{"id":37238,"date":"2019-10-23T15:31:55","date_gmt":"2019-10-23T14:31:55","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37238"},"modified":"2022-07-08T13:37:13","modified_gmt":"2022-07-08T12:37:13","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-revisions-equivalents-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-revisions-equivalents-spe\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur les \u00e9quivalents. R\u00e9visions Maths Sp\u00e9"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices & corrig\u00e9s sur les \u00e9quivalents en MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

1. \u00c9quivalents usuels fonction ln<\/h2>\n

Exercice 1 : Justifier les r\u00e9sultats suivants<\/b><\/p>\n

1)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim} \frac {x^2} 2\"<\/p>\n

2)\u00a0<\/b>\"\ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to +\infty }{\sim}x\"<\/p>\n

3)\u00a0<\/b>\"\ln (\sin (x))\underset{x\to 0}{\sim}\ln (x)\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :<\/b><\/p>\n

1\/ On sait que \"\ln (u)\underset{u\to 1}{\sim}u-1\" et ch admet 1 pour limite en 0, donc \"\displaystyle \ln (\textrm {ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim}\text{ ch}(x)-1\"
\net enfin\u00a0\u00a0\u00a0\"\displaystyle \ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim} \frac {x^2} 2\" par un \u00e9quivalent usuel ou le DL de ch \u00e0 l’ordre 2 en 0.<\/p>\n

2\/ en utilisant \"\displaystyle \ln (\textrm{ ch}(x))=\ln \left(\operatorname{e}^x\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right)\"
\n\"\displaystyle \ln (\textrm {ch}(x)) =\ln (\operatorname{e}^x)+\ln \left(\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right)\".
\nComme \"\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln \left(\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right) = \ln\left(\frac1 2\right)\",
\n\"\ln (\textrm {ch}(x)) \underset{x\to +\infty }{ = }\;x+o(x)\"<\/p>\n

3\/ \"\sin(x) \underset {x \to 0} \sim x\" donc \"\sin(x) \underset {x \to 0} { = } x + o(x)\"
\nEn utilisant \"\ln (\sin (x))\underset{x\to 0}{ =}\ln (x+o(x))\",
\n\"\ln(\sin(x)) \underset {x \to 0} {= } \ln(x) + \ln(1 + o(1))\"
\n\"\displaystyle \ln (\sin (x))\underset{x\to 0}{=}\ln (x) \left(1+\frac{\ln (1+o(1))} {\ln (x)} \right)\"
\net \"\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{\ln (1+o(1))}{\ln (x)}=0.\"
\nDonc \"\ln (\sin (x))\underset{x\to 0}{\sim}\ln (x)\".<\/p>\n

Exercice 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

1)\u00a0<\/b>Donner un \u00e9quivalent au voisinage de \"x_0\" de<\/p>\n

\"\ln(x) - 1\" pour \"x_0 = \textrm{e}\"<\/p>\n

2)\u00a0<\/b>\"\sin(x)\"\u00a0 pour \"x_0 = n \pi\" o\u00f9\u00a0 \"n\" est entier.<\/p>\n

3)\u00a0<\/b>\"\tan(x) - 1\"\u00a0 pour \"x_0 = \pi/4\"<\/p>\n

4)\u00a0<\/b>\"x_0 = a\" o\u00f9 \"a \, {\neq}\, 0\" et \"n \, {\in} \, \mathbb{N}^*\", \"x^n - a^n\"<\/p>\n

5)<\/b>\u00a0\"x_0 = + {\infty}\", \"\displaystyle \ln \left( x + \sqrt{ x^2 + 1}\right)\"<\/p>\n

6)\u00a0<\/b>\"x_0 =1 ^{ -}\", \"\displaystyle \ln \left(x + \sqrt{ 1 - x^2 }\right)\"<\/p>\n

7)<\/b>\u00a0\"x_0 = 0^{+}\" et \"\alpha \, < \, 0\", \"\ln(1 + x^{{\alpha }})\"<\/p>\n

8)\u00a0<\/b>\"x_0 = 0\", \"\sqrt{\cos (x)}-1\"<\/p>\n

9)\u00a0<\/b>\"x_0 =+ {\infty}\", \"\displaystyle x\ln \left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}\right)\"<\/p>\n

10)<\/b> \"x_0 = 0\", \"\displaystyle \frac{\ln \left(x+\sqrt{ 2x^2+1}\right)}{\tan (x^2)}\"<\/p>\n

Vous pouvez aussi vous rendre sur les autres cours en ligne de Maths en PC<\/a>, mais aussi sur les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> et les cours en ligne de Maths en MP<\/a> pour vous pr\u00e9parer efficacement aux concours post-pr\u00e9pa.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :<\/strong><\/p>\n

1\/ En effet en notant \"f(x) = \ln(x)\", on cherche un \u00e9quivalent de \"\quad \quad \quad f(x) - f(\textrm{e})= \ln(x) - 1\",
\nla fonction<\/a> \"f\" est d\u00e9rivable en e et de d\u00e9riv\u00e9e non nulle \u00e9gale \u00e0 1\/e , \"\quad \quad f(x) - f(\textrm e) \underset {x \to \textrm e } \sim f'(\textrm{e} ) (x - \textrm{e})\"
\n\"\quad \quad \ln (x) - 1 \underset {x \to \textrm e } \sim \displaystyle \frac 1 {\textrm{e}} \, (x - \textrm{e})\".
\n(M\u00e9thodes M2 du paragraphe 4)<\/p>\n

2\/ attention, on ne suppose pas \"n = 0\", \"\quad \sin (x)\underset{x\to n\pi}{\sim}(-1)^n(x-n\pi )\"
\ncar \"\sin(x) = (- 1) ^{ n} \sin(x- n \pi)\" et \"x - n \pi\" tend vers 0.
\nIl faut savoir que si \"n \in \mathbb{Z}\",\u00a0 \"\quad \quad \quad \sin(t + n \pi) = ( - 1) ^n \sin(t)\"
\n(consid\u00e9rer les cas \"n\" pair puis \"n\" impair).<\/p>\n

3\/ \u00a0\"\tan (x)-1\underset{x\to \pi /4}{\sim}2(x-\pi /4)\"
\ncar \"\tan({\pi}/4) = 1\" et tangente est d\u00e9rivable en \"\pi /4\" de d\u00e9riv\u00e9e \u00e9gale \u00e0 2 (M\u00e9thodes M2 du \"\S 4\")<\/p>\n

4\/ \u00a0\"x^n-a^n\underset{x\to a}{\sim}n\;a^{n-1}\;(x-a)\"
\ncar \"x\" \"\mapsto x ^n\" est d\u00e9rivable en \"a\" de d\u00e9riv\u00e9e
\n\"n \, a ^{n - 1}\" non nulle
\n(on avait \u00e0 trouver un \u00e9quivalent de \"f(x) - f(a)\" voir\u00a0 M\u00e9thodes M2 du paragraphe 4).<\/p>\n

5\/ \"\ln \left( x + \sqrt{ x^2 + 1}\right)\underset{x\to +\infty }{\sim}\ln (x)\"<\/p>\n

\"f(x) = \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\"
\n\"f(x) =\ln (x)+\ln \left(1+\sqrt{1+1/x^2}\right)\"
\n\"\displaystyle f(x) =\ln (x)\left(1+\frac{\ln \left(1\;+\;\sqrt{1+1/x^2}\right)}{\ln (x)}\right)\"
\net \"\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\frac{\ln \left(1+\sqrt{1+1/x^2}\right)}{\ln (x)}=0\".\u00a0 (M\u00e9thodes M3 du \u00a74).<\/p>\n

⚠️ Si vous avez r\u00e9pondu \"\ln(2 \, x)\", \u00eates vous s\u00fbr de ne pas avoir fait une somme d’\u00e9quivalents puis une composition par la fonction \"\ln\" ?<\/p>\n

On peut n\u00e9anmoins d\u00e9montrer que \"\ln(2\, x)\" est \u00e9quivalent \u00e0 \"\ln(x)\" en \"+ \infty\".<\/p>\n

6\/ \"\displaystyle \ln \left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\underset{x\to 1^{- }}{\sim}\sqrt{2}\sqrt{1-x}\" .<\/p>\n

Soit \"f(x) = \ln \left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\".
\nComme \"\displaystyle \lim _{x\to 1}\left(x + \sqrt{1-x^2}\right) = 1\", et \"\ln(u) \underset{u\to 1}{\sim} u - 1\",\u00a0 \"f(x) \underset{x\to 1^{-}}{\sim}x-1 + \sqrt{1-x^2}\"
\n\"f(x) \underset{x\to 1^{- }}{\sim} \sqrt{1-x}\left(-\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)\"
\navec \"\displaystyle \lim _{x\to 1}\left(-\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)=\sqrt 2\" (M\u00e9thodes M1 du \u00a74)<\/p>\n

7\/ \u00a0\"\ln (1+x^{\alpha })\underset{x\to 0^{ +}}{\sim}\alpha \ln (x)\"<\/p>\n

car si \"\alpha \, < \, 0\", \"x^{\alpha} \to + {\infty}\" donc \"x^{-\alpha} \to 0\"
\net \"\ln (1+ x^{\alpha })=\ln (x^{\alpha })+ \ln (1 + x^{-\alpha })\"
\n\"\displaystyle \ln (1+ x^{\alpha }) = \alpha \ln (x)\left(1 + \frac{\ln (1 + x^{-\alpha })}{\alpha \ln (x)}\right)\"
\net \"\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{\ln (1+x^{-\alpha })}{\alpha \ln (x)}=0\".<\/p>\n

8\/ \"\displaystyle \sqrt{\cos (x)}-1\underset{x\to 0}{\sim}\frac{-x^2} 4\"<\/p>\n

car \"\displaystyle \sqrt{\cos (x)}-1 = \frac{\cos (x)-1}{\sqrt{\cos (x)}+1} \underset{x \to 0} {\sim} \frac{-x^2/2}{1+1}\"<\/p>\n

9\/ \u00a0\"\displaystyle x\ln \left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}\right)\underset{x\to +\infty }{\sim}\frac 2 x\".<\/p>\n

Soit \"\displaystyle f(x) =x\ln \left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}\right)\"
\n\"\displaystyle \frac{x^2+x+3}{x^2+x+1} \to 1\", et \"\ln(u) \underset {u \to 1} \sim u - 1\",
\n\"\displaystyle f(x)\underset{x\to +\infty }{\sim}x\left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}-1\right)\"
\n\"\displaystyle f(x) \underset{x\to +\infty }{\sim }x\left(\frac 2{x^2+x+1}\right)\"
\n\"\displaystyle f(x) \underset{x\to +\infty }{\sim}\frac{2x}{x^2}\" .<\/p>\n

10\/ \"\displaystyle \frac{\ln \left(x\;+\;\sqrt{\;2x^2\;+\;1}\right)}{\tan (x^2)}\underset{x\to 0}{\sim}\frac 1 x\" .
\ncar \"x+\sqrt{2x^2+1}\underset{x\to 0}{ = }1+x+o(x)\",
\ndonc \"\ln \left(x+\sqrt{2x^2+1}\right)\underset{x\to 0}{\sim}x\"
\net \"\tan (x^2)\underset{x\to 0}{\sim}x^2\"<\/p>\n

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2. Les \u00e9quivalents et la fonction \"\ln\"<\/h2>\n

Exercice 3 : <\/strong>
\nOn suppose que \"u\" et \"v\" sont \u00e0 valeurs strictement positives et que \"\quad \quad \quad u(x) \underset{x\to a}{\sim} v(x)\" .<\/p>\n

1\/ Si \"\displaystyle \lim _{x\to a}u(x)\;=\;0\", montrer que \"\ln (u(x))\underset{x\to a}{\sim}\ln (v(x))\" .<\/p>\n

2\/ Si \"\displaystyle\lim _{x\to a}u(x)\;=\;+\infty\", montrer que \"\ln (u(x))\underset{x\to a}{\sim}\ln(v(x))\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

1) On \u00e9crit \"u(x) = v(x)\varphi(x)\" o\u00f9 \"\varphi\" admet 1 pour limite en \"a\".
\n\"u\" et \"v\" \u00e9tant \u00e0 valeurs strictement positives, \"\varphi\" l’est aussi.\"\ln (u(x))=\ln (v(x))\;+\;\ln (\varphi (x))\"\"\displaystyle \ln(u(x))=\ln (v(x))\left(1+\frac{\ln (\varphi(x))}{\ln (v(x))}\right)\"
\navec \"\displaystyle \lim _{x\to a}\frac{\ln (\varphi (x))}{\ln (v(x))} =0\".<\/p>\n

2) Appliquer la premi\u00e8re question\u00a0 avec \"1/u\" et \"1/v\" qui admettent 0 pour limite et sont \u00e9quivalentes<\/p>\n

Il est recommand\u00e9 de compl\u00e9ter ces r\u00e9visions avec des r\u00e9visions sur d’autres chapitres au programme de Maths en Maths Sp\u00e9, par exemple avec les cours en ligne suivants :<\/p>\n