{"id":36511,"date":"2019-10-11T10:43:44","date_gmt":"2019-10-11T09:43:44","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=36511"},"modified":"2020-12-01T18:47:44","modified_gmt":"2020-12-01T17:47:44","slug":"cours-en-ligne-courbes-parametrees-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-courbes-parametrees-maths-spe\/","title":{"rendered":"Courbes Param\u00e9tr\u00e9es en maths sp\u00e9 : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Courbes Param\u00e9tr\u00e9es – PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Annales<\/a><\/p>\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours, m\u00e9thodes et exercices – courbes param\u00e9tr\u00e9es<\/h2>\n

Il y a une partie m\u00e9thodes,\u00a0 partie avec 4 exemples de courbes param\u00e9tr\u00e9es significatifs et un chapitre d’exercices sur les coniques.<\/p>\n

Plan de cette partie m\u00e9thode<\/h3>\n

1. M\u00e9thodes courbes param\u00e9tr\u00e9es planes
\n2. Courbe donn\u00e9e par une \u00e9quation cart\u00e9sienne.
\n3. Coniques<\/p>\n

1. Courbes param\u00e9tr\u00e9es planes<\/h3>\n

On suppose que \"\mathcal{R} = \left (O , \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right )\" est un rep\u00e8re orthonormal de \"\mathbb{R}^2\" (en g\u00e9n\u00e9ral, c’est le rep\u00e8re canonique).<\/p>\n

1.1. Domaine de d\u00e9finition et restriction du domaine d’\u00e9tude<\/b><\/h4>\n

On cherche le domaine de d\u00e9finition \"\mathcal{D}\" de la fonction \"F\" d’une variable<\/a> r\u00e9elle \"t\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}^2\", \u00e9ventuellement on prolonge \"F\" par continuit\u00e9.<\/p>\n

Lorsque \"\mathcal{D}\" est une r\u00e9union d’intervalles<\/a>, on parle de la courbe param\u00e9tr\u00e9e \"(\mathcal{D}, \, F)\".
\nDans la suite<\/a>, on note :
\n\"F : \mathcal{D} \to \mathbb{R}^2\", \"t \mapsto f(t)\, \overrightarrow{i} + g(t)\, \overrightarrow{j}\"
\net si \"t \in \mathcal{D}\", \"\overrightarrow {OM(t)} = F(t)\";
\n\"\Gamma\" la courbe repr\u00e9sentative c’est \u00e0 dire l’ensemble des points \"M(t)\" lorsque \"t\" d\u00e9crit \"\mathcal{D}\".<\/p>\n

Il y a lieu de restreindre le domaine d’\u00e9tude dans les cas suivants :
\n\"\bullet\"\u00a0a)<\/b>\u00a0utilisation d’une p\u00e9riode :
\nsi \"\forall \, t \in \mathcal{D}, t + P \in \mathcal{D}\" o\u00f9 \"P > 0\" et \"M(t + P) = M(t)\" : on \u00e9tudie \"F\" sur \"[0 , \, P] \cap \mathcal{D}\" ou sur \"[- P/2 ,\, P/2] \cap \mathcal{D}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0b)\u00a0<\/b>utilisation de la parit\u00e9 : le domaine \"\mathcal{D}\" \u00e9tant sym\u00e9trique par rapport \u00e0 \"0\" :
\n\"\ast\" si \"\forall\, t \in \mathcal{D}\" , \"\, f(- t) = f(t) \textrm{ et } g(- t) = g(t)\",
\n\"M(-t) = M(t)\" .
\nOn \u00e9tudie \"F\" sur sur \"\mathbb{R } ^+ \cap \mathcal{D}\"
\n(la courbe est d\u00e9crite deux fois).<\/p>\n

\"\ast\" si \"\forall\, t \in \mathcal{D},\,\" \" f(- t) = - f(t) \textrm{ et } g(- t) = - g(t)\",
\n\"M(-t)\" et \"M(t)\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 \"O\".
\nOn \u00e9tudie \"F\" sur \"\mathbb{R } ^+ \cap \mathcal{D}\" et on compl\u00e8te \"\Gamma\" par sym\u00e9trie par rapport \u00e0 \"O\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"\forall\, t \in \mathcal{D},\,\" \"f(- t) = - f(t) \textrm{ et } g(- t) = g(t)\",
\n\"M(-t)\" et \"M(t)\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 la droite \"Oy\".
\nOn \u00e9tudie \"F\" sur \"\mathbb{R } ^+ \cap \mathcal{D}\" et on compl\u00e8te \"\Gamma\" par sym\u00e9trie par rapport \u00e0 \"Oy\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"\forall\, t \in \mathcal{D},\,\" \" f(- t) = f(t) \textrm{ et } g(- t) = - g(t)\"
\n\"M(-t)\" et \"M(t)\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 la droite \"Ox\"
\nOn \u00e9tudie \"F\" sur \"\mathbb{R } ^+ \cap \mathcal{D}\" et on compl\u00e8te \"\Gamma\" par sym\u00e9trie par rapport \u00e0 \"Ox\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0c)<\/b>\u00a0il y a d’autres restrictions possibles.
\nPar exemple, si l’on doit \u00e9tudier \"F\" sur \"\mathcal{D} \cap [0 ,\, a]\" et si l’on peut trouver \"\varepsilon\" et \"\varepsilon '\" \u00e9gaux \u00e0 \"\pm 1\" tels que \"f(a - t) = \varepsilon f(t)\" et \"g(a - t) = \varepsilon' g(t)\", il suffit d’\u00e9tudier \"F\" sur \"\mathcal{D}\cap [0,\, a/2]\" et de compl\u00e9ter la courbe \"\Gamma\" par la sym\u00e9trie convenable
\n(en effet \"a - t\" d\u00e9crit \"[ a/2 , \,a]\" lorsque \"t\" d\u00e9crit \"[0 ,\, a/2]\").
\n👍 Ne pas h\u00e9siter \u00e0 faire un dessin pour placer \"M(a - t)\" et \"M(t)\"<\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"Prendre\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

1.2. Calcul de \"f '\", \"g'\", signe, sens de variation de \"f\" et \"g\" et d\u00e9but du tableau de variations <\/b><\/h4>\n

👍 Il est conseill\u00e9 de placer les lignes donnant le sens de variation de \"f\" et \"g\" l’une sous l’autre.<\/p>\n

1.3. \u00c9tude locale de l’arc param\u00e9tr\u00e9<\/b><\/h4>\n

On suppose que dans le rep\u00e8re \"\mathcal{R}\" : \"\quad \quad \overrightarrow{OM(t)} = f(t)\, \overrightarrow{i}+ g(t) \, \overrightarrow{j}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a01.\u00a0<\/b>On \u00e9tudie les points o\u00f9 une seule des d\u00e9riv\u00e9es \"f ',\, g'\" s’annule.
\n\"\ast\" Si \"g'(t_0) = 0\" et \"f '(t_0) \neq 0\", la tangente en \"M(t_0)\" est horizontale
\n\"\ast\" Si \"f'(t_0) = 0\" et \"g '(t_0) \neq 0\", la tangente en \"M(t_0)\" est verticale.
\n\"\ast\" Si le point \"M(t_0)\" est\u00a0r\u00e9gulier\u00a0<\/i>(soit \"F'(t_0) \neq 0\"), une \u00e9quation de la tangente en \"M(t_0)\" est \"\quad \quad \left \vert \begin{matrix} x - f(t_0)& f'(t_0) \\ x - g(t_0)& g'(t_0) \end{matrix} \right \vert = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02.\u00a0<\/b>On \u00e9tudie les\u00a0points stationnaires\u00a0<\/i>(ou\u00a0singuliers<\/i>).
\n\"\ast\" Si l’on se limite \u00e0 d\u00e9terminer la tangente en \"M(t_0)\", on cherche le plus petit entier \"p > 1\" tel que \"\overrightarrow{V} = F^{(p)}(t_0)\" soit non nul.
\nDans ce cas, la tangente en \"M(t_0)\" \u00e0 \"\Gamma\" est la droite passant par \"M(t_0)\" et de vecteur<\/a> directeur \"\overrightarrow{V}\".<\/p>\n

👍 Remarque : dans le cas d’un point stationnaire de param\u00e8tre \"t_0\,\", on peut aussi chercher la limite de la pente de la droite \"(M(t_0)M(t))\" lorsque \"t \to t_0\", c’est \u00e0 dire \"\displaystyle \lim _{ t \to t_0} \frac {g(t) - g(t_0)} {f(t) - f(t_0)}\" .
\n\"\ast\" Si la limite est un r\u00e9el \"m\", la droite passant par \"M(t_0)\" et de pente \"m\" est tangente \u00e0 \"\Gamma\" en \"M(t_0)\".
\n\"\ast\" Si la limite est \"\infty\", la tangente en \"M(t_0)\" \u00e0 \"\Gamma\" est verticale.<\/p>\n

\"\ast\" Si l’on veut \u00e9tudier compl\u00e8tement le point stationnaire, il faut d\u00e9terminer les entiers (dits entiers caract\u00e9ristiques) \"p\" et \"q\" tels que
\n\"p\" est le plus petit entier sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 1 tel que \"\overrightarrow{V}= F^{(p)}(t_0)\" soit non nul et \"q\" le plus petit entier strictement sup\u00e9rieur \u00e0 \"p\" tel que \"\overrightarrow{W}= F^{(q)}(t_0)\" ne soit pas colin\u00e9aire \u00e0 \"\overrightarrow{V}\".
\nPour cela on a le choix entre\u00a0 :
\n\"\ast\" le calcul des d\u00e9riv\u00e9es successives de \"f\" et \"g\" en \"t_0\" .
\n\"\ast\" l’utilisation des d\u00e9veloppements limit\u00e9s de \"f\" et \"g\" en \"t_0\" \u00e0 un ordre suffisant (3 convient dans la plupart des cas), pour cela on se ram\u00e8ne au voisinage de 0 en posant \"u = t - t_0\,\".
\nGr\u00e2ce \u00e0 la formule de Taylor-Young, on obtient les d\u00e9riv\u00e9es successives de \"f\" et \"g\" en \"t_0\,\" .
\nEn notant \"\quad \overrightarrow{OM(t)}= F(t) = f(t)\, \overrightarrow{i}+ g(t) \, \overrightarrow{j}\", on a donc obtenu les d\u00e9riv\u00e9es successives de \"F\" en \"t_0\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Dans le rep\u00e8re \"\left ( M(t_0) , \overrightarrow{ V } , \, \overrightarrow{W} \right )\", les coordonn\u00e9es \"(X , Y)\" de \"M(t_0 + h)\"
\nv\u00e9rifient \"\displaystyle X \underset {h \to 0} { \sim } \frac{ h ^p} {p!}\" et \"\displaystyle Y \underset {h \to 0} { \sim } \frac{ h ^q} {q!}\" ,
\n\"X\" est du signe de \"h^p\" et \"Y\" du signe de \"h^q\" au voisinage de \"0\".<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/h5>\n

Pour tout \"k\" tel que \"p + 1 \leq k \leq q - 1\" (si de tels \"k\" existent) , \"F^{(k)}(t_0)\" est colin\u00e9aire \u00e0 \"\overrightarrow{V }\" , donc s’\u00e9crit
\n\"F^{(k)}(t_0) = \mu_k \, \overrightarrow{V}\" avec \"\mu_k \in \mathbb{R}\" .
\nPar la formule de Taylor-Young :
\n\"\displaystyle F(t_0 + h) - F(t_0) \underset {h \to 0} { = }\" \"\quad \quad \quad \displaystyle \frac{h^p} {p!} \, \overrightarrow {V} + \sum_{k = p + 1} ^{q - 1} \mu_k\, \frac {h ^k} {k!} \, \overrightarrow {V}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \frac{h^q} {q!} \,\left ( \overrightarrow {W} + \overrightarrow{\varepsilon(h)} \right)\".
\nEn notant \"\displaystyle \lambda(h) = 1 + \sum _{k = p + 1} ^{q - 1} \frac {p ! \,h ^{k - p} } {q!} \, \mu_k\,\"
\non peut donc \u00e9crire au voisinage de \"0\"
\n\"\displaystyle F(t_0 + h) - F(t_0) \underset {h \to 0} { = }\" \"\quad \quad \quad \displaystyle \frac{h^p} {p!}\lambda(h) \, \overrightarrow {V}+ \frac{h^q} {q!} \,\left ( \overrightarrow {W} + \overrightarrow{\varepsilon(h)} \right)\"
\navec \"\displaystyle \lim_{h \to 0} \lambda(h) = 1\" et \"\displaystyle \lim_{h \to 0} \overrightarrow{\varepsilon(h)} = \overrightarrow{0}\".<\/p>\n

Dans le rep\u00e8re \"\left ( M(t_0) , \overrightarrow{ V } , \, \overrightarrow{W} \right )\", les coordonn\u00e9es \"(X\, , \, Y)\" de \"M(t_0 + h)\" sont :
\n\"\; \; \displaystyle X(t_0 + h) \underset {h \to 0} { = } \frac{ h ^p} {p!} \lambda(h) + \frac{ h ^q} {q!} \varepsilon_1(h)\"
\net \"\displaystyle Y(t_0 + h) \underset {h \to 0} { =} \frac{ h ^q} {q!}(1 + \varepsilon_2(h))\"
\ndonc \"\displaystyle X(t_0 + h) \underset {h \to 0} { \sim } \frac{ h ^p} {p!}\" et \"\displaystyle Y(t_0 + h) \underset {h \to 0} { \sim} \frac{ h ^q} {q!}\"<\/p>\n

1.4. Branches infinies\u00a0<\/b><\/h4>\n

def1<\/b>\u00a0: On dit que \"\Gamma\" a une\u00a0branche infinie<\/i>\u00a0quand \"t\" tend vers \"a\" lorsque \"\displaystyle \lim_{t\to a} OM(t) = \lim _ {t \to a} \Vert F(t) \Vert = + \infty\"<\/p>\n

def 2<\/b>\u00a0: Si \"\displaystyle \lim_{t\to a} OM(t)= +\infty\" et s’il existe une droite \"\mathcal{D}\" telle que
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{t \to a} d(M(t) , \mathcal{D}) = 0\",
\non dit que la droite \"\mathcal{D}\" est\u00a0asymptote<\/i>\u00a0\u00e0 l’arc \"\Gamma\" .<\/p>\n

👍 En pratique, on a une branche infinie quand l’une au moins des fonctions<\/a> \"t\mapsto \vert f(t) \vert\" , \"t \mapsto \vert g(t) \vert\" tend vers \"+\infty\" lorsque \"t\" tend vers \"a\".<\/p>\n

Cas usuels de branche infinie\u00a0<\/b>:
\n\"\bullet\"\u00a0Cas 1<\/b>\u00a0:
\n\"\displaystyle \lim_{t \to a} f(t) = x_0\" et \"\displaystyle \lim _{t \to a} \vert g(t) \vert = + \infty\",
\nla droite d’\u00e9quation \"x = x_0\" est asymptote \u00e0 \"\Gamma\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Cas 2<\/b>\u00a0:
\n\"\displaystyle \lim_{t \to a} g(t) = y_0\" et \"\displaystyle \lim _{t \to a} \vert f(t) \vert = + \infty\",
\nla droite d’\u00e9quation \"y = y_0\" est asymptote \u00e0 \"\Gamma\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Cas 3\u00a0<\/b>:
\n\"\displaystyle \lim_{t \to a} \vert f(t)\vert = +\infty\" et \"\displaystyle \lim _{t \to a} \vert g(t) \vert = + \infty\",
\non \u00e9tudie la limite en \"a\" de \"t \mapsto \displaystyle \frac {g(t)} {f(t)}\".<\/p>\n

\"\ast\" sous-cas 1 : \"\displaystyle \lim_{t \to a} \frac {g(t)} {f(t)} = 0\", \"\Gamma\" admet une\u00a0branche parabolique<\/i>\u00a0de direction \"Ox\".
\n\"\ast\" sous-cas 2 : \"\displaystyle \lim_{t \to a} \frac {g(t)} {f(t)} = \infty\", \"\Gamma\" admet une\u00a0branche parabolique<\/i>\u00a0de direction \"Oy\".
\n\"\ast\" sous-cas 3 : \"\displaystyle \lim_{t \to a} \frac {g(t)} {f(t)} = \alpha \neq 0\" et \"\displaystyle \lim_{t \to a} g(t) - \alpha f(t) = \infty\", \"\Gamma\" admet une branche parabolique de direction \"y = \alpha x\".
\n\"\ast\" sous-cas 4 : \"\displaystyle \lim_{t \to a} \frac {g(t)} {f(t)} = \alpha \neq 0\" et \"\displaystyle \lim_{t \to a} g(t) - \alpha f(t) = \beta\",
\nla droite \"\Delta\" d’\u00e9quation \"y = \alpha x + \beta\" est\u00a0asymptote<\/i>\u00a0\u00e0 \"\Gamma\". Le signe de \"g(t) - \alpha f(t) - \beta\" au voisinage de \"a\" donne la position de \"\Gamma\" par rapport \u00e0 \"\Delta\"
\n… La courbe est au dessus de \"\Delta\" lorsque \"g(t) - \alpha f(t) - \beta > 0\"
\n… La courbe est en dessous de \"\Delta\" lorsque \"g(t) - \alpha f(t) - \beta < 0\".<\/p>\n

1.5. Trac\u00e9<\/b>\u00a0:<\/h4>\n

\"\bullet\" Commencer par placer les asymptotes, les points particuliers et les tangentes.
\n\"\ast\" Se positionner (au dessus \/ en dessous, \u00e0 droite \/ \u00e0 gauche) pour les asymptotes horizontales suivant les valeurs de \"t\".
\n\"\ast\" Se positionner (\u00e0 droite \/ \u00e0 gauche, en haut \/ en bas) pour les asymptotes verticales suivant les valeurs de \"t\".
\n\"\ast\" Se positionner (au dessus \/ en dessous), en faisant en plus attention au signe de \"x\" et \"y\" pour les asymptotes obliques.<\/p>\n

\"\bullet\" Si la calculatrice est utilisable, on programme les fonctions \"t \mapsto f(t)\" et \"t \mapsto g(t)\" pour calculer les coordonn\u00e9es d’autres points.<\/p>\n

1.6. Points doubles<\/b><\/h4>\n

Si l’on s’aper\u00e7oit apr\u00e8s trac\u00e9 qu’il y a des points doubles, il faut les d\u00e9terminer.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Cas 1\u00a0<\/b>:\u00a0 \"f\" et \"g\" sont des\u00a0fractions rationnelles<\/b>.
\nOn cherche \"t \neq u\" tels que \"f(t) = f(u)\" et \"g(t) = g(u)\".
\n\"\ast\" Faire le produit en croix. Simplifier par \"t - u\" et exprimer les \u00e9quations<\/a> obtenues en fonction de \"S = t + u\" et \"P = t u\".
\n\"\ast\" D\u00e9terminer \"S\" et \"P\" (il est inutile de chercher \"t\" et \"u\" sauf si l’\u00e9nonc\u00e9 le demande).
\n\"\ast\" Calculer les coordonn\u00e9es du point double en utilisant le fait que \"t\" v\u00e9rifie \"t^2 - S t + P = 0\" (calcul de \"t\" inutile, remplacer \"t^2\" par \"S t - P\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Cas 2 :<\/b>\u00a0 \"f\" et \"g\" sont des\u00a0lignes trigonom\u00e9triques.<\/b>
\n\"\ast\" On cherche d’abord \u00e0 encadrer les nombres \"t\" et \"u\".
\n\"\ast\" On r\u00e9sout les \u00e9quations trigonom\u00e9triques ce qui fait en g\u00e9n\u00e9ral intervenir une ou plusieurs constantes \"k\" de \"\mathbb{Z}\". On utilise l’encadrement de \"t\" et \"u\" pour obtenir les valeurs n\u00e9cessaires de \"k\" (une ou plusieurs valeurs selon les cas) et on termine la r\u00e9solution.<\/p>\n

Il faudra \u00e9ventuellement corriger le trac\u00e9 obtenu pr\u00e9c\u00e9demment.
\nUn autre\u00a0 exemple est pr\u00e9sent\u00e9 avec la deuxi\u00e8me courbe de la t\u00e2che suivante.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b><\/h5>\n

Soit la courbe param\u00e9tr\u00e9e d\u00e9finie par \"\quad x(t) = \displaystyle \frac {2 t - 1} {t ^2 - 1}\" et \"y(t) = \displaystyle \frac {t^2} {t - 1}\".
\nD\u00e9terminer son point double.<\/p>\n

Corrig\u00e9s :<\/h5>\n
\n

On cherche \"t \neq u\" tel que \"x(t) = x(u)\" et \"y(t) = y(u)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re \u00e9quation\u00a0<\/b>
\n\"x(t) = x(u)\" \"\Leftrightarrow (u ^2 - 1) (2 t - 1) = (t ^2 - 1)(2 u - 1)\"
\n\"\Leftrightarrow 2 t u ^2 - 2 t - u ^2 + 1 =\" \"\quad \quad \quad \quad 2 u t ^2 - 2 u - t^2 + t - 1\"
\n\"\Leftrightarrow 2 t u (u - t) -( u ^2 - t^2) + 2 (u - t) = 0\"
\nen simplifiant par \"u - t \neq 0\"
\n\"\Leftrightarrow 2\, t \, u -( u + t) + 2 = 0\"
\nEn notant \"S = t + u\" et \"P = t \, u\", on obtient une premi\u00e8re condition \"2\, P - S + 2 = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me \u00e9quation\u00a0<\/b>
\n\"y(t) = y(u)\" \"\Leftrightarrow (u - 1) t ^2 = (t - 1) u ^2\"
\n\"\Leftrightarrow t ^2 u - t u ^2 + u ^2 - t ^2 = 0\"
\n\"\Leftrightarrow t u (t - u) - ( t ^2 - u^2) = 0\"
\nen simplifiant par \"t - u \neq 0\"
\n\"\Leftrightarrow t\, u - ( u + t)= 0\"
\nOn obtient une deuxi\u00e8me condition : \"P - S = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" Les relations \"2 \, P - S + 2 = 0\" et \"P - S = 0\" donnent \"S = P = - 2 0\"
\n\"t\" v\u00e9rifie \"t ^2 + 2\, t - 2 = 0\" soit \"t^2 = 2 - 2 \, t\"
\n\"x(t) = \displaystyle \frac {2 t - 1} {t ^2 - 1} = \frac {2 t - 1} {1 - 2 t} = - 1\"
\net \"y(t) = \displaystyle \frac {t ^2 } {t - 1} = \frac {2 - 2 t} {t - 1 } = - 2\"
\nLe point double a pour coordonn\u00e9es \"( - 1 , - 2)\".<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n

2. Courbe donn\u00e9e par une \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/h3>\n

Si \"f\" est de classe \"C^1\" sur l’ouvert \"U\" de \"\mathbb{R}^2\", on note \"\Gamma\" la courbe d’\u00e9quation cart\u00e9sienne \"f(x , y) = 0\".
\nSoit \"M(a , b) \in \Gamma\" \"(f(a , b) = 0)\" tel que \"\nabla f(a ,\, b)\neq 0\" . Le point \"M(a ,\, b)\" est dit\u00a0r\u00e9gulier<\/i>.
\nLa tangente en \"M(a ,\, b)\" \u00e0 \"\Gamma\" est la droite passant par \"M\" et orthogonale \u00e0 \"\nabla f(a ,\, b)\".
\nElle a pour \u00e9quation :
\n\"\displaystyle \frac {\partial f} {\partial x} (a , \, b) \, (x - a)+ \frac {\partial f} {\partial y} (a , \, b) \, (y - b)\" \"= 0\"<\/p>\n

Exercice\u00a0<\/b>
\nReconna\u00eetre la courbe d’\u00e9quation \"\quad \quad x ^2 + y^2 - 2\, x - 4 \, y + 1 = 0\".
\nD\u00e9terminer de deux fa\u00e7ons diff\u00e9rentes une \u00e9quation de la tangente \u00e0 \"\Gamma\" au point de cordonn\u00e9es \"( a\, ,\, b)\".<\/p>\n

Corrig\u00e9<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" On \u00e9crit l’\u00e9quation sous la forme :
\n\"\quad \quad \quad (x - 1) ^2 + (y - 2) ^2 = 4\".
\n\"\Gamma\" est le cercle de centre \"\Omega (1\, ,\, 2)\" et de rayon \"R = 2\".\"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re m\u00e9thode :<\/b>
\n\"\Gamma\" est la courbe d’\u00e9quation \"\varphi(x , y) = 0\" avec \"\varphi : (x , y) \mapsto x^2 + y ^2 - 2 x - 4 y + 1\" , qui est une fonction de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^2\".\"\nabla \varphi (a\, ,\, b) = (2 a - 2 \, , \, 2 b - 4)\" est non nul car \"\nabla \varphi (a\, , \, b) = 0\" ssi \"a = 1, \, b = 2\".
\nComme \"\varphi(1 , 2) \neq 0\", tout point de \"\Gamma\" est r\u00e9gulier.<\/p>\n

La tangente \u00e0 \"\Gamma\" en \"A(a, b)\" est la droite passant par \"A\" et orthogonale \u00e0 \"\nabla \varphi (a , b)\"
\nElle a pour \u00e9quation :
\n\"(a - 1) ( x - a) + (b - 2) ( y - b) = 0\"
\nssi \"(a - 1) x + (b - 2) y = a^2 - a + b^2 - 2 b\"
\nssi \"(a - 1) x + (b - 2) y = a + 2 b - 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me m\u00e9thode\u00a0<\/b>
\nOn peut param\u00e9trer le cercle par \"\quad \quad x = 1 + 2\, \cos(t)\", \"y = 2 + 2 \, \sin(t)\".<\/p>\n

Si \"A(a\, ,\, b)\" est le point de param\u00e8tre \"t\", la tangente en \"A\" est dirig\u00e9e par le vecteur \"(x'(t)\, ,\, y'(t)) = (- 2 \sin(t) \, , \, 2 \cos(t))\" et pour \u00e9quation
\n\"\left \vert \begin{matrix} x - 1 - 2 \cos(t) & - \sin(t)\\ y - 2 - 2 \sin(t) & \cos(t) \end{matrix} \right \vert = 0\"
\nsoit \"\cos(t) \, x +\sin(t)\, y - \cos(t) - 2 \sin(t)\" \"\quad \quad \quad - 2\sin^2(t) - 2 \cos^2(t)= 0\"
\nssi \"\cos(t)\, x +\sin(t)\, y = \cos(t) + 2 \sin(t) + 2\"
\npuis en multipliant l’\u00e9quation par 2 :
\nssi \"(a - 1) x + (b - 2) y = a - 1 + 2 b - 4 + 4\"<\/p>\n<\/div>\n

\n

car \"a = 1 + 2 \cos(t)\" et \"b = 2 + 2 \sin(t)\".<\/p>\n\t\t

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3. Equations r\u00e9duites des coniques<\/h3>\n

def\u00a0<\/b>: On appelle\u00a0conique<\/i>\u00a0toute courbe \"\mathcal{C}\" d’\u00e9quation :
\n\"a x^2 + 2 b x y + c y^2 + 2 d x + 2 e y + f = 0\" o\u00f9 \"(a , b , c) \neq (0 , 0 , 0)\".<\/p>\n

3.1. Ellipse\u00a0<\/b><\/h4>\n

\"\mathcal{E}\" d’\u00e9quation si \"0 < b < a\" , \"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {x^2} {a^2} + \frac {y ^2} {b ^2} = 1\"<\/p>\n

Remarque<\/u>\u00a0: dans le cas o\u00f9 \"0 < a < b\" , il faut \u00e9changer les axes \"Ox\" et \"Oy\".<\/p>\n

\"\bullet\" La courbe \"\mathcal{E}\" admet
\n\"\quad \ast\" \"O\" pour centre de sym\u00e9trie.
\n\"\quad \ast\" \"x'x\" et \"y'y\" pour axes de sym\u00e9trie.
\n\"\quad \ast\" \"A(a\, , \, 0)\" et \"A'(-a\, , \, 0)\" sont les sommets du grand axe
\nLe segment \"[0 , \, A]\" est appel\u00e9 demi-grand axe de \"\mathcal{E}\"
\n\"\quad \ast\" \"B(0 \, ,\, b)\" et \"B'(0 \, ,\, -b)\" sont les sommets du petit axe.<\/p>\n

\"\bullet\" Une repr\u00e9sentation param\u00e9trique de \"\mathcal{E}\" est d\u00e9finie par
\n\"\quad \quad [0 , 2 \pi] \to \mathbb{R}^2\" \"\quad \quad t \mapsto (a \, \cos(t) \, , \, b \, \sin(t))\" .<\/p>\n

\"\bullet\" La tangente en \"M_0 (x_0 \, , \, y_0) \in \mathcal{E}\" a pour \u00e9quation\u00a0 \"\displaystyle \frac {x_0 \, x} {a^2} + \frac {y_0 \, y} {b ^2} = 1\".<\/p>\n

3.2. Hyperbole\u00a0<\/b><\/h4>\n

\"\mathcal{H}\" d’\u00e9quation si \"0 < b\" et \"0 < a\", \"\quad \quad \displaystyle \frac {x^2} {a^2} - \frac {y ^2} {b ^2} = 1\"<\/p>\n

Remarque<\/u>\u00a0: dans le cas d’une \u00e9quation de la forme \"\displaystyle \frac {y^2} {b^2} - \frac {x ^2} {a ^2} = 1\" , il faut \u00e9changer les axes \"Ox\" et \"Oy\".<\/p>\n

\"\bullet\" La courbe \"\mathcal{H}\" admet
\n\"\quad \ast\" \"O\" pour centre de sym\u00e9trie.
\n\"\quad \ast\" \"x'x\" et \"y'y\" pour axes de sym\u00e9trie.
\n\"\quad \ast\" \"A(a\, , \, 0)\" et \"A'(-a\, ,\, 0)\" sont les sommets du grand axe
\n\"\quad \ast\" Les droites d’\u00e9quation \"y = \displaystyle \frac {a} {b} \, x\" et \"y = \displaystyle - \frac {a} {b}\, x\" sont\u00a0asymptotes<\/i>\u00a0\u00e0 l’hyperbole.
\nL’hyperbole est dite\u00a0\u00e9quilat\u00e8re<\/i>\u00a0lorsque \"a = b\", dans ce cas les asymptotes sont orthogonales.
\n👍 : on retrouve les \u00e9quations des asymptotes en r\u00e9solvant
\n\"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \frac {x^2} {a^2} - \frac {y ^2} {b ^2} = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Une repr\u00e9sentation param\u00e9trique de \"\mathcal{H}\" est d\u00e9finie par
\n\"\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^2\"
\n\"\displaystyle t \mapsto \left (\frac a 2 \left ( t + \frac 1 t \right ) \, , \, \frac b 2 \, \left ( t - \frac 1 t \right ) \right)\" .<\/p>\n

👍 On retrouve cette repr\u00e9sentation param\u00e9trique en \u00e9crivant l’\u00e9quation de \"\mathcal{H}\" sous la forme
\n\"\quad \quad \displaystyle \left ( \frac {y} {b} - \frac {x} {a} \right ) \,\left ( \frac {y} {b} + \frac {x} {a} \right ) = 1\"
\net en posant \"\displaystyle t = \frac {y} {b} + \frac {x} {a}\".<\/p>\n

\"\bullet\" On obtient une repr\u00e9sentation param\u00e9trique de la moiti\u00e9 de l’hyperbole situ\u00e9e dans le demi plan \"x > 0\" (resp. \"x < 0\" ) par :
\n\"\quad \quad \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\", \"t \mapsto (a \, \textrm{ch} (t) \, , \, b \, \textrm{sh}(t))\"
\n(resp. \"t \mapsto ( - a \, \textrm{ch} (t) \, , \, b \, \textrm{sh}(t))\" ).<\/p>\n

3.3. Parabole\u00a0<\/b><\/h4>\n

\"\mathcal{P}\" d’\u00e9quation si \"p >0\" , \"\displaystyle y ^2 = 2 \, p \, x\"
\n\"p\" est appel\u00e9\u00a0param\u00e8tre<\/i>\u00a0de la parabole.<\/p>\n

\"\bullet\" La courbe \"\mathcal{P}\" admet
\n\"\quad \ast\" \"x'x\" pour axe de sym\u00e9trie.
\n\"\quad \ast\" \"O\" est le sommet de \"\mathcal{P}\" et \"y'y\" est la tangente en \"O\" \u00e0 \"\mathcal{P}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Une repr\u00e9sentation param\u00e9trique de \"\mathcal{P}\" est d\u00e9finie par\u00a0 :
\n\"\quad \quad\mathbb{R } \to \mathbb{R}^2 \, , \, \displaystyle t \mapsto \left ( \frac {t^2} {2 p} \, ,\, t \right)\"
\nou aussi \"t \mapsto \left (2 \, p \, t ^2 \, ,\,2 \, p \, t \right)\".<\/p>\n

\"\bullet\" La tangente en \"M_0 (x_0 \, , \, y_0) \in \mathcal{P}\" a pour \u00e9quation \"y _0 \, y = p (x + x_0)\".<\/p>\n

4. Obtenir une \u00e9quation r\u00e9duite<\/h3>\n

Conique \"\mathcal{C}\" d’\u00e9quation :
\n\"a x^2 + 2 b x y + c y^2 + 2 d x + 2 e y + f = 0\" o\u00f9 \"(a , b , c) \neq (0 , 0 , 0)\".<\/p>\n

L’\u00e9quation d’une conique est la somme
\n\"\ast\" d’une forme quadratique \"\quad \quad \Phi(x , y) = a\, x^2 + 2 \,b \, x\, y + c\, y^2\",
\n\"\ast\" d’une partie lin\u00e9aire \"\quad \quad \quad L(x , y) = 2 \, d\, x + 2\, e\, y\"
\n\"\ast\" et d’une constante \"f\".<\/p>\n

4.1. cas o\u00f9 \"b = 0\"<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\" M1 Si \"a = c\" et \"b = 0\", \"\mathcal{C}\" est selon les valeurs des coefficients
\n\"\quad \ast\" \"\varnothing\"
\n\"\quad \ast\" un point
\n\"\quad \ast\" un cercle.<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n

\"\mathcal{C}\" a pour \u00e9quation :<\/p>\n

\"a(x^2 + y^2 ) + 2 \, d\, x + 2\, e \, y + f = 0\"
\nssi \"x^2 + y^2 + 2\, d'\, x + 2\, e'\, y + f ' = 0\"
\nssi \"(x + d')^2 + (y + e')^2 = {d'} ^2 + {e'} ^2 - f '\".
\navec \"a\, d' = d , \, a\, e' = e, \, a\, f' = f\"<\/p>\n

donc \"{d'} ^2 + {e'} ^2 - f ' = \displaystyle \frac {1} {a^2} (d^2 + e ^2 - a f )\"\"\ast\" Si \"d^2 + e ^2 - a f \geq 0\", \"\mathcal{C}\" est un cercle de centre \"(- d/a ,\, - e/a)\" \u00e9ventuellement r\u00e9duit \u00e0 un point
\n\"\ast\" Si \"d^2 + e ^2 - a f < 0\", \"\mathcal{C} = \varnothing\".<\/p>\n

\"\bullet\" M2.\u00a0<\/b>Si \"a \, c \neq 0\" et \"b = 0\", \u00e9crire l’\u00e9quation \"\quad a\, x^2 + c \, y^2 + 2 \, d \, x + 2\, e \, y + f = 0\" sous la forme \"\displaystyle a \left ( x + \frac d a \right ) ^2 + c \left ( y + \frac e c \right ) ^2 + f ' = 0\" avec \"\displaystyle f ' = f - \frac {d^2} {a} - \frac {e^2} c\". Si \"f' \neq 0\",\u00a0 on obtient \"\ast\" une ellipse si \"a \, c > 0\" et \"f' \, a < 0\" \"\ast\" une hyperbole si \"a \, c < 0\". Si \"f' = 0\", on obtient selon le cas \"\varnothing\", un point ou deux droites concourantes.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"a = b = 0\", \u00e9crire l’\u00e9quation sous la forme \"\; \; \displaystyle c \left ( y + \frac e c \right ) ^2 + 2\, d\, x + f - \frac {e^2} c = 0\". \"\ast\" si \"d \neq 0\", on obtient une parabole. \"\ast\" si \"d = 0\", on obtient \"\varnothing\", une droite ou deux droites distinctes.<\/p>\n

\"\bullet\" M3bis\u00a0<\/b>Si \"c = b = 0\",\u00a0 \u00a0raisonner de m\u00eame en \u00e9changeant \"x\" et \"y\".<\/p>\n

4.2. Cas g\u00e9n\u00e9ral \"b \neq 0\"<\/b><\/p>\n

Notations <\/i>: Soit \"A = \begin{pmatrix} a&b\\b&c \end{pmatrix}\" et \"L = \begin{pmatrix} d & e \end{pmatrix}\" et \"X = \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}\", l’\u00e9quation de \"\mathcal{C}\" s’\u00e9crit : \"\quad \quad X^{\textrm{T}} \, A \, X + 2\, L\, X + f = 0\"<\/p>\n

⚠️ \u00e0 bien \u00e9crire comme terme hors diagonale de \"A\", la moiti\u00e9 du coefficient de \"x\, y\".<\/p>\n

4.2.2. Centre de sym\u00e9trie si \"A\" est inversible. <\/i>Soit \"\mathcal{C}\" la courbe du second degr\u00e9 d’\u00e9quation \"F(x , y) = 0\" avec \"F(x , y) = X^{\textrm{T}} \, A \, X + 2\, L\, X + f = 0\".<\/p>\n

Si \"A\" est inversible, \"\mathcal{C}\" admet un unique centre de sym\u00e9trie \"O'(x_0 \, , \, y_0)\" o\u00f9 \"(x_0 \, , \, y_0)\" est le seul point critique de \"F\" (c’est \u00e0 dire v\u00e9rifie \"\nabla F(x_0 \, , \, y_0) = 0\" ou encore \"A \, X_0 + L ^{\textrm{T}} = 0\").<\/p>\n

Dans le rep\u00e8re \"\mathcal{R'} \left ( O' \, , \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}\right )\", \"\mathcal{C}\" a pour \u00e9quation \"\quad \quad {X'}^{\textrm{T}} \, A \, X' + F(x_0 \, , \, y_0) = 0\".<\/p>\n

4.2.3. Utilisation de la r\u00e9duction<\/a><\/i><\/p>\n

La matrice<\/a> sym\u00e9trique r\u00e9elle \"A\" admet deux valeurs propres r\u00e9elles \"\lambda , \, \mu\" et soit \"\mathcal{B}' = \left(\overrightarrow{u} \, , \,\overrightarrow{v}\right )\" une base orthonormale de vecteurs propres. Dans le rep\u00e8re \"\mathcal{R}' \left ( O\, , \overrightarrow{u}\, , \,\overrightarrow{v} \right )\", \"\mathcal{C}\" a pour \u00e9quation \"\lambda \, {x'} ^2 + \mu\, {y'} ^2 + 2 d'\, x' + 2 e'\, y' + f = 0\" avec \"L' = \begin{pmatrix} d' & e' \end{pmatrix} = L \, P\" o\u00f9 \"P\" est la matrice de passage de la base canonique \u00e0 la base \"\mathcal{B}'\".<\/p>\n

👍 Si l’on a d\u00e9termin\u00e9 \"\overrightarrow{u}\" vecteur propre unitaire associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\lambda\" de coordonn\u00e9es \"(a , b)\", le vecteur \"\overrightarrow{v}\" de coordonn\u00e9es \"(- b \, , \, a)\", est un vecteur propre unitaire associ\u00e9 \u00e0 l’autre valeur propre de \"A\".<\/p>\n

\"\mathcal{C}\" a pour \u00e9quation \"\lambda \, {x'} ^2 + \mu\, {y'} ^2 + 2 d'\, x' + 2 e'\, y' + f = 0\"<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Si \"\textrm{det}(A) = 0\", on choisit \"\lambda = 0\". Alors \"µ \neq 0\" car \"A \neq 0\".
\nDans le rep\u00e8re \"\mathcal{R}'\", l’\u00e9quation est \"\mu\, {y'} ^2 + 2 d'\, x' + 2 e'\, y' + f = 0\"
\nssi \"\displaystyle \mu \left ( y ' + \frac {e'} {\mu} \right ) ^2 + 2 d'\, x' + f' - \frac {e'^2} {\mu} = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" si \"d' = 0\", on obtient une \u00e9quation de la forme \"\displaystyle \mu \left ( y ' + \frac {e'} {\mu} \right ) ^2 + f''= 0\" donc deux droites, un point ou \"\varnothing\".
\n\"\bullet\" si \"d' \not= 0\" , on obtient une \u00e9quation de la forme \"{y''}^2 = 2 p \, x''\" par changement d’origine.<\/p>\n

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Exercices sur les Courbes Param\u00e9tr\u00e9es en maths sp\u00e9<\/h2>\n

4 courbes sont \u00e9tudi\u00e9es dans ce chapitre :
\n1. L’astro\u00efde \"F : t \mapsto (a \cos^3(t), \, a \sin^3(t))\" o\u00f9 \"a > 0\" , quelques propri\u00e9t\u00e9s g\u00e9om\u00e9triques et la longueur (en PSI).
\n2. \"F : t \mapsto (\sin(2 t) , \sin(3 t))\".(avec un point double)
\n3. \"x(t) = \displaystyle \frac {2 t + 1} {t( t + 1)}\" et \"y(t) = \displaystyle \frac {2 t - 1} {t(t - 1)}\" (avec un point double)
\n4. \"x(t) =\displaystyle \frac 1 {t ^2} + 2 t\" ; \"y(t) = \displaystyle t + \frac 1 t\" (un point stationnaire et une recherche de parabole asymptote)<\/p>\n

1. Exemple 1 : astro\u00efde<\/h3>\n

\"F : t \mapsto (a \cos^3(t), \, a \sin^3(t))\" o\u00f9 \"a > 0\".
\nQuestion 1<\/b>
\nD\u00e9terminer le domaine d’\u00e9tude de la courbe param\u00e9tr\u00e9e<\/p>\n

On \u00e9tudie sur \"[0 , a ]\" avec \"a =\"<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nEtudier les variations de \"x\" et \"y\" et donner le tableau de variation*<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nTracer le graphe<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nSoit \"M\" un point de l’astro\u00efde n’appartenant pas aux axes.
\nLa tangente en \"M\" \u00e0 \"\Gamma\" coupe \"Ox\" en \"P\" et \"Oy\" en \"Q\".
\nCalculer la longueur du segment \"PQ\".\u00a0Est-elle contante ?<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSoit \"\mathcal{C}\" un cercle de centre \"O\" et de rayon \"a\".
\nSi \"C\" est un point de \"\mathcal{C}\" diff\u00e9rent des axes, on note \"A\" sa projection sur \"Ox\" et \"B\" sa projection sur \"Oy\". Soit \"M\" la projection orthogonale de \"C\" sur \"(AB)\". Calculer les coordonn\u00e9es de \"M\".
\nLorsque \"C\" est un point des axes, on note \"M = C\".<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nCalculer la longueur de l’astroide.<\/p>\n

2. Exemple 2<\/h3>\n

\"F : t \mapsto (\sin(2 t) , \, \sin(3 t))\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nD\u00e9terminer le domaine de d\u00e9finition et restreindre le domaine d’\u00e9tude.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nCalculer les d\u00e9riv\u00e9es, pr\u00e9ciser les tangentes aux points remarquables.
\nDonner le tableau de variation.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nTracer la courbe.<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nD\u00e9terminer les points doubles.<\/p>\n

3. Exemple 3<\/h3>\n

Soit la courbe param\u00e9tr\u00e9e d\u00e9finie par \"x(t) = \displaystyle \frac {2 t + 1} {t( t + 1)}\" et \"y(t) = \displaystyle \frac {2 t - 1} {t(t - 1)}\".
\nQuestion 1<\/b>
\nD\u00e9terminer le domaine de d\u00e9finition.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nEtudier les d\u00e9riv\u00e9es, les tangentes aux points particulier s’il y a lieu et donner le tableau de variation<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>
\nEtudier les banches infinies de la courbe<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nEtudier le point limite.<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nTracer le graphe.<\/p>\n

Question 7<\/b>
\nEtudier le point double<\/p>\n

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4. Exemple 4<\/h3>\n

Soit la courbe param\u00e9tr\u00e9e d\u00e9finie par :
\n\"\quad x(t) =\displaystyle \frac 1 {t ^2} + 2 t\" ; \"y(t) = \displaystyle t + \frac 1 t\" .
\nQuestion 1.\u00a0<\/b>
\nD\u00e9terminer le domaine de d\u00e9finition, calculer les d\u00e9riv\u00e9es, pr\u00e9ciser les tangentes aux points r\u00e9guliers particuliers et donner le tableau de variation.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nEtudier le point stationnaire<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nEtudier les branches infinies de \"\Gamma\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nMontrer qu’il existe une parabole asymptote<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nRepr\u00e9senter \"\Gamma\" , ses asymptotes et la parabole asymptote.<\/p>\n

Exercices sur les Coniques en maths sp\u00e9<\/h2>\n

Plan<\/p>\n

1. R\u00e9duction d’une conique : exemple 1
\n2. R\u00e9duction d’une conique : exemple 2
\n3. R\u00e9duction d’une conique : exemple 3
\n4. R\u00e9duction d’une conique : exemple 4
\n5. Parabole et g\u00e9om\u00e9trie
\n6. Construction de l’ellipse point par point.<\/p>\n

1. Exemple 1 de r\u00e9duction d’une conique<\/h3>\n

Question 1
\n<\/b><\/p>\n

Caract\u00e9riser la conique \"\mathcal{C}\" d’\u00e9quation \"\quad \quad 4 x^2 + y ^2 + 4\, x - 2\, y - 6 = 0\"
\net la repr\u00e9senter.<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nD\u00e9terminer les points de \"\mathcal{C}\" o\u00f9 la tangente est parall\u00e8le \u00e0 la droite \"\Delta\" d’\u00e9quation \"2 \, x + y = 0\".<\/p>\n

2. Exemple 2<\/h3>\n

Caract\u00e9ristiques de la conique\u00a0 \"\quad \mathcal{C} : x^2 + x \,y + y ^2 + x - y = 0\" et repr\u00e9sentation.<\/p>\n

3. Exemple 3<\/h3>\n

Caract\u00e9ristiques de la conique\u00a0 \"\quad \mathcal{C} : x \, y + 3 \, x + 5 \, y - 4 = 0\"
\net repr\u00e9sentation.<\/p>\n

4. Exemple 4<\/h3>\n

Caract\u00e9ristiques de la conique \"\mathcal{C}\" \"16 \, x^2 + 9 \, y ^2 + 24 \, x \, y + 10 \, x\" \"\quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, 70 \, y + 75 = 0\"
\net repr\u00e9sentation.<\/p>\n

5. Parabole et g\u00e9om\u00e9trie<\/h3>\n

Soit \"a > 0\", \"F(a , 0)\" et \"\mathcal{D}\" la droite d’\u00e9quation \"x = - a\".
\nQuestion 1<\/b>
\nL’ensemble \"\mathcal{P}\" des points \u00e9quidistants de \"F\" et \"\mathcal{D}\" est une parabole.<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nSoit \"M(t)\" le point de \"\mathcal{P}\" d’ordonn\u00e9e \u00e9gale \u00e0 \"2\, a \, t\" et \"\mathcal{D}_t\" la tangente en \"M(t)\" \u00e0 \"\mathcal{P}\".
\nSoit \"H\" la projection orthogonale de \"M(t)\" sur la droite \"\mathcal{D}\".
\nLa tangente en \"M(t)\" est la m\u00e9diatrice du segment \"[F , H]\" et la bissectrice de l’angle \"F M(t) H\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn suppose que \"t \neq 0\". On note \"T\" le point d’intersection de la tangente en \"M(t)\" et de la droite \"\mathcal{D}\".
\nLe triangle \"M(t)\, F\, T\" est rectangle en \"F\".<\/p>\n

6. Construction de l’ellipse<\/h3>\n

Soit \"\mathcal{E}\" l’ellipse d’\u00e9quation \"\displaystyle \frac {x^2} {a^2} + \frac {y ^2} {b ^2} = 1\" et \"M\" le point de coordonn\u00e9es \"(a \cos t , \, b \, \sin t)\" o\u00f9 \"\cos t \, \sin t \neq 0\".<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Trouver le point d’intersection de la tangente en \"M\" \u00e0 l’ellipse et de la tangente en \"M_1(a \cos t\, ,\, a \sin t)\" au cercle \"\Gamma\" de centre \"O\" et de rayon \"a\".
\nEn d\u00e9duire une construction de \"M\" et de la tangente en \"M\" \u00e0 \"\mathcal{E}\".<\/p>\n

Annales sur\u00a0<\/b>les courbes param\u00e9tr\u00e9es en maths sp\u00e9<\/h2>\n

Rendez-vous sur les annales de maths sp\u00e9 en math\u00e9matiques pour vous tester en conditions r\u00e9elles.<\/p>\n

Si certains exercices des annales vous paraissent trop compliqu\u00e9s, jetez un \u0153il aux chapitres de maths qui vous posent probl\u00e8me gr\u00e2ce \u00e0 l’ensemble des cours en ligne de maths en maths sp\u00e9. Quelques exemples de cours \u00e0 \u00e9tudier :<\/p>\n