{"id":34772,"date":"2019-08-24T22:17:15","date_gmt":"2019-08-24T21:17:15","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34772"},"modified":"2022-07-13T09:53:43","modified_gmt":"2022-07-13T08:53:43","slug":"cours-en-ligne-corriges-oscillateur-harmonique-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-oscillateur-harmonique-maths-sup\/","title":{"rendered":"Oscillateur harmonique – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Physique en Maths Sup<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tOscillateur harmonique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPropagation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuperposition<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tOptique g\u00e9om\u00e9trique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9lectricit\u00e9 (perm.\/transitoire)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9lectricit\u00e9 (sinuso\u00efdal forc\u00e9)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tM\u00e9canique du point<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tM\u00e9thodes \u00e9nerg\u00e9tiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi du moment cin\u00e9tique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tParticules charg\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tForces centrales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tThermodynamique descriptive<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t1er principe de la thermodynamique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t2e principe de la thermodynamique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMachines thermiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Corrig\u00e9s : Oscillateur harmonique en MPSI, PCSI, PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de physique en Maths Sup<\/a><\/p>\n<\/p>\n

Corrig\u00e9s – vibrations<\/h2>\n

1. Oscillateur \u00e9lastique<\/h3>\n

Exercice 1\u00a0 :Syst\u00e8me \u00e0 deux ressorts horizontaux.\u00a0<\/b><\/p>\n

Sur un axe horizontal \"(O,x)\" , un mobile \"M\" coulisse sans frottement.\u00a0<\/p>\n

Les points \"P(x_P=-a)\" et \"Q(x_Q=+a)\" sont fixes. On tend un premier ressort de constante de raideur \"k_1=k\" et de longueur \u00e0 vide \"\ell_0=a\" entre \"A\" et \"M\" puis un second ressort de constante de raideur \"k_2=2k\" et de longueur \u00e0 vide \"\ell_0=a\" entre \"M\" et \"B\".\u00a0<\/p>\n

1. Quelle est position d’\u00e9quilibre de \"M\" ?\u00a0<\/p>\n

2. \u00c9tablir l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle v\u00e9rifi\u00e9e par \"x(t)\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

1. Supposons que \"M\" soit \u00e0 l’abscisse \"x>0\"<\/p>\n

La longueur du ressort 1 est \"PM=x_M-x_P=x+a\"<\/p>\n

Le ressort 1 est tendu donc la force est dirig\u00e9 vers la gauche, sa composante sur \"(O,x)\" est n\u00e9gative.\u00a0<\/p>\n

On a donc \"\vec{F}_1=-k_1((x+a)-a)\vec{u}_x=-kx\vec{u}_x\"<\/p>\n

La longueur du ressort 2 est \"MQ=x_Q-x_M=a-x\"<\/p>\n

Le ressort 2 est comprim\u00e9 donc la force est dirig\u00e9 vers la gauche, sa composante sur \"(O,x)\" est n\u00e9gative.\u00a0<\/p>\n

On a donc \"\vec{F}_2=k_2((a-x)-a)\vec{u}_x=-2kx\vec{u}_x\"<\/p>\n

La somme des forces<\/a> est nulle \u00e0 l’\u00e9quilibre soit<\/p>\n

\"-3kx_e=0\" donc \"x_e=0\"<\/p>\n

(aucun des ressorts n’est tendu).\u00a0<\/p>\n

2. Le PFD s’\u00e9crit\u00a0<\/p>\n

\"m\stackrel{\cdot\cdot}{x}=-3kx\"soit\u00a0<\/p>\n

\"\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}+\frac{3k}{m}x=0}\"<\/p>\n

Exercice 2 : Syst\u00e8me \u00e0 deux ressorts horizontaux (plus difficile).\u00a0<\/b><\/p>\n

Sur un axe horizontal \"(O,x)\" , un mobile \"M\" coulisse sans frottement.\u00a0<\/p>\n

Les\u00a0 points \"P(x_P=-a)\" et \"Q(x_Q=+a)\" sont fixes. On tend un premier ressort de constante de raideur \"k_1=k\" et de longueur \u00e0 vide \"\ell_0=a/2\"\u00a0 entre \"A\" et \"M\" puis un second ressort de constante de raideur\u00a0
\"k_2=2k\" et de longueur \u00e0 vide \"\ell_0=a\" entre \"M\" et \"B\".\u00a0<\/p>\n

1. Quelle est position d’\u00e9quilibre de \"M\" ?\u00a0<\/p>\n

2. \u00c9tablir l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle v\u00e9rifi\u00e9e par \"x(t)\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

1. Supposons que \"M\" soit \u00e0 l’abscisse \"x>0\"<\/p>\n

La longueur du ressort 1 est \"PM=x_M-x_P=x+a\"<\/p>\n

Le ressort 1 est tendu donc la force est dirig\u00e9 vers la gauche, sa composante sur \"(O,x)\" est n\u00e9gative.\u00a0<\/p>\n

On a donc \"\vec{F}_1=-k_1((x+a)-a/2)\vec{u}_x\"<\/p>\n

\"\vec{F}_1=-k(x+a/2)\vec{u}_x\"<\/p>\n

La longueur du ressort 2 est \"MQ=x_Q-x_M=a-x\"<\/p>\n

Le ressort 2 est comprim\u00e9 donc la force est dirig\u00e9 vers la gauche, sa composante sur \"(O,x)\" est n\u00e9gative.\u00a0<\/p>\n

On a donc \"\vec{F}_2=k_2((a-x)-a)\vec{u}_x=-2kx\vec{u}_x\"<\/p>\n

La somme des forces est nulle \u00e0 l’\u00e9quilibre soit<\/p>\n

\"-3kx_e-ka/2=0\" donc \"x_e=-a/6\"<\/p>\n

2. Le PFD s’\u00e9crit\u00a0<\/p>\n

\"m\stackrel{\cdot\cdot}{x}=-3kx-ka/2\"soit\u00a0<\/p>\n

\"\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}+\frac{3k}{m}x=\frac{3k}{m}\cdot\frac{-a}{6}}\"<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS DE PHYSIQUE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs profs de physique.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers physique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. Mouvement harmonique<\/b><\/h3>\n

Exercice 1: De l’\u00e9quation horaire aux caract\u00e9ristiques du mouvement.\u00a0<\/b><\/p>\n

On donne l’\u00e9quation horaire d’un oscillateur harmonique\u00a0<\/p>\n

\"x(t)=2,50+\sqrt{3}\cos(\pi t)+\sin(\pi t)\"<\/p>\n

1. Calculer l’abscisse \"x_e\" de la position d’\u00e9quilibre, la pulsation propre \"\omega_0\", la p\u00e9riode \"T_0\", la fr\u00e9quence \"f_0\", la phase \"\varphi\" et l’amplitude \"C\" du mouvement.\u00a0<\/p>\n

2. En d\u00e9duire \"x_{\mathrm{min}}\" et \"x_{\mathrm{max}}\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On doit mettre l’\u00e9quation horaire sous la forme\u00a0
\"x(t)=x_e+C\cos(\omega_0t+\varphi)\"
On remarque que\u00a0
\"\displaystyle{\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\" et \"\displaystyle{\sin\frac{\pi}{6}=\frac1{2}}\"
On peut donc \u00e9crire\u00a0
\"\displaystyle{x(t)=2,50+}\"
\"\displaystyle{2\left[\cos(\pi t)\cos\frac{\pi}{6}+\sin(\pi t)\sin\frac{\pi}{6}\right]}\"
\"\displaystyle{x(t)=2,50+2\cos\left(\pi t-\frac{\pi}{6}\right)}\"
On identifie donc\u00a0
\"x_e=2,50~\mathrm{m}\"
\"C=2~\mathrm{m}\"
\"\omega_0=\pi~\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\"
\"\displaystyle{\varphi=-\frac{\pi}{6}}\"
On en d\u00e9duit\u00a0
\"\displaystyle{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2~\mathrm{s}}\"
et \"f_0=1/T_0=0,5~\mathrm{Hz}\"
2. Le cosinus oscille entre \"-1\" et \"+1\" donc\u00a0
\"x_{\mathrm{min}}=x_e-C=0,50~\mathrm{m}\"
\"x_{\mathrm{max}}=x_e+C=4,50~\mathrm{m}\"<\/p>\n

3. Aspect \u00e9nerg\u00e9tique<\/h3>\n

Exercice 1 : \u00c9galit\u00e9 initiale de \"Ec\" et \"Ep\"<\/b><\/p>\n

Un oscillateur harmonique de valeur moyenne \"x=0\", d’amplitude \"C\", de pulsation propre \"\omega_0\" est tel qu’\u00e0 la date \"t=0\" \"Ec=Ep=E_0\"<\/p>\n

D\u00e9terminer l’une des \u00e9quations horaires compatibles avec ces donn\u00e9es.\u00a0<\/p>\n

Corrig\u00e9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On cherche une \u00e9quation horaire du type\u00a0
\"x(t)=C\cos(\omega_0t+\varphi)\"
donc \"\stackrel{\cdot}{x}=-C\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi)\"
\u00c0 \"t=0\" on a donc\u00a0
\"\displaystyle{E_0=\frac12kC^2\cos^2\varphi}\"
\"\displaystyle{E_0=\frac12mC^2\omega_0^2\sin^2\varphi}\"
Or \"\displaystyle{\omega_0^2=\frac{k}{m}}\" donc
\"\displaystyle{E_0=\frac12kC^2\cos^2\varphi}\"
\"\displaystyle{E_0=\frac12kC^2\sin^2\varphi}\"
En divisant la seconde \u00e9galit\u00e9 par la premi\u00e8re, on en d\u00e9duit\u00a0
\"\tan^2\varphi=1\" donc \"\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}}\"
et par exemple, pour \"n=0\"
\"\displaystyle{x(t)=C\cos\left(\omega_0t+\frac{\pi}{4}\right)}\"\u00a0\u00a0<\/p>\n

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