{"id":34817,"date":"2019-08-26T17:03:16","date_gmt":"2019-08-26T16:03:16","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=34817"},"modified":"2025-03-21T17:21:02","modified_gmt":"2025-03-21T16:21:02","slug":"annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2016","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-em-lyon-maths-ecs-2016\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2016"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2016 (ECG approfondies)<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\r\n

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Probl\u00e8me 1.<\/h2>\r\n

Partie I : Un exemple\u00a0<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> \"\begin{cases}P_1+P_2=I_3\\4P_1+9P_2=A\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}5P_1=9I_3-A\\5P_2=A-4I_3\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}P_1=\dfrac15(9I_3-A)\\\ \\P_2=\dfrac15(A-4I_3)\end{cases}\"<\/p>\r\n

\"P_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&-1&-1\end{pmatrix}\" et \"P_2=\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&1&0\\-1&1&0\end{pmatrix}\".<\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> \"P_1^2=P_1\", \"P_1P_2=0_3\", \"P_2P_1=0_3\" et \"P_2^2=P_2\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Comme les matrices \"4P_1\" et \"9P_2\" commutent, la formule du bin\u00f4me donne :<\/p>\r\n

\"\forall k\in\mathbb{N},A^k=\sum\limits_{i=0}^k \dbinom ki4^iP_1^i9^{k-i}P_2^{k-i}=4^kP_1+\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{k-1} \dbinom ki4^i9^{k-i}P_1^iP_2^{k-i}}_{=0}+9^kP_2\"<\/p>\r\n

car en raison de 2(a) : \"\forall i\ge1,\forall j\ge1,P_1^i=P_1, P_1^iP_2^j=0, P_2^j=P_2\".<\/p>\r\n

3\/<\/strong> Avec \"B=2P_1+3P_2\", \"B^2=4P_1^2+12P_1P_2+9P_2^2\" puisque \"P_1\" et \"P_2\" commutent. Donc \"B^2=4P_1+9P_2=A\".<\/p>\r\n

\"B=\begin{pmatrix}2&0&0\\-1&3&0\\-1&1&2\end{pmatrix}\" v\u00e9rifie \"B^2=A\".<\/p>\r\n

4\/<\/strong> Comme \"A\" est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : \"Sp(A)=\{4,9\}\".<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Partie II : \u00c9tude des puissances de \"f\"<\/h3>\r\n

5\/<\/strong> Soit \"P=\sum\limits_{i=0}^m a_kX^k\" un polyn\u00f4me quelconque de \"\rnx m\".<\/p>\r\n

\"P(f)=\sum\limits_{k=0}^m a_kf^k=\sum\limits_{k=0}^m a_k\left(\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i^kp_i\right)=\sum\limits_{k=0}^m \sum\limits_{i=1}^m a_k\lambda_i^kp_i=\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{k=0}^m a_k\lambda_i^kp_i\"<\/p>\r\n

\"P(f)=\sum\limits_{i=1}^m \left(\sum\limits_{k=0}^m a_k\lambda_i^k\right)p_i=\sum\limits_{i=1}^mP(\lambda_i)p_i\"<\/p>\r\n

6\/ <\/strong>\"N(f)=\sum\limits_{i=1}^mN(\lambda_i)p_i=\sum\limits_{i=1}^m0p_i=\tilde0\" puisque les \"\lambda_i\" sont les racines de \"N\".<\/p>\r\n

7\/ a\/<\/strong> Soit \"(i,j)\in[\![1,m]\!]^2\".<\/p>\r\n

Si \"i\neq j\", \"\lambda_j\" est une racine de \"M_i\" donc \"L_i(\lambda_j)=0\" par d\u00e9finition de \"L_i\".<\/p>\r\n

Si \"i=j\", \"L_i(\lambda_j)=L_i(\lambda_i)=\dfrac{M_i(\lambda_i)}{M_i(\lambda_i)}=1.\"<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"i\in[\![1,m]\!]\". \"L_i(f)=\sum\limits_{j=1}^mL_i(\lambda_j)p_j=L_i(\lambda_i)p_i+\underbrace{\displaystyle\sum_{j\neq i}L_i(\lambda_j)p_j}_{=\tilde0}=p_i\".<\/p>\r\n

8\/ a\/<\/strong> \"e=f^0=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i^0p_i=\sum\limits_{i=1}^mp_i\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> \"\bullet\" Soit \"u\in E\".
\"u=e(u)=\sum\limits_{i=1}^mp_i(u)\" avec \"\forall i\in[\![1,m]\!],\quad p_i(u)\in Im(p_i)\".<\/p>\r\n

Donc \"u\in\sum\limits_{i=1}^m Im(p_i)\", et ainsi \"E\subset\sum\limits_{i=1}^m Im(p_i)\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" R\u00e9ciproquement, comme \"\forall i\in[\![1,m]\!],\quad Im(p_i)\subset E\", on a \"\sum\limits_{i=1}^m Im(p_i)\subset E\".<\/p>\r\n

Par double inclusion, \"E=\sum\limits_{i=1}^m Im(p_i)\".<\/p>\r\n

9\/ a\/<\/strong> \"M_i(\lambda_i)(X-\lambda_i)L_i=(X-\lambda_i)M_i=(X-\lambda_i)\displaystyle\prod_{j\neq i}(X-\lambda_j)=N\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Par 6. et 7.b et 9.a : \"\tilde0=N(f)=M_i(\lambda_i)(f-\lambda_ie)L_i(f)=M_i(\lambda_i)(f-\lambda_ie)p_i\".<\/p>\r\n

Soit \"v\in Im(p_i)\". Alors il existe \"u\in E\" tel que \"v=p_i(u)\".<\/p>\r\n

\"(f-\lambda_i e)(v)=(f-\lambda_ie)p_i(u)=\dfrac1{M_i(\lambda_i)}\tilde0(u)=0\", donc \"v\in Ker(f-\lambda_ie)\".<\/p>\r\n

Ainsi \"Im(p_i)\subset Ker(f-\lambda_ie)\".<\/p>\r\n

10\/<\/strong> Observons que, pour tout \"i\" de \"[\![1,m]\!]\", \"p_i\neq\tilde0\" entra\u00eene \"Im(p_i)\neq\{0\}\".<\/p>\r\n

Ainsi \"Ker(f-\lambda_ie)\neq\tilde0\", donc \"\lambda_i\" est une valeur propre de \"f\".<\/p>\r\n

Ensuite \"E=\sum\limits_{i=1}^m Im(p_i)\subset\sum\limits_{i=1}^m Ker(f-\lambda_i e)\", et \"\sum\limits_{i=1}^m Ker(f-\lambda_i e)\subset E\".<\/p>\r\n

Ainsi, \"E=\sum\limits_{i=1}^m Ker(f-\lambda_i e)\". Comme par propri\u00e9t\u00e9 du cours, les sous-espaces propres \"Ker(f-\lambda_ie)\" sont en somme directe, ils sont suppl\u00e9mentaires, \"f\" est diagonalisable et \"Sp(f)=\{\lambda_i/1\le i\le m\}\".<\/p>\r\n

Resta \u00e0 justifier que \"\forall i\in[\![1,m]\!],\quad Im(p_i)= Ker(f-\lambda_i e)\".<\/p>\r\n

On a par 9(b), \"\forall i\in[\![1,m]\!],\quad\dim( Im p_i)\le \dim Ker(f-\lambda_i e)\".<\/p>\r\n

Par 8(b) et le d\u00e9but de 10, \"\sum\limits_{i=1}^m\dim( Im p_i)\ge \dim(E)=\sum\limits_{i=1}^m Ker(f-\lambda_ie)\".<\/p>\r\n

Ceci n’est possible que si \"\forall i\in[\![1,m]\!],\quad \dim( Im(p_i))=\dim Ker(f-\lambda_ie)\" (en effet, si pour un seul des \"i\", on avait
\"\dim( Im(p_i))<\dim Ker(f-\lambda_ie)\", on aurait \"\sum\limits_{i=1}^m\dim( Im(p_i))<\dim(E)\"… ce qui est impossible !)
Par cons\u00e9quent, \"\forall i\in[\![1,m]\!],\quad Im(p_i)= Ker(f-\lambda_ie)\" : les \"Im(p_i)\" sont les sous-espaces propres de \"f\".<\/p>\r\n

11\/ a\/<\/strong> On peut observer que \"p_i\" et \"p_j\" commutent car :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*} p_i\circ p_j &=& L_i(f)\circ L_j(f) \\<\/p><\/p>\r\n

Alors, pour tout \"u\" de \"E\", \"p_i\circ p_j(u)=p_j\circ p_i(u)\" donc \"p_i\circ p_j(u)\in Im(p_i)\cap Im(p_j)\", or les sous-espaces propres sont en somme directe, donc \"Im(p_i)\cap Im(p_j)=\{0\}\", donc \"p_i\circ p_j(u)=0\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Pour tout \"i\" de \"[\![1,m]\!]\", \"p_i=p_i\circ e=p_i\circ\sum\limits_{j=1}^mp_j=\sum\limits_{j=1}^m p_i\circ p_j=p_i\circ p_i+\tilde0=p_i^2\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Pour tout \"i\" de \"[\![1,m]\!]\", \"p_i\circ f=p_i\circ\sum\limits_{j=1}^m\lambda_jp_j=\sum\limits_{j=1}^m\lambda_jp_i\circ p_j=\lambda_i p_i^2+\tilde0=\lambda_i p_i\".<\/p>\r\n

12\/<\/strong> \"\bullet\" Raisonnons par r\u00e9currence, l’initialisation est assur\u00e9e par les hypoth\u00e8ses sur \"f\". Voyons l’h\u00e9r\u00e9dit\u00e9.
Soit \"k\in\mathbb{N}\". Supposons \"f^k=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i^kp_i\".<\/p>\r\n

Alors \"f^{k+1}=f^k\circ f=\left(\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i^kp_i\right)\circ f=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i^k(p_i\circ f)=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i^k\lambda_ip_i=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i^{k+1}p_i.\"<\/p>\r\n

Ceci ach\u00e8ve la r\u00e9currence et : \"\forall k\in N, f^k=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i^kp_i\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Le m\u00eame raisonnement qu’en 5. donne cette fois :<\/p>\r\n

\"\forall P\in\mathbb{R}[X], P(f)=\sum\limits_{i=1}^mP(\lambda_i)p_i\".<\/p>\r\n

Partie III : Intervention d’un produit scalaire<\/h3>\r\n

13\/<\/strong> Soit \"x\", \"y\" et \"z\" trois vecteurs de \"E\" et \"\mu\" un r\u00e9el.<\/p>\r\n

\"\varphi(\mu x+y,z)=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{p_i(\mu x+y)}{p_j(z)}=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{\mu p_i(x)+p_i(y)}{p_j(z)}\"<\/p>\r\n

\"\varphi(\mu x+y,z)=\sum\limits_{i=1}^m(\mu\scalp{p_i(x)}{p_j(z)}+\scalp{p_i(y)}{p_j(z)})=\mu\varphi(x,z)+\varphi(y,z)\"<\/p>\r\n

\"\varphi\" est lin\u00e9aire \u00e0 gauche.<\/p>\r\n

\"\varphi\" est sym\u00e9trique par sym\u00e9trie du produit scalaire \"\scalp..\".<\/p>\r\n

\"\varphi(x,x)=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{p_i(x)}{p_i(x)}=\sum\limits_{i=1}^m\norm{p_i}^2\ge0\".<\/p>\r\n

Supposons \"\varphi(x,x)=0\". Alors \"\sum\limits_{i=1}^m\norm{p_i(x)}^2=0\", donc \"\forall i\in[\![1,m]\!],\norm{p_i(x)}^2=0\", donc \"\forall i\in[\![1,m]\!], p_i(x)=0\".<\/p>\r\n

Or par 8(a), \"x=e(x)=\sum\limits_{i=1}^mp_i(x)\", donc \"x=0\".<\/p>\r\n

Ainsi \"\varphi\" est une forme bilin\u00e9aire sym\u00e9trique d\u00e9finie positive, c’est-\u00e0-dire un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\r\n

14\/<\/strong> Soit \"x\" et \"y\" deux vecteurs de \"E\".<\/p>\r\n

\"\varphi(x,f(y))=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{p_i(x)}{p_i(f(y))}=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{p_i(x)}{\lambda_ip_i(y)}=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\scalp{p_i(x)}{p_i(y)}\"<\/p>\r\n

\"\varphi(f(x),y)=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{p_i(f(x))}{p_i(y)}=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{\lambda_ip_i(x)}{p_i(y)}=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\scalp{p_i(x)}{p_i(y)}\"<\/p>\r\n

Donc \"\varphi(x,f(y))=\varphi(f(x),y)\", ce qui prouve que \"f\" est un endomorphisme sym\u00e9trique pour le produit scalaire \"\varphi\".<\/p>\r\n

Ceci d\u00e9montre \u00e0 nouveau que \"f\" est diagonalisable.<\/p>\r\n

15\/<\/strong> On sait d\u00e9j\u00e0, d’apr\u00e8s 11(b), que \"p_i\" est un projecteur, sur \"Im(p_i)\". Il suffit que \"p_i\" soit sym\u00e9trique pour \"\varphi\" pour que \"p_i\" soit le projecteur orthogonal sur \"Im(p_i)\", toujours pour le produit scalaire \"\varphi\".<\/p>\r\n

Soit \"(x,y)\in E^2\".<\/p>\r\n

\"\varphi(x,p_i(y))=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{p_i(x)}{p_i^2(y)}=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{p_i(x)}{p_i(y)}=\sum\limits_{i=1}^m\scalp{p_i^2(x)}{p_i(y)}=\varphi(p_i(x),y).\"<\/p>\r\n

\"p_i\" est bien sym\u00e9trique pour \"\varphi\" : \"p_i\" est le projecteur orthogonal sur \"Im(p_i)=E_{\lambda_i}\" pour le produit scalaire \"\varphi\".<\/p>\r\n

Probl\u00e8me 2 :\u00a0<\/h2>\r\n

Partie I : \u00c9tude d’une fonction d\u00e9finie par la somme d’une s\u00e9rie<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> Soit \"x\in\mathbb{R}^{-*}\".<\/p>\r\n

\"\limit n+\dfrac1{n^x}=\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}\exp(-x\ln(n))=+\infty\", donc le terme g\u00e9n\u00e9ral \"\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^x}\" diverge.<\/p>\r\n

De m\u00eame, si \"x=0\", le terme g\u00e9n\u00e9ral \"(-1)^{n+1}\" diverge.<\/p>\r\n

Puisqu’une condition n\u00e9cessaire de convergence de la s\u00e9rie est la convergence du terme g\u00e9n\u00e9ral (vers \"0\"), si \"x\in\mathbb{R}^-\", alors la s\u00e9rie \"\sum\limits_{\substack{n}} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^x}\" diverge.<\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> \"\forall p\in\mathbb{N}^*,\quad u_{2(p+1)}-u_{2p}=-\dfrac1{(2p+2)^x}+\dfrac1{(2p+1)^x}\ge0\" car \"(2p+1)^x\le(2p+2)^x\".<\/p>\r\n

\"\forall p\in\mathbb{N}^*,\quad u_{2(p+1)-1}-u_{2p-1}=\dfrac1{(2p+1)^x}-\dfrac1{(2p)^x}\le0\" car \"(2p)^x\le(2p+1)^x\".<\/p>\r\n

\"u_{2p}-u_{2p-1}=\dfrac{-1}{(2p)^x}\tend p+0\".<\/p>\r\n

\"(u_{2p})\" est croissante, \"(u_{2p-1})\" est d\u00e9croissante, et leur diff\u00e9rence tend vers \"0\" : ces suites sont adjacentes, donc convergent, vers une m\u00eame limite, not\u00e9e \"S(x)\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"\varepsilon>0\".<\/p>\r\n

Comme \"\limit p+u_{2p}=S(x)\",\u00a0 \"\exists p_1\in\mathbb{N}^*,\quad \forall p\ge p_1,\abs{u_{2p}-S(x)}\le\varepsilon\".<\/p>\r\n

Comme \"\limit p+u_{2p-1}=S(x)\",\u00a0 \"\exists p_2\in\mathbb{N}^*,\quad \forall p\ge p_2,\abs{u_{2p-1}-S(x)}\le\varepsilon\".<\/p>\r\n

Prenons \"n_0=max(2p_1,2p_2-1)\". Soit \"n\ge n_0\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"n\" est pair, \"n\" s’\u00e9crit \"n=2p\" avec \"p\ge p_1\" donc\u00a0 \"\abs{u_n-S(x)}\le\varepsilon\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"n\" est impair, \"n\" s’\u00e9crit \"n=2p-1\" avec \"p\ge p_2\" donc \"\abs{u_n-S(x)}\le\varepsilon\".<\/p>\r\n

Conclusion : \"\forall\varepsilon>0,\quad \exists n_0\in\mathbb{N}^*,\quad \forall n\ge n_0,\quad \abs{u_n-S(x)}\le\varepsilon\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Ainsi, \"u\" converge vers \"S(x)\", et comme \"u\" est la suite des sommes partielles de la s\u00e9rie \"\sum\limits_{\substack{n}} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^x}\", cette s\u00e9rie converge.<\/p>\r\n

d\/<\/strong> Comme \"(u_{2p})\" est croissante de limite \"S(x)\", \"\forall p\in\mathbb{N}^*,\quad u_{2p}\le S(x)\".<\/p>\r\n

Comme \"(u_{2p-1})\" est d\u00e9croissante de limite \"S(x)\",<\/p>\r\n

\"\forall p\in\mathbb{N}^*,\quad S(x)\le u_{2p+1}\le u_{2p-1}\".<\/p>\r\n

e\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"n\" est pair, \u00e9crivons \"n=2p\". Par (d), \"u_n\le S(x)\le u_{n+1}\".<\/p>\r\n

Donc \"0\le S(x)-u_n\le u_{n+1}-u_n\", et comme \"u_{n+1}-u_n=\dfrac1 {(n+1)^x}\",<\/p>\r\n

\"\abs{S(x)-u_n}\le\dfrac1{(n+1)^x}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"n\" est impair, \u00e9crivons \"n=2p-1\". Par (d), \"u_{n+1}\le S(x)\le u_{n}\".<\/p>\r\n

Donc \"0\ge S(x)-u_n\ge u_{n+1}-u_n\", et comme \"u_{n+1}-u_n=-\dfrac1{(n+1)^x}\",en passant \u00e0 la valeur absolue, \"\abs{S(x)-u_n}\le\dfrac1{(n+1)^x}\".<\/p>\r\n

Dans tous les cas, \"\abs{S(x)-u_n}\le\dfrac1{(n+1)^x}\".<\/p>\r\n

f\/\u00a0<\/strong>
function s=serie(x,e)<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0n=1<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0s=1<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0while (1\/(n+1)\\textasciicircum x)>e then<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0n=n+1<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0s=s+(-1)\\textasciicircum(n+1)\/(n\\textasciicircum x)<\/p>\r\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0end<\/p>\r\n

endfunction<\/p>\r\n

3\/<\/strong> Notons, pour \"k\in\mathbb{N}^*\", \"v_k=\dfrac1{k^x}\". Alors \"\sum\limits_{k=1}^{2p}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k^x}=\sum\limits_{k=1}^{2p}(-1)^{k+1}v_k\" est la somme des \"v_k\" pond\u00e9r\u00e9s d’un signe \u00ab\u00a0–\u00a0\u00bb lorsque \"k\" est pair.<\/p>\r\n

On peut la calculer en prenant la somme des termes d’indices impairs moins celle des termes d’indices pairs :<\/p>\r\n

\"\sum\limits_{k=1}^{2p}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k^x}=\sum\limits_{i=1}^{p}\dfrac{1}{(2i-1)^x}-\dfrac1{2^x}\sum\limits_{i=1}^{p}\dfrac{1}{i^x}\".<\/p>\r\n

On peut aussi la calculer en sommant tous les \"v_k\" sans distinction de parit\u00e9 et en retranchant deux fois la somme des termes d’indices pairs :<\/p>\r\n

\"\sum\limits_{k=1}^{2p}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k^x}=\sum\limits_{k=1}^{2p}\dfrac{1}{k^x}-2\sum\limits_{k=1}^{p}\dfrac{1}{(2k)^x}=\sum\limits_{k=1}^{2p}\dfrac{1}{k^x}-\dfrac1{2^{x-1}}\sum\limits_{k=1}^{p}\dfrac{1}{k^x}\"<\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> La seconde relation de 3. donne, avec \"x=1\",<\/p>\r\n

\"v_n=\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac1k-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1k=\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k\", puis en d\u00e9calant l’indice de \"n\",<\/p>\r\n

\"v_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1{n+k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1{n\big(1+(k/n)\big)}=\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1{1+(k/n)}\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> On reconna\u00eet dans cette derni\u00e8re expression la somme de Riemann d’ordre \"n\" de la fonction continue \"f:[0,1]\to\mathbb{R},x\mapsto\dfrac1{1+x}\".<\/p>\r\n

Par continuit\u00e9 de \"f\", le th\u00e9or\u00e8me des sommes de Riemann assure que \"v\" converge et que :<\/p>\r\n

\"S(1)=\limit n+v_n=\int_{0} ^{1} f(t)dt =\left[\ln|1+x|\right]_0^1=\ln(2)\".<\/p>\r\n

5\/<\/strong> 3. avec \"x=2\" donne \"u_{2p}=\sum\limits_{k=1}^{2p}\dfrac1{k^2}-\dfrac12\sum\limits_{k=1}^{p}\dfrac1{k^2}\".<\/p>\r\n

En passant \u00e0 la limite lorsque \"p\" tend vers \"+\infty\",<\/p>\r\n

\"S(2)=\limit p+u_{2p}=\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac12\times\dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{\pi^2}{12}\".<\/p>\r\n

Partie II : \u00c9tude d’une fonction d\u00e9finie par une int\u00e9grale\u00a0<\/h3>\r\n

6\/<\/strong> La fonction int\u00e9gr\u00e9e est continue et positive sur \"]0,+\infty]\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\dfrac{t^x}{1+e^t}\mathop{\sim}\limits_{t \to 0}\dfrac12t^x\", or \"\int_{0} ^{1} {t^x} dt\", que l’on peut \u00e9crire \"\int_{0} ^{1} {\dfrac1{t^{-x}}}\", converge si, et seulement si, \"-x<1\", c’est-\u00e0-dire \"x>-1\". Par \u00e9quivalence de fonctions positives, \"\int_{0}^{1} {\dfrac{t^x}{1+e^t}}dt\" converge si, et seulement si, \"x>-1\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\dfrac{t^x}{1+e^t}\mathop{\sim}\limits_{t \to +\infty}t^{x}e^{-t}\" en \"+\infty\".<\/p>\r\n

Or, lorsque \"x>-1\", \"\int_{1}^{+\infty} {t^{x}e^{-t}}dt\" existe puisque \"\Gamma(x+1)\" existe.
Par \u00e9quivalence de fonctions positives, si \"x>-1\", \"\int_{1}^{+\infty} {\dfrac{t^x}{1+e^t}}dt\" existe.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Ainsi, \"\int_{0}^{+\infty} {\dfrac{t^x}{1+e^t}}dt\" existe si, et seulement si, \"x>-1\".<\/p>\r\n

7\/ a\/<\/strong> Par somme de termes d’une suite g\u00e9om\u00e9trique :<\/p>\r\n

\"\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^ke^{-kt}=\sum\limits_{k=1}^{n}(-e^{-t})^k=-e^{-t}\dfrac{1-(-1)^ne^{-nt}}{1+e^{-t}}=-\dfrac{1-(-1)^ne^{-nt}}{e^t+1}\"<\/p>\r\n

En multipliant par \"-t^x\" :<\/p>\r\n

\"\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}t^xe^{-kt}=g_x(t)-(-1)^ng_x(t)e^{-nt}\"… ce qu’il fallait d\u00e9montrer !<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Le changement de variable \"u=kt\" est admissible puisque de classe C1 et bijectif (strictement croissant car \"k\ge1\"). Par ce changement, \"\int_{0}^{+\infty} {t^xe^{-kt}}dt\" devient \"\int_{0}^{+\infty}{\dfrac{u^xe^{-u}}{k^{x+1}}}du\". Par lin\u00e9arit\u00e9, on reconna\u00eet \"\dfrac1{k^{x+1}}\Gamma(x+1)\", qui existe. Par le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable, \"\int_{0}^{+\infty}{t^xe^{-kt}}dt\" existe et vaut \"\dfrac1{k^{x+1}}\Gamma(x+1)\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Comme \"\forall t>0, 0\le g_x(t)e^{-nt}\le g_x(t)\" puisque \"0<e^{-nt}<1\", et \"\int_{0}^{+\infty}{g_x(t)}dt\" existe, donc par comparaison de fonctions positives, \"\int_{0}^{+\infty}{g_x(t)e^{-nt}}dt\" existe.<\/p>\r\n

\"\forall t>0, 0<g_x(t)e^{-nt}\le t^xe^{-nt}\", donc par croissante de l’int\u00e9grale, et par le calcul de 7.(b), \"0\le\int_{0}^{+\infty}{g_x(t)e^{-nt}}dt\le\dfrac1{n^{x+1}}\Gamma(x+1)\".<\/p>\r\n

Et comme \"\lim_{n \to +\infty}\dfrac1{n^{x+1}}\Gamma(x+1)=0\" puisque \"x+1>0\", on a, par encadrement, \"\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{+\infty}{g_x(t)e^{-nt}}dt=0\".<\/p>\r\n

d\/<\/strong> Par les questions pr\u00e9c\u00e9dentes (et par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale),<\/p>\r\n

\"I(x)=\int_{0} ^{+\infty}{g_x(t)}dt=(-1)^n\int_{0} ^{+\infty}{g_x(t)e^{-nt}}dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\int_{0} ^{+\infty}{t^xe^{-kt}}dt\"<\/p>\r\n

\"I(x)=(-1)^n\int_{0} ^{+\infty}{g_x(t)e^{-nt}}dt+\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k^{x+1}}\Gamma(x+1)\"<\/p>\r\n

En passant \u00e0 la limite lorsque \"n\" tend vers \"+\infty\", \"I(x)=S(x+1)\Gamma(x+1)\".<\/p>\r\n

8\/<\/strong> \"I(1)=S(2)\Gamma(2)=\dfrac{\pi^2}{12}\times 1!=\dfrac{\pi^2}{12}\"<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Partie III : \u00c9tude d’une variable al\u00e9atoire<\/h3>\r\n

9\/<\/strong> \"\forall t\in\mathbb{R}, f(-t)=\dfrac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^2}=\dfrac{e^{2t}}{\big(e^{t}\big)^2}\times\dfrac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^2}=\dfrac{e^t}{(e^t+1)^2}=f(t)\".<\/p>\r\n

10\/<\/strong> \"f\" est continue et positive sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

Soit \"A<B\".<\/p>\r\n

\"\int_{A} ^{B} f(t)dt f(t)dt=\left[-\dfrac1{1+e^t}\right]_A^B=-\dfrac1{1+e^B}+\dfrac1{1+e^A}\underset{\begin{array}{cc}A\to-\infty\\B\to+\infty\end{array}}{\longrightarrow}1\".<\/p>\r\n

Donc \"\int_{-\infty} ^{+\infty}{f(t)}dt\" existe et vaut \"1\".<\/p>\r\n

Ainsi \"f\" est une densit\u00e9 d’une variable al\u00e9atoire.<\/p>\r\n

11\/<\/strong> Le calcul pr\u00e9c\u00e9dent avec \"A\to-\infty\" et \"B=x\" donne :<\/p>\r\n

\"\forall x\in\mathbb{R},\quad F_X(x)=\int_{-\infty} ^{x}{f(t)}dt=1-\dfrac1{1+e^x}=\dfrac{e^x}{1+e^x}\".<\/p>\r\n

12\/ a\/<\/strong> \"t\mapsto t^nf(t)\" est continue et positive sur \"[0,+\infty]\".<\/p>\r\n

\"t^nf(t)\equi t+t^ne^{-t}\" et \"\int_{0} ^{+\infty}{t^ne^{-t}}dt\" existe (c’est \"\Gamma(n+1)\").<\/p>\r\n

Par \u00e9quivalence de fonctions positives, \"\int_{0} ^{+\infty}{t^nf(t)}dt\" existe.<\/p>\r\n

Puisque \"f\" est paire, \"t\mapsto t^nf(t)\" a la m\u00eame parit\u00e9 que l’entier \"n\" : paire si \"n\" est pair et impaire sinon.<\/p>\r\n

Du coup, comme \"\int_{0} ^{+\infty}{t^nf(t)}dt\" existe, \"\int_{-\infty} ^{+\infty}{t^nf(t)}dt\" existe.<\/p>\r\n

Ainsi \"X\" admet un moment d’ordre \"n\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Comme \"t\mapsto t^{2p+1}f(t)\" est une fonction impaire et int\u00e9grable sur \"]-\infty,+\infty[\", son int\u00e9grale sur \"]-\infty,+\infty[\" est nulle.
Autrement dit, \"m_{2p+1}(X)=0\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> \"m_{2p}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} {t^{2p}f(t)}dt=2\int_{0} ^{+\infty}{t^{2p}f(t)}dt\" par parit\u00e9.<\/p>\r\n

Soit \"B\in\mathbb{R}^+\". Effectuons une int\u00e9gration par parties avec \"t\mapsto-\dfrac1{1+e^t}\" et \"t\mapsto t^{2p}\" de classe C1 sur \"[0,B]\".<\/p>\r\n

\"\int_{0} ^{B}{t^{2p}f(t)}dt=\left[-\dfrac{t^{2p}}{1+e^t}\right]_0^B+\int_{0} ^{B}{\dfrac{2pt^{2p-1}}{1+e^t}}dt=-\dfrac{B^{2p}}{1+e^B}+0+2p\int_{0} ^{B}{\dfrac{t^{2p-1}}{1+e^t}}dt\"<\/p>\r\n

En faisant tendre \"B\" vers \"+\infty\", \"\int_{0} ^{+\infty}{t^{2p}f(t)}dt=2pI(2p-1)\".<\/p>\r\n

Donc \"m_{2p}(X)=2\times2pI(2p-1)=4pI(2p-1)\".<\/p>\r\n

13\/<\/strong> \"E(X)=m_1(X)=0\" par 12.(b).<\/p>\r\n

\"V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=m_2(X)-0^2=4I(1)=\dfrac{\pi^2}3\".<\/p>\r\n

14\/ a\/<\/strong> \"\bullet\" Comme pour tout \"n\" \"\supp{X_n}=\mathbb{R}\", \"\supp{Y_n}=\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

\"\forall y\in\mathbb{R},\quad F_{Y_n}(y)=P(Y_n\le y)=P\left([X_1\le y]\cap [X_2\le y]\cap\dots\cap[X_n\le y]\right)\"<\/p>\r\n

Par ind\u00e9pendance des \"(X_n)\",<\/p>\r\n

\"F_Y(y)=\prod\limits_{i=1}^{n} P(Y_i\le y)=(F_X(y))^n=\left(\dfrac{e^y}{1+e^y}\right)^n\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\supp{Z_n}=\mathbb{R}\" et :<\/p>\r\n

\"\forall z\in\mathbb{R},\quad F_{Z_n}(z)=P(Z_n\le z)=P(Y_n\le z+\ln(n))=F_{Y_n}(z+\ln(n))\"<\/p>\r\n

\"F_{Z_n}(z)=\left(\dfrac{e^{z+\ln(n)}}{1+e^{z+\ln(n)}}\right)^n=\left(\dfrac{ne^z}{1+ne^z}\right)^n\"<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"z\in\mathbb{R}\". D\u00e9terminons \"\limit n+F_{Z_n}(z)\".<\/p>\r\n

\"F_{Z_n}(z)=\exp\left(n\ln\dfrac{ne^z}{1+ne^z}\right)=\exp\left(n\ln\left(1-\dfrac{1}{1+ne^z}\right)\right)\"<\/p>\r\n

Comme \"\dfrac{1}{1+ne^z}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0\",
\"\ln\left(1-\dfrac{1}{1+ne^z}\right)\mathop{\sim}\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{1+ne^z}\mathop{\sim}\limits_{n \to +\infty}\dfrac{-1}{ne^z}\".<\/p>\r\n

\"n\ln\left(1-\dfrac{1}{1+ne^z}\right)\equi n+\dfrac{-1}{e^z}\".<\/p>\r\n

Donc \"\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} F_{Z_n}(z)=\exp(-e^{-z})\".<\/p>\r\n

Comme \"F:z\mapsto\exp(-e^{-z})\" est une fonction de classe C1 sur \"\mathbb{R}\", croissante (par composition de deux fonctions d\u00e9croissantes ou par le signe de sa d\u00e9riv\u00e9e – voir l’expression de \"F'\" ci-apr\u00e8s), de limites \"0\" en \"-\infty\" et \"1\" en \"+\infty\", \"(Z_n)\" converge en loi vers une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 de fonction de r\u00e9partition \"F\".<\/p>\r\n

Une densit\u00e9 de cette variable est \"F':z\mapstoe^{-z}\exp(-e^{-z})\".<\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

 <\/p>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2016 (ECG approfondies) Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Probl\u00e8me 1. Partie I : Un exemple\u00a0 1\/ et . 2\/ a\/ , , et . b\/ Comme les matrices et commutent, la formule du bin\u00f4me donne : car en raison de 2(a) : . 3\/ 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