappel \u00e9lastique de ressort, et \u00e0 d’\u00e9ventuelles autres forces<\/a> (poids, r\u00e9action normale d’un support, forces de frottement, etc.).
\nDans le cas le plus simple o\u00f9 \"M\" est soumis \u00e0 l’action d’un ressort unique, qu’il coulisse sans frottement sur un axe \"(O,x)\" et que \"O\" correspond \u00e0 la position d’\u00e9quilibre o\u00f9 le ressort est \u00e0 sa longueur \u00e0 vide, on a
\n\"\displaystyle{-kx=m\stackrel{\cdot\cdot}{x}}\"
\nsoit \"\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}+\frac{k}{m}x=0}\"
\nCette \u00e9quation facilement reconnaissable est l’\u00e9quation du type oscillateur harmonique<\/strong> dont la forme g\u00e9n\u00e9rale sans second membre est
\n\"\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{X}+\omega_0^2X=0}\"
\net avec second membre constant
\n\"\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{X}+\omega_0^2X=\omega_0^2X_e}\"<\/p>\n

Exemple.
\nUn mobile \"M\" est accroch\u00e9 \u00e0 l’extr\u00e9mit\u00e9 inf\u00e9rieure d’un ressort dont l’extr\u00e9mit\u00e9 sup\u00e9rieure est accroch\u00e9e au plafond.<\/p>\n

L’axe \"z\" est vertical, dirig\u00e9 vers le bas, son origine est au plafond.
\nQuelle est l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle v\u00e9rifi\u00e9e par \"z(t)\" ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Le PFD appliqu\u00e9 \u00e0 \"M\", soumis \u00e0 son poids et \u00e0 la force de rappel du ressort, dans le r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en du laboratoire, s’\u00e9crit, en projection sur l’axe \"z\"
\n\"\displaystyle{+mg-k(z-\ell_0)=m\stackrel{\cdot\cdot}{z}}\"
\nsoit \"\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{z}+\frac{k}{m}z=\frac{k}{m}\ell_0}\"<\/p>\n

2. Mouvement harmonique<\/b><\/h3>\n

1. Conditions initiales.\u00a0<\/b><\/p>\n

La r\u00e9solution d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire d’ordre \"2\" fait en g\u00e9n\u00e9ral appara\u00eetre \"2\" constantes d’int\u00e9gration, et pour les d\u00e9terminer,\u00a0 il faut donner 2 conditions initiales (not\u00e9es CI dans tout ce qui suit) caract\u00e9risant la position et la vitesse \u00e0 \"t=0\"
\n\"x(0)\" et \"\stackrel{\cdot}{x}(0)\"<\/p>\n

Exemple.<\/p>\n

Dans le cas \u00e9tudi\u00e9 au paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent, on consid\u00e8re deux \u00e9tats initiaux.
\n1. \"M\" est abandonn\u00e9e sans vitesse initiale depuis sa position o\u00f9 le ressort n’est pas tendu.
\n2. \"M\" est lanc\u00e9 vers le haut avec une vitesse initiale de norme \"V_0\" depuis sa position d’\u00e9quilibre.
\nQuelles sont les expressions de \"z(0)\" et de \"\stackrel{\cdot}{z}(0)\" dans ces deux cas ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

1. L’origine \u00e9tant au plafond, \"z(0)=\ell_0\" et la vitesse initiale \u00e9tant nulle
\n\"\stackrel{\cdot}{z}(0)=0\".
\n2. La vitesse initiale est vers le haut et l’axe \"z\" orient\u00e9 vers le bas donc
\n\"\stackrel{\cdot}{z}(0)=-V_0\".
\n\u00c0 l’\u00e9quilibre, la vitesse et l’acc\u00e9l\u00e9ration sont nuls donc
\n\"\displaystyle{+mg-k(z_{\mathrm{eq}}-\ell_0)=0}\"
\nsoit \"\displaystyle{z(0)=z_{\mathrm{eq}}=\ell_0+\frac{mg}{k}}\"<\/p>\n

2. Solution de l’\u00e9quation d’oscillateur harmonique.\u00a0<\/b><\/p>\n

La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle d’oscillateur harmonique sans second membre admet deux expressions \u00e9quivalentes.
\n* La premi\u00e8re fait appara\u00eetre les deux constantes d’int\u00e9gration :
\nl’amplitude \"C\" du mouvement et la phase \"\varphi\"
\n\"X(t)=C\cos(\omega_0t+\varphi)\"
\n* La seconde fait appara\u00eetre deux constantes d’int\u00e9gration \"A\" et \"B\" moins riches de sens physique mais souvent plus faciles \u00e0 d\u00e9terminer gr\u00e2ce aux CI
\n\"X(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)\"
\nDe m\u00eame, la solution de l’\u00e9quation avec second membre s’\u00e9crit
\n\"X(t)=X_e+C\cos(\omega_0t+\varphi)\"
\nNous tra\u00eeterons, sauf mention explicite, le cas o\u00f9 \"X_e=0\".
\nVoici la m\u00e9thode pr\u00e9conis\u00e9e pour calculer les constantes d’int\u00e9gration ((\"C\" et \"\varphi\") ou (\"A\" et \"B\")).
\n* On exprime \"X(t)\" et on d\u00e9rive aussit\u00f4t pour exprimer \"\stackrel{\cdot}{X}(t)\"
\n* On traduit ces deux relations \u00e0 \"t=0\"
\n* Dans la premi\u00e8re forme de solution, on d\u00e9termine \"\varphi\" en choisissant n’importe quel angle \"\varphi\" solution (il est inutile d’eprimer un modulo \"2\pi\" pour une phase) et en calculant \"C\" dans ce cas.
\nDans certains cas particuli\u00e8rement difficiles, on pensera \u00e0 \u00e9liminer \"C\" en divisant deux expressions et en faisant appara\u00eetre \"\tan\varphi\",\u00a0 ou \u00e0 \u00e9liminer \"\varphi\" en utilisant la relation
\n\"\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1\"
\n* Dans la seconde forme, on obtient un syst\u00e8me lin\u00e9aire en \"(A,B)\",\u00a0 qui est souvent facile \u00e0 r\u00e9soudre si l’abscisse initiale ou la vitesse initiale est nulle.<\/p>\n

Exemple. D\u00e9terminer dans chaque cas les constantes d’int\u00e9gration pour un oscillateur harmonique sans second membre avec les CI
\n1. \"X(0)=X_0\" et \"\stackrel{\cdot}{X}(0)=0\"
\n2. \"X(0)=0\" et \"\stackrel{\cdot}{X}(0)=V_0\"<\/p>\n

Vous trouverez le corrig\u00e9 de cet exemple dans notre application mobile PrepApp.<\/p>\n

3. \u00c9volutions dans le temps.\u00a0<\/b><\/p>\n

L’oscillateur harmonique a pour pulsation propre
\n\"\displaystyle{\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}}\"
\nLes oscillations de \"M\" sont p\u00e9riodiques, de p\u00e9riode
\n\"\displaystyle{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\"
\nL’amplitude des oscillations est \"C\" (premi\u00e8re forme), la phase \"\varphi\" (premi\u00e8re forme) qui d\u00e9pend de la date \"t=0\" choisie.
\nLa vitesse, elle, varie avec la m\u00eame p\u00e9riode, mais elle est d\u00e9phas\u00e9e par rapport \u00e0 la position, sa valeur absolue est maximale quand l’abscisse est nulle, et r\u00e9ciproquement.<\/p>\n

Exemple.
\nCalculer la pulsation propre, la p\u00e9riode et la fr\u00e9quence des oscillations d’un oscillateur \u00e9lastique d\u00e9fini par<\/p>\n

\"k=500~\mathrm{N\cdot m^{-1}}\",
\n\"\ell_0=1,50~\mathrm{m}\"<\/p>\n

et \"m=120~\mathrm{g}\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Attention \u00e0 deux choses :
\n\"\omega_0\" ne d\u00e9pend pas de \"\ell_0\"
\net l’unit\u00e9 internationale de la masse est le kilogramme.
\nOn calcule
\n\"\displaystyle{\omega_0=\sqrt{\frac{500}{0,120}}=64,5~\mathrm{rad\cdot s^{-1}}}\"
\n\"\displaystyle{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=97,3~\mathrm{ms}}\"
\n\"\displaystyle{f_0=\frac1{T_0}=10,3~\mathrm{Hz}}\"<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE PHYSIQUE-CHIMIE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs profs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION EN PHYSIQUE-CHIMIE, JE TROUVE DES<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers physique-chimie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

3. Aspect \u00e9nerg\u00e9tique<\/h3>\n

1. \u00c9nergies cin\u00e9tique, potentielle \u00e9lastique, m\u00e9canique.\u00a0<\/b><\/p>\n

L’oscillateur \u00e9lastique poss\u00e8de deux formes d’\u00e9nergies.
\n* L’\u00e9nergie cin\u00e9tique<\/a>
\n\"\displaystyle{Ec=\frac12mv^2(t)=\frac12m\stackrel{\cdot}{x}^2(t)}\"
\n* L’\u00e9nergie potentielle \u00e9lastique
\n\"\displaystyle{Ep=\frac12k(\ell-\ell_0)^2=\frac12kx^2(t)}\"
\nOn peut constater alg\u00e9briquement que l’\u00e9nergie m\u00e9canique<\/a>
\n\"Em=Ec+Ep\"<\/p>\n

est constante au cours du temps, ce qui traduit l’absence de pertes par frottement ou d’apport d’\u00e9nergie.
\nLes \u00e9nergies s’expriment en joules (J).
\nGraphiquement, on constate un \u00e9change p\u00e9riodique des deux formes d’\u00e9nergie,
\n\"Ec\" est maximale quand \"Ep\" est nulle (ressort non tendu ou comprim\u00e9),
\n\"Ep\" est maximale quand \"Ec\" est nulle (positions extr\u00e9males de tension ou de compression).<\/p>\n

En cas de faibles frottements, on constate une d\u00e9croissance globale de l’\u00e9nergie m\u00e9canique.<\/p>\n

Exemple.
\nV\u00e9rifier que la solution
\n\"x(t)=C\cos(\omega_0t+\varphi)\"
\nest compatible avec la loi de conservation de l’\u00e9nergie m\u00e9canique.<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On exprime
\n\"x(t)=C\cos(\omega_0t+\varphi)\"
\n\"\stackrel{\cdot}{x}(t)=-C\omega\sin(\omega_0t+\varphi)\"
\nOn en d\u00e9duit
\n\"\displaystyle{Ep=\frac12kx^2(t)=\frac12kC^2\cos^2(\omega_0t+\varphi)}\"
\n\"\displaystyle{Ec=\frac12m\stackrel{\cdot}{x}^2(t)=}\"
\n\"\displaystyle{Ec=\frac12mC^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0t+\varphi)}\"
\nOr l’expression de \"\omega_0\" prouve que
\n\"\displaystyle{mC^2\omega_0^2=kC^2}\"
\nDe plus, la somme du sinus carr\u00e9 et diu cosinus carr\u00e9 du m\u00eame angle vaut 1 donc
\n\"\displaystyle{Em=Ep+Ec=\frac12kC^2=\mathrm{constante}}\"<\/p>\n

2. Obtenir l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle en traduisant la conservation de \"Em\".<\/b><\/p>\n

Il est possible r\u00e9ciproquement, \u00e0 partir de l’expression de l’\u00e9nergie m\u00e9canique d’un syst\u00e8me m\u00e9canique, d’\u00e9tablir l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle v\u00e9rifi\u00e9e par l’unique variable. On doit pour \u00e7a savoir que
\n\"\displaystyle{\frac{d(u^2(t))}{dt}=2u'(t)u(t)=2\frac{du(t)}{dt}\cdot u(t)}\"
\nAinsi, en exprimant l’\u00e9nergie m\u00e9canique de l’oscillateur \u00e9lastique
\n\"\displaystyle{Em=Ec+Ep=\frac12m\stackrel{\cdot}{x}^2+\frac12kx^2(t)}\"
\net en d\u00e9rivant cette grandeur qui est constante, on obtient
\n\"\displaystyle{0=\frac12m\cdot 2\stackrel{\cdot\cdot}{x}\stackrel{\cdot}{x}+\frac12k\cdot 2\stackrel{\cdot}{x}x(t)=0}\"
\nsoit, apr\u00e8s simplifications
\n\"0=m\stackrel{\cdot\cdot}{x}+kx\"
\nqui est bien l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle de l’oscillateur harmonique \u00e9lastique.<\/p>\n

\n

Pour prendre de l’avance sur le programme de physique en Maths Sup, vous pouvez d\u00e8s \u00e0 pr\u00e9sent consultez et vous entra\u00eenez sur ces quelques chapitres :<\/p>\n